湖南省2023年普通高等學(xué)校對口招生考試數(shù)學(xué)試卷及答案

湖南省2023年普通高等學(xué)校對口招生考試

數(shù)學(xué)

本試題卷包括選擇題、填空題和解答題三局部,共4頁，時(shí)量120分鐘,總分值120分

一、選擇題(本大題共10小題,每題4分,共40分.在每題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的)

1.集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}4I?A∩B=()

A.{1,2,3,4,5,6}B.{2,3,4}

C.{3,4}D.{1,2,5,6}

2.=9"是"％=3"的()

A.充分必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

3.函數(shù)y=∕-2X的單調(diào)增區(qū)間是()

A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-8,2]D.[0,+∞)

3

4.cosa=--j且α為第三象限角，那么tana=()

4334

A.-B.7C.D.--

5.不等式∣2%-1∣>1的解集是()

A.{%IX<0}B.(%IΛ>1)

C.{xIO<x<1}D.{%l%<?；騒>1}

6.點(diǎn)M在直線3x+4y-12=0上，O為坐標(biāo)原點(diǎn),那么線段OM長度的最小

值是（）

1212

A.3B.4C.-D.-

7.向量五，B滿足同=7,W=I2,五?B=-42,那么向量,，B的夾角為

（）

A.30pB.60oC.120oD.150°

8.以下命題中,褶澳加速場皇（）

A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行

B.平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行

C.一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交,交線平行

D.一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交,那么必與另一個(gè)相交

9,α=sinl50,O=SinlOQP,C=Sin20（Γ,那么C的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

10.過點(diǎn)（1,1）的直線與圓1+F=4相交于A,B兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),那么

△OAB面積的最大值為（）

A.2B.4C.?/?D.2Λ∕3

二、填空題（本大題共5小題,每題4分,共20分）

11.某學(xué)校有900名學(xué)生,其中女生400名.按男女比例用分層抽樣的方法,從該

學(xué)校學(xué)生中抽取一個(gè)容量為45的樣本,那么應(yīng)抽取男生的人數(shù)

為.

12.函/(%)=∞sx+b(b為常數(shù))的局部圖像如下圖,那么b=—.

13.(%+1'的展開式中Λ5的系數(shù)為(用數(shù)字作答)

14.向量萬=(1,2),5=(3,4),I=(II,16),且？=切+應(yīng)，那么％+y=

15.如圖，畫一個(gè)邊長為4的正方形,再將這個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)相連得到第2個(gè)

正方形,依次類推,這樣一共畫了10個(gè)正方形.那么第10個(gè)正方形的面積

為.

(第15題)

三、解答題(本大題共7小題,其中第21,22小題為選做題.總分值

60分,解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16.(本小題總分值10分)

數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，?1=1,%=5,

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(II)設(shè)數(shù)列｛冊｝的前〃項(xiàng)和為最.假設(shè)Sa=Io0,求〃.

17.(本小題總分值10分)

某種飲料共6瓶，其中有2瓶不合格,從中隨機(jī)抽取2瓶檢測.用J表示取出

飲料中不合格的瓶數(shù).求

(I)隨機(jī)變量J的分布列；

(II)檢測出有不合格飲料的概率.

18.(本小題總分值10分)

函數(shù)/(%)=IOga(%-3)(a>O,且α≠l)的圖像過點(diǎn)(5,1)

(I)求/(%)的解析式，并寫出/(%)的定義域；

(II)假設(shè)f(rri)<1,求力的取值范圍

19.(本小題總分值10分)

如圖,在三棱柱ABC-ASG中，AAIJ_底面ABC,AA1=AB=BC,

NABC=90°,。為AC的中點(diǎn).

(D證明：BDJ_平面AA[C∣C;

(II)求直線BA與平面ΛAlClC所成的角.

20.(本小題總分值10分)

22

橢圓C：/+正=I(α>b>O)的焦點(diǎn)為尸I(-1,0)、尸2(1,0),點(diǎn)A

(0,1)在橢圓C上.

(I)求橢圓C的方程;

（II）（∏）直線/過點(diǎn)月且與A6垂直，/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),

求MN的長.

選做題:請考生在第21,22題中選擇一題作答.如果兩題都做,那么按所做的第

21題計(jì)分,作答時(shí),請寫清題號(hào).

21.（本小題總分值10分）

如圖,在四邊形ABCD中，

BC=CD=6,AB=4jZBCD=120°,

ZABC=75°,求四邊形ABCD的面積.

22.（本小題總分值10分）

某公司生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A,B兩種原料.生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品所需

原料及每天原料的可用限額如表所示.如果生產(chǎn)1噸甲產(chǎn)品可獲利潤4萬元，

生產(chǎn)1噸乙產(chǎn)品可獲利潤5萬元.問：該公司如何規(guī)劃生產(chǎn),才能使公司每天獲

得的利潤最大？

甲乙原料限額

A（噸）128

B（噸）3212

參考答案

一、選擇題：

1.C2.B3.B4.A5.D6.D7.C8.B

9.D10.A

二、填空題：

11.2512.213.614.515.J-

32

三、解答題

16.解：(I)數(shù)列｛冊｝為等差數(shù)列，?1=1,%=5=公差d="1=2

故%=l+2(n-l)=2n-?

?.?等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為％,Szj=IOO

_n

Scn='("ι+0”)

H

.-(l+2n-l)=100

??2

.M=IO

??

17.解：(I)J的可能取值有0,1,2

c；C1

P(I)=-eγ=-

故隨機(jī)變量J的分布列是:

012

P281

57??5

(II)設(shè)事件A表示檢測出的全是合格飲料，那么A表示有不合格飲料

：

檢測出的全是全格飲料的P概fΛ率λ--一C6=M2

-23

P(A)=I--=-

故檢測出有不合格飲料的概率I，55

18.解：(I)...函數(shù)/(x)=lOga(X-3)(α>0,且"1)的圖像過點(diǎn)(5,1)

.?.lθgα2=1

.a=2

/(x)=log2(x-3)有意義，那么尤-3>0

?.?x>3

函數(shù)/(X)=log2(x-3)的定義域是(3,+8)

m1

(II).?./(x)=log2(?-?)，f()<

.log2(m-3)<l=log22

*.?m-3<2

.m<5

又/(x)=log2(x-3)的定義域是(3,+8),即加>3

?.?3<m<5

“’的取值范圍是(3,5)

19.(I)證明：?.?在三棱柱ABCIG中，AA，底面ABC

.AA1?BD

又A3=BC,NABC=90°,。為AC的中點(diǎn).

???BDLAC

而AA∣∏AC=A

...3。，平面44￡。

(II)由(I)可知：6。_L平面AAGC

連結(jié)4。，那么NBA。是直線氏％與平面AAClC所成的角

1萬

在RrΔA]BD中，BD=—AC——^―AB；AJB=y[2AB

WCBD1

.sinZBA1D=-----=—

??A1β2

.ZBAiD=30°

即直線βΛ與平面A4ιGC所成的角是30°.

22

%y1

20.解：(I).?橢圓C:u+R=I(a>B>O)的焦點(diǎn)為尸1(-1,0)、F2

,ab

(1,0)

?.?c=l

又點(diǎn)A(0,1)在橢圓C上

.Z?2=1

.cΓ=b2+c~=1+1=2

√2_,

...橢圓C的方程是萬+y=1

(II)直線A片的斜率心石=1

而直線/過點(diǎn)Fl且與AK垂直

.?.直線/的斜率是ZC=T

直線’的方程是>=rT

y=T-I

由忙+y2=ι消去.得:3X2+4X=0

、2.

設(shè)Λ∕(X],y),N(X2,乃)，那么

4

X?+Λ2=~~%1?%2=°

?,

xx=χ+x2

∣ι~2?yj(ι2)-4X∣X2=—

2

∣W∣=7ZΓ+1∣X1-X2∣=√2×∣=∣√2

即MN的長是g后

21.解：如圖，連結(jié)8。

在ΔBCD中，BC=CD=6,

ZfiCD=120°,由余弦定理得：

BD1=BC2+CD2-2BC-CDcosZBCD

=62×3

BD=6√3

四邊形ASCO的面積S四邊形ABCD=SABa)+SAABD

-BCCD-sin/BCD+-BA-BD-sinZ