三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與方法訓(xùn)練-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

學(xué)生：科目：高三數(shù)學(xué)教師：

時(shí)間：年月日講義主題：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)方法總結(jié)

一、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：(其中左ez)

y=sinxy=cosxy=tanx

*

yy

圖象

飛4Vlyr44

/f7n1r

定義域RXX^K7l-\-——,kGZ>

2J

值域[-1,1[-1』R

當(dāng)x=2k7t+%(kGZ)當(dāng)x=2左％(左eZ)時(shí)，

；

時(shí)，Nmax=1；Vmax=1既無最大值也無最小

最值當(dāng)x=2k兀+7i

當(dāng)x=2版■—丘z)時(shí)，值

(ZeZ)時(shí)，ymin=-1.

Vmin=-1?

周期性2〃2萬71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2^-—+—

22_在\2k7T~7V,2k/c\GZ)

在[—*?+f]

(k￡Z)上是增函數(shù)上是增函數(shù)；

單調(diào)性

…nAt37c在[2左1,2左"+萬]

在2kji+-,2左萬H——(左eZ)上是增函數(shù).

(左wZ)上是減函數(shù).

(keZ)上是減函數(shù)

對(duì)稱中心對(duì)稱中心

(^,0)(^GZ)(左萬+],()](%eZ)寸稱中心

g,01eZ)

對(duì)稱性對(duì)稱軸(

對(duì)稱軸

x=k兀+eZ)后對(duì)稱軸

【方法技巧】(1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三角函數(shù)的奇偶性，往往是

在定義域內(nèi)，將三角函數(shù)式化為j=Hsin?x+c)+3的形式，然后再求解.

⑶求函數(shù),其x)=Hsingx+0)(0>O)的單調(diào)區(qū)間常用換元法：將公\，+。作為一個(gè)整體，若

求單調(diào)增區(qū)間，令cax+12tot-2阮+,(^EZ)；若求單調(diào)減區(qū)間，則令ox+

歸2E+S2fcr+譽(yù)i#GZ).值得注意的是，若3<0,則需要利用誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)換為貝x)

=」sm?x+0)(0>O)的形式，再用換元法求單調(diào)區(qū)間.

對(duì)稱軸：G)X+<pF=對(duì)稱軸公式求X；對(duì)稱中心：OX+聲對(duì)稱中心橫坐標(biāo)公式求X,對(duì)稱中心則為(X?B)

(1)五點(diǎn)法作丁=Asin3c+o)的簡(jiǎn)圖，設(shè)『=0￥+0,取0、y>萬、三、2TZ■來求相應(yīng)x的

值以及對(duì)應(yīng)的y值再描點(diǎn)作圖。--

(2)關(guān)于平移伸縮變換可具體參考函數(shù)平移伸縮變換，提倡先平移后伸縮。

(3)形如y=Asin(ox+o)的函數(shù)：

(1)幾個(gè)物理量：A—振幅；/=!■一頻率(周期的倒數(shù))函數(shù)

T

y=Asin(oiv+(p)+B(其中A>0,co>0)；最大值是A+B,最小值是B-A,

⑴『=3(9")+小>?！?gt;。)，則人與女的確定方法由下列公式確定：即

一，,At?

⑵振幅為A,周期是T=二，頻率是/=衛(wèi)，相位是好+0,初相是°；其圖象的對(duì)稱軸是

O)2%

直線5+夕=k7v+^(kGZ),凡是該圖象與直線y=3的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。

一、三角函數(shù)值與最小正周期

171

1、函數(shù)y=Asin(0v+0)和y=Acos@v+0)的周期都是T

2、函數(shù)y=Atan(@:+o)的周期都是T=「

37r

3、函數(shù)y=4cos①x的最小正周期為—，則co=.

7T

3.函數(shù)產(chǎn)2cos(3x+j的最小正周期為=.

4.函數(shù)產(chǎn)cosx的最小正周期為=.

5、函數(shù)〃x)=2sin2x-cos2x的最小正周期為()

n71

A?乃B.2?C.—D.一

24

3

6.已知角。的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(九,一3),且tana=——，則cosa=()

4

3444

A.±—B.±-C.----D.

5555

7^已知cos%=—,則COS2JT=

4

1111

A.——B.-C.—D.—

4488

4

8、若a,尸為銳角，sina=—,cos(cif+J3)=得，則sin"等于()

1656847

A.—B.——C.—D.—

65656565

9、已知函數(shù)/(x)=sin2x+￡,(1)/(A)=1,A=，(2)f(B)=-l,B=

(3)f(C)=-^,C=(4)函數(shù)零點(diǎn)：

10、已知函數(shù)/(x)=co13x—(l)f(A)=l,A=,(2)f(B)=-l,B=

(3)/(C)=^,C=(4)函數(shù)零點(diǎn)：

二、三角函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性

y=sinx,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,—)(1,_)(?,_)(y,_)(2乃,一)

1.最值：

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，y=sinx取得最大值____

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，y=sinx取得最小值____

2.單調(diào)性

正弦函數(shù)丁=sinx,在每一個(gè)閉區(qū)間(keZ)上都是增函數(shù)，其值從—增大

到—.在每一個(gè)閉區(qū)間(keZ)上都是減函數(shù)，其值從—減小到—.

3、對(duì)稱軸：.對(duì)稱中心：如：已知函數(shù)f(x)=2sin(xnx+(p)對(duì)

任意x都有f(三+x)=f(三-x),則|f(2L)|=

666

y=cosx,五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(0,—)(y,_)(乃,_)吟，—)(2萬,—)

1.最值：

當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，y=sinx取得最大值____

當(dāng)且僅當(dāng)％=時(shí)，y=sinx取得最小值____

2.單調(diào)性

正弦函數(shù)丁=sinx,在每一個(gè)閉區(qū)間(keZ)上都是增函數(shù)，其值從—增大

到—.在每一個(gè)閉區(qū)間(keZ)上都是減函數(shù)，其值從—減小到—.

3、對(duì)稱軸：.對(duì)稱中心：如：已知函數(shù)f(x)=2cos(xnx+(p)

對(duì)任意x都有f(工+x)=f(2L-x),則|f(2L)|=

666

【例1】、求函數(shù)y=sin(2x+g)的單調(diào)減區(qū)間、取最小值時(shí)的x值、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心及在區(qū)

間［-色二］上的值域.

33

【例2】、求函數(shù)y=3co?2x-(的單調(diào)增區(qū)間、取最大值時(shí)的x值、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心及在

區(qū)間0,-上的值域

2

【例3］.已知函數(shù)/(x)=sin3x—Gcos3x,則在下列區(qū)間使函數(shù)/⑺單調(diào)遞減的是()

57rlnn

C.D.

24

【例4】函數(shù)y=tan[2x+3J的圖象()

A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于直線x=-￡對(duì)稱D.關(guān)于點(diǎn)[:,()]對(duì)稱

【例5】設(shè)函數(shù)〃x)=cos12x-/給出下列結(jié)論：

/(%)的一個(gè)周期為〃②y=/(尤)的圖象關(guān)于直線》=今對(duì)稱

③產(chǎn)/⑺的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱④/(%)在高看單調(diào)遞減

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()

A.①④B.②③C.①②③D.②③④

【鞏固練習(xí)】

1、函數(shù)y=sin(2x+m)的圖像的對(duì)稱軸方程是=,

2.函數(shù)y=cos(2x+g)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是()

7171

A.x="fB-x------c.X--D.X=71

48

3.函數(shù)y=-cosg-[)的單調(diào)遞增區(qū)間是()

42-42一

A.2k兀——712k兀+—7i(左EZ)B.4k兀-—兀,4k7v+—(k￡Z)

L33J

二72c78

C.2k兀+—兀2女兀+一〃(左eZ)D.4k兀+乙兀,4k兀+0兀(^GZ)

一3333

4、已知函數(shù)〃x)=sin2x+?,則下列結(jié)論中正確的是

(A)函數(shù)4％)的最小正周期為2兀(B)函數(shù)了⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

(C)由函數(shù)"％)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到函數(shù)丁=而2工的圖象

(D)函數(shù)/(%)在區(qū)間上單調(diào)遞增

三、三角函數(shù)的奇偶性

y=Asinwx是奇函數(shù)，y=Acoswx是偶函數(shù).

jr

y=Asin(cox+(p)為偶函數(shù)時(shí)(p=—+k兀，為奇函數(shù)時(shí)(p=kjc

2

y=Atan(cox+(p)為奇函數(shù)時(shí)cp二k冗(keZ)

7T

y=Acos((ox+(p)為偶函數(shù)時(shí)(p=k;i,為奇函數(shù)時(shí)(p=—+k%

2

【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性:

3兀71

(1)/(x)=cos(2^--x)-x3sinx;(2)y=sin(x-)(3)y=x+cos(x+—)

2工

jr1

【例2】函數(shù)/(x)=sin2(z-x)-萬是()

A.最小正周期為萬的偶函數(shù)B.最小正周期為萬的奇函數(shù)

C.最小正周期為5的偶函數(shù)D.最小正周期為券的奇函數(shù)

【鞏固練習(xí)】

1、函數(shù)y=sin3x+x的奇偶性是______,函數(shù)y=cos5x+3的奇偶性是______,函數(shù)

y=s沅仔-2d的奇偶性是

2、已知函數(shù)/(x)=奴+"蘇》+1(。乃為常數(shù))，且"5)=7,則/(-5)=

3、設(shè)?v)=(ax2+l)sinx,其中a為常數(shù)，則火工)是()

A.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)B.奇函數(shù)

C.既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)D.偶函數(shù)

5、已知函數(shù)/(x)=cos(2x-9)為奇函數(shù)，則0

四、三角函數(shù)的值域與最值

(1)y=asinx+b(或y=acosx+b)型，利用|sinx|W1(或|cosx|W1),即可求解，此時(shí)必須注意字

母a的符號(hào)對(duì)最值的影響。

(2)y=asinx+bcosx型，引入輔助角0,化為y=Ja?+&sin(x+O)，利用函數(shù)卜in(x+°l<1即

可求解。

1例11函數(shù)y=-2sinx-l的最大值及取得最大值時(shí)xj，的值是（）

A.y=ln=彳B,y=ln=2fai+.:氏Z

22

3兀冗

C.y=ln=-D.y=l,x=2far-~氏Z

TT_

【例2】已知函數(shù)/（x）=2sin（（yx—：）—1（。＞0）的周期是萬.

6

（1）求/'（X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求八龍）在［0,耳］上的最值及其對(duì)應(yīng)的工的值.

［例3］已知函數(shù)/（x）=2sinxcosx—2sin2x+l.

（1）求的值；

（2）求/（司的最小正周期；

（3）求〃力在區(qū)間-于。上的最小值.

【例4】函數(shù)於）=sin（2x一守在區(qū)間0,方上的最小值為

【例5】函數(shù)產(chǎn)石sin%+cosx的最大值是（）

【例6】函數(shù)y=；sinx-坐cos期值域是（）

AR當(dāng)B.[-i1]C[當(dāng)當(dāng)D-[-l=l]

【例7】函數(shù)產(chǎn)cosx(-60。^爛60。)的值域是

【例8】已知sinx-cosx=2a-3,求。的取值范圍.

【鞏固練習(xí)】

y=—sin(2x+—)+—

1、函數(shù)"264的最大值為,最小值為

2^函數(shù)y=2cos(x-—)(—WxW24)的取值范圍是

363

3、若/(x)=sing,則f(l)+f(2)+f(3)+...+f(2023)=

4、使等式sinx=tz+l有意義的a的取值范圍是區(qū)間=

7T31

f(x)=a-bcos(2x+-)(6>0)-

6

5、已知函數(shù)的最大值為2,最小值為?

⑴求a,b的值；

q(x)=-4aszn(6x-)

(2)求函數(shù),3的最小值并求出對(duì)應(yīng)x的集合.

五、函數(shù)圖象變換

函數(shù)的平移變換：

①y=/(%).y=/(x±a)(a>0)將y=/(x)圖像沿X軸向左(右)平移。個(gè)單位(左加右減)

②y=/(x)fy=/(x)土地>0)將y=/(x)圖像沿y軸向上(下)平移。個(gè)單位(上加下減)

冗

cos%=sint+—sint=cost

I2

③函數(shù)圖像平移異名化同名的公式:

函數(shù)的伸縮變換：

①y=/(x)-y=/(wx)(w>o)將y=/(x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的工倍

(w〉l縮短，0<w<l伸長(zhǎng))

②…/(x)(A>0)將y=/(x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的A倍

(A>1伸長(zhǎng)，0<4<1縮短)

［例1］如何由y=sinx的圖像得到y(tǒng)=2sin［3x-［)的圖像

方法一：y=sinxy=sin［x—y=sin［3x—y=2sin^3x-^

方法二：y=sinxy=sin3xy=sin［3x—y=2sin(3x一(

［例2］如何由y=gco{2x+［的圖像得到y(tǒng)=cos%的圖像

【例3］下面函數(shù)圖象是由函數(shù)向平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到。

【例4】為了得到函數(shù)y=sin［2x+?J的圖象，可以將函數(shù)尸sin12x+；|的圖象()

A.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移［個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移［個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移［個(gè)單位長(zhǎng)度

【例5】函數(shù)y=sin2x的圖象可由函數(shù)>=<^