高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練9-8-3圓錐曲線(xiàn)的范圍問(wèn)題

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一幾何法求范圍

1.已知直線(xiàn)l1:mxy+m=0與直線(xiàn)l2:x+my1=0的交點(diǎn)為Q,橢圓QUOTE+y2=1的焦點(diǎn)為F1,F2,則|QF1|+|QF2|的取值范圍是 ()A.[2,+∞) B.[2QUOTE,+∞)C.[2,4] D.[2QUOTE,4]2.(2020·綿陽(yáng)模擬)設(shè)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C:y2=4x上的動(dòng)點(diǎn),Q是C的準(zhǔn)線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)l過(guò)Q且與OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))垂直,則點(diǎn)P到l的距離的最小值的取值范圍是 ()A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1] D.(0,2]3.過(guò)雙曲線(xiàn)QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線(xiàn),與該雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn),則此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為_(kāi)_______. 導(dǎo)學(xué)號(hào)

【解析】1.選D.橢圓QUOTE+y2=1的焦點(diǎn)為:F1(QUOTE,0),F2(QUOTE,0),由l1與l2方程可知l1⊥l2,直線(xiàn)l1:mxy+m=0與直線(xiàn)l2:x+my1=0的交點(diǎn)為Q,且兩條直線(xiàn)分別經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1,0),(1,0),所以它們的交點(diǎn)Q滿(mǎn)足:x2+y2=1(x≠1),當(dāng)Q與(1,0)重合時(shí),|QF1|+|QF2|取最小值為|F1F2|=2QUOTE,當(dāng)Q與短軸端點(diǎn)重合時(shí),|QF1|+|QF2|取最大值為2a=4,所以|QF1|+|QF2|的取值范圍是[2QUOTE,4].2.選B.拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=1,若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,0),此時(shí)直線(xiàn)l的方程為x=1,顯然點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最小值是1,若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1,t),其中t≠0,則直線(xiàn)OQ的斜率為kOQ=QUOTE=t,直線(xiàn)l的斜率為kl=QUOTE=QUOTE,直線(xiàn)l的方程為yt=QUOTE(x+1),即xty+t2+1=0,設(shè)與直線(xiàn)l平行且與拋物線(xiàn)C相切的直線(xiàn)方程為xty+m=0,代入拋物線(xiàn)方程得y24ty+4m=0,所以Δ=16t2-16m=0,解得m=t2,所以與直線(xiàn)l平行且與拋物線(xiàn)C相切的直線(xiàn)方程為xty+t2=0,所以點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最小值為直線(xiàn)xty+t2+1=0與直線(xiàn)xty+t2=0的距離,即d=QUOTE=QUOTE,因?yàn)閠≠0,所以0<d<1.綜合兩種情況可知點(diǎn)P到直線(xiàn)l的距離的最小值的取值范圍是(0,1].3.由過(guò)雙曲線(xiàn)QUOTEQUOTE=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)且斜率為2的直線(xiàn),與該雙曲線(xiàn)的右支交于兩點(diǎn),可得QUOTE<2.所以e=QUOTE=QUOTE<QUOTE=QUOTE,因?yàn)閑>1,所以1<e<QUOTE,所以此雙曲線(xiàn)離心率的取值范圍為(1,QUOTE).答案:(1,QUOTE)1.當(dāng)題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決.2.利用圓錐曲線(xiàn)的定義、幾何意義等轉(zhuǎn)化為平面圖形中的范圍問(wèn)題,然后利用平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解.考點(diǎn)二代數(shù)法求范圍問(wèn)題

命題精解讀考什么:(1)范圍問(wèn)題主要有:①涉及距離、面積的范圍以及與之相關(guān)的一些范圍問(wèn)題;②求直線(xiàn)或圓錐曲線(xiàn)中幾何元素的范圍;③求目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍.(2)考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理以及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想等.怎么考:以直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系為背景,考查參數(shù)取值范圍或目標(biāo)代數(shù)式的取值范圍問(wèn)題.新趨勢(shì):范圍問(wèn)題與不等式、函數(shù)值域等問(wèn)題相結(jié)合.學(xué)霸好方法1.解決圓錐曲線(xiàn)中的取值范圍問(wèn)題的5種常用解法(1)利用圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系.(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù),求其值域,從而確定參數(shù)的取值范圍.2.交匯問(wèn)題與不等式、函數(shù)問(wèn)題交匯時(shí),要注意參數(shù)取值范圍的限制對(duì)解不等式、求函數(shù)值域的影響.構(gòu)造不等式求范圍【典例】(2019·宜昌模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的方程為QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),左右焦點(diǎn)分別為F1,F2,R為短軸的一個(gè)端點(diǎn),且△RF1F2的面積為QUOTE.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓C上異于A,B的一點(diǎn),且直線(xiàn)PA,PB的斜率都存在,kPAkPB=QUOTE.(1)求a,b的值.(2)設(shè)Q為橢圓C上位于x軸上方的一點(diǎn),且QF1⊥x軸,M,N為橢圓C上不同于Q的兩點(diǎn),且∠MQF1=∠NQF1,設(shè)直線(xiàn)MN與y軸交于點(diǎn)D(0,d),求d的取值范圍.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)求參數(shù)a,b點(diǎn)差法轉(zhuǎn)化kPAkPB=QUOTE,結(jié)合△RF1F2的面積列出方程組求解(2)①設(shè)直線(xiàn)QM的方程將兩角相等轉(zhuǎn)化為兩直線(xiàn)QM,QN斜率之間的關(guān)系②求直線(xiàn)MN的斜率將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,分別求出M、N點(diǎn)的橫坐標(biāo),利用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出直線(xiàn)MN的斜率.③求d所滿(mǎn)足的不等式將直線(xiàn)MN的方程與橢圓方程聯(lián)立,由位置關(guān)系列出不等關(guān)系④解不等式求范圍解所得不等式即可求得d的取值范圍【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),P(x2,y2),則B(x1,y1),進(jìn)一步得,QUOTE+QUOTE=1,QUOTE+QUOTE=1,兩個(gè)等式相減得,QUOTE+QUOTE=0,所以QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以kPA·kPB=QUOTE,因?yàn)閗PA·kPB=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,設(shè)b=QUOTEt,a=2t(t>0),因?yàn)閍2=b2+c2,所以c=t,由△RF1F2的面積為QUOTE得,QUOTE=QUOTE,即bc=QUOTE,即QUOTEt2=QUOTE,t=1,所以a=2,b=QUOTE.(2)設(shè)直線(xiàn)QM的斜率為k,因?yàn)椤螹QF1=∠NQF1,所以QM,QN關(guān)于直線(xiàn)QF1對(duì)稱(chēng),所以直線(xiàn)QN的斜率為k,算得F1(1,0),QQUOTE,所以直線(xiàn)QM的方程是yQUOTE=k(x+1),設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4)由QUOTE消去y得,(3+4k2)x2+(12+8k)kx+(4k2+12k3)=0,所以1·x3=QUOTE,所以x3=QUOTE,將上式中的k換成k得,x4=QUOTE,所以kMN=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以直線(xiàn)MN的方程是y=QUOTEx+d,代入橢圓方程QUOTE+QUOTE=1得,x2dx+d23=0,所以Δ=(d)24(d23)>0,所以2<d<2,又因?yàn)镸N在Q點(diǎn)下方,所以QUOTE>QUOTE×(1)+d,所以2<d<1.構(gòu)造函數(shù)法求范圍【典例】(2019·日照模擬)已知點(diǎn)E,F分別是橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),若EF與圓x2+y2=QUOTE相切于點(diǎn)T,且點(diǎn)T是線(xiàn)段EF靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn).導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且點(diǎn)P在第二象限,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與l垂直的直線(xiàn)l′與圓x2+y2=8相交于A,B兩點(diǎn),求△PAB面積的取值范圍.【解題導(dǎo)思】序號(hào)題目拆解(1)求參數(shù)a,b根據(jù)已知分別求出a,b的值.(2)①建立k,m的關(guān)系式直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立,利用方程只有一解即可建立兩者的關(guān)系式②求P到直線(xiàn)l′的距離求P點(diǎn)坐標(biāo),代入距離公式求解③表示△PAB面積利用三角形面積公式建立目標(biāo)函數(shù)④求取值范圍根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,利用基本不等式求解最值,從而確定其取值范圍【解析】(1)OT2=ET·TF=QUOTEa·QUOTEa=QUOTE,a2=6,b2=OE2=OT2+ET2=2,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)由QUOTE得,(3k2+1)x2+6kmx+3m2因?yàn)橹本€(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C相切于點(diǎn)P,所以Δ=(6km)24(3k2+1)(3m26)=12(6k2+2m2)=0,即m2=6k2+2,解得x=QUOTE,y=QUOTE,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為QUOTE,因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限,所以k>0,m>0,所以m=QUOTE,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為QUOTE,設(shè)直線(xiàn)l′與l垂直交于點(diǎn)Q,則|PQ|是點(diǎn)P到直線(xiàn)l′的距離,設(shè)直線(xiàn)l′的方程為y=QUOTEx,則|PQ|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以S△PAB=QUOTE×4QUOTE×|PQ|=QUOTE≤QUOTE=QUOTE=4QUOTE4,當(dāng)且僅當(dāng)3k2=QUOTE,即k2=QUOTE時(shí),取得最大值4QUOTE4,所以△PAB面積的取值范圍為(0,4QUOTE4].1.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的焦距為2QUOTE,且C與y軸交于A(0,1),B(0,1)兩點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)P點(diǎn)是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且在y軸的右側(cè),直線(xiàn)PA,PB與直線(xiàn)x=3交于M,N兩點(diǎn).若以MN為直徑的圓與x軸交于E,F兩點(diǎn),求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【解析】(1)由題意可得,b=1,c=QUOTE,所以a=2,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為QUOTE+y2=1.(2)方法一:設(shè)P(x0,y0)(0<x0≤2),A(0,1),B(0,1),所以kPA=QUOTE,直線(xiàn)PA的方程為y=QUOTEx1,同理得直線(xiàn)PB的方程為y=QUOTEx+1,直線(xiàn)PA與直線(xiàn)x=3的交點(diǎn)為MQUOTE,直線(xiàn)PB與直線(xiàn)x=3的交點(diǎn)為NQUOTE,線(xiàn)段MN的中點(diǎn)QUOTE,所以圓的方程為(x3)2+QUOTE=QUOTE.令y=0,則(x3)2+QUOTE=QUOTE,因?yàn)镼UOTE+QUOTE=1,所以(x3)2=QUOTEQUOTE,因?yàn)檫@個(gè)圓與x軸相交,所以該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則QUOTEQUOTE>0,又0<x0≤2,解得x0∈QUOTE.方法二:由題意設(shè)直線(xiàn)AP的方程為y=k1x1(k1>0),與橢圓x2+4y2=4聯(lián)立得:(1+4QUOTE)x28k1x=0,xP=QUOTE,同理設(shè)直線(xiàn)BP的方程為y=k2x+1,可得xP=QUOTE,由QUOTE=QUOTE,可得4k1k2=1,所以M(3,3k11),N(3,3k2+1),MN的中點(diǎn)為QUOTE,所以以MN為直徑的圓為(x3)2+QUOTE=QUOTE.當(dāng)y=0時(shí),(x3)2+QUOTE=QUOTE,所以(x3)2=QUOTE,因?yàn)镸N為直徑的圓與x軸交于E,F兩點(diǎn),所以QUOTE>0,代入4k1k2=1得:QUOTE<0,所以QUOTE<k1<QUOTE,所以xP=QUOTE=QUOTE在QUOTE單調(diào)遞增,在QUOTE單調(diào)遞減,所以xp∈QUOTE.2.(2019·焦作模擬)已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1與直線(xiàn)l1交于A,B兩點(diǎn),l1不與x軸垂直,圓M:x2+y26y+8=0.(1)若點(diǎn)P在橢圓C上,點(diǎn)Q在圓M上,求|PQ|的最大值.(2)若過(guò)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)E且垂直于AB的直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)QUOTE,求直線(xiàn)l1的斜率的取值范圍.【解析】(1)依題意,圓M:x2+y26y+8=0,即圓M:x2+(y3)2=1,圓心為M(0,3).所以|PQ|≤|PM|+1.設(shè)P(x,y),則|PM|2=x2+(y3)2=x2+y26y+9.(*)而QUOTE+QUOTE=1,所以x2=4QUOTE.代入(*)中,可得|PM|2=4QUOTE+y26y+9=QUOTE6y+13,y∈[QUOTE,QUOTE].所以|PMQUOTE=12+6QUOTE,即|PM|max=3+QUOTE,所以|PQ|max=4+QUOTE.(2)依題意,設(shè)直線(xiàn)l1:y=kx+m.由QUOTE消去y整理得(3+4k2)x2+8mkx+4m2因?yàn)橹本€(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),所以Δ=64m2k24(3+4k2)(4m整理得m2<4k2+3.①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE.設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x0,y0),則x0=QUOTE,所以y0=kx0+m=QUOTE+m=QUOTE,所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為QUOTE.所以直線(xiàn)l2的斜率為k′=QUOTE=QUOTE.又直線(xiàn)l1和直線(xiàn)l2垂直,則QUOTE·k=1,所以m=QUOTE.將m=QUOTE代入①式,可得QUOTE<4k2+3.解得k>QUOTE或k<QUOTE.所以直線(xiàn)l1的斜率的取值范圍為QUOTE∪QUOTE.1.(2020·南昌模擬)已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,短軸長(zhǎng)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若kOM·kON=QUOTE,求原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離的取值范圍.【解析】(1)由題知e=QUOTE=QUOTE,2b=2,又a2=b2+c2,所以b=1,a=2,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為QUOTE+y2=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立方程QUOTE得(4k2+1)x2+8kmx+4m2依題意,Δ=(8km)24(4k2+1)(4m2化簡(jiǎn)得m2<4k2+1,①x1+x2=QUOTE,x1x2=QUOTE,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOM·kON=QUOTE,則QUOTE=QUOTE,即4y1y2=5x1x2,所以(4k25)x1x2+4km(x1+x2)+4m2所以(4k25)·QUOTE+4km·QUOTE+4m2=0,即(4k25)(m21)8k2m2+m2(4k化簡(jiǎn)得m2+k2=QUOTE②,由①②得0≤m2<QUOTE,QUOTE<k2≤QUOTE.因?yàn)樵c(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d=QUOTE,所以d2=QUOTE=QUOTE=1+QUOTE,又QUOTE<k2≤QUOTE,所以0≤d2<QUOTE,所以原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離的取值范圍是QUOTE.2.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率是QUOTE,且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若直線(xiàn)l1:x+2y2=0與圓D:x2+y26x4y+m=0相切.(ⅰ)求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程.(ⅱ)若直線(xiàn)l2過(guò)定點(diǎn)(3,0),與橢圓C交于不同的