2023-2024學(xué)年北京市高二年級下冊期中練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年北京市高二下學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.在等差數(shù)列｛4｝中，a4+a5+a6=3OQ,則4+,的值為()

A.50B.100C.150D.200

【正確答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)列｛4｝為等差數(shù)列，所以4+%=2%，

又因?yàn)?+%+4=30°,所以4+%=200,

故選：D.

2./(n)=l+3+32+33++3"∣(〃eN*)可以化簡為()

c3"JD3"+3_]

'-2-'2

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式計(jì)算可得.

【詳解】/6)=1+3+32+3'++3-=Ml∑Γ!)=ri∑ι.

故選：C

3.已知隨機(jī)變量XN(2,4),P(X≤4)=0.8,那么P(2≤X≤4)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.8

【正確答案】B

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閄Nw所以P(X≤2)=0.5,又P(X≤4)=0.8,

所以P(2≤X≤4)=P(X≤4)-P(X≤2)=0.8-0.5=0.3.

故選：B

4.已知O<α<g,隨機(jī)變量J的分布列如下，當(dāng)。增大時(shí)()

-101

12

Pa——a

33

A.E管)增大，OR)增大B.E(3減小，。q)增大

C.Et)增大，D(J)減小D.Eq)減小，D(J)減小

【正確答案】B

利用數(shù)學(xué)期望和方差公式得出關(guān)于〃的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性判斷Ec)和。C)的變化情況.

2

【詳解】解：Ee)=

.?.當(dāng)。增大時(shí)，EC)減小，

5211272

D{ξ)=(---+α)2α+(α--)2(--?)+(-+a)2.-=-a2+-?+-,

3333339

D(G在(θ?)上隨a的增大而增大，

故選：B.

熟記期望和方差的公式，并能進(jìn)行準(zhǔn)確的運(yùn)算，是求解的關(guān)鍵.

2

5.已知某同學(xué)在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時(shí)答對的概率為∣?,在A題答對的情況下,

O

B題也答對的概率為1,則A題答對的概率為

A.-B.-C.-D.-

4429

【正確答案】B

【分析】根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)事件A：答對A題，事件B：答對B題,

2

則P(AB)=P(A)?P(3)=g,

?/(A)=1

故選：B.

本題考查了條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

6.在用數(shù)學(xué)歸納法證明(〃+1)(〃+2)(n+n)=2,,?l?3?5(2"-D("eN')的過程中，從"％至IJA+1”

左邊需增乘的代數(shù)式為()

A.2k+2B.(2k+l)(2Z+2)

C.絲吆D.2(2?+l)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)題意，分別得到〃和〃=左+1時(shí)，左邊對應(yīng)的式子，兩式作商，即可得出結(jié)果.

【詳解】當(dāng)"=%時(shí),左邊4=(∕+l)(2+2)(?+?)=(?+l)(?+2)(2k),

當(dāng)〃=%+I時(shí)，左邊，=(1+2)化+3)(?+l+?+l)=(?+2)(?+3)(2?+2),

B=(&+2)(A+3)(2Z)(2Z+l)3+2)=(2A+l)(2Z+2)=+

'A~(fc+l)(?+2)(2k)k+l'

故選：D.

7.設(shè)函數(shù)∕0)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(χ),已知函數(shù)y=(i-χ)∕'(χ)的圖象如圖所示，有下列結(jié)

①“χ)有極大值了(-2)

②/(χ)在區(qū)間(1,E)上是增函數(shù)

③“X)的減區(qū)間是(-2,??)；

④F(X)有極小值41).

則其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.O個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【正確答案】C

【分析】根據(jù)1-x,y=(I-X)F(X)的正負(fù)求出/(X)的正負(fù)，可得函數(shù)的單調(diào)性及極值，判斷選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)χ<-2時(shí)，由y=(I-X)-(X)的圖象可知y>0,所以/'(χ)>0,

當(dāng)-24<l時(shí),由y=d—x)r。)的圖象可知y<o,所以尸(χ)<0,

當(dāng)x>l時(shí),由y=(lr)∕'(χ)的圖象可知y>0,所以f'(χ)<0,

即函數(shù)/(X)在(-8,-2)上遞增，在(-2,+∞)上單調(diào)遞減，

所以“x)有極大值〃-2).

故①③正確，②④錯(cuò)誤.

故選：C

8.函數(shù)/(x)=V?e-，的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(—2,0)B.(―∞,—2),(0,+∞)

C.(0,2)D.SOM2,E)

【正確答案】C

【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)尸(X)=川F?,令/qχ)＞0,即可求解函數(shù)的遞增區(qū)間.

【詳解】由題意，函數(shù)"χ)=χ2?e-*=m,可得f(X)=二Wr)

eC

令/?X)＞。，即x(x-2)＜0,解得OCX＜2,

所以函數(shù)y=f?e'的遞增區(qū)間是(0,2).

故選：C.

9.已知｛%｝是等比數(shù)列，貝『'4＜。2＜4”是”｛4,｝是增數(shù)歹『’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義并結(jié)合對項(xiàng)取值，可得結(jié)果

【詳解】由數(shù)列｛4〃｝是等比數(shù)列，可假設(shè)q=-2,g=-2,

則q=-2,a2=4,%=-8,a1,=16,

可知q＜生＜α4,但數(shù)列｛q｝不是遞增數(shù)列，

若數(shù)列｛/｝是遞增等比數(shù)列，由定義可知，al＜a2＜ai,故

“4＜弓＜4”是“｛〃“｝是遞增數(shù)列''的必要不充分條件

故選：B

10.設(shè)函數(shù)/(x)定義域?yàn)镼,若函數(shù)/(x)滿足：對任意CeD,存在e＞使得&二警=/(c)

a-b

成立，則稱函數(shù)/(χ)滿足性質(zhì)「下列函數(shù)不滿足性質(zhì)r的是()

A.f(x)=X2B./O)=/C.f(x)=exD./(x)=lnx

【正確答案】B

構(gòu)造函數(shù)g(x)=∕(x)-∕'(C)x,可得g"(x)=∕"(x),則/"(x)在定義域內(nèi)正負(fù)號不變時(shí)滿足性質(zhì)「，

若/"(X)有唯一變號零點(diǎn)?時(shí)不滿足性質(zhì)Γ,則通過計(jì)算Γ(x)即可判斷.

【詳解】可化為/(α)-∕,(c)α=∕(?)-Γ(φ,

令g(χ)=/(X)-√'(c)χ,

則g'(x)=∕'(x)-∕'(c),g"(x)=∕(x),

???若/(X)在定義域內(nèi)正負(fù)號不變，那么X=C是g'(x)的變號零點(diǎn)，則g(x)在X=C的兩側(cè)的單調(diào)性

不一致，因此滿足性質(zhì)「；

若/"(X)有唯一變號零點(diǎn)％,那么取C=X。，則g'(x)在定義域內(nèi)的正負(fù)號不變，進(jìn)而函數(shù)g(x)在定

義域內(nèi)單調(diào)，因此不滿足性質(zhì)「

對于A,r(x)=2x,則Ir(X)=2>0,所以滿足性質(zhì)「；

對于B,r(x)=3χ2,則rr(x)=6x有唯一變號零點(diǎn)0,所以不滿足性質(zhì)「；

對于C,f?x)=ex,則尸(X)=d>0,所以滿足性質(zhì)「；

對于D,?f(x)=J,則/(x)=-±<0,所以滿足性質(zhì)「

故選：B.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決新定義問題，屬于較難題.

二、填空題

11.某質(zhì)檢員檢驗(yàn)一件產(chǎn)品時(shí)，把正品誤判為次品的概率是0.1,把次品誤判為正品的概率是0.05.如

果一箱產(chǎn)品中含有8件正品，2件次品，現(xiàn)從中任取1件讓該質(zhì)檢員檢驗(yàn)，那么出現(xiàn)誤判的概率為

【正確答案】0.09

Q

【詳解】取得正品的概率為A=O.8,則取得正品且誤判的概率為0.1x0.8=0.08；

2

取得次品的概率為5=0.2,則取得次品且誤判的概率為0.05x0.2=0.01,

故出現(xiàn)誤判的概率是0.08+0.01=0.09.

12.若數(shù)列｛4｝滿足4=l,%M=",,+“+l("eN)則通項(xiàng)公式為可=.

【正確答案】奧P

【分析】根據(jù)題意，利用累加法即可求解.

【詳解】因?yàn)?+ι=《,+”+"eN"),

r

所以當(dāng)"≥2時(shí)，cιn=(an-an_1)÷(an_t-an_2)++(d3-)+(a2-Λ1)+α1

=At÷(n-1)+÷3+2+l

2

.1x2.,在J.b~n(n+i)

當(dāng)”=1時(shí)，4=一廠=1,滿足4=1,所以％=---

故答案為?四詈

7

13.若數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為5“=j?+l,則｛%｝的通項(xiàng)公式是4=

【正確答案】3?(-2),,^l

【分析】利用仙與Sjt的關(guān)系即得.

【詳解】因?yàn)镾〃=(〃+1,

2

所以4=Sl=-a,+1,4=3,

2222

當(dāng)〃≥2時(shí)，an=Sn-Sl,.l=-an+?-(-an_{+?)=-an--an,x,

所以4=-2%τ,

.?.｛qj是以3為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列,

所以4=3?(-2嚴(yán).

故q,=3?(-2)"τ.

14.點(diǎn)P在函數(shù))，=e，的圖像上，點(diǎn)Q在函數(shù)y=l∏x的圖像上，則IPQl的最小值為.

【正確答案】√2

【分析】由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù)，則圖象關(guān)于V=X對稱，則點(diǎn)P到)'=x的距離的最小

值的二倍即為所求，利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.

【詳解】因?yàn)閥=e*與y=lnx互為反函數(shù)，兩函數(shù)圖象關(guān)于V=x對稱，

設(shè)點(diǎn)P為(x,e'),則到直線N=%的距離為d=。區(qū),

?Λ(x)=ev-x,則“(x)=e"-l,令"(x)=0,即X=0,

所以當(dāng)x∈(e,0)時(shí)“(x)<。，即MX)單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)力'(x)>0,即MX)單調(diào)遞增，

所以MXL=Mo)=1，wιj?"=?=τ,

所以IPQl的最小值為2dmin=TL

故3

三、雙空題

15.設(shè)｛α,,｝是集合｛2'+2'∣0≤s</且s∕eZ｝中所有的從小到大排成的數(shù)列，即

ɑ?=3,a,=5,a3=6,α4=9,a5=10,α6=12,.......將數(shù)列｛α,,｝各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成

(1)則這個(gè)三角形數(shù)表的第四行的數(shù)分別為.

(2)?100=---------------------------

【正確答案】17,18,20,

【分析】根據(jù)題意找出規(guī)律即可求解.

【詳解】根據(jù)數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)與集合中的元素的關(guān)系,

數(shù)列的第一項(xiàng)對應(yīng)S=Oj=I,

數(shù)列的第二項(xiàng)對應(yīng)S=OJ=2,

數(shù)列第三項(xiàng)對應(yīng)s=U=2,

數(shù)列第四項(xiàng)對應(yīng)S=OJ=3,

數(shù)列第五項(xiàng)對應(yīng)s=l,r=3,

數(shù)列第六項(xiàng)對應(yīng)s=21=3,

由此可得規(guī)律，數(shù)表中的第〃行對應(yīng)，=〃，s=0,1,2,3,,(n-l).

用記號GJ)表示SJ的取值，那么數(shù)列｛%｝中的項(xiàng)對應(yīng)的(￡/)也構(gòu)成一個(gè)三角表：

(0.1)

(0s2XL2)

(03)(L3×253)

因此第四行的數(shù)是20+2'=17;2I+24=18;22+24=20;23+24=24;

由1+2+3++13=13x(；3+l)=9i,知ακw在第十四行中的第9個(gè)數(shù)，

lt

所以q00=2+2∣4=16640,

故17,18,20,24；16640.

四、解答題

16.S“為等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和，且％=1,公差不為零，若5,S2,S4,S“成等比數(shù)列，求:

(1)數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式及實(shí)數(shù)用的值；

,

⑵若數(shù)列也｝滿足d?aJan+l=l(rt∈N),求數(shù)歹!|也｝的前〃項(xiàng)和Tn；

2

(3)若數(shù)列｛q,｝滿足c∣+C?+C'++?,=今(〃€N*),求j+?,+C5++。2“-1的和.

【正確答案】(1)4=2〃-1,加=8

,I

(3)2n^-2n+-

【分析】(1)根據(jù)題意，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可得到等差數(shù)列｛4｝的公差d,從而得到其通項(xiàng)公式,

再列出方程即可得到〃?；

(2)根據(jù)題意，由裂項(xiàng)相消法即可得到結(jié)果；

(3)根據(jù)題意，由數(shù)列｛%｝與其前八項(xiàng)和的關(guān)系即可得到其通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等差數(shù)列的前“項(xiàng)

和公式即可得到結(jié)果.

【詳解】Q)因?yàn)閝=S,=l,成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝公差為d,

則用=￡￡,即(q+%y="(4q+春dj,化簡可得d(d-2)=0,

因?yàn)閐≠O,即d=2,所以4,=l+("-l)x2=2"-l,

因?yàn)镾「S?,邑,Sm成等比數(shù)列，所以R?因=S2-S4,

則"]+磯4∣)d=(2%+d)(4q+^^4),求得m=8.

⑵因?yàn)椤啊皊=i,所以2=l=w∑島石TU?-*)'

所以4=4+4+4++2

If__1L〃

5112n+lJ2π+l

cl2,

(3)因?yàn)閝+j+q+^~n=^==n~^÷~

設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為H11，即乩="_〃+；,

2

當(dāng),≥2時(shí)，Hn_｝=(∏-1)-(π-l)+^-,

]「71

所以％=H〃—“I=〃2_〃+^_(H-1∕-(Π-1)+-=2H-2,

當(dāng)〃=1時(shí)，CI=Hl=：,不滿足上式，

1

_—1?

所以C,,="4,,

2n-2,π≥2

則C3,%g,?勺,1是以4為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列,

所以c∣+G+C5++c2n.l

=L(6-2)+(10-2)++(4n-4)

1(∕ι-l)(4+4π-4)-2c?

=-+?------------L=2∏--2n+-

424

17.某地區(qū)教委要對高三期中數(shù)學(xué)練習(xí)進(jìn)行調(diào)研，考查試卷中某道填空題的得分情況.已知該題有兩

空，第一空答對得3分，答錯(cuò)或不答得0分：第二空答對得2分，答錯(cuò)或不答得0分.第一空答對與

否與第二空答對與否是相互獨(dú)立的.從所有試卷中隨機(jī)抽取IOOo份試卷，其中該題的得分組成容量

為1000的樣本，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

第一空得分情況

得分03

人數(shù)200800

第二空得分情況

得分02

人數(shù)700300

(1)這個(gè)地區(qū)的一名高三學(xué)生因故未參加考試，如果這名學(xué)生參加考試，以樣本中各種得分情況的頻

率作為該同學(xué)相應(yīng)的各種得分情況的概率，試求該同學(xué)這道題的得分X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(2)從該地區(qū)高三學(xué)生中，隨機(jī)抽取2位同學(xué)，以樣本中各種得分情況的頻率作為概率，求這2人中

恰好有一個(gè)同學(xué)得滿分的概率.

【正確答案】(1)分布列見詳解，數(shù)學(xué)期望為3：

(2)0.3648.

【分析】(1)根據(jù)表中得分情況先算出頻數(shù)估計(jì)概率，分析得出該生這道題的得分X的取值可以為:

0,2,3,5,分別求出概率列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可；

(2)先找出學(xué)生得滿分的概率和得不到滿分的概率，再求解2人中恰好有一個(gè)同學(xué)得滿分的概率.

【詳解】(1)由表格數(shù)據(jù)分析知學(xué)生得0分的頻率為0?2x0?7=0.14,

得2分的頻率為：0.2×0.3=0.06,得3分的頻率為:0.8×0.7=0.56,

得5分的頻率為:0.8×0.3=0.24

由題意分析得X的取值可以為：023,5,

則P(X=O)=O.14,P(X=2)=0.06,P(X=3)=0.56,P(X=5)=0.24.

故X的分布列為：

X0235

P0.140.060.560.24

所以X的數(shù)學(xué)期望為：0×0.14+2×0.06+3×0.56+5×0.24=3

(2)由題意知某位學(xué)生要得滿分的概率為：0.8x0.3=0.24,

得不到滿分的概率為：1-0.24=0.76,

所以隨機(jī)抽取2位同學(xué)，這2人中恰好有一個(gè)同學(xué)得滿分的概率為:

CjX0.24×0.76=0.3648.

18.某超市銷售5種不同品牌的牙膏，它們的包裝規(guī)格均相同，銷售價(jià)格(元/管)和市場份額(指

該品牌牙膏的銷售量在超市同類產(chǎn)品中所占比重)如下：

牙膏品牌ABCDE

銷售價(jià)格152552035

市場份額15%10%25%20%30%

(1)從這5種不同品牌的牙膏中隨機(jī)抽取1管，估計(jì)其銷售價(jià)格低于25元的概率；

(2)依市場份額進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取20管牙膏進(jìn)行質(zhì)檢，其中A和B共抽取了〃管.

①求”的值；

②從這"管牙膏中隨機(jī)抽取3管進(jìn)行氟含量檢測.記X為抽到品牌B的牙膏數(shù)量，求X的分布列和

數(shù)學(xué)期望.

(3)品牌F的牙膏下月進(jìn)入該超市銷售，定價(jià)25元/管，并占有一定市場份額.原有5個(gè)品牌的牙

膏銷售價(jià)格不變，所占市場份額之比不變.設(shè)本月牙膏的平均銷售價(jià)為每管從元，下月牙膏的平均

銷售價(jià)為每管必元，比較外，出的大小.(只需寫出結(jié)論)

【正確答案】⑴0.6；(2)①〃=5；②分布列見解析；期望為:；(3)A<A2.

【分析】(1)求出銷售價(jià)格低于25元的頻率，用頻率來衡量概率；

(2)①利用分層抽樣的定義求解即可，②隨機(jī)變量X的可能取值為0」,2,然后求出各自對應(yīng)的概

率，即可列出分布列，求出期望；

(3)求出平均值比較即可

【詳解】解：(1)記”從該超市銷售的牙膏中隨機(jī)抽取1管，其銷售價(jià)格低于25元”為事件K.

由題設(shè)，P(K)=O.15+0.25+0.2=0.6.

(2)①由題設(shè)，品牌A的牙膏抽取了20χl5%=3管，

品牌B的牙膏抽取了20x10%=2管，

所以〃=3+2=5.

(ii)隨機(jī)變量X的可能取值為0J2.

C;C'3

P(X=I)=e?=-

C；5

12

P(X=2)=CC*=±3

G?o

所以X的分布列為:

X012

133

P

W5Io

X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=OX?+lx∣+2xW?

⑶〃心〃2.

(理由：jul=15×15%+25×10%+5×25%+20×20%+35×30%=20.5,設(shè)品牌F的市場占有額為加，

A,B,C,D,E市場占有額分別為3x,2x,5x,4x,6X,則

_15X3X+25X2X+5X5X+20X4X+35X6X+25∕%

“220x÷∕π

15×3x+25×2x+5×5x+20×4x+35×6x.?.、

>------------------------------------------------------=20.5=M)

2(Ir1

19.已知函數(shù)/(x)=AX-(A+1)InX一?

⑴當(dāng)4；時(shí)，求函數(shù)“X)的增區(qū)間；

(2)若關(guān)于X的不等式/(x)Wl在區(qū)間［l,e］上恒成立，求實(shí)數(shù)Z的取值范圍.(其中e=271828.)

【正確答案】⑴(0,1),(2,+∞)

(2)Λ≤1

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)依題意可得函數(shù)”x)在區(qū)間［Le］上的最大值小于等于1,求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分k=0、k<0、

k=l、k>?,0<左<1五種情況討論，分別得到函數(shù)的最大值，即可求出參數(shù)的取值范圍.

【詳解】(因?yàn)?丘—(％+

1)(X)=l)l∏Λ-Jx∈(0,+∞),

所以/")=&-3+3kx2-(k+l)x+1

XX

當(dāng)4=(時(shí)，/3#-2；(X-I),令用χ)>o,解得o<χ<ι或χ>2,

所以函數(shù)〃X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(O,1),(2,+∞).

(2)不等式“x)Wl在區(qū)間［l,e］上恒成立,

即函數(shù)/(x)在區(qū)間［he］上的最大值小于等于1,

當(dāng)A=O時(shí)/(x)=Tnx-L,則尸(力=_1+二=^~7^,當(dāng)ICX≤e時(shí)/'(x)<0,

XXX-X

所以“X)在［l,e］上單調(diào)遞減，所以/(χ)gχ=/⑴=-1,符合題意；

當(dāng)上≠0時(shí)f，(、「卜-*T)，

i(X)=?

令r(χ)=o,得再=J,χ2=1,

當(dāng)％<0時(shí)則當(dāng)lvx≤e時(shí)∕r(x)<0,

_/、/、［k—1≤1

所以“X)在［rl,e］上單調(diào)遞減，所以/(χ)a=/⑴="1,所以，解得A<0,

［/C<U

當(dāng)人>1時(shí)0<∕<l,所以當(dāng)l<x≤e時(shí)/?x)>o,

所以〃x)在［Le］上單調(diào)遞增，所以"x)n,aχ="e)=Ae-%-lT,

?e-?-1——≤1

所以e,不等式組無解，不符合題意；

k>l

當(dāng)％=1時(shí)：=1,所以當(dāng)l<x4e時(shí)用x)>O,

所以〃x)在［l,e］上單調(diào)遞增，所以〃x)πm=∕(e)=e-l-l-l<l,

符合題意，

當(dāng)OCZ<1時(shí)，則，>1,

k

當(dāng)∕≥e時(shí)，/'(x)≤0對xe［l,e］成立，函數(shù)f(x)在區(qū)間［l,e］上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)f(x)在區(qū)間［l,e］上的最大值為"l)=k-l<l,

所以不等式/(x)Wl在區(qū)間［l,e］上恒成立，

當(dāng);<e時(shí)，∕,(x),/U)隨X的變化情況如下表：

K

?

X7±L

尸⑴—0+

fω單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)/(X)在區(qū)間［he］上的最大值為/⑴或/(e)，

此時(shí)/⑴=kT<l,/(e)=te-(?+l)-l,

e

所以7(e)-l=ke-("+l)-J-l=Z(e-l)-2-J<(e-l)-2-—=e-3-?<0.

eeee

所以當(dāng)O<Z<1時(shí)，不等式“X)Wl在區(qū)間［l,e］上恒成立.

綜上可得A≤1.

20.已知函數(shù)/(X)=2》+與，直線/：y=kx-?.

x^

(I)求函數(shù)f(χ)的極值；

(H)求證：對于任意ZeR,直線/都不是曲線y=/(x)的切線；

(III)試確定曲線y=∕(χ)與直線/的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

【正確答案】(I)極小值A(chǔ)I)=3,無極大值；(II)見解析；(HI)當(dāng)k=2時(shí)，曲線y=f(χ)與直

線/沒有交點(diǎn)，而當(dāng)女工2時(shí)，曲線y=∕(*)與直線/有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

【詳解】試題分析：(1)先求出函數(shù)/(χ)定義域再求導(dǎo)，得令/'W=0,解得X的值，畫出當(dāng)X變

化時(shí)，尸(X)=O與/(χ)的變化情況表所示，可得函數(shù)y=∕(χ)的單調(diào)區(qū)間，從而得到函數(shù)y=∕(χ)

有極小值f⑴=3,無極大值

(H)對于是否存在問題，先假設(shè)存在某個(gè)ZeR,使得直線/與曲線y=∕(χ)相切，先設(shè)出切點(diǎn)，

再求小X)，

求得切線滿足斜率，又由于過點(diǎn)A,可得方程顯然無解，所以假設(shè)不成立.所以對于任意keR,

直線/都不是曲線y=F(X)的切線.

(III)寫出“曲線y=f(χ)與直線/的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”等價(jià)于"方程I-L-H-1的根的個(gè)數(shù)

X*

由分離系數(shù)法得％=」?+,+2,令，=1,得上=r+1+2,其中^￡?,且1工0.考察函數(shù)/2。)=尸+『+2,

XXX

其中f∈R,求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到方程根的情況，命題得證

試題解析：函數(shù)/(x)定義域?yàn)閧χ∣χ≠0},

2

求導(dǎo)，得f'(x)=2-F,

令T(X)=0,解得X=1.

當(dāng)X變化時(shí)，/U)與/U)的變化情況如下表所示:

XSO)(OJ)1a田)

-

/'(X)+—~6+

Jr(X)ZZ

所以函數(shù)y=∕(χ)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,0),(i,+∞),單調(diào)減區(qū)間為(0,1),

所以函數(shù)y=∕(χ)有極小值F(I)=3,無極大值.

(H)證明：假設(shè)存在某個(gè)左∈R,使得直線/與曲線y=∕(χ)相切，

12

設(shè)切點(diǎn)為A(XO,2x0+1),又因?yàn)閞(χ)=2-f,

??

212

所以切線滿足斜率％=2—r,且過點(diǎn)A,所以2Λ0+F=(2--r)x0-l,

???

3

即F=T,此方程顯然無解，所以假設(shè)不成立.

?

所以對于任意ZwR,直線/都不是曲線y=∕(χ)的切線.

(III)解：“曲線y=/(χ)與直線/的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”等價(jià)于“方程r-L■6-1的根的個(gè)數(shù)

由方程2XH—∑-=Ax-1,得攵=FH----F2.

X~XX

令f=L,則左=∕+r+2,其中fwR,且r*0.考察函數(shù)/j(f)=∕+f+2,其中feR,

X

因?yàn)?(f)=3產(chǎn)+l>0時(shí)，所以函數(shù)/7。)在R單調(diào)遞增，且〃(r)∈R.

而方程k=∕+f+2中，t≡R,且fwθ.

所以當(dāng)氏=/7(0)=2時(shí)，方程上=∕+f+2無根；當(dāng)左X2時(shí):方程無=∕+f+2有且僅有一根，

故當(dāng)Z=2時(shí)，曲線y=∕(χ)與直線/沒有交點(diǎn)，而當(dāng)k≠2時(shí)，曲線y=/(X)與直線/有且僅有一個(gè)

交點(diǎn).

導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

21.給定項(xiàng)數(shù)為MmeN”,m≥3)的數(shù)列｛q｝,其中a；e｛θ,l｝(i=l,2,,祖).若存在一個(gè)正整數(shù)

k(2≤k<m-?),若數(shù)列｛4,｝中存在連續(xù)的A項(xiàng)和該數(shù)列中另一個(gè)連續(xù)的上項(xiàng)恰好按次序?qū)?yīng)相等，

則稱數(shù)列加“｝是“k階可重復(fù)數(shù)列“，例如數(shù)列｛4,｝：0,1,1,0,1,1,0.因?yàn)?，%,〃3，%與4，“5，牝，%按次序

對應(yīng)相等，所以數(shù)列｛4｝是“4階可重復(fù)數(shù)列”.

⑴分別判斷下列數(shù)列

①也｝:0,0,0,LLO,0,1,1,0.

②｛q,｝:1,1,1,1,1,0,1,1,1,1.

是否是“5階可重復(fù)數(shù)列”？如果是，請寫出重復(fù)的這5項(xiàng)；

(2)若項(xiàng)數(shù)為加的數(shù)列｛%｝一定是“3階可重復(fù)數(shù)列“，則”的最小值是多少？說明理由；

(3)假設(shè)數(shù)列｛〃“｝不是“5階可重復(fù)數(shù)列“，若在其最后一項(xiàng)金后再添加一項(xiàng)0或1,均可使新數(shù)列是“5

階可重復(fù)數(shù)列"，且4=1,求數(shù)列｛4｝的最后一項(xiàng)%的值.

【正確答案】(1)①是，重復(fù)五項(xiàng)為0,0,1,1,0；②不是

(2)1