山東省臨沂市羅莊區(qū)2024屆高三上學(xué)期學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2021級(jí)普通高中學(xué)科素養(yǎng)水平監(jiān)測試卷數(shù)學(xué)2024.01一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及共軛復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【詳解】解：，則，即，故在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．故選：．2.若集合，，定義集合且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡集合，結(jié)和所給定義域即可求解.【詳解】由得，則，又且，則.故選：C3.已知函數(shù)，的定義域?yàn)镽，則“，為周期函數(shù)”是“為周期函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)通過反例和周期的性質(zhì)判斷即可.【詳解】兩個(gè)周期函數(shù)之和是否為周期函數(shù)，取決于兩個(gè)函數(shù)的周期的比是否為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則有周期，若不為有理數(shù)，則無周期.的周期為，的周期為，則當(dāng)時(shí)，只有周期的整數(shù)倍才是函數(shù)的周期，則不是充分條件；若，，則為周期函數(shù)，但，為周期函數(shù)不正確，故不是必要條件；因此為不充分不必要條件.故選：D4.正方體中，M是棱的中點(diǎn)．記，，，用，，表示為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)幾何體的特征，結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可求解.【詳解】，，，三個(gè)式子相加得，.故選：A5.過圓C：外一點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線過定點(diǎn)（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求以為直徑的圓的方程，再讓兩圓相減得到直線的方程，即可求解直線所過的定點(diǎn).【詳解】以為直徑的圓的方程為，即，圓，兩圓方程相減就是直線的方程，即可，整理為，聯(lián)立，得，所以直線恒過定點(diǎn).故選：A6.已知，則（）A.2024 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，等式的兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)，再令，即可求解.【詳解】由，等式的兩邊同時(shí)求導(dǎo)數(shù)，可得，令，可得.故選：B.7.已知實(shí)數(shù)，滿足，，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題可得，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，即可得，再結(jié)合即可求解.【詳解】由可得，，即，也即，由可得，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，在恒成立，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，解得，故選:B.8.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓O：，直線PF1與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF2與圓O相交于M，N兩點(diǎn)．若四邊形AMBN的面積為，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，有，，，由弦長公式可得，，四邊形AMBN的面積為，解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，圓O：，圓心為，半徑為，設(shè)，，點(diǎn)P在雙曲線上，，則有，，可得，過O作MN垂線，垂足為D，O為的中點(diǎn)，則，，同理，，由，四邊形AMBN的面積為，，化簡得，則有，則C的離心率.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則（）A.是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】由題意得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后寫出每個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，再判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列.【詳解】由題意得，所以數(shù)列是常數(shù)列，故A正確；數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，C錯(cuò)誤；，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，D正確.故選：AD10.2023年10月3日第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)跳水女子10米跳臺(tái)迎來決賽，中國“夢之隊(duì)”包攬了該項(xiàng)目的冠亞軍.已知某次跳水比賽中運(yùn)動(dòng)員五輪的成績互不相等，記為，平均數(shù)為，若隨機(jī)刪去其任一輪的成績，得到一組新數(shù)據(jù)，記為，平均數(shù)為，下面說法正確的是（）A.新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差B.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)可能等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)C.若，則新數(shù)據(jù)的方差一定大于原數(shù)據(jù)方差D.若，則新數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)一定大于原數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)極差、中位數(shù)、平均數(shù)和方差的概念，以及百分位數(shù)的概念及計(jì)算方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，若隨機(jī)刪去任一輪的成績，恰好不是最高成績和最低成績，此時(shí)新數(shù)據(jù)的極差可能等于原數(shù)據(jù)的極差，所以A正確；對(duì)于B中，不妨假設(shè)，當(dāng)時(shí)，若隨機(jī)刪去的成績是，此時(shí)新數(shù)據(jù)的中位數(shù)等于原數(shù)據(jù)的中位數(shù)，所以B正確；對(duì)于C中，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，根據(jù)方差的計(jì)算公式，分子不變，分母變小，所以方差會(huì)變大，所以C正確；對(duì)于D中，若，即刪去的數(shù)據(jù)恰為平均數(shù)，在按從小到大的順序排列的5個(gè)數(shù)據(jù)中，因?yàn)椋藭r(shí)原數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二數(shù)和第三個(gè)數(shù)的平均數(shù)；刪去一個(gè)數(shù)據(jù)后的4個(gè)數(shù)據(jù)，從小到大的順序排列，可得，此時(shí)新數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第二個(gè)數(shù)，顯然新數(shù)據(jù)的分位數(shù)小于原數(shù)據(jù)的分位數(shù)，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.偉大的古希臘哲學(xué)家?百科式科學(xué)家阿基米德最早采用不斷分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓的面積為，離心率為是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可以為B.若，則C.存在點(diǎn)，使得D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】由橢圓的性質(zhì)判斷A；由定義結(jié)合余弦定理、三角形面積公式判斷B；由余弦定理得出的最大角為銳角，從而判斷C；由基本不等式判斷D.【詳解】對(duì)于A：由，解得，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故A正確；對(duì)于B：由定義可知，由余弦定理可得，解得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)點(diǎn)為短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，為銳角，則不存在點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：AD12.已知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，則（）A.a可能是負(fù)數(shù)B.若，則函數(shù)在處的切線方程為C.為定值D.若存在，使得，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)與切線、極值點(diǎn)、絕對(duì)值不等式等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】若，，所以函數(shù)在處的切線方程為，B選項(xiàng)正確.，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，沒有極值，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，由解得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，而，所以為定值，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若存在，使得，即，即，，即，即，由于，所以必存在，對(duì)于，則有，，解得，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題存在實(shí)數(shù)，使方程有實(shí)數(shù)根，則“”形式的命題是________________【答案】對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程沒有實(shí)數(shù)根【解析】【分析】存在性命題的否定是全稱量詞命題，將，否定原結(jié)論即可.【詳解】原命題為：，使方程有實(shí)數(shù)根，其對(duì)應(yīng)的否命題為：，方程沒有實(shí)數(shù)根，故答案為：對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程沒有實(shí)數(shù)根【點(diǎn)睛】本題考查了特稱命題的否定，所得命題為并否定原結(jié)論，屬于簡單題.14.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】首先由函數(shù)的解析式求出函數(shù)的最小正周期，可得區(qū)間為最小正周期的，當(dāng)區(qū)間關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，可得取得最小值，令，求出t的值，求出的值，進(jìn)而求出所求的代數(shù)式的值．【詳解】函數(shù)的最小正周期為，由于，則區(qū)間的長度是周期的，要使取最小值，則在上不單調(diào)，所以當(dāng)區(qū)間關(guān)于其對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，取得最小值，其對(duì)稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最值±4，不妨設(shè)，則，解得，所以，所以的最小值為，故答案為：15.己知F是橢圓C：的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為該橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若在橢圓內(nèi)部，則的最大值為______．【答案】11【解析】【分析】利用橢圓的定義，轉(zhuǎn)化，再利用數(shù)形結(jié)合，求的最大值.【詳解】由條件可知，，，則，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，且，所以，當(dāng)點(diǎn)（點(diǎn)在第四象限）三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，且,所以的最大值為.故答案為：1116.已知函數(shù)，若關(guān)于x的不等式（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在R上恒成立，則a的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】首先畫出函數(shù)的圖象，再利用數(shù)形結(jié)合，通過直線與的圖象相切時(shí)的臨界值，即可求解的取值范圍.【詳解】在上恒成立，等價(jià)于的圖象恒在直線的上方，，兩邊平方后得，所以的圖象是以為圓心，半徑為1，并且在軸的下半部分的半圓，，，得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，如圖，畫出函數(shù)的圖象：直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)，，可得，由，解得：，則切線的斜率為2，當(dāng)直線與，相切時(shí)，直線與半圓相切，由，解得：，由圖可知，的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)的圖象，并會(huì)根據(jù)直線與曲線相切，求直線的斜率.四、解答題：17.在中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，且．（1）求A：（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理邊化角，然后利用三角公式整理計(jì)算即可；（2）先利用面積公式求出，再利用余弦定理求出，則周長可求.【小問1詳解】由，以及正弦定理可得即，即，又在中，所以，則在中；【小問2詳解】由（1）可得，所以，由余弦定理，解得，所以的周長.18.記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，且滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用時(shí)，得到數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（2）求出，然后利用分組求和法求和即可．【小問1詳解】因?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，則，當(dāng)時(shí)，，解得，所以是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即；【小問2詳解】因?yàn)?，則．19.在三棱錐中，，平面，點(diǎn)M是棱上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)?shù)拈L最小時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）證明出，建立空間直角坐標(biāo)系，得到點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算出，得到垂直關(guān)系；（2）計(jì)算出當(dāng)時(shí)，取得最小值，求出兩平面的法向量，得到平面與平面夾角的余弦值.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，故，由勾股定理逆定理得，又平面，故以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，由勾股定理得，，?dāng)時(shí)，分別為的中點(diǎn)，，則，，故，；【小問2詳解】，故，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.數(shù)軸上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每次隨機(jī)向左或向右移動(dòng)1個(gè)單位長度，其中向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為，記點(diǎn)移動(dòng)次后所在的位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為.（1）求和的分布列和期望；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在哪一個(gè)位置的可能性最大，并說明理由.【答案】（1）分布列見解析，，（2）對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)為4，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率列出分布列，求期望；（2）設(shè)點(diǎn)向右移動(dòng)次，向左移動(dòng)次的概率為，作商與1比較可得出時(shí)最大即可得解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，.13.當(dāng)時(shí)，，，，.024.【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)向右移動(dòng)次，向左移動(dòng)次的概率為，則，當(dāng)時(shí)，，隨的值的增加而增加，當(dāng)時(shí)，，隨的值的增加而減小，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)點(diǎn)所在的位置對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)應(yīng)為4.21.已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動(dòng)圓與圓內(nèi)切，與圓外切，動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程：（2）已知點(diǎn)，直線不過點(diǎn)并與曲線交于兩點(diǎn)，且，直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)：若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由，【答案】21.，；22.直線恒過點(diǎn),，理由見解答．【解析】【分析】（1）由題意,，,，，結(jié)合雙曲線的定義求解即可得結(jié)論；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線的方程消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合條件，可得，化簡整理即可求解．【小問1詳解】如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，由題可得圓半徑為3，圓半徑為1，則，，所以，由雙曲線定義可知，的軌跡是以，為焦點(diǎn)、實(shí)軸長為4的雙曲線的右支，又，,，所以動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為，，即曲線的方程為，．【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由題意直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則，設(shè),，,，其中，，由韋達(dá)定理得：，，又點(diǎn)，所以,，,，因?yàn)?，所以，則，即，解得舍去），當(dāng)，直線的方程為，，故直線恒過點(diǎn),．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中定點(diǎn)問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)或動(dòng)線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時(shí)沒有關(guān)系，找到定點(diǎn).（2）特殊到一般法：先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)或動(dòng)線特殊情況探索出定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點(diǎn);若直線方程為(為定值),則直線過定點(diǎn)22.已知，設(shè)函數(shù).（1）討論函