高斯公式和斯托克斯公式

關(guān)于高斯公式和斯托克斯公式定理22.3

設(shè)空間閉區(qū)域V

由分片光滑的

在V

上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有

閉曲面S

所圍成,S

的方向取外側(cè),函數(shù)P,Q,R

一、高斯公式首頁(yè)×第2頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天下面先證:證明設(shè)為XY型區(qū)域,則首頁(yè)×第3頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天首頁(yè)×第4頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天所以若

不是XY–型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)XY–型區(qū)域,

故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類(lèi)似可證三式相加,即得所證Gauss公式：首頁(yè)×第5頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例1計(jì)算其中S

是由x=y=z=0,x=y=z=a

六個(gè)平面所圍的正立方體表面并取外側(cè)為正向.解首頁(yè)×第6頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例計(jì)算所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).解其中S

為錐面與平面首頁(yè)×第7頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天設(shè)S1

為上半球體的底面，例計(jì)算的外側(cè).解其中S

是上半球面取下側(cè).于是首頁(yè)×第8頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天斯托克斯公式建立了沿曲面S

的曲面積分與沿S

的邊界曲線L

的曲線積分之間的聯(lián)系.對(duì)曲面S

的側(cè)與其邊界曲線L

的方向作如下規(guī)定：設(shè)人站在曲面S

上的指定一側(cè)，沿邊界曲線L

行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進(jìn)的方向?yàn)檫吔缜€

L

的正向.這個(gè)規(guī)定方法也稱為右手法則.首頁(yè)×第9頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天定理22.4

設(shè)光滑曲面S

的邊界L

是按段光滑曲線,同L

）上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有

S

的側(cè)與L

的正向符合右手法則,

在

S

（連首頁(yè)×第10頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天注意:

則斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.如果S

是xoy

坐標(biāo)平面上的一塊平面區(qū)域,首頁(yè)×第11頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天為便于記憶,斯托克斯公式還可寫(xiě)作:或用第一類(lèi)曲面積分表示:首頁(yè)×第12頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天證情形1

與平行z軸的直線只交于一點(diǎn),設(shè)其方程為為確定起見(jiàn),不妨設(shè)

取上側(cè)(如圖).則(利用格林公式)首頁(yè)×第13頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天首頁(yè)×第14頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天因此同理可證三式相加,即得斯托克斯公式;首頁(yè)×第15頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天情形2

曲面

與平行z軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè),則可通過(guò)作輔助線面把

分成與z軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,所以對(duì)這類(lèi)曲面斯托克斯公式仍成立.證畢首頁(yè)×第16頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例2

利用斯托克斯公式計(jì)算積分

其中

L

為平面x+y+z=1與各坐標(biāo)面的交線，解取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎蛉鐖D所示.記三角形ABC為S,取上側(cè),則首頁(yè)×第17頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天首頁(yè)×第18頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

利用斯托克斯公式計(jì)算積分

其中

L

為y2+z2

=1,x=y

所交的橢圓正向.解記以L

為邊界的橢圓面為S,其方向按右手法則確定，于是有首頁(yè)×第19頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天首頁(yè)×第20頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例

為柱面

與平面y=z

的交線,從

z

軸正向看為順時(shí)針,計(jì)算解

設(shè)

為平面z=y

上被

所圍橢圓域,

且取下側(cè),利用斯托克斯公式得則其法線方向余弦首頁(yè)×第21頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件定理22.5

設(shè)Ω

是空間單連通區(qū)域,函數(shù)P,Q,R

在Ω上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià):(1)對(duì)Ω

內(nèi)任一按段光滑閉曲線L,有(2)對(duì)Ω

內(nèi)任一按段光滑曲線L,與路徑無(wú)關(guān)首頁(yè)×第22頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天(4)在Ω

內(nèi)處處有(3)在Ω

內(nèi)存在某一函數(shù)u,使首頁(yè)×第23頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天與路徑無(wú)關(guān),并求函數(shù)解

令

積分與路徑無(wú)關(guān),因此例3

驗(yàn)證曲線積分首頁(yè)×第24頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式首頁(yè)×第25頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天2.斯托克斯公式首頁(yè)×第26頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天例計(jì)算其中S

為球面在第一卦限部分

例設(shè)S

與上例相同，取球面外側(cè)，分別計(jì)算下列積分

首頁(yè)×第27頁(yè),共29頁(yè)，2024年2月25日，星期天德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域,在數(shù)論、級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn),他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用,地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢(shì)論等.他在學(xué)術(shù)上十分謹(jǐn)慎,原則:代數(shù)