第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)（壓軸題專(zhuān)練）（解析版）

第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)（壓軸題專(zhuān)練）一、單選題1．某學(xué)校高三教師周一、周二、周三開(kāi)車(chē)上班的人數(shù)分別是8，10，14，若這三天中至少有一天開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)是20，則這三天都開(kāi)車(chē)上班的職工人數(shù)至多是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C【分析】設(shè)周三，周二，周一開(kāi)車(chē)上班的職工組成的集合分別為，，，集合，，中元素個(gè)數(shù)分別為A．，B．，C．，根據(jù)A．B．C．，且，，可得．【詳解】解：設(shè)周三，周二，周一開(kāi)車(chē)上班的職工組成的集合分別為，，，集合，，中元素個(gè)數(shù)分別為A．，B．，C．，則A．，B．，C．，，因?yàn)锳．B．C．，且，，，所以，即．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查集合多面手問(wèn)題的應(yīng)用，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力和應(yīng)用不等關(guān)系解題的思想，屬于中檔題.2．定義，設(shè)、、是某集合的三個(gè)子集，且滿(mǎn)足，則是的（

）A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】作出示意圖，由可知兩個(gè)陰影部分均為，根據(jù)新定義結(jié)合集合并集的運(yùn)算以及充分條件與必要條件的定義判斷即可.【詳解】如圖，由于，故兩個(gè)陰影部分均為，于是，（1）若，則，，而，成立；（2）反之，若，則由于，，，，，故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合并集的運(yùn)算以及充分條件與必要條件的定義，考查了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于較難題.3．設(shè)集合中至少兩個(gè)元素，且滿(mǎn)足：①對(duì)任意，若，則，②對(duì)任意，若，則，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若有2個(gè)元素，則有3個(gè)元素B．若有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素C．存在3個(gè)元素的集合，滿(mǎn)足有5個(gè)元素D．存在3個(gè)元素的集合，滿(mǎn)足有4個(gè)元素【答案】A【解析】不妨設(shè)，由②知集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，設(shè)，由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，得到至少還有另外一個(gè)元素，分集合有個(gè)元素和多于個(gè)元素分類(lèi)討論，即可求解.【詳解】若有2個(gè)元素，不妨設(shè)，以為中至少有兩個(gè)元素，不妨設(shè)，由②知，因此集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，故可設(shè)，由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，故至少還有另外一個(gè)元素，當(dāng)集合有個(gè)元素時(shí)，由②得：，則或.當(dāng)集合有多于個(gè)元素時(shí)，不妨設(shè)，其中，由于，所以，若，則，但此時(shí)，即集合中至少有這三個(gè)元素，若，則集合中至少有這三個(gè)元素，這都與集合中只有2個(gè)運(yùn)算矛盾，綜上，，故A正確；當(dāng)集合有個(gè)元素，不妨設(shè)，其中，則，所以，集合中至少兩個(gè)不同正數(shù)，兩個(gè)不同負(fù)數(shù)，即集合中至少個(gè)元素，與矛盾，排除C，D.故選：A.【點(diǎn)睛】解題技巧：解決以集合為背景的新定義問(wèn)題要抓住兩點(diǎn)：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.4．已知集合，對(duì)于它的任一非空子集A，可以將A中的每一個(gè)元素k都乘以再求和，例如，則可求得和為，對(duì)S的所有非空子集，這些和的總和為A．508 B．512 C．1020 D．1024【答案】B【分析】由集合的子集個(gè)數(shù)的運(yùn)算及簡(jiǎn)單的合情推理可得；這些總和是.【詳解】因?yàn)樵卦诩蟂的所有非空子集中分別出現(xiàn)次，則對(duì)S的所有非空子集中元素k執(zhí)行乘以再求和操作,則這些和的總和是.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的子集及子集個(gè)數(shù)，簡(jiǎn)單的合情推理，屬于中檔題.5．已知，，且，其中，若，，且的所有元素之和為56，求（

）A．8 B．6 C．7 D．4【答案】A【分析】根據(jù)可得，可得，再根據(jù)可得，分和兩種情況來(lái)討論即可得解.【詳解】由得，所以，，所以，（1）若，由，所以，所以，，所以，即，從而，所以，所以，即或，與矛盾；（2）若，則，從而，所以，即，從而，所以，，所以或，又，所以，，又，所以，由代入可得：，所以或（舍），所以，故選：A6．定義集合運(yùn)算且稱(chēng)為集合與集合的差集；定義集合運(yùn)算稱(chēng)為集合與集合的對(duì)稱(chēng)差，有以下4個(gè)命題：①

②③

④則個(gè)命題中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用題中定義可判斷①的正誤；利用韋恩圖法可判斷②④；利用題中定義與集合運(yùn)算可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于①，，①對(duì)；對(duì)于②，且且，同理，則，所以，表示的集合如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：同理也表示如上圖陰影部分區(qū)域所示，故，②對(duì)；對(duì)于③，，③對(duì)；對(duì)于④，如下圖所示：所以，，④錯(cuò).故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合中的新定義問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于利用韋恩圖法來(lái)表示集合，利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)進(jìn)行判斷.7．對(duì)集合的每一個(gè)非空子集，定義一個(gè)唯一確定的“交替和”，概念如下：按照遞減的次序重新排列該子集，然后從最大的開(kāi)始，交替減加后面的數(shù)所得的結(jié)果.例如：集合的“交替和”為，集合的“交替和”為，集合的“交替和”為6，則集合所有非空子集的“交替和”的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將此集合分成兩類(lèi)，并在兩類(lèi)集合之間建立一一映射關(guān)系后根據(jù)“交替和”的定義即可求出答案.【詳解】解：由題意得：集合的非空子集中，除去集合，還有個(gè)非空集合，將這個(gè)子集分成兩類(lèi)：第一類(lèi):包含的子集；第二類(lèi)：不包含的子集；在第二類(lèi)和第一類(lèi)子集之間建立如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：，其中是第二類(lèi)子集，顯然這種對(duì)應(yīng)是一一映射設(shè)的“交替和”為，則的“交替和”為，這一對(duì)集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空集合的“交替和”總和為故選：B8．已知集合都是的子集，中都至少含有兩個(gè)元素，且滿(mǎn)足：①對(duì)于任意，若，則；②對(duì)于任意，若，則.若中含有4個(gè)元素，則中含有元素的個(gè)數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】令且，，根據(jù)已知條件確定可能元素，進(jìn)而寫(xiě)出且時(shí)的可能元素，討論、，結(jié)合確定的關(guān)系，即可得集合A、B并求出并集中元素個(gè)數(shù).【詳解】令且，，如下表行列分別表示，集合可能元素如下：----------則，若，不妨令，下表行列分別表示，---------------------由，而，且，顯然中元素超過(guò)4個(gè)，不合題設(shè)；若，則，下表行列分別表示，---------------由，而，且，要使中元素不超過(guò)4個(gè)，只需，此時(shí)，顯然，即，則，即且，故，所以，即，而，故，共7個(gè)元素.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令且，，結(jié)合已知寫(xiě)出可能元素，由且時(shí)的可能元素且研究的關(guān)系.9．給定全集，非空集合滿(mǎn)足，，且集合中的最大元素小于集合中的最小元素，則稱(chēng)為的一個(gè)有序子集對(duì)，若，則的有序子集對(duì)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】B【詳解】時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，的有序子集對(duì)的個(gè)數(shù)為：17個(gè)，10．對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，定義某種運(yùn)算，法則如下：當(dāng)都是正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)不全為正奇數(shù)時(shí)，，則在此定義下，集合的真子集的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，當(dāng)都是正奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)不全為正奇數(shù)時(shí)，；若都是正奇數(shù)，則由，可得，此時(shí)符合條件的數(shù)對(duì)為（滿(mǎn)足條件的共8個(gè)；若不全為正奇數(shù)時(shí)，，由，可得，則符合條件的數(shù)對(duì)分別為共5個(gè)；故集合中的元素個(gè)數(shù)是13，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)是故選C．【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合關(guān)系的判斷，解題的關(guān)鍵是正確理解所給的定義及熟練運(yùn)用分類(lèi)討論的思想進(jìn)行列舉，11．全集，非空集合，且中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對(duì)稱(chēng).下列命題：①若，則；②若，則中至少有8個(gè)元素；③若，則中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對(duì)稱(chēng).所以當(dāng)，則有，，，進(jìn)而有：，，，①若，則，正確；②若，則，，，能確定4個(gè)元素，不正確；③根據(jù)題意可知，，若能確定4個(gè)元素，當(dāng)也能確定四個(gè)，當(dāng)也能確定8個(gè)所以，則中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)正確；④若，由中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對(duì)稱(chēng)可知，，，，即，故正確，綜上：①③④正確.故選C.點(diǎn)睛：圖象的變換：（1）平移：左加右減，上加下減；（2）對(duì)稱(chēng)：①變?yōu)?，則圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②變成，則圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；③變成，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④變成，則將x軸正方向的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；⑤變成，則將x軸下方的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).【詳解】12．對(duì)于集合，給出如下三個(gè)結(jié)論：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】①根據(jù)，得出，即；②根據(jù)，證明，即；③根據(jù)，，證明．【詳解】解：集合，，，對(duì)于①，，，則恒有，，即，，則，①正確；對(duì)于②，，，若，則存在，使得，，又和同奇或同偶，若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)；若和都是偶數(shù)，則能被4整除，而不能被4整除，，即，②正確；對(duì)于③，，，可設(shè)，，、；則那么，③正確．綜上，正確的命題是①②③．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了元素與集合關(guān)系的判斷、以及運(yùn)算求解能力和化歸思想，是難題．13．已知不等式的解集為，不等式的解集為，其中、是非零常數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A【分析】對(duì)、的符號(hào)以及、是否相等分情況討論，得出的充要條件，即可判斷出“”是“”的充要條件關(guān)系.【詳解】（1）若，.①若，不等式即為，則，不等式即為，得，，；②若，不妨設(shè)，不等式即為，則，不等式即為，得，，則；（2）同理可知，當(dāng)，時(shí)，，不一定為；（3）若，.①若，不等式即為，則，不等式即為，則，此時(shí)，；②若，不妨設(shè)，不等式即為，則，不等式即為，則，此時(shí)，；（4）同理，當(dāng)，時(shí)，.綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件的判斷，同時(shí)也考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用，在解題時(shí)需要對(duì)參數(shù)的符號(hào)進(jìn)行分類(lèi)討論，考查推理能力，屬于中等題.14．設(shè)、、、、是均含有個(gè)元素的集合，且，，記，則中元素個(gè)數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對(duì)的取值由小到大進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中的條件是否滿(mǎn)足，即可得解.【詳解】解：設(shè)、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.①假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，則，，這與矛盾；②假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，，，，，滿(mǎn)足題意.綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)最少為.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合元素個(gè)數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對(duì)集合元素的個(gè)數(shù)由小到大進(jìn)行分類(lèi)，對(duì)集合中的元素進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中條件是否成立即可.二、多選題15．設(shè)集合，則對(duì)任意的整數(shù)，形如的數(shù)中，是集合中的元素的有A． B． C． D．【答案】ABD【分析】將分別表示成兩個(gè)數(shù)的平方差，故都是集合中的元素，再用反證法證明.【詳解】∵，∴.∵，∴.∵，∴.若，則存在使得，則和的奇偶性相同.若和都是奇數(shù)，則為奇數(shù)，而是偶數(shù)，不成立；若和都是偶數(shù)，則能被4整除，而不能被4整除，不成立，∴.故選ABD.【點(diǎn)睛】本題考查集合描述法的特點(diǎn)、代表元元素特征具有的性質(zhì)，考查平方差公式及反證法的靈活運(yùn)用，對(duì)邏輯思維能力要求較高.16．（多選）若非空實(shí)數(shù)集滿(mǎn)足任意，都有，，則稱(chēng)為“優(yōu)集”．已知是優(yōu)集，則下列命題中正確的是（）A．是優(yōu)集 B．是優(yōu)集C．若是優(yōu)集，則或 D．若是優(yōu)集，則是優(yōu)集【答案】ACD【分析】結(jié)合集合的運(yùn)算，緊扣集合的新定義，逐項(xiàng)推理或舉出反例，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，任取，因?yàn)榧鲜莾?yōu)集，則，則，，則，所以A正確；對(duì)于B中，取，則或，令，則，所以B不正確；對(duì)于C中，任取，可得，因?yàn)槭莾?yōu)集，則，若，則，此時(shí)；若，則，此時(shí)，所以C正確；對(duì)于D中，是優(yōu)集，可得，則為優(yōu)集；或，則為優(yōu)集，所以是優(yōu)集，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】解決以集合為背景的新定義問(wèn)題要抓住兩點(diǎn)：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.17．對(duì)于給定整數(shù)，如果非空集合A滿(mǎn)足如下3個(gè)條件：①；②；③，若，則．那么稱(chēng)集合A為“增集”．則下列命題中是真命題的為（

）A．若集合P是“增1集”，則集合P中至少有兩個(gè)元素B．若集合Q是“增2集”，則也一定是“增2集”C．正整數(shù)集一定是“增1集”D．不存在“增0集”【答案】BC【分析】AD選項(xiàng)，可舉出反例；BC選項(xiàng)，可通過(guò)題干中集合新定義，進(jìn)行推理得到.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，中只有一個(gè)元素，且，，，，滿(mǎn)足條件①②③，即單元素集是“增1集”，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，集合Q是“增2集”，故Q為非空集合，且，若，則，則，滿(mǎn)足條件①，且，滿(mǎn)足條件②，當(dāng)時(shí)，，所以滿(mǎn)足，則，滿(mǎn)足“增2集”的條件③，B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，，，，若，則．顯然滿(mǎn)足“增1集”的三個(gè)條件，C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，例如，且，，，，，，滿(mǎn)足條件①②③，即是“增0集”，D錯(cuò)誤．故選：BC18．對(duì)任意集合，記，則稱(chēng)為集合的對(duì)稱(chēng)差，例如，若{0，1，2}，{1，2，3}，則={0，3}，下列命題中為真命題的是（

）A．若且AB=，則A=BB．若且AB=B，則A=C．存在，使得AB=D．若且ABA，則【答案】ABC【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)差的定義及交、并、補(bǔ)運(yùn)算，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】對(duì)A，因?yàn)锳B=，所以=且，即AB與AB是相同的，所以A=B，故本選項(xiàng)符合題意；對(duì)B，因?yàn)锳B=B，所以B=，所以AB，且B中的元素不能出現(xiàn)在AB中，因此A=，故本選項(xiàng)符合題意；對(duì)C，A=B時(shí)，AB=，==AB，故本選項(xiàng)符合題意；對(duì)D，因?yàn)锳BA，所以，所以BA，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)是要經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化才能得到常見(jiàn)的集合關(guān)系，對(duì)新定義要有準(zhǔn)確的理解：本質(zhì)上就是求兩個(gè)集合交集在二者并集上的補(bǔ)集，可借助韋恩圖輔助理解．19．19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，從對(duì)有理數(shù)集的分割精確地給出了實(shí)數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實(shí)數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、B滿(mǎn)足：，，則稱(chēng)為的二劃分，例如，則就是的一個(gè)二劃分，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)，，則為的二劃分B．設(shè)，，則為的二劃分C．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于，，，對(duì)于，，D．存在一個(gè)的二劃分，使得對(duì)于，，，則，，，，則【答案】BCD【分析】根據(jù)若集合A、B滿(mǎn)足：，，則稱(chēng)為的二劃分，按照該定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，則不為的二劃分，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，由于，所以，，則為的二劃分，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，存在，，使得對(duì)于，，，對(duì)于，，，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，存在，或，使得對(duì)于，，，則，，，，則，故D正確.故選：BCD.20．對(duì)于正整數(shù)集合，如果去掉其中任意一個(gè)元素之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空集的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱(chēng)集合為“可分集”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不是“可分集”B．集合中元素個(gè)數(shù)最少為7個(gè)C．若集合是“可分集”，則集合中元素全為奇數(shù)D．若集合是“可分集”，則集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A根據(jù)“可分集”性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.選項(xiàng)C，D，根據(jù)“可分集”性質(zhì)可知“可分集”元素之和減去任意一個(gè)元素一定為偶數(shù)，根據(jù)此特性分類(lèi)討論集合中元素為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)的情況即可.根據(jù)選項(xiàng)C，D結(jié)論，分類(lèi)討論中元素個(gè)數(shù)分別為3，5，7時(shí)是否可以為“可分集”即可.【詳解】根據(jù)“可分集”性質(zhì)可知，當(dāng)集合為時(shí)：去掉元素3，則不可拆分成符合題意的可分集，故A錯(cuò)誤.設(shè)集合所有元素之和為M.由題意可知，均為偶數(shù)，因此同為奇數(shù)或同為偶數(shù).(Ⅰ)當(dāng)M為奇數(shù)時(shí)，則也均為奇數(shù)，由于，所以n為奇數(shù).(Ⅱ)當(dāng)M為偶數(shù)時(shí)，則也均為偶數(shù)，此時(shí)可設(shè)，因?yàn)闉椤翱煞旨?，所以也為“可分集?重復(fù)上述有限次操作后，便可得到一個(gè)各元素均為奇數(shù)的“可分集”，且對(duì)應(yīng)新集合之和也為奇數(shù)，由(Ⅰ)可知此時(shí)n也為奇數(shù).綜上所述，集合A中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù).故C錯(cuò)D對(duì).由上述分析可知集合中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)，不妨假設(shè)：當(dāng)時(shí)，顯然任意集合都不是“可分集”;當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，其中，將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有或;將集合分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有或由①，③可得，矛盾；由①，④可得，矛盾；由②，③可得，矛盾；由②，④可得，矛盾.因此當(dāng)時(shí)，不存在“可分集”；當(dāng)時(shí)，設(shè)集合，去掉元素1，；去掉元素3，去掉元素5，；去掉元素7，去掉元素9，；去掉元素11，去掉元素13，，所以集合是“可分集”.因此集合A中元素個(gè)數(shù)n的最小值是7，故B正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】1.本題“新定義”題，主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題.2.本題考查了考生分類(lèi)討論的能力，考生需要做到討論情況涵蓋所有情況，還需要能將討論思路轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力.3.對(duì)于全稱(chēng)命題型的選項(xiàng)考生可考慮通過(guò)舉反例的方式排除.三、填空題21．高二某班共有人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門(mén)課程中選擇門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理、化學(xué)、生物的學(xué)生各有至少人，這三門(mén)學(xué)科均不選的有人.這三門(mén)課程均選的有人，三門(mén)中任選兩門(mén)課程的均至少有人.三門(mén)中只選物理與只選化學(xué)均至少有人，那么該班選擇物理與化學(xué)但未選生物的學(xué)生至多有人.【答案】8【分析】把學(xué)生60人看出一個(gè)集合，選擇物理科的人數(shù)組成為集合，選擇化學(xué)科的人數(shù)組成集合，選擇生物科的人數(shù)組成集合，根據(jù)題意，作出韋恩圖，結(jié)合韋恩圖，即可求解.【詳解】把學(xué)生60人看出一個(gè)集合，選擇物理科的人數(shù)組成為集合，選擇化學(xué)科的人數(shù)組成集合，選擇生物科的人數(shù)組成集合，記選擇物理與化學(xué)但未選生物的學(xué)生組成集合要使選擇物理和化學(xué)這兩門(mén)課程的學(xué)生人數(shù)最多，除這三門(mén)課程都不選的有15人，這三門(mén)課程都選的有10人，則其它個(gè)選擇人數(shù)均為最少，即得到單選物理的最少6人，單選化學(xué)的最少6人，單選化學(xué)、生物的最少6人，單選物理、生物的最少6人，單選生物的最少3人，以上人數(shù)最少52人，可作出如下圖所示的韋恩圖，故區(qū)域至多8人，所以單選物理、化學(xué)的人數(shù)至多8人，故答案為：8

【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意，畫(huà)出集合運(yùn)算的韋恩圖是解答本題的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想，以及分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力.22．設(shè)整數(shù)集，，且，若，滿(mǎn)足，的所有元素之和為，求=；【答案】【分析】根據(jù)可得，結(jié)合已知條件可得，然后分情況討論，和時(shí)，利用集合元素的互異性和確定性即可求解.【詳解】由可得，所以，因?yàn)椋?，若，因?yàn)?，所以，所以，，，故所以，若則，可得或與矛盾，所以此時(shí)不成立，若，則，所以，所以，所以即顯然，可得或，因?yàn)榕c矛盾，所以，，此時(shí)，，所以，由題意知：，即，解得或（舍）綜上所述：，，所以，故答案為：.23．設(shè)集合，其中為實(shí)數(shù)，令，，若中的所有元素之和為6，中的所有元素之積為．【答案】【分析】根據(jù)中的元素的和為6可得的元素，從而可求中的元素，從而可得各元素的積，注意分類(lèi)討論.【詳解】因?yàn)?，而，故，所以，若，則或（舍），此時(shí)，故中的所有元素之積為.若，則，這與或，這與中的所有元素之和為6矛盾.若，則或（舍），此時(shí)，這與中的所有元素之和為6矛盾.若，則，則，即，無(wú)解.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于集合中元素的確定問(wèn)題，注意利用元素的互異性、確定性和無(wú)序性來(lái)分類(lèi)討論.24．Q是有理數(shù)集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．與集合M相等的集合序號(hào)是．【答案】①②④【分析】集合相等條件為集合元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④四個(gè)集合中元素是否與集合M一致即可.【詳解】對(duì)于①.，設(shè)，則，故①的集合與M相等；對(duì)于②.令，則，其中，故②的集合與M相等；對(duì)于③.當(dāng)時(shí)，，故③的集合與M不相等；對(duì)于④.令，，其中，故④的集合與M相等；故答案為:①②④25．已知集合和，使得，，并且的元素乘積等于的元素和，寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的集合.【答案】或或.【分析】求得中所有元素之和后，根據(jù)中元素個(gè)數(shù)得到其元素所滿(mǎn)足的關(guān)系式，依次判斷中元素不同個(gè)數(shù)時(shí)可能的結(jié)果即可.【詳解】，中所有元素之和為；若中僅有一個(gè)元素，設(shè)，則，解得：，不合題意；若中有且僅有兩個(gè)元素，設(shè)，則，當(dāng)，時(shí)，，；若中有且僅有三個(gè)元素，設(shè)，則；當(dāng)，，時(shí)，，若中有且僅有四個(gè)元素，設(shè)，則，當(dāng)，，，時(shí)，，；若中有且僅有五個(gè)元素，若，此時(shí)，中最多能有四個(gè)元素；綜上所述：或或.故答案為：或或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)中元素個(gè)數(shù)的分類(lèi)討論，依次從小至大排列中元素可能的取值，根據(jù)滿(mǎn)足的關(guān)系式分析即可得到滿(mǎn)足題意的集合.26．高一某班共有54人，每名學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、歷史、地理、政治這六門(mén)課程中選擇3門(mén)進(jìn)行學(xué)習(xí).已知選擇物理、化學(xué)、生物的學(xué)生各有至少25人，這三門(mén)學(xué)科均不選的有8人.這三門(mén)課程均選的8人，三門(mén)中任選兩門(mén)課程的均至少有15人.三門(mén)中只選物理與只選化學(xué)均至少有6人，那么該班選擇物理與化學(xué)但未選生物的學(xué)生至多有人.【答案】9【分析】根據(jù)題意，設(shè)學(xué)生54人看成集合，選擇物理的人組成集合，選擇化學(xué)的人組成集合，選擇生物的人組成集合，選擇物理與化學(xué)但未選生物的人組成集合，結(jié)合Venn圖可知，要使區(qū)域的人數(shù)最多，其他區(qū)域人數(shù)最少即可，進(jìn)而可求解.【詳解】把學(xué)生54人看成集合，選擇物理的人組成集合，選擇化學(xué)的人組成集合，選擇生物的人組成集合，選擇物理與化學(xué)但未選生物的人組成集合.要使選擇物理與化學(xué)但未選生物的學(xué)生人數(shù)最多，除這三門(mén)課程都不選的8人，則結(jié)合Venn圖可知，其他區(qū)域人數(shù)均為最少，即得到只選物理與只選化學(xué)均至少6人，只選生物的最少25人，做出下圖，得該班選擇物理與化學(xué)但未選生物的學(xué)生至多有9人.故答案為：9.27．設(shè)集合中，至少有兩個(gè)元素，且滿(mǎn)足：①對(duì)于任意，若，都有；②對(duì)于任意，若，則.若有4個(gè)元素，則有個(gè)元素.【答案】【分析】由題可知有4個(gè)元素，根據(jù)集合的新定義，設(shè)集合，且，，分類(lèi)討論和兩種情況，并結(jié)合題意和并集的運(yùn)算求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】解：由題可知，，有4個(gè)元素，若取，則，此時(shí)，包含7個(gè)元素，具體如下：設(shè)集合，且，，則，且，則，同理，若，則，則，故，所以，又，故，所以，故，此時(shí)，故，矛盾，舍去；若，則，故，所以，又，故，所以，故，此時(shí)，若，則，故，故，即，故，此時(shí)，即中有7個(gè)元素.故答案為：7.28．已知，集合，，若存在正數(shù)，對(duì)任意，都有，則的所有可能的取值組成的集合為．【答案】/【分析】根據(jù)題意按照，，分類(lèi)討論，利用集合的包含關(guān)系即可列出不等式組，解出即得解．【詳解】，則只需考慮下列三種情況：（1）當(dāng)時(shí)，，，又，則，，所以或或，①當(dāng)時(shí)，，即，而易知，，所以這樣的不存在；②當(dāng)時(shí)，，即，顯然這樣的不存在；③當(dāng)時(shí)，，可得：，，解得；（2）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，與（1）同理，解得，不合題意，舍去；（3）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，只有，所以可得：，，解得.綜上所述：或.故答案為