重難點(diǎn)14數(shù)列通項(xiàng)公式的求法（遞推法做差法）原卷版

重難點(diǎn)14數(shù)列通項(xiàng)公式的求法（遞推法、做差法）命題規(guī)律與備考策略命題規(guī)律與備考策略數(shù)列是高考考查熱點(diǎn)之一，其中等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式，以及與等差、等比數(shù)列有關(guān)的錯(cuò)位相消求和及裂項(xiàng)相消求和，是考查的重點(diǎn)．作為數(shù)列綜合題，常和充要條件、方程、不等式、函數(shù)等結(jié)合，涉及到恒成立，存在，最值，解不等式或者證明不等式等，對(duì)于基礎(chǔ)能力和基礎(chǔ)運(yùn)算要求較高．題型方法考法1：遞推法題型方法一．解答題（共21小題）1．（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，當(dāng)時(shí)，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足且，的前項(xiàng)和為，證明：．3．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列，滿足，，．（1）求證：是常數(shù)列；（2）設(shè)，，求的最大項(xiàng)．4．（2023?賈汪區(qū)校級(jí)模擬）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，記的前項(xiàng)和為，證明：．5．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若不等式對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．（2023?濠江區(qū)校級(jí)三模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則稱(chēng)是“緊密數(shù)列”．（1）若，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列前項(xiàng)和為，判斷是否是“緊密數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)數(shù)列是公比為的等比數(shù)列．若數(shù)列與都是“緊密數(shù)列”，求的取值范圍．7．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)數(shù)列，，在與之間插入個(gè)，組成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和．8．（2023?棗莊二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．（1）證明：為等比數(shù)列；（2）已知為的前項(xiàng)和，求．9．（2023?南京模擬）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足：，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，證明：是等差數(shù)列．10．（2023?廣陵區(qū)校級(jí)模擬）若數(shù)列滿足，則稱(chēng)數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”．已知數(shù)列中，，點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，其中為正整數(shù)，（1）證明：數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)，，定義，且記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．11．（2023?遼寧模擬）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）能否從中選出以為首項(xiàng)，以原次序組成等比數(shù)列．若能，請(qǐng)找出使得公比最小的一組，寫(xiě)出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．12．（2023?南京二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：．13．（2023?皇姑區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿足，．（1）計(jì)算：，，，，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；（2）若，，求的取值范圍．14．（2023?麒麟?yún)^(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿足，．記．（Ⅰ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求數(shù)列的前20項(xiàng)的和．15．（2023?皇姑區(qū)四模）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，且，．（Ⅰ）是否存在常數(shù)，使得？請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅱ）若為等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．16．（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意，且當(dāng)時(shí)，總有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（2023?洪山區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和記為，，且，其中為常數(shù)．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，求；（2）若，求數(shù)列的前20項(xiàng)和．18．（2023?南關(guān)區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若對(duì)任意正整數(shù)，均有，求實(shí)數(shù)的最大值．19．（2023?宜章縣二模）馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈馬爾可夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，次狀態(tài)是“沒(méi)有任何關(guān)系的”．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個(gè)紅球和1個(gè)黑球．從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個(gè)數(shù)為，甲盒中恰有1個(gè)黑球的概率為，恰有2個(gè)黑球的概率為．（1）求的分布列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）求的期望．20．（2023?恩施市校級(jí)模擬）已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，且，，，數(shù)列滿足，．（1）求，，；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（2023?大興區(qū)校級(jí)模擬）若有窮數(shù)列，，，，滿足，2，，，則稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列．（Ⅰ）判斷下列數(shù)列是否為數(shù)列，并說(shuō)明理由；①1，2，4，3；②4，2，8，1．（Ⅱ）已知數(shù)列，，，，其中，，求的最小值；（Ⅲ）已知數(shù)列是1，2，，的一個(gè)排列．若，求的所有取值．考法2：做差法一．解答題（共12小題）1．（2023?臨泉縣校級(jí)三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列（2）若，，求的最小值．2．（2023??？谀M）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)為實(shí)數(shù)，且對(duì)任意，總有，求的最小值．3．（2023?廣州一模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求，并證明數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若，求正整數(shù)的所有取值．4．（2023?碑林區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意的有．（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．5．（2023?福田區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，，當(dāng)時(shí)，滿足．（1）求；（2）求．6．（2023?云南模擬）正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知．（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出，；（2）若，求數(shù)列的前2023項(xiàng)和．7．（2023?全國(guó)二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．8．（2023?武功縣校級(jí)模擬）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求．9．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．（1）求，并證明是等差數(shù)列；（2）求．10．（2023?烏魯木齊二模）若數(shù)列的前項(xiàng)和滿足．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．11．（2023?安徽模擬）已知數(shù)列的各