滬教版九年級數(shù)學(xué)下冊同步練習(xí) 27.6正多邊形與圓（分層練習(xí)）（原卷版+解析）

27.6正多邊形與圓（分層練習(xí)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023秋·九年級單元測試）下列命題中，真命題是（

）A．正六邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形B．正六邊形的每一個外角都等于中心角C．正六邊形每條對角線都相等D．正六邊形的邊心距等于邊長的一半2．(2023秋·上海·九年級?？计谥校┮阎粋€正多邊形的中心角為45°，則以該正多邊形的頂點為頂點的等腰三角形的種類數(shù)（全等的三角形為同一類）是（）A．1 B．2 C．3 D．43．(2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，正確的是（

）A．正多邊形都是中心對稱圖形 B．正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑C．邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長都相等 D．各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形二、填空題4．(2023·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的中心角為____5．(2023秋·九年級單元測試）正十邊形的中心角等于______度．6．(2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）正八邊形的中心角等于______度7．(2023秋·九年級單元測試）已知正六邊形的邊長為，那么它的邊心距等于__________．8．(2023秋·九年級單元測試）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為______．9．(2023春·上?！ぞ拍昙壣贤飧街行？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)方向至的位置，則圖中陰影部分的面積為___________（結(jié)果保留）10．(2023秋·九年級單元測試）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=_______．11．(2023秋·九年級單元測試）中心角為60°的正多邊形有_____條對稱軸．12．(2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）若正四邊形的半徑是1，則它的邊長是________．13．(2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，半徑為2的⊙O與正六邊形ABCDEF相切于點C，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為____．14．(2023秋·九年級單元測試）正六邊形的邊心距與半徑的比值為_______．15．(2023秋·九年級單元測試）半徑為6cm的扇形的圓心角所對的弧長為cm，這個圓心角______度．16．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，圓內(nèi)接正方形的邊長與外切正方形的邊長之比是_______________．17．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．18．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D為一個正多邊形的相鄰四個頂點，點O為正多邊形的中心，若，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有______條對角線．19．(2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是_______．20．(2023秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤羯刃蔚陌霃綖?cm，圓心角為120°，則這個扇形的面積為__________cm2．【能力提升】一、單選題1．(2023秋·九年級單元測試）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．無法確定2．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如果正十邊形的邊長為a，那么它的半徑是（）A． B． C． D．二、填空題3．(2023秋·上海徐匯·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將正六邊形ABCDEF放在平面直角坐標(biāo)系中，中心與坐標(biāo)原點重合，若點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點C的坐標(biāo)為__________________．4．(2023秋·上海閔行·九年級校考期中）我們規(guī)定：一個正n邊形（n為整數(shù)，n≥4）的最短對角線與最長對角線長度的比值叫做這個正n邊形的“特征值”，記為λn，那么λ6=____．5．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為______．6．(2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知正三角形ABC外接圓的半徑為2，那么正三角形ABC的面積為______________．7．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）若圓內(nèi)接正方形的邊心距為3，則這個圓內(nèi)接正三角形的邊長為_____．8．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）一個邊長為的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的倍，則這個正多邊形的半徑_______．9．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，邊長為1的菱形的兩個頂點、恰好落在扇形的上時，若∠BAD=120°，的長度等于__________（結(jié)果保留）．10．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知正六邊形的外接圓的半徑是5cm，則該正六邊形的邊長是____11．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，分別為的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正三角形的邊，是圓內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為_______________________．12．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為1，作兩條互相垂直的直徑AB、CD，弦AC是⊙O的內(nèi)接正四邊形的一條邊．若以A為圓心，以1為半徑畫弧，交⊙O于點E，F(xiàn)，連接AE、CE，弦EC是該圓內(nèi)接正n邊形的一邊，則該正n邊形的面積為____．13．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點F為BC上一點，連接AF，若∠AFC＝126°，則∠BAF的度數(shù)為_____．14．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知正三角形的弦心距為a，那么的周長是________.（用含a的式子表示）．15．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”，已知圓的半徑長為，這個圓的一個聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長為的菱形，那么這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是________．16．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）門環(huán)，在中國綿延了數(shù)千多年的，集實用、裝飾和門第等級為一體的一種古建筑構(gòu)件，也成為中國古建“門文化”中的一部分，現(xiàn)有一個門環(huán)的示意圖如圖所示．圖中以正六邊形ABCDEF的對角線AC的中點O為圓心，OB為半徑作⊙O，AQ切⊙O于點P，并交DE于點Q，若AQ=12cm，則（1）sin∠CAB=_____；（2）該圓的半徑為_____cm．17．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如果正n邊形的中心角為2α，邊長為5，那么它的邊心距為_____．（用銳角α的三角比表示）三、解答題18．(2023·上海金山·二模）如圖，是一個地下排水管的橫截面圖，已知⊙O的半徑OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中點到弦AB的距離）．求：（1）水面的寬度AB．（2）橫截面浸沒在水中的的長（結(jié)果保留π）．19．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）已知，如圖，AB為的直徑，，BC交于點D，AC交于點E，．(1)求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若圓O的半徑為，求弦BD與圍成的弓形的面積．20．(2023春·上海虹口·九年級?？计谀┤鐖D，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點（點P與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．(1)求∠APC和∠BPC的度數(shù)；(2)求證：△ACM≌△BCP；(3)若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積；(4)在（3）的條件下，求的長度．21．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）在下列正多邊形中，是中心，定義：為相應(yīng)正多邊形的基本三角形．如圖1，是正三角形的基本三角形；如圖2，是正方形的基本三角形；如圖3，為正邊形…的基本三角形．將基本繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度得．（1）若線段與線段相交點，則：圖1中的取值范圍是________；圖3中的取值范圍是________；（2）在圖1中，求證（3）在圖2中，正方形邊長為4，，邊上的一點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，若有最小值時，求出該最小值及此時的長度；（4）如圖3，當(dāng)時，直接寫出的值．22．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，已知圓O是正六邊形ABCDEF外接圓，直徑BE=8，點G、H分別在射線CD、EF上（點G不與點C、D重合），且∠GBH=60°，設(shè)CG=x，EH=y．（1）如圖①，當(dāng)直線BG經(jīng)過弧CD的中點Q時，求∠CBG的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點G在邊CD上時，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）聯(lián)結(jié)AH、EG，如果△AFH與△DEG相似，求CG的長．27.6正多邊形與圓（分層練習(xí)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．(2023秋·九年級單元測試）下列命題中，真命題是（

）A．正六邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形B．正六邊形的每一個外角都等于中心角C．正六邊形每條對角線都相等D．正六邊形的邊心距等于邊長的一半答案:B分析：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)判定即可．【詳解】解：A、正六邊形是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，假命題，故此選項不符合題意；B、正六邊形的每一個外角都等于中心角，真命題，故此選項符合題意；C、正六邊形每條對角線都相等，假命題，故此選項不符合題意；D、正六邊形的邊心距等于邊長的一半，假命題，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查判定命題真假，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．(2023秋·上海·九年級?？计谥校┮阎粋€正多邊形的中心角為45°，則以該正多邊形的頂點為頂點的等腰三角形的種類數(shù)（全等的三角形為同一類）是（）A．1 B．2 C．3 D．4答案:C分析：根據(jù)中心角的度數(shù)可求出圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)等腰三角形的定義和正八邊形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵一個正多邊形的中心角為45°，∴這個正多邊形的邊數(shù)為8，如圖，以正八邊形的頂點為頂點的等腰三角形（全等的三角形為同一類）有△ABC，△ACF，△ACG共3個，故選：C．【點睛】本題考查正多邊形與圓，等腰三角形的判定，掌握正多邊形與圓的相關(guān)計算以及等腰三角形的判定是正確解答的前提．3．(2023·上海楊浦·統(tǒng)考二模）下列命題中，正確的是（

）A．正多邊形都是中心對稱圖形 B．正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑C．邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長都相等 D．各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形答案:B分析：根據(jù)正多邊形的性質(zhì)、正多邊形的對角線、正多邊形的概念判斷即可．【詳解】解：A、邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形都是中心對稱圖形，邊數(shù)是奇數(shù)的正多邊形不是中心對稱圖形，故本選項說法錯誤，不符合題意；B、正六邊形的邊長等于其外接圓的半徑，本選項說法正確，符合題意；C、邊數(shù)大于3的正多邊形的對角線長不都相等，可以以正八邊形為例得出對角線長不都相等，故本選項說法錯誤，不符合題意；D、各邊相等的圓外切多邊形不一定是正多邊形，例如，圓外切菱形邊數(shù)正多邊形，故本選項說法錯誤，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．二、填空題4．(2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）一個正多邊形的每個外角都等于30°，那么這個正多邊形的中心角為____答案:30°．分析：正多邊形的一個外角與正多邊形的中心角的度數(shù)相等，據(jù)此即可求解．【詳解】解：正多邊形的一個外角等于30°，則中心角的度數(shù)是30°．故答案為：30°．5．(2023秋·九年級單元測試）正十邊形的中心角等于______度．答案:分析：根據(jù)正多邊形的中心角的定義即可求解．【詳解】正十邊形的中心角等于360°÷10=°故答案為：36．【點睛】此題主要考查中心角，解題的關(guān)鍵是熟知正n邊形的中心角等于．6．(2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）正八邊形的中心角等于______度答案:45分析：已知該多邊形為正八邊形，代入中心角公式即可得出．【詳解】∵該多邊形為正八邊形，故n=8∴故答案為：45．【點睛】本題考查了正多邊形的中心角，把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，正n邊形的每個中心角都等于．7．(2023秋·九年級單元測試）已知正六邊形的邊長為，那么它的邊心距等于__________．答案:分析：已知正六邊形的邊長為6，欲求邊心距，可通過邊心距、邊長的一半和內(nèi)接圓半徑構(gòu)造直角三角形，通過解直角三角形求出邊心距．【詳解】解：如圖，在正六邊形中，邊長AB=6cm，O為正六邊形的中心，過點O作OG⊥AB于點G，連接OA、OB，根據(jù)題意得：∠AOB=360°÷6=60°，OA=OB，∴△AOB為等邊三角形，∴AG=BG=3，OA=OB=AB=6cm，在中，，即它的邊心距等于cm．故答案為：【點睛】此題主要考查正多邊形的計算問題，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形.8．(2023秋·九年級單元測試）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為______．答案:分析：根據(jù)圓的半徑為3，過圓心作于點，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形，連接，得是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得；根據(jù)勾股定理，求出；得的面積，根據(jù)圓的內(nèi)接正六邊形的面積等于6個的面積，即可．【詳解】如圖：連接，∴是等腰三角形∵正多邊形的中心角為：∴是等邊三角形過圓心作于點∴∵∴∴在直角三角形中，∴∴∴∴正六邊形的面積為：．故答案為：．【點睛】本題考查圓內(nèi)接正多邊形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接正多邊形中心角的計算，等邊三角形的判定和性質(zhì)．9．(2023春·上海·九年級上外附中?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，將繞頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)方向至的位置，則圖中陰影部分的面積為___________（結(jié)果保留）答案:分析：根據(jù)勾股定理求出，分別求出扇形的面積、扇形的面積,根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得的面積等于的面積，即可求出答案．【詳解】在中，，扇形的面積為：，扇形的面積為：．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得的面積等于的面積，故==．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理、扇形的面積計算等知識點，能分別求出每部分的面積是解此題的關(guān)鍵．10．(2023秋·九年級單元測試）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n=_______．答案:12分析：連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計算⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOC=90°，∠AOB=120°，則∠BOC=30°，然后計算即可得到n的值．【詳解】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AC，AB分別為⊙O的內(nèi)接正方形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOC==90°，∠AOB==120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，∴n==12，即BC恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故答案為：12．【點睛】本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓；熟練掌握正多邊形的有關(guān)概念．11．(2023秋·九年級單元測試）中心角為60°的正多邊形有_____條對稱軸．答案:分析：用除以中心角的度數(shù)即可求得多邊形的邊數(shù)，然后根據(jù)正邊形有條對稱軸即可求解．【詳解】解：正多邊形的邊數(shù)是，正六邊形有條對稱軸，故答案是：．【點睛】本題考查了多邊形的計算以及正多邊形的性質(zhì)，理解正邊形有條對稱軸是解決問題的關(guān)鍵．12．(2023·上海徐匯·位育中學(xué)?？寄M預(yù)測）若正四邊形的半徑是1，則它的邊長是________．答案:分析：利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及勾股定理計算即可得到答案．【詳解】解：如圖：根據(jù)題意得：OA＝OB＝1，∵四邊形ABCD是正四邊形，∴∠AOB＝90°，∴AB．即它的邊長是：．故答案為：．【點睛】此題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(2023·上海·一模）如圖，半徑為2的⊙O與正六邊形ABCDEF相切于點C，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為____．答案:分析：連接OF，OC，過點O作于點H，交FC于點P，在四邊形OCDH中，可求出，在四邊形OFEH中，可求出，由題意得OP垂直平分FC，在中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得OP=1，根據(jù)勾股定理得，則，過點D作，過點E作，根據(jù)角之間的關(guān)系可得，則，，則，，又因為是正六邊形，所以，即可得，根據(jù)勾股定理可得，則，用多邊形OFEDC的面積減去扇形OFC的面積即可得陰影部分的面積．【詳解】解：連接OF，OC，過點O作于點H，交FC于點P，在四邊形OCDH中，，，，∴，，∴，在四邊形OFEH中，，，，∴，，∴，∵OC=OF，∴OP垂直平分FC，在中，，，OC=2，∴，∴，，∴，過點D作，過點E作，∴，∵，，，∴,同理可得，，在中，，∴，在中，，∴，∴，∵EF=DE=CD=NM，∴，，∴，則，∴，，∴陰影部分的面積=，故答案為：．【點睛】本題考查了多邊形與圓，扇形的面積，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點和求出正多邊形的邊長．14．(2023秋·九年級單元測試）正六邊形的邊心距與半徑的比值為_______．答案:分析：設(shè)正六邊形的半徑是r，由正六邊形的內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，因而是r，計算比值即可．【詳解】解：設(shè)正六邊形的半徑是r，則外接圓的半徑r，內(nèi)切圓的半徑是正六邊形的邊心距，如上圖所示，內(nèi)切圓半徑=，因而是r，則可知正六邊形的邊心距與半徑的比值為．【點睛】本題考查正多邊形的邊心距與內(nèi)接圓的半徑之間的關(guān)系，搞清正多邊形內(nèi)接圓與正多邊形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．15．(2023秋·九年級單元測試）半徑為6cm的扇形的圓心角所對的弧長為cm，這個圓心角______度．答案:60分析：根據(jù)弧長公式求解即可．【詳解】解：，解得，，故答案為：60．【點睛】本題考查了弧長公式，靈活應(yīng)用弧長公式是解題的關(guān)鍵.16．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，圓內(nèi)接正方形的邊長與外切正方形的邊長之比是_______________．答案:1：分析：根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)圓的半徑為R，分別用R表示出圓的內(nèi)接正方形和外切正方形的邊長，再求出其比值即可．【詳解】解：如圖，∵圓的半徑為R，∴CD＝ODR，∴內(nèi)接正方形的邊長為R，AB＝OB＝R，∴外切正方形的邊長為2R，∴圓的內(nèi)接正方形和外切正方形的邊長比為：1：，故答案為：1：．【點睛】本題考查的是正多邊形和圓的關(guān)系，掌握正多邊形的性質(zhì)、正多邊形的中心角的計算方法是解題的關(guān)鍵．17．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．答案:．分析：由六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，可以得到中間正六邊形的邊長為1，做輔助線以后，得到△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形與等邊三角形的性質(zhì)求出邊長，求出面積之和即可．【詳解】解：如圖所示，連接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六邊形ABCDEF中，∵直角三角板的最短邊為1，∴正六邊形ABCDEF為1，∴△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120?，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30?，∴BG=DI=FH=，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=，∴AC=AE=CE=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案為：．【點睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、正多邊形形與圓以及等邊三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于知識點：在直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半的應(yīng)用．18．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，A，B，C，D為一個正多邊形的相鄰四個頂點，點O為正多邊形的中心，若，則從該正多邊形的一個頂點出發(fā)共有______條對角線．答案:7分析：連接、，根據(jù)圓周角定理得到，即可得出該圖形是正幾邊形，即可得出從一個頂點出發(fā)對角線的數(shù)量．【詳解】解：連接、，點、、、在以為圓心，為半徑的同一個圓上，根據(jù)圓周角定理，，，即該多邊形為正十邊形，從一個定點出發(fā)，除去自身與相鄰的兩個點，共可作條對角線，故答案為：7．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理；知道正多邊形與圓的位置特點解決本題的關(guān)鍵．19．(2023·上海松江·統(tǒng)考二模）如果一個正多邊形的中心角為72°，那么這個正多邊形的邊數(shù)是_______．答案:5【詳解】解：中心角的度數(shù)=，，，故答案為：5．20．(2023秋·上?！ぞ拍昙壭？计谥校┤羯刃蔚陌霃綖?cm，圓心角為120°，則這個扇形的面積為__________cm2．答案:．【詳解】試題分析：扇形的面積=cm2．故答案為3π．考點：扇形面積的計算．【能力提升】一、單選題1．(2023秋·九年級單元測試）如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，那么這個正多邊形的邊數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．無法確定答案:B分析：如圖，畫出簡圖，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCA=90°，根據(jù)∠AOC的余弦可得∠AOC=45°，即可得出此多邊形的中心角為90°，即可求出多邊形的邊數(shù)．【詳解】如圖，OA、OC分別為此多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，AB為邊長，∴OC⊥AB，∴∠OCA=90°，∵外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的倍，∴cos∠AOC==，∴∠AOC=45°，∴∠AOB=90°，即此多邊形的中心角為90°，∴此多邊形的邊數(shù)=360°÷90°=4，故選：B．【點睛】本題考查正多邊形和圓及三角函數(shù)的定義，熟練掌握余弦的定義并熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．2．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如果正十邊形的邊長為a，那么它的半徑是（）A． B． C． D．答案:C分析：如圖，畫出圖形，在直角三角形OAM中，直接利用三角函數(shù)即可得到OA.【詳解】如圖，正十邊形的中心角∠AOB=360°÷10=36°，AB=a∴∠AOM=∠BOM=18°，AM=MB=a；∴OA==故選C.【點睛】本題考查三角函數(shù)，能夠畫出圖形，找到正確的三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.二、填空題3．(2023秋·上海徐匯·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將正六邊形ABCDEF放在平面直角坐標(biāo)系中，中心與坐標(biāo)原點重合，若點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），則點C的坐標(biāo)為__________________．答案:（，-）分析：連接OC，由于正六邊形的中心角是60°，則△COD是等邊三角形，OC=1，設(shè)BC交y軸于G，那么∠GOC=30°，然后解Rt△GOC，求出GC與OG的值，進(jìn)而得到點C的坐標(biāo)．【詳解】解：連接OC．∵∠COD==60°，OC=OD，∴△COD是等邊三角形，∴OC=OD=1．設(shè)BC交y軸于G，則∠GOC=30°．在Rt△GOC中，∵∠GOC=30°，OC=1，∴GC=，OG=．∴C（，-）．故答案為：（，-）．【點睛】本題考查了正六邊形和圓，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，含30°直角三角形性質(zhì)，難度適中．得出OC=1，∠GOC=30°是解題的關(guān)鍵．4．(2023秋·上海閔行·九年級?？计谥校┪覀円?guī)定：一個正n邊形（n為整數(shù)，n≥4）的最短對角線與最長對角線長度的比值叫做這個正n邊形的“特征值”，記為λn，那么λ6=____．答案:【詳解】解：如圖，正六邊形ABCDEF中，對角線BE、CF交于點O，連接EC．易知BE是正六邊形最長的對角線，EC的正六邊形的最短的對角線，∵△OBC是等邊三角形∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，∵OE=OC∴∠OEC=∠OCE，∵∠BOC=∠OEC+∠OCE∴∠OEC=∠OCE=30°∴∠BCE=90°，∴△BEC是直角三角形∴=cos30°=，∴λ6=.考點：1.正多邊形與圓；2.等邊三角形的性質(zhì)；3.銳角三角函數(shù)5．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為______．答案:分析：首先根據(jù)題意作出圖形，然后由垂徑定理，可得BD=∠BOC=∠A，再利用三角函數(shù)求得BD的長，繼而求得答案．【詳解】解：如圖：△ABC是等邊三角形，過點O作OD⊥BC于D，連接OB，OC，∴BD=CD=BC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴∠BOD=∠BOC=60°，∵半徑為4，∴OB=4，∴，∴BC=2BD=，即直徑為4的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為：．故答案為：．【點睛】此題考查了正多邊形和圓的性質(zhì)、垂徑定理以及三角函數(shù)等知識．注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．(2023·上海松江·統(tǒng)考二模）已知正三角形ABC外接圓的半徑為2，那么正三角形ABC的面積為______________．答案:．分析：根據(jù)題意作出圖形，構(gòu)造直角三角形求得三角形的邊長即可求得本題的答案．【詳解】解：如圖所示：連接、、，過作于，正三角形外接圓的半徑為2，，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查的是正三角形的性質(zhì)、邊心距、半徑、面積的計算；熟練掌握正三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．7．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）若圓內(nèi)接正方形的邊心距為3，則這個圓內(nèi)接正三角形的邊長為_____．答案:分析：明確正方形外接圓直徑為正方形的對角線長，求出對角線長即可求得其外接圓的半徑，然后再求內(nèi)接正三角形的邊長即可．【詳解】解：正方形外接圓直徑為正方形的對角線長．∵正方形邊長為6，∴正方形的對角線長為，外接圓半徑為．如圖所示：作OD⊥BC于D，連接OB，則∠BOD=60°，在Rt△BOD中，OB=，∠OBD=30°，∴BD=cos30°×OB=．∵BD=CD，∴BC=2BD=．故答案為：．【點睛】本題考查了正多邊形和圓，熟知等邊三角形及正方形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．8．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）一個邊長為的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的倍，則這個正多邊形的半徑_______．答案:分析：先求出正多邊形邊數(shù)為6，再根據(jù)正六邊形性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n，由題意得，解得n=6∴正多邊形為正六邊形，∵邊長為4的正六邊形可以分成六個邊長為4的正三角形，∴該正多邊形的半徑等于4．故答案為：4【點睛】本題考查了正多邊形的相關(guān)概念，和正六邊形的性質(zhì)，熟知相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．9．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，邊長為1的菱形的兩個頂點、恰好落在扇形的上時，若∠BAD=120°，的長度等于__________（結(jié)果保留）．答案:分析：B，C兩點恰好落在扇形AEF的上，即B、C在同一個圓上，連接AC，易證△ABC是等邊三角形，即可求得的圓心角的度數(shù)，然后利用弧長公式即可求解．【詳解】解：如圖，連接AC，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴，∵在菱形中，，∴為等邊三角形，∴，∴的長．【點睛】本題考查了弧長公式，理解B，C兩點恰好落在扇形AEF的弧EF上，即B、C在同一個圓上，得到△ABC是等邊三角形是關(guān)鍵．10．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知正六邊形的外接圓的半徑是5cm，則該正六邊形的邊長是____答案:5cm．分析：如圖，求出圓心角∠AOB=60°，得到△OAB為等邊三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，AB為⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊；則∠AOB==60°，∵OA=OB，∴△OAB為等邊三角形，∴AB=OA=5（cm）．故答案為5cm．【點睛】該題主要考查了正多邊形和圓的有關(guān)計算；解題的關(guān)鍵是計算出中心角的度數(shù)．11．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，分別為的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正三角形的邊，是圓內(nèi)接正邊形的一邊，則的值為_______________________．答案:分析：根據(jù)正方形以及正三邊形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，即可得出n的值．【詳解】解：如圖所示，連接AO，BO，CO．∵AB、AC分別為⊙O的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正三邊形的一邊，∴，，∴，∴，故答案為：12．【點睛】此題主要考查了正多邊形和圓的性質(zhì)，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．12．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為1，作兩條互相垂直的直徑AB、CD，弦AC是⊙O的內(nèi)接正四邊形的一條邊．若以A為圓心，以1為半徑畫弧，交⊙O于點E，F(xiàn)，連接AE、CE，弦EC是該圓內(nèi)接正n邊形的一邊，則該正n邊形的面積為____．答案:3分析：利用正多邊形和圓的關(guān)系可知弦EC是該圓內(nèi)接正十二邊形的一邊，所以∠EOC=30°，然后計算出△EOC的面積，最后乘以12即為該多邊形的面積．【詳解】解：如圖所示，連接EO，作EF⊥CO交CO于點F由題意可得n=12∴∠EOC=30°∴EF=EO=∴S△EOC===∴該正12邊形的面積=12S△EOC=3故答案為：3【點睛】本題主要考查圓的內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．13．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點F為BC上一點，連接AF，若∠AFC＝126°，則∠BAF的度數(shù)為_____．答案:18°．分析：根據(jù)正五邊形內(nèi)角和可以求出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求出∠BAF的度數(shù)．【詳解】解：∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠ABC==108°，∵∠AFC=126°，∴∠BAF=∠AFC﹣∠ABF=126°﹣108°=18°．故答案為：18°．【點睛】本題考查了正多邊形和圓、多邊形內(nèi)角與外角，三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正多邊形內(nèi)角和定理．14．(2023·上海·九年級專題練習(xí)）已知正三角形的弦心距為a，那么的周長是________.（用含a的式子表示）．答案:分析：根據(jù)題意畫出圖形，再利用角的正切得到，由垂徑定理得到，進(jìn)而可得周長．【詳解】如圖，由題意得，∴，∴，由垂徑定理得，，∴的周長是，故答案為：．【點睛】本題考查的是正三角形的性質(zhì)、邊心距、半徑、周長和面積的計算；熟練掌握正三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．15．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的“聯(lián)絡(luò)四邊形”，已知圓的半徑長為，這個圓的一個聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長為的菱形，那么這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是________．答案:1分析：此題應(yīng)根據(jù)題意先找到圓心位置，再根據(jù)圓心位置求出不在圓上的頂點到該圓圓心的距離即可．【詳解】根據(jù)題意作圖可分兩種情況：1如圖：作，BC=，BO=5，∵A，B，C在圓O上，∴BP=（垂徑定理），又，∴OP===；因為ABCD是菱形，∴ACBD，即∠BQC=90°，在△BOP與△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∵BQ>BO，∴此情況不符合題意，舍去；2，如圖，同理可得OP=，在△BOP與△BQC中，，∴△BOP△BQC，∴，即，∴BQ=2，∴OQ=BO-BQ=3，∴OD===1，綜上所述，這個菱形不在圓上的頂點與圓心的距離是1．故答案是：1．【點睛】此題是新型概念的題型，實際是求點到圓心的距離的知識點，難度偏難．16．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）門環(huán)，在中國綿延了數(shù)千多年的，集實用、裝飾和門第等級為一體的一種古建筑構(gòu)件，也成為中國古建“門文化”中的一部分，現(xiàn)有一個門環(huán)的示意圖如圖所示．圖中以正六邊形ABCDEF的對角線AC的中點O為圓心，OB為半徑作⊙O，AQ切⊙O于點P，并交DE于點Q，若AQ=12cm，則（1）sin∠CAB=_____；（2）該圓的半徑為_____cm．答案:

分析：（1）連接OB，易證OB⊥AC，∠ACB=∠CAB=30°，利用銳角三角函數(shù)的定義可求解；（2）連接OP，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得OP⊥AQ，設(shè)該圓的半徑為r，可求sin∠PAO=，過Q作QG⊥AC于G，過D作DH⊥QG于H，則四邊形DHGC是矩形，可求sin∠PAO=，計算求解QG的長，進(jìn)而可得QH=12﹣2r，DH=，通過解直角三角形即可求解．【詳解】（1）連接OB，OP，∵AB=BC，O為AC的中點，∴OB⊥AC，∵∠ABC=120°，∴∠ACB=∠CAB=30°，∴sin∠CAB=sin30°=．故答案為：；（2）∵AQ是⊙O的切線，∴OP⊥AQ，設(shè)該圓的半徑為r，∴OB=OP=r，∵∠ACB=∠CAB=30°，∴AB=BC=CD=2r，AO=r，∴AC=r，∴sin∠PAO=，過Q作QG⊥AC于G，過D作DH⊥QG于H，則四邊形DHGC是矩形，∴HG=CD，DH=CG，∠HDC=90°，∴sin∠PAO=，∠QDH=120°﹣90°=30°，∴QG=12，∴AG=，∴QH=12﹣2r，DH=GC=AC-AG=，∴tan∠QDH=tan30°=，解得r=，∴該圓的半徑為（）cm．故答案為：．【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，圓周角定理，切線的性質(zhì)，正多邊形和圓等知識的綜合運(yùn)用．17．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如果正n邊形的中心角為2α，邊長為5，那么它的邊心距為_____．（用銳角α的三角比表示）答案:（或）【詳解】分析：根據(jù)正多邊形的邊數(shù)，確定正多邊形的中心角，然后構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)解直角三角形即可.詳解：如圖所示：∵正n邊形的中心角為2α，邊長為5，∵邊心距OD=（或），故答案為（或），點睛：此題主要考查了正多邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確確定正多邊形的中心角，夠造直角三角形.三、解答題18．(2023·上海金山·二模）如圖，是一個地下排水管的橫截面圖，已知⊙O的半徑OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中點到弦AB的距離）．求：（1）水面的寬度AB．（2）橫截面浸沒在水中的的長（結(jié)果保留π）．答案:（1）50cm；（2）cm分析：（1）過O作OH⊥AB于H，并延長交⊙O于D，根據(jù)圓的性質(zhì)，計算得OH，再根據(jù)勾股定理計算，即可得到答案；（2）連接OB，結(jié)合題意，根據(jù)含角的直角三角形性質(zhì)，得∠OAH＝30°，從而計算得∠AOB；再根據(jù)弧長公式計算，即可完成求解．【詳解】（1）過O作OH⊥AB于H，并延長交⊙O于D，∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm又∵OA＝OD＝50cm∴OH＝OD-HD＝25cm∴AH＝cm∴AB＝50cm；（2）連接OB，∵OA＝50cm，OH＝25cm，∴OH＝OA∵∠OHA＝90°∴∠OAH＝30°∴∠AOH＝60°∵OA＝OB，OH⊥AB∴∠BOH＝∠AOH＝60°∴∠AOB＝120°∴的長是：cm．【點睛】本題考查了圓、勾股定理、含角的直角三角形、弧長的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓、垂徑定理、勾股定理、弧長計算的性質(zhì)，從而完成求解．19．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）已知，如圖，AB為的直徑，，BC交于點D，AC交于點E，．(1)求的度數(shù)；(2)求證：；(3)若圓O的半徑為，求弦BD與圍成的弓形的面積．答案:（1）22.5°；（2）見解析；（3）分析：（1）由AB為⊙O的直徑，AB＝AC，∠BAC＝45°，即可求得∠ABE與∠ABC的度數(shù)，繼而求得∠EBC的度數(shù)；（2）首先連接AD，由圓周角定理可得，可得∠ADB＝90°，又由三線合一，即可證得BD＝DC；（3）首先連接OD，過點B作BH⊥OD于點H，易求得∠BOD的度數(shù)與△OBD的高，繼而求得答案．【詳解】解：（1）∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵∠BAC＝45°，AB＝AC，∴∠ABE＝45°，∠ABC＝∠C＝67.5°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝22.5°；（2）證明：連接AD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝DC；（3）連接OD，過點B作BH⊥OD于點H，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAC＝2∠BAD，∴∠BOD＝2∠BAD＝∠BAC＝45°，∴BH＝OH＝OB=×=1，∴弦BD與圍成的弓形的面積為：S扇形OBD-S△OBD＝．【點睛】此題考查了圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20．(2023春·上海虹口·九年級?？计谀┤鐖D，等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，P是上任一點（點P與點A、B重合），連接AP、BP，過點C作CM∥BP交PA的延長線于點M．(1)求∠APC和∠BPC的度數(shù)；(2)求證：△ACM≌△BCP；(3)若PA＝1，PB＝2，求四邊形PBCM的面積；(4)在（3）的條件下，求的長度．答案:(1)∠APC＝60°，∠BPC＝60°(2)見解析(3)(4)分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，根據(jù)圓周角定理即可得到∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，求得∠M=∠BPC=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠PAC+∠PCB=180°，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（3）作PH⊥CM于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=CP，AM=BP，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到PH，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（4）過點B作BQ⊥AP，交AP的延長線于點Q，過點A作AN⊥BC于點N，連接OB，求得∠PBQ=30°，得到PQ，根據(jù)勾股定理得到BQ和AN，根據(jù)弧長公式即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，∵，，∴∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°；（2）證明：∵CM∥BP，∴∠BPM+∠M=180°，∠PCM=∠BPC，∵∠BPC=∠BAC=60°，∴∠PCM=∠BPC=60°，∴∠M=180°-∠BPM=180°-（∠APC+∠BPC）=180°-120°=60°，∴∠M=∠BPC=60°，又∵A、P、B、C四點共圓，∴∠PAC+∠PCB=180°，∵∠MAC+∠PAC=180°，∴∠MAC=∠PBC，∵AC=BC，在△ACM和△BCP中，，∴△ACM≌△BCP（AAS）；（3）解：∵CM∥BP，∴四邊形PBCM為梯形，作PH⊥CM于H，∵△ACM≌△BCP，∴CM=CP，AM=BP，又∠M=60°，∴△PCM為等邊三角形，∴CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在Rt△PMH中，∠MPH=30°，∴PH=，∴S四邊形PBCM=（PB+CM）×PH=（2+3）×=；（4）解：過點B作BQ⊥AP，交AP的延長線于點Q，過點A作AN⊥BC于點N，連接OB，∵∠APC=∠BPC=60°，∴∠BPQ=60°，∴∠PBQ=30°，∴PQ=PB=1，在Rt△BPQ中，BQ=，在Rt△AQB中，AB=，∵△ABC為等邊三角形，∴AN經(jīng)過圓心O，∴BN=AB=，∴AN=，在Rt△BON中，設(shè)BO=x，則ON=?x，∴()2+(?x)2＝x2，解得：x=，∵∠BOA=∠BCA=120°，∴的長度為．【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．21．(2023·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）在下列正多邊形中，是中心，定義：為相應(yīng)正多邊形的基本三角形．如圖1，是正三角形的基本三角形；如圖2，是正方形的基本三角形；如圖3，為正邊形…的基本三角形．將基本繞點逆時針旋轉(zhuǎn)角度得．（1）若線段與線段相交點，則：圖1中的取值范圍是________；圖3中的取值范圍是________；（2）在圖1中，求證（3）在圖2中，正方形邊長為4，，邊上的一點旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，若有最小值時，求出該最小值及此時的長度；（4）如圖3，當(dāng)時，直接寫出的值．答案:（1），；（2）見解析；（3）最小值：，此時＝2+；（4）分析：（1）根據(jù)正多邊形的中心角的定義即可解決問題；（2）如圖1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，連接．利用全等三角形的性質(zhì)分別證明：BE＝，即可解決問題；（3）如圖2中，作點O關(guān)于BC的對稱點E，連接OE交BC于K，連接交BC于點，連接，此時的值最小，即有最小值．（4）利用等腰三角形三線合一的性