新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 練習(xí) 03 共面向量定理

03共面向量定理

目錄

☆【題型一】共面向量的概念..........................................................................?

☆【題型二】共面向量定理............................................................................2

☆【題型三】利用共面向量定理證明向量共面...........................................................3

☆【題型四】利用共面向量定理證明線面平行...........................................................4

☆【題型五】空間四點共面的條件.....................................................................6

☆【題型六】利用共面向量定理證明空間四點共面.......................................................9

☆【題型一】共面向量的概念

【例題】在平行六面體/88—48∣GDl中，向量屈1,訛，彳百是（）

A.有相同起點的向量B.等長向量

C.共面向量D.不共面向量

【答案】C

【詳解】如圖所示.向量屈!,由二方不是有相同起點的向量，故A錯誤；三個向量的模不一定相等,

故B錯誤；又在平行六面體∕8CO-48∣Gd中，?'AC=A↑C?,而線段DM,D↑C,4C構(gòu)成aA∕C的三

個邊，故向量說!,亦，彳君'是共面向量，故選C.

【變式訓(xùn)練】

L（多選）下列說法錯誤的是（）

A.空間的任意三個向量都不共面

B.空間的任意兩個向量都共面

C.三個向量共面，即它們所在的直線共面

D.若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面

【答案】ACD

2.下面關(guān)于空間向量的說法正確的是（）

A.若向量α,6平行，則a,b所在直線平行

B.若向量α,6所在直線是異面直線，則”，6不共面

C.若N,B,C,。四點不共面，則向量法，無不共面

D.若/,B,C,。四點不共面，則向量法,就，而不共面

【答案】D

【詳解】我們可以通過平移將空間中任意兩個向量平移到一個平面內(nèi)，因此空間任意兩個向量都是共面的，

故B,C錯誤；由向量平行與直線平行的區(qū)別，可知A錯誤；因為/8,AC,是空間中有公共端點/但

不共面的三條線段，所以向量法,病，疝不共面.故選D.

☆【題型二】共面向量定理

【例題圮知A,8,P共線，°為空間任意一點（OtXtB不共線）,且存在實數(shù)a,0,使0P=aO4+0OB,

求1+￡的值.

【分析】分析可知存在加eR使得蘇=加而，利用空間向量共線的基本定理可求得α+夕的值.

【詳解】因為A,B,尸共線，則存在加∈R使得方=加在，即況—而=加（歷—07）,

所以，。尸=（1+加）。!一,又因為麗=αE+/?而，則α+夕=（1+加）一"?=1.

【變式訓(xùn)練】

1.對于空間的任意三個向量α,b,2a-b,它們一定是（）

A.共面向量B.共線向量

C.不共面向量D.既不共線也不共面的向量

【答案】A

【詳解】由向量共面定理可知，三個向量％b,2α-b為共面向量.

2.已知就，而是空間兩個不共線的向量，MC=3MA-2MB,那么必有（）

X.MA,證共線Q.MB,流■共線

C.MA,MB,詵共面D.MA,MB,證不共面

【答案】C

【詳解】由共面向量定理知,屆,施，欣7共面.

2.如圖，在長方體ZBC。一N'B'C'D'中，向量",ADr,防是向量（填“共面”或“不共

面”）.

【答案】共面

【詳解】ABr+B'D'^ADr,而近)=B'D；,

所以"+BD^ADr,所以衣,ADr,訪是共面向量.

☆【題型三】利用共面向量定理證明向量共面

【例題】己知48,C三點不共線，平面/8C外一點M滿足改=15+1協(xié)

333

(1)判斷而，MB,加7三個向量是否共面；

(2)判斷點M是否在平面/8C內(nèi).

【詳解】(1)因為%+為+灰1=3血，

所以為一血=(而一勵)+(??—南，

所以麻=病+礪=一話—慶，

所以向量屆，MB,慶共面.

(2)由(1)知向量屆，MB,謊共面，

而它們有共同的起點M,且48,C三點不共線，

所以點M48C共面，即點M在平面NBC內(nèi).

【變式訓(xùn)練】

1.已知向量誦，詼分別在兩條異面直線上，MN分別為線段/C,8。的中點，求證：向量次，CD,MN

共面.

【詳解】證明：MN=MA+AB+BN,MN=MC+CD+DN,

兩式相加得2疚=屆+欣r+J?+δb+麗+5k

又因為屆十證=0,BN+DN=O,

所以2疝=前+δb,

BPΛ?=?+?,

22

所以∕?,CD,而共面.

2.如圖，在四面體P48C中，點M,N分別為P/,尸B的中點，問：麗與就，怒是否共面？

【答案】而與錠,%共面.

【詳解】因為MN=PN—PM=—PB——PA=-(PB-PA]=-AB^-AC一一BC.

222、>222

所以砒與灰，％共面?

☆【題型四】利用共面向量定理證明線面平行

【例題】如圖，已知矩形/58和矩形NDEF所在平面相交于/O,點M,N分別在對角線8。，AEl.,

且=‘80,AN=LAE.求證：MN//平面CDE.

33

【分析】要證明MN//平面CDE,只要證明向量麗可以用平面C。E內(nèi)的兩個不共線的向量詼和反

線性表示.

【詳解】證明如圖，因為〃在8。上，且

3

—■1—■1―■1―-一1—?1―■1—■

所以MB=—DB=-D4+-AB.同理ZN=-ZE=—4。+—。E.

333333

又麗=畫=-赤

所以麗=礪+①+京=∣∣Λ4+∣∑g∣+?4+[+JBA+DECD+DE.

又麗與萬萬不共線，根據(jù)共面向量定理，可知而，CD-反共面.

因為MN不在平面CDE內(nèi)，所以初V//平面COE.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，四棱錐尸-ZBC。的底面是平行四邊形，M是尸。的中點，求證：P4//平面BMD.

【分析】連接4C交80于。，連接。〃，得OM//AP,利用線面平行的判定定理即可證得.

【詳解】證明(方法1)證明：連接ZC交8。于。，連接OM.

因為ZBC。是平行四邊形，所以。是ZC中點.

因為"為PC的中點，所以O(shè)M//ZP.

因為P4?平面BDE,OMu平面5。/，所以24//平面8Λ∕D.

（方法2）++UD+DA=PM+CB+MD=MC+CB+MD=MB+MD

因為痂與必行不共線，所以沙與赤，必萬共面，

又尸ZZ平面BMD,所以P4//平面BMD.

2.如圖，在底面為正三角形的斜棱柱N8C—48IG中，。為/C的中點.

求證:481〃平面CiBD

【詳解】證明記48=α,AC=b,AA↑-c,

則成ι=α+c,DB^AB-AD=a--b,DCi^DC+CC↑^-b+c,

22

所以法+比I=α+c=與I,

又命與53不共線，

所以施1,加，皮洪面.

又由于∕8∣不在平面G8。內(nèi)，所以/8|〃平面G8D

【總結(jié)】如果兩個向量”，6不共線，則向量P與向量明〃共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y),使

P=Xa+功.在判斷空間的三個向量共面時，注意“兩個向量明》不共線”的要求.

3.如圖，已知斜三棱柱Z8C∕山∣C∣,在NCl和BC上分別取點使M/=函∣,BN=kBC,其中0<

kWl,求證：MN〃平面4BBA.

【詳解】證明因為施=標(biāo)'∣=A?(與I+石+南，AN^AB+BN^AB+kBC,

所以疝=而一嬴=(l—k)贏一k筋i,

所以加與向量前，筋I(lǐng)共面.

而MN。平面48814，

所以MN〃平面∕88M∣.

☆【題型五】空間四點共面的條件

【例題】在平面向量中有如下結(jié)論：

已知37，礪不共線，^OP=xOA+yOB>且x+V=l,則尸，A,B三點共線.

你能據(jù)此得到空間向量中類似的結(jié)論嗎？

【分析】通過猜想得到類似的結(jié)論，通過向量法證明結(jié)論成立.

【詳解】類比上論，猜想：已知而，OB,反不共面，若而=xN+y赤+z5δ,且x+y+z=l,

則尸，A,B,C四點共面.

證明如下：

由x+y+z=l,可得x=l-y-z.

則OP=XO4+yO8+z反-(l-y-z)OA+yOB+zOC=OA+y^OB-OA^+z^OC-OA^,

所以加一E=yN5+zN?,即=y方+Z*.

由4,B,C三點不共線，可知而和祝不共線，

所以萬，~AB>X共面且有公共起點4.從而尸，4,B,C四點共面?

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)空間任意一點O和不共線的三點4B,C,若點P滿足向量關(guān)系3>=xa+yδ?+z灰？

（其中x+y+z=l）,試問：848C四點是否共面？

【分析】通過分析，將判斷A48,C四點是否共面轉(zhuǎn)化為空間向量是否共面.即要判斷巴48,C四點是否

共面，可考察三個共起點的向量成，AB,而是否共面.

【詳解】由x+y+z=l（不妨設(shè)xWO）,可得X=LZ—y,

則?>=（l-z-y）%+y無+z衣—亦）+z（歷一屆），

所以3>一a=武勵一^4）+z（灰7一晶），即萬=通+zk.

由A,B,C三點不共線，可知誦和太不共線，

所以萬，AB,公共面且具有公共起點/,從而248C四點共面.

2.（多選）對空間任一點。和不共線的三點力，B,C,能得到P,A,B,C四點共面的是（）

?.OP^OA+OB+OC

^.OP=-OA+-OBjT-OC

333

C.OP=-OA+-OB+-OC

488

D.OP^20A-OB-OC

【答案】BC

【詳解】（方法1）A選項，OP=OA^OB^OC,不能轉(zhuǎn)化成成=X廂+y元的形式，所以A不正確；

B選項，V5>=?+∣δβ+?,：.WP=OAA-OB+OC,：.OP-OA=（OB-OP）+（OC-OP）,

：.AP^PB+PC,：.PA^~PB~PC,：.P,A,B,C共面.故B正確；

C選項，+∣δβ+?=?+AB）+^OA+AC）^OA+?+∣^C,.

：.OP-OA^-AB+-AC,

88

Λ^P=?+?,

由共面的充要條件知P,A,B,C四點共面，故C選項正確；

D選項，OP^2OA-OB-OC,無法轉(zhuǎn)化成瀛=X而+），記的形式，所以D項不正確.

（方法2）點尸與4,B,C共面時，對空間任意一點。，都有?>=x亦+貫系+z無，且x+y+z=l,

可判斷出只有選項B,C符合要求.

3.（多選）下列條件中，使朋`與4B,C一定共面的是（）

?.OM=2>OA-OB-OC

Q.OM=-OA+-OB+-OC

532

C.MA+MBΛ-MC=Q

D.?Λ∕+O4+δβ+δC=0

【答案】AC

【詳解】A選項中，3—1-1=1,四點共面，

C選項中，MA=-MB-MC,；.點M,A,B,C共面.

4.給出下列四個命題：

①若存在實數(shù)X,y,使P=Xa+yB,則P與a，反共面；

②若P與a,B共面，則存在實數(shù)X,y,使P=Xa+歹兒

③若存在實數(shù)X,y,使血=X版+》礪，則點尸，M,A,8共面；

④若點P,M,A,8共面，則存在實數(shù)X,y,使麗=X必+y礪.

其中是真命題.（填序號）

【答案】①③.

【詳解】①由共面向量定理知，①正確：

②若Z，族共線，則萬不與￡，區(qū)共線，則不存在實數(shù)X,A使7=石+遠，故②錯誤；

③由共面向量定理知，③正確；

④若Λ√4"8共線，不與4,共線，則不存在實數(shù)X,y,使初尸=xA￡4+yΛ∕8，故④錯誤.

故答案為①③.

5.平面ɑ內(nèi)有五點4,B,C,D,E,其中無三點共線，。為空間一點，滿足為=金為+χj?+y?b,嬴=

2xOC+^OD+yOE,則x+3y等于（）

5757

A.-BAC.-D.-

6633

【答案】B

【詳解】由點4B,C,。共面得x+y=1,①

2

?

又由點8,C,D,E共面得2x+y=：,②

聯(lián)立①②，解得X=Ly=~,

63

所以x+3y=Z.

6

6.若點P與不共線的三點/,B,C共面，且對于空間任意一點O,都有5>=?L晶+2無+2?b,貝!U=_.

2

【答案】一

2

☆【題型六】利用共面向量定理證明空間四點共面

【例題】在長方體ZBCD—小BCLOI中，點M為。Z)I的中點，點N在ZC上，且/N：Mr=