速度勢函數(shù)和流函數(shù)

關(guān)于速度勢函數(shù)和流函數(shù)2梯度：標(biāo)量場的【梯度】()是一個(gè)矢量場。標(biāo)量場中某一點(diǎn)上的梯度指向標(biāo)量場增長最快的方向，梯度的長度是這個(gè)最大的變化率。上面兩個(gè)圖中，標(biāo)量場是黑白的，黑色表示大的數(shù)值，而其相應(yīng)的梯度用藍(lán)色箭頭表示。第2頁,共20頁，2024年2月25日，星期天3勢函數(shù)無旋運(yùn)動(dòng)時(shí)，其速度矢是可以由函數(shù)的梯度來表示的，這個(gè)函數(shù)

就稱為速度矢

的【（位）勢函數(shù)】。可見，用一個(gè)標(biāo)量函數(shù)就把三維的速度矢都表示出來了，減少了未知量。第3頁,共20頁，2024年2月25日，星期天4等(位)勢面：取t為一固定時(shí)刻，若有此時(shí)的幾何圖像是一個(gè)空間曲面，稱為等勢函數(shù)面——【等位勢面】。當(dāng)取大小不同的常數(shù)值時(shí)，上式就是等勢面族?？芍海?）速度矢與等勢面垂直。（2）流動(dòng)（或說速度矢）是從高位勢流向低位勢。（3）等位勢面彼此緊密的地方，速度值大；等位勢面彼此疏松的地方，速度值小。第4頁,共20頁，2024年2月25日，星期天5散度：勢函數(shù)與速度分量：稱為三維拉普拉斯算符，則：是一個(gè)二階偏微分方程——泊松方程（Poisson），由此可得到【勢函數(shù)】與【速度矢】之間的互求關(guān)系。勢函數(shù)與散度：第5頁,共20頁，2024年2月25日，星期天6流函數(shù)與平面運(yùn)動(dòng)：【平面運(yùn)動(dòng)】需要滿足下列兩個(gè)條件：在所有平行于某個(gè)A面的平面上，流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是在該平面上進(jìn)行的。在A面的垂線上，各物理量都相等。若取A面為XOY平面，z軸垂直向上，以上兩個(gè)條件就是：平面運(yùn)動(dòng)比一般的空間運(yùn)動(dòng)簡單，具體說來速度只有二個(gè)方向的分量u,v，所有物理量只是x,y的函數(shù)。第6頁,共20頁，2024年2月25日，星期天7在大氣中，常用XOY平面運(yùn)動(dòng)作為大氣運(yùn)動(dòng)的一種近似模型，前提條件是：研究的問題中XY方向的尺度>>Z方向的尺度，Z方向的速度分量及物理量沿Z方向的變化比起其它方向小的多，可以近似認(rèn)為Z方向的速度分量為零，其它物理量沿Z方向的變化也為零。第7頁,共20頁，2024年2月25日，星期天8流函數(shù)：我們對(duì)流函數(shù)的討論是建立在二維運(yùn)動(dòng)XOY，且運(yùn)動(dòng)無輻散。即：由無輻散條件，可以找到一個(gè)函數(shù)與速度矢對(duì)應(yīng)，我們把這個(gè)函數(shù)寫成ψ，ψ的全微分為：第8頁,共20頁，2024年2月25日，星期天9流函數(shù)：（1.77）中為二維矢量微商符上面的ψ就是流函數(shù)，（1.77）就是流函數(shù)與速度矢的關(guān)系。第9頁,共20頁，2024年2月25日，星期天10流函數(shù)與流線的關(guān)系根據(jù)流線方程的求法，（*）的流線方程為：（1.75）可積的充要條件是無輻散，與（1.76）對(duì)比，發(fā)現(xiàn)是一樣的。對(duì)（1.76）積分，得：上式時(shí)間取定，常數(shù)也取定時(shí)，就代表了某時(shí)刻的某一條流線，或等流函數(shù)線，此曲線上的切線處處跟流速矢方向一致。第10頁,共20頁，2024年2月25日，星期天11注意：流函數(shù)引入的條件是流體運(yùn)動(dòng)為二維，而流體是不可壓縮的，不論流體是有旋還是無旋，流函數(shù)都存在。如將流函數(shù)應(yīng)用到一般的三維流體運(yùn)動(dòng)則會(huì)引起相當(dāng)大的解析困難。）引入流函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)：可以減少表征流體運(yùn)動(dòng)的變量。2個(gè)變1個(gè)。流函數(shù)還可以用來表示流體體積通量。第11頁,共20頁，2024年2月25日，星期天12流函數(shù)與體積通量：圖中自南向北的4條線是流線（等流函數(shù)線），任取AB曲線，在該線上任一點(diǎn)的速度矢是，法向單位矢是，曲線單位矢是上式表明，兩點(diǎn)的流函數(shù)值之差等于過這兩點(diǎn)的任何曲線的流體的體積通量（體積流量）值，跟曲線的形狀、長短無關(guān)。第12頁,共20頁，2024年2月25日，星期天13流函數(shù)與渦度的關(guān)系即流函數(shù)的二維拉普拉斯運(yùn)算等于流體渦度的垂直分量第13頁,共20頁，2024年2月25日，星期天14一般的二維流動(dòng)（1）速度矢的分解一般的二維流體運(yùn)動(dòng)，不一定無旋或無輻散，而是既有旋又有輻散，此時(shí)我們可以把一般的二維流體運(yùn)動(dòng)的速度矢分成兩部分，一部分是有旋無輻散，另一部分是無旋有輻散，即有：第14頁,共20頁，2024年2月25日，星期天15速度矢的分解稱為無輻散渦旋流(流函數(shù)對(duì)應(yīng))

稱為無旋輻散流(勢函數(shù)對(duì)應(yīng))第15頁,共20頁，2024年2月25日，星期天16速度矢的分解已知速度矢，如何得到速度的分解：1）根據(jù)速度求出渦度和散度，即：2）我們在前面已經(jīng)給出了【勢函數(shù)與散度】的關(guān)系，【流函數(shù)與渦度】的關(guān)系，如下：這是兩個(gè)泊松方程，連立求解就得到勢函數(shù)和流函數(shù)第16頁,共20頁，2024年2月25日，星期天173）根據(jù)輻散流和勢函數(shù)的關(guān)系，渦旋流和流函數(shù)的關(guān)系，得到兩個(gè)風(fēng)速分量，即：第17頁,共20頁，2024年2月25日，星期天18拉普拉斯流動(dòng)滿足以下條件的為【拉普拉斯流動(dòng)】：兩維平面運(yùn)動(dòng)（u,v不為零，w=0）理想流體（不考慮粘性，0=μ）無輻散流（D=0）；無旋流第18頁,共20頁，2024年2