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揚(yáng)州市2024屆高三上學(xué)期期初考試模擬試題
數(shù)學(xué)
一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題
目要求的.
1.已知集合/={x|(x+l)(x-2)<0},8={x[y=j2/,則()
A.[-1,2)B.[-1,2]C.(F,2)D.(-8,2]
2.在△ABC中,“sin/2sinB”是"cos/4cos3”的()
A.既不充分也不必要條件B.必要不充分條件
C.充分不必要條件D.充要條件
3.重慶八中五四頒獎(jiǎng)典禮上有4B,C,D,E,尸共6個(gè)節(jié)日,在排演出順序時(shí),要求8相鄰,C,
。不相鄰,則該典禮節(jié)目演出順序的不同排法種數(shù)為()
A.288種B.144種C.72種D.36種
4.唐朝的狩獵景象浮雕銀杯如圖1所示,其浮雕臨摹了國(guó)畫、漆繪和墓室壁畫,體現(xiàn)了古人的智慧與工
藝.它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(假設(shè)內(nèi)壁表面光滑,忽略杯壁厚度),如圖2
所示.已知球的半徑為七酒杯的容積?萬川,則其內(nèi)壁表面積為()
圖1圖2
A.12乃R?B.10/rR2C.8兀瞪D.6TTR?
已知〃=lg2,3"=10,則bgs6=
ab+\ah+1ab+aab+b
B.
b-aba-ab\-ab\-ab
22
6
-已知橢圓cAi〉一的左、右焦點(diǎn)分別為小入,過片的直線與橢圓交于M、N兩點(diǎn),
若VMNg的周長(zhǎng)為16,離心率e=;,則VMNE面積的最大值為()
A.12B.2石C.46D.8G
第1頁,共4頁
7.已知sin,+cos(d-ej=l,則sin(9+V卜().
A.-亙B.|C.--D.3
3333
22
8.設(shè)函數(shù)f(x)=logax(a>0,a/l),f(X|X2...x2oi8)=4,則f(xj)+f(xj)+...+f(x2oi8)的值等
于()
A.4B.8C.16D.21og48
二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要
求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.
9.己知復(fù)數(shù)z=l-2i,則下列說法正確的是()
A.復(fù)數(shù)z的實(shí)部是1,虛部是2B.復(fù)數(shù)z的模為石
C.復(fù)數(shù)zN=5iD,復(fù)數(shù)z是方程2x+5=0的一個(gè)根
10.如圖,直四棱柱488-48?。中,底面Z8C。為平行四邊形,==點(diǎn)尸是經(jīng)過
點(diǎn)用的半圓弧彳石上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),點(diǎn)。是經(jīng)過點(diǎn)。的半圓弧比上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),則
下列說法正確的是()
A.四面體尸8C。的體積是定值
UJUULX1
B.山>4尸的取值范圍是(0,4)
C.若與平面所成的角為凡則tan,>;
D.若三棱錐P-BC0的外接球表面積為5,則Se[4兀,13兀)
11.定義:若存在非零常數(shù)怎T,使得函數(shù)兀0滿足兀r+7)=/(x)+無對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x恒成立,則稱
函數(shù)40為Z距周期函數(shù)“,其中T稱為函數(shù)的“類周期則()
A.一次函數(shù)均為”距周期函數(shù)”
B.存在某些二次函數(shù)為7距周期函數(shù)”
C.若“1距周期函數(shù)次x)的“類周期”為1,且/(I)=1,則危尸x
D.若g(x)是周期為2函數(shù),且函數(shù)寅x)=x+g(x)在[0,2]上的值域?yàn)椋?,1],則函數(shù)./(x)=x+g(x)在區(qū)間[2〃,
2〃+2]上的值域?yàn)椋?〃,2n+\]
12.設(shè)A,8是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件,且尸(N)=g,P(5)=1,4/+耳=g,則()
A.P(而)=:B.=(C.尸伍)=尸(司4)D.P(AB+AB)=^
第2頁,共4頁
三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.
13.某產(chǎn)品的年廣告費(fèi)用x與年銷售額V的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表
年廣告費(fèi)用X(萬元)4235
年銷售額,(萬元)49m3954
經(jīng)測(cè)算,年廣告費(fèi)用x與年銷售額夕滿足線性回歸方程?=9.4X+9.1,則〃,的值為.
14.若S,為等差數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和,且4+%=22,S“=〃(凡-2〃+2),則數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式
是.
15.方程3sinx=l+cos2x的解集為
16.在AABC中,角A,3,C所對(duì)的邊分別為。,b,C.已知———=?一":一。;.則角8的度
2sinZ-sinCc2-a2-b2
數(shù)為______
四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17.已知函數(shù)〃》)="皿,且/&)的圖象在點(diǎn)(ej(e))處的切線與直線y=e?x+e垂直.
X
(1)求a的值及/(x)的極值;
(2)是否存在區(qū)間,r+:,>0),使得函數(shù)/(x)在此區(qū)間上存在極值和零點(diǎn)?若存在,求實(shí)數(shù)t的取值范
圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
18.設(shè)數(shù)列{6,}的前〃項(xiàng)和為*,且3s.=4%-2.
(1)求數(shù)列{4,}的通項(xiàng)公式:
(2)設(shè)數(shù)列〃=log?a",對(duì)任意eN,機(jī)21,將數(shù)列{〃,}中落入?yún)^(qū)間+”內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為{%}
,記數(shù)列{4}的前加項(xiàng)和為S,“,求使得鼠>2022的最小整數(shù)機(jī).
19.在①NE=2,@AC1BD,③NEAB=NEB4,這三個(gè)條件中選擇一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中,并給出
解答
如圖,在五面體48CDE中,已知AC1BC,EDHAC,且4c=BC=2ED=2,
DC=DB=6
(1)求證:平面N5E2與平面/8C;
⑵線段3c上是否存在一點(diǎn)F‘使得平面/防與平面".夾角的余弦值等于?!舸嬖凇篌业?/p>
第3頁,共4頁
值;若不存在,說明理由.
20.政府舉辦“全民健身乒乓球比賽”,比賽規(guī)則為:每隊(duì)4人,2男(男1號(hào),男2號(hào)),2女(女1號(hào),
女2號(hào)),比賽時(shí)第一局兩隊(duì)男1號(hào)進(jìn)行單打比賽,第二局兩隊(duì)女1號(hào)進(jìn)行單打比賽,第三局兩隊(duì)各派一
名男女運(yùn)動(dòng)員參加混雙比賽,第四局兩隊(duì)男2號(hào)進(jìn)行單打比賽,第五局兩隊(duì)女2號(hào)進(jìn)行單打比賽,五局三
2
勝,先勝3局的隊(duì)獲勝,比賽結(jié)束.某隊(duì)中的男甲和男乙兩名男隊(duì)員,在比賽時(shí),甲單打獲勝的概率為3,
324
乙單打獲勝的概率為若甲排1號(hào),男女混雙獲勝的概率為3;若乙排1號(hào),男女混雙獲勝的概率為二
(每局比賽相互之間不受影響)
(1)記X表示男甲排1號(hào)時(shí),該隊(duì)第一局和男女混雙兩局比賽獲勝局?jǐn)?shù),求X的分布列;
(2)若要該隊(duì)第一局和男女混雙這兩局比賽獲勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望大,甲、乙兩人誰排1號(hào)?加以說明.
21.已知橢圓(?:=+4=1(。>6>0)的上頂點(diǎn)為加、右頂點(diǎn)為乂△OMN(點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為
ah
i,直線>=x被橢圓c所截得的線段長(zhǎng)度為如電.
5
(1)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)試判斷橢圓C內(nèi)是否存在圓0:/+丁=/&>0),使得圓。的任意一條切線與橢圓c交于4B兩
LLA1LX1U
點(diǎn)時(shí),滿足0408為定值?若存在,求出圓。的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
22.己知函數(shù)/(x)=ln(2x-l)-”?(2x-l)+l,meR.
(1)若曲線y=/(x)在(2,/(2))處的切線與直線3x-y+2=0垂直,求函數(shù)/(x)的極值;
(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象恒在直線夕=1的下方.
①求切的取值范圍;
②求證:對(duì)任意正整數(shù)”>1,都有In[(2〃)!]<4〃(;+1)
第4頁,共4頁
試題解析
1.D
解一元二次方程求集合4由具體函數(shù)的定義域求集合8再利用集合的并運(yùn)算求
即可.
依題意,得人{(lán)41<、<2},3=仲42},
.A<JB=(-oo,2]
故選:D.
2.D
由正弦定理、三角形邊角關(guān)系及充分條件、必要條件的定義即可得解.
a_h
由正弦定理得sin/sin8,且45e(0/),
若sin/2sin8,則所以所以cos/4cos8,故充分性成立;
若cos/4cos8,則由余弦函數(shù)的單調(diào)性可得428,所以sin/l>sinB
故必要性成立.
所以“sin42sin6”是“cos4<cos5”的充要條件.
故選:D.
3.B
按照相鄰捆綁,不相鄰插空的方法求解.
48相鄰,捆綁作為一個(gè)節(jié)目與E、尸進(jìn)行全排列,然后把C、。插入其中的四個(gè)
空檔中,排法總數(shù)為A;A;A”144
故選:B.
4.C
根據(jù)圓柱和球的體積公式和表面積公式即可求解.
設(shè)圓柱部分的高是叫
1411
TIR2hH-------RR'=—HR,
所以233
,14n11
hH-------R=—Ro
所以233
所以"=3火,
答案第1頁
2nRh+--4nR2=2TIR-3R+--4K/?2=8TU7?2
內(nèi)壁表面積為22,
故選:C.
5.A
利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的互換表示出坨3,然后利用換底公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.
*=log310=—Ig3=-J-
由題可得庾,即b.
=1唱63=妒+炮3=%=效擔(dān)
庫式1g5l-lg2\-ah-ah
故選:A.
6.A
根據(jù)給定的離心率及三角形周長(zhǎng),求出橢圓方程,再設(shè)出直線仞V的方程,與橢圓方
程聯(lián)立求解三角形面積即可.
依題意,△“NF2周長(zhǎng)也用+也M+0名目岫什也用+0用+W用=而=16,
解得”4,
e——c——~2
而橢圓的離心率-2,則其半焦距一2一,因此〃=/_。2=]2,
__I
橢圓c1612",6(-2,0),顯然直線MN不垂直于y軸,設(shè)其方程為x=W-2,
Jx=ty-2
由[3/+4/=48消去萬得:(3/2+4)/-12(y-36=0設(shè)“①,必)7(*2,%),
12/36
則有3廠+43廠+4,
r-----3—;I144/144-24y/tT+i24
以fl=J(必+%)-他%^-^+-r-=-r—=——-^:
#7T
令函數(shù)"〃在工位)上單調(diào)遞增,因此當(dāng),=°時(shí),爐「取得最
小值4,
答案第2頁
但
Iv_vI-6工I-Ij,-^|<|x4x6=12
即舊乂小一6,△MNF2的面積'22,當(dāng)且僅當(dāng)
及W,x時(shí)取等號(hào)
所以△MNF2面積的最大值為12.
故選:A
7.A
.(a7叫
根據(jù)三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)已知等式,再根據(jù)誘導(dǎo)公式簡(jiǎn)化I6J即可得到
答案.
sini9+cos^-^=l
冗冗
=>sin0+cos0cos—+sin0sin—=1
66
06—cos^4--^-sin<9|=1
”2J
nsinQ+jg
sin(e+詈卜sin(e+£++一sin(6+7卜一牛
故選:A
8.B
由函數(shù)的解析式結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.
:函數(shù)f(x)=logax(3>0,a#l),f卜的小。捅=4,
f^XiX^'X2018]=loga(X1X2"X2O粉=4,
*e*f(x/)+f(x/)+,,,+/■(X201撲
2
=toga(x;xx/xLxx20l8)
=loga(x1X2”X2o捅2
=2loga(x1X2”X2o給
=2x4=8.
故選從
本題考查函數(shù)值的求法,考查對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,
是基礎(chǔ)題.
9.BD
復(fù)數(shù)z=J2i,可知其實(shí)部為1與虛部為-2,其模長(zhǎng)為石,z.,=5,將復(fù)數(shù)二代入
x2-2x+5=°驗(yàn)證即可說明復(fù)數(shù)2為方程的一個(gè)根.
因?yàn)閺?fù)數(shù)z=l_2i
答案第3頁
所以復(fù)數(shù)z的實(shí)部是1,虛部是-2,A錯(cuò)誤,
目=”+(-2)2=右,B正確,
z-z=(1—2i)?(1+2i)=1+4=5Q錯(cuò)誤
因?yàn)?一2評(píng)一2(1-菊+5=1-4-4-2+4+5=°,即復(fù)數(shù)z是方程1-2*+5=°的一個(gè)根,D
正確.
故選:BD.
10.BCD
4P
V=—xAA,x—xBCxhcos/DAP=
PpBRCrnQ
A.由-3'2判斷B.由42
AD-4P=4cos,ND《P求解判斷;c.由歐J平面48C2得到4℃是G0與平面
488所成的角求解判斷;D.以D為原點(diǎn),分別以℃,OR為X,卜z軸,建立空間
直角坐標(biāo)系,設(shè)球心為。伶0,"2人尸("」),由凹=囪化簡(jiǎn)得到f的范圍,再由
_iLUDp
外接球的表面積為S=4叩4判斷.
直四棱柱中點(diǎn)戶到底面力88的距離為“4=1,設(shè)點(diǎn)。到8。的距
]7——AAx_xxli
離為h,則…—312,因?yàn)椤ú皇嵌ㄖ担仕拿骟w加的體積不是定
值,故A錯(cuò)誤;
,cos
在心中,4R,
ULUUULIULU111111?,UULI?2
ADAiP=AR.A,P=%〃,4尸|?cosND/#=4cosZD/尸
*
因?yàn)椤?尸傘萬),所以cos。/尸?0,l)則皿4Pe(O,4),故B正確;
因?yàn)槠矫鍭BCD,所以2GO。是G。與平面ABCD所成的角,則
tanZC.QC=^CC-=——1
1CQCQ
因?yàn)镃Qe(O,2),所以tan4支>5,故c正確;
答案第4頁
以D為原點(diǎn),分別以O(shè)',0C,DR為K乂工軸,建立空間直角坐標(biāo)系:
J310)
則網(wǎng)百,O,O),C(O,I,O),4(/TI),A(O,O,I),線段交的中點(diǎn)為〔2'2'1線段
,像」「1
的中點(diǎn)為〔22
t=--y-1<y<-/=l-y€[0,-)|05l=Vl+7e[l,—)
即21易知,2,則2?L2[??2;
,LUD.2
所以外接球的表面積為S=4"陷",叫故D正確
故選:BCD
11.AD
根據(jù)新定義進(jìn)行證明判斷A,假設(shè)二次函數(shù)是2距周期函數(shù)”,然后由新定義推理判斷
B.用反例判斷C,根據(jù)周期函數(shù)的定義求解判斷D.
A.設(shè)一次函數(shù)為〃x)=ax+6,貝|j/(x+7)=a(x+T)+6=ax+6+“7=/(x)+4T其中
答案第5頁
k=aT,A正確;
B.設(shè)二次函數(shù)為〃x)="x+6X+C("0),
/(x+T)=a(x+r)2+b(x+T)+c=ax2+(2aT+b)x-^-aT2+bt+c
]
若/(x)是,%距周期函數(shù),,,則2aT=0,則7=0,不滿足新定義,B錯(cuò)誤;
〃、_Jx,xe。
/(x)—I
C設(shè).[x+2,x《Q,則”X)是“1距周期函數(shù)”,且類周期為1,/⑴=1,C錯(cuò);
D,設(shè)xe[2〃,2〃+2],貝“x-2〃e[0,2],即g(x)=g(x-2〃),
則/(幻=》+8(》)=0:-2〃)+8(%-2〃)+2"=/(>-2")+2”€[2〃,2〃+1],D正確.
故選:AD.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查新定義,解題關(guān)鍵是理解新定義,然后根據(jù)新定義解決問
題.新定義的實(shí)質(zhì)是/a+r)=/(x)+”恒成立(意*°),因此可轉(zhuǎn)化恒等式進(jìn)行分析.
12.BCD
利用和事件的概率公式和條件概率公式可得.
對(duì)于A:叩+》?。?尸(耳-尸(碼,;一尸(碉
P(AB\=—
所以,,12,故A錯(cuò)誤;
對(duì)干氏QP(碉+尸(碉=P(/).,?尸(皿+5=;.尸(回=:
/JJD?>1
3,故B正確;
1
一
炳1
z冏==
/方12
\1一4-1
5-
一-
34...p(2尸⑻
對(duì)于c:
寸P(晶+孤)=P(JB)+尸(孤)=*+P(AB)
QP(B)=P(AB)+P(AB).冷+尸(石),P("8)=;
答案第6頁
川力力+工8)='+!=工
/12212,所以D正確.
故選:BCD.
13.26
49+機(jī)+39+54八
根據(jù)題意得到x=3.5,y=42,得到4,解之得解.
由題得“='5,
回歸方程是夕=94X+9」經(jīng)過樣本中心點(diǎn)是叵,衿,且丁=3.5,?j=42,
49+〃?+39+54
---------------------=42
所以4,解得羽=26.
故答案為:26
本題主要考查回歸直線方程的應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.
]4.=4〃-1,“wN*
根據(jù)已知,利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及通項(xiàng)公式求解.
因?yàn)榈炔顢?shù)列'J滿足《+%=22,
所以2%=22,所以%=M,
又因?yàn)镾“=〃(…+2),
所以昆=%+廿23-2),即%=q+4所以"=4,
所以4=%+(*-3必=11+(〃-3>4=4〃-1,neN,
故答案為:勺=4〃-1,“eN.
{x|x=A^+(-l)*?—),AeZ
15.6
方程3siru=1+cos2%即3sinA=l+l-2sin2x,解關(guān)于sinx的方程即可
方程3sinA=l+cos2x,BP3sinA=l+l-2sm2x,即2sm0+3$冶卜-2=0,
求得sin戶-2(舍去),或sin42,
{x|x=4左+(-1),--},k€Z
答案第7頁
{x\x=+'—},kGZ
故答案為6
TV
16.3;
分析:根據(jù)余弦定理,將題中等式化簡(jiǎn)整理,可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,利
cosB=—
用兩角和正弦公式化簡(jiǎn)得2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,在兩邊約去sinA得2,結(jié)
合三角形內(nèi)角取值范圍即可得到角B的大小.
詳解:???在4ABC中,b2=a2+c2-2accosB,
二b2-a2-c2=-2accosB,同理可得c2-a2-b2=-2abcosC
sinC_b2-a2-c2
IsinA-sinCc2-a2-h2
sinC_-laccosB_ccosB__sinCcosB
;,2sinA-sinC-labcosCbcosCsinBcosC
vsinC^O,可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,
2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)=sinA,
cosB=—
,.esinA#0,「?等式兩邊約去sinA,可得2,
71
v0<B<TT,.??角B的大小3.
點(diǎn)睛:點(diǎn)睛:(1)在三角形中根據(jù)已知條件求未知的邊或角時(shí),要靈活選擇正弦、余弦定
理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化,以達(dá)到求解的目的.
(2)求角的大小時(shí),在得到角的某一個(gè)三角函數(shù)值后,還要根據(jù)角的范圍才能確定角的大
小,這點(diǎn)容易被忽視,解題時(shí)要注意.
17.極大值1,無極小值;⑵存在,
(1)結(jié)合已知條件,首先求出r(e),然后利用兩直線垂直關(guān)系即可求出J然后利用導(dǎo)
函數(shù)求出/(X)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得極值;(2)結(jié)合(1)中結(jié)論,求出零點(diǎn)存在的大致區(qū)間,
再結(jié)合已知條件即可求解.
⑴由/叱野,得/'(上丁
因?yàn)榘素椎膱D象在點(diǎn)e/(e))處的切線與直線y=e?x+e垂直,
答案第8頁
、1—q—Ine—a1
f(e)=----j---=—=一一i,
所以e-e-e-,解得。=1
1+Inx..、Inx
/(x)=(x>0)j(x)=j-=0
所以X,令'x2得x=l
因?yàn)楫?dāng)xe(0,l)時(shí),/,x)>0;當(dāng)xe(l,+8)時(shí),/'(x)<0
所以/(X)在(°,1)上單調(diào)遞增,在(L+8)上單調(diào)遞減.
故八X)在x=l處取得極大值1,無極小值.
⑵由⑴,知/⑶在5+8)上單調(diào)遞減,且
f(e~2\-1+lne~_2Q
又/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,且“e-2",/0)=1>0
所以由零點(diǎn)存在定理,得"X)在區(qū)間(°,1)內(nèi)存在唯一零點(diǎn).
|t,tH—|(?>0)
若函數(shù)"X)在區(qū)間I3;上存在極值和零點(diǎn),
2
0<Z<l</+-
3
//、1+lnr.
/(0=-----<0-<t<-
則解得3e
t,t+§卜>。)
所以存在符合條件的區(qū)間,此時(shí)實(shí)數(shù),的取值范圍為
21
a-20-
18.⑴";
(2)5
—1
a
?S"一S"T,〃"2可求出數(shù)列{對(duì)}的通項(xiàng)公式;
(1)利用
(2)由(1)得2=2〃-1,然后由%-1<〃4限+1,得22",<〃<222+1,則
%=2"2-22”+1,從而可求出S”,進(jìn)而可求出使得2022的最小整數(shù)加的值.
(1)當(dāng)〃=1時(shí),3s|=例-2,得q=2
當(dāng)“22時(shí),由3s〃=4。〃_2,得3sLi=4%_]_2
答案第9頁
所以3S〃~3S〃T=44-2-(4%_]-2),
3%=4%-4az
所以4=4%,
所以數(shù)列{“"}是以2為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列,
所以4,=2'4'1=22'1
(2)由(1)得"=log2a,=log222'T=2〃_l,
因?yàn)閿?shù)列也}中落入?yún)^(qū)間(限T聯(lián)+1]內(nèi),
所以仆+1-1<6“4am+2+1,
所以-1<2〃-1M22S+2Z+1,
2m+l2m+3
2<2?<2+2!
所以22m<〃422'-2+1,
所以數(shù)列{a}中落入?yún)^(qū)間(""「I'%”+1]內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)
c,?=22m+2-22m+1=3x4"'+1
12(1-4"1)
S,+m=4M+1+/M—4
所以1-4
由S”,>2022,得4"*"+m-4>2022
即4"向+"?>2026,
當(dāng)機(jī)=4時(shí),44+|+4=1024+4=1028<2026
當(dāng)機(jī)=5時(shí),45+,+5=4096+5=4101>2026
因?yàn)??川+機(jī)隨〃,的增大而增大,
所以黑>2022的最小整數(shù)為§
19.(1)證明見解析;
BF_3
⑵存在;BC4.
答案第10頁
(1)若選①,取"C中點(diǎn)G,8c中點(diǎn)0,中點(diǎn)H,可證得四邊形EOCG為平行
四邊形,從而利用勾股定理和平行關(guān)系證得“C_L8,由線面垂直和面面垂直判定得到平
面Z8C工平面8CO,利用面面垂直性質(zhì)可證得,平面/8C;
若選②,取8c中點(diǎn)°,中點(diǎn)H,由線面垂直和面面垂直的判定可證得平面N8C1平
面8C。,利用面面垂直性質(zhì)可證得平面4SC;
若選③,取8c中點(diǎn)°,4B中點(diǎn)、H,根據(jù)長(zhǎng)度和平行關(guān)系可證得四邊形為平行四
EH=-AB
邊形,由此確定2,得到結(jié)合NE=5E可得8E=2,從而利用勾股定
理和平行關(guān)系證得“CIBD,由線面垂直和面面垂直判定得到平面/8C工平面BCD,利
用面面垂直性質(zhì)可證得,平面/8C;
三個(gè)條件均可說明兩兩互相垂直,則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系,
利用面面垂直的向量證明方法可證得結(jié)論;
(2)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)/利用二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得
=_\_也
2,由此可確定尸點(diǎn)位置,得到8c的值.
(1)若選①,取“0中點(diǎn)G,2c中點(diǎn)0,4B中點(diǎn)、H,連接EG,。。。",
CG=—AC=ED.cr//cn
QEDHAC,2,,四邊形EDCG為平行四邊形,??EG”'。
??rrAG=—AC=1,,,
222
EG=V3Jv2,AE=2,AG+EG=AE,:.AG1EG
答案第11頁
又CDI/EG:.ACLCD又ACLBCBCcCD=C8C,CDu平面BCD
AC1平面BCDQAC(z平面ABC:,平面ABC1平面BCD
QBD=CDDOIBC又。Ou平面BCO平面BCDI平面=
平面48。又OH"ACACIBCOHIBC;
若選②QAC八BDACIBCBC\BD=BBC,BDu平面BCD
AC1平面BCDQAC平面ABC:,平面ABC±平面BCD,
取8c中點(diǎn)0,相中點(diǎn)H,連接A。,?!?,
QBD=CDDOIBC又。Ou平面BCD平面8CZ)I平面Z8C=8C
二。0_1平面/8。,又OHHAC'ACIBCOH1BC-
若選③,取8c中點(diǎn)°,4B中點(diǎn)H,連接ODQH,EH.
cc口“/n.-.OH//-ACEDU-AC.?
Q°,“分別為8c,/2中點(diǎn),=2,又=2,-OnH//E/FDn
,四邊形。為平行四邊形,==
答案第12頁
l:.EH=-AB
QAC1BCAC=BC=2AB=2V22AE1BE
?>??
QZEAB=Z.EBA,;.BE=AE=2,BD2+DE2=BE2
BDIDEDE11ACACBD
?Xvs*11i
又ACjLBCBC\BD=B平面BC。
AC1平面BCDQAC<z平面ABC平面ABC1平面BCD
又DOLBCDOu平面BCD平面3CQI平面45c=5C
??OOI平面48C,又OH"ACACIBCOH1BC;
綜上所述:兩兩互相垂直,
LAAHLAA,LJL1U
則以°為坐標(biāo)原點(diǎn),。。,。",。8為x),z軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則4(2,-1,0)5(0,1,0)£0,0,.?.益=(-2,2,0)5£=(1,-1,>/2)
U
0。。,平面/8。,平面N8C的_個(gè)法向量加=(°,°,1);
設(shè)平面的法向量/=(再,必,4),
,ULiyLV
AB?n1=-2X|+2%=0
<ULWw.廠u
則RE‘,1="|—弘+J2%=。令X[=l解得,必=1Z[=0..々(1,1,0)
=0,即機(jī),々,...平面/8E/與平面/8C
(2)設(shè)在線段8c上存在點(diǎn)/(O/OXTWl),使得平面ZEF與平面相E夾角的余弦值
5回
等于43
答案第13頁
由⑴得:明飛陽關(guān)5回,
UJ
設(shè)平面/EF的法向量〃2=(%,%,Z2),
riuy
AE-=~X^+>2+=0
“ULBKr+1&(I)
則屏,=-x+ty-y/2z-0令%=1,貝『七=
222v%4
5743
43
2
化簡(jiǎn)可得:2?-13/-7=0,解得:'-5或f=7(舍),
BF_3
綜上所述:在線段8c上存在點(diǎn)尸,滿足正一可使得平面/E尸與平面相E夾角的余弦
5月
值等于43.
20.(1)答案見解析
(2)乙排1號(hào),理由見解析
(1)求出X的可能取值及對(duì)應(yīng)的概率,得到分布列;
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,求出男甲排1號(hào)時(shí)的期望值,再求出男甲排1號(hào)時(shí)的期望值,比
較后得到結(jié)論.
(1)X的可能取值為°」,2,
、294
P(X=2)=—x—=—
'7339
故分布列為:
X012
答案第14頁
]_44
P
999
4
⑵由(1)知,甲排1號(hào)時(shí),期望值為3
設(shè)y表示男乙排1號(hào)時(shí),該隊(duì)第一局和男女混雙兩局比賽獲勝局?jǐn)?shù),
則y的可能取值為°』,2,
4、11
p(y=i)=1
25
zQ3412
^Dv=2)=-x-=-
「八八c2111cl27
E(丫)=0x--F1x---1-2x—=一
故期望值為',2525255
47
一〈一
因?yàn)?5,故乙排1號(hào)時(shí)期望值更大.
-+j2=1x2+y2=-
21.(1)4;(2)存在,方程為"5.
(1)根據(jù)條件,列出關(guān)于“]的方程組,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)當(dāng)斜率存在時(shí),
,_陽2
設(shè)直線丫=a+機(jī),與橢圓方程聯(lián)立,得到韋達(dá)定理,結(jié)合直線與圓相切,得到‘-1+公,
UUU-1
并代入的坐標(biāo)表示,利用定值與人無關(guān),求得圓的方程,當(dāng)斜率不存在時(shí),可直接
I.*/LAJU
求得點(diǎn)48的坐標(biāo),得到的值,求得圓的的方程.
由3"=1,得/=2①
⑴由題意知跖°力),N(a,0)
設(shè)直線kX與橢圓。交于點(diǎn)則|尸0『=阮
a2b2
把P(x°‘x°)代入橢圓方程,得?$一/*,
即/H②
答案第15頁
由①②,解得〔”=1或I'、,舍去),所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為4十,,
(2)假設(shè)存在這樣的圓Q設(shè)0408=4
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線46的方程為卜=辰+",
y=kx+ni
X21
7+…,得0+的x+8kmx+46~-4=0
4加一4
設(shè)/(和乂)8(積%)貝廣*2=E記
故
由V1+F,得1+公
(5._4)優(yōu)+1)
由③3),得?門止,當(dāng),與左無關(guān)時(shí),八0,5,
2石
即圓。的半徑為了.
X——
當(dāng)直線力夕的斜率不存在時(shí),若直線48的方程為5
將其代入橢圓C的方程,得
此時(shí)0408=0
X-----------------VUUULU4
若直線的方程為.5,同理可得°4°8=0
224
X+V=-
綜上,存在滿足題意的圓。其方程為5.
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