2023年福建省高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2023年福建省高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題。（本大題有15小題，每小題3分，共45分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）

1.(3分)已知集合A={3},B=[i,2,3},則AnB=()

A.{1,2,3}B.{1,3}C.{3}D.φ

2.（3分）如圖是某圓錐的三視圖，則該圓錐底面圓的半徑長是（)

T

3

±

IEttBMMH

A.1B.2C.3D.√10

3.(3分)若三個(gè)數(shù)1,3,〃成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)〃=（)

A.1B.3C.5D.9

4.(3分)一組數(shù)據(jù)3,4,4,4,5,6的眾數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

5.（3分）如圖,在正方形上隨機(jī)撒一粒黃豆,則它落到陰影部分的概率為（）

113

A.-B.-C.D.1

424

6.（3分）函數(shù)y=cosx的最小正周期為（)

π3π

A.-B.πC.D.2π

22

（分）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

7.3y=￡)

A.(-8,2)B.(2,+8)

C.(-∞,2)U(2,+8)D.R

8.（3分）不等式2x+y-4W0表示的平面區(qū)域是（)

9.（3分）已知直線/1：y=x-2,/2：y=kx,若八〃/2,則實(shí)數(shù)A=（）

A.~2B.-1C.OD.1

（分）化筒嬴+后一誦=（

10.3)

A.MPB.NQC.MQD.PM

11.（3分）不等式（x÷2）（X-3）VO的解集是（)

A.{x?x<-2^tx>3]B.{x?-2<x<3}

C.(—?≤xD.{x?xV—2或x>W}

12.(3分)化簡tan(π+α)=()

A.sinαB?cosaC.-sinaD.tana

13.（3分）下列函數(shù)中，在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

2

A.y=x-3B?J=-C.y=x2D.y=2x

14.（3分）已知〃=4°S,?=42,C=IOg40.5,則。，b,C的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

15.（3分）函數(shù)y=F'W<2,的圖象大致為（）

{log2?x?>IXI≥2

二、填空題。（本大題有5小題，每小題3分，共15分）

16.（3分）已知向量ɑ=（0.2）.則2α=.

17.（3分）閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的X的值為-4,則輸出相應(yīng)的

y的值是.

18?(3分)函數(shù)/(x)=x2+x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

19.(3分)在aABC中，AB=]9BC=2,8=60°,則AC=.

20.(3分)函數(shù)/(x)=x+*(x>0)的最小值為.

三、解答題。(本大題有5小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

21.(6分)已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，在a的終邊

上任取點(diǎn)P(X,y),它與原點(diǎn)的距離r=JX2+y2X),定義：sina=m，cosa=搟，tana=§

(XW0).如圖，P(√2,√2)為角a終邊上一點(diǎn).

(1)求Sina,CoSa的值;

(2)求Sin(a+?)的值.

4

22.(8分)如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABCC是矩形，PO_L平面ABCz),且AD=3,

PD=CD=I.

(1)求四棱錐P-ABCD的體積；

(2)若E,尸分別是棱PC,AB的中點(diǎn)，則E尸與平面南。的位置關(guān)系是,在下面

三個(gè)選項(xiàng)中選取一個(gè)正確的序號(hào)填寫在橫線上，并說明理由.

①EFU平面PAD-,

②EF〃平面PAD；

③EF與平面網(wǎng)。相交.

23.（8分）如圖，某報(bào)告廳的座位是這樣排列的：第一排有9個(gè)座位，從第二排起每一排

都比前一排多2個(gè)座位，共有10排座位.

（1）求第六排的座位數(shù)；

（2）某會(huì)議根據(jù)疫情防控的需要，要求：同排的兩個(gè)人至少要間隔一個(gè)座位就坐，且前

后排要錯(cuò)位就坐.那么該報(bào)告廳里最多可安排多少人同時(shí)參加會(huì)議？

（提示：每一排從左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐，

就可保證安排的參會(huì)人數(shù)最多）

×××××××××××××

×××××××××××

×××××××××

主席臺(tái)

24.（8分）已知圓C的方程為（X-2）2+（廠I）2=5.

（1）寫出圓心C的坐標(biāo)與半徑長：

（2）若直線/過點(diǎn)尸（0,1）,試判斷與圓C的位置關(guān)系，并說明理由.

25.（10分）某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次

試驗(yàn)，得到零件數(shù)H（單位：件）與加工時(shí)間V（單位：小時(shí)）的部分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下

表：

i12345合計(jì)

Xi1020X34050150

yi626875A89375

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)：

（1）求X3和*的值；

（2）畫出散點(diǎn)圖;

（3）求回歸方程y=bx+α;并預(yù)測，加工100件零件所需要的時(shí)間是多少？

附：①符號(hào)“Z”表示“求和”；

②對于一組數(shù)據(jù)（xι,yι）,（x2,”），....，（x∕o）力），其回歸方程y=bx+Q的斜率和

截距的最小二乘估計(jì)分別為b=邛=1XLnq,a=y-bx.（參考數(shù)據(jù)ELx?5500：,

∑%xf-nx

∑f=ιχiyi=11920）

2023年福建省高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題。（本大題有15小題，每小題3分，共45分。每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意）

1.（3分）已知集合A={3},B={l,2,3},則A∩3=（）

A.{1,2,3}B.{1,3}C.{3}D.φ

【解答】解：集合A={3},B={l,2,3）,

則A∩3={3}?

故選：C.

2.（3分）如圖是某圓錐的三視圖，則該圓錐底面圓的半徑長是（）

T

J

i

C.3D.√10

【解答】解：根據(jù)題中三視圖可得，圓錐底面半徑為1,

故選：A.

3.（3分）若三個(gè)數(shù)1,3,。成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)。=（）

A.1B.3C.5D.9

【解答】解：根據(jù)題意，若三個(gè)數(shù)1，3,。成等比數(shù)列，則lXα=32=9,即。=9；

故選：D.

4.（3分）一組數(shù)據(jù)3,4,4,4,5,6的眾數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：一組數(shù)據(jù)3,4,4,4,5,6的眾數(shù)為4.

故選：B.

5.（3分）如圖，在正方形上隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（）

【解答】解：根據(jù)幾何概型可知，在正方形上隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概

率為了，

故選：A.

6.（3分）函數(shù)y=cosx的最小正周期為（）

π3π

A.-B.πC.—D.2π

22

【解答】解：函數(shù)y=cosx的最小正周期為7=2π,

故選：D.

7.(3分)函數(shù)y=當(dāng)?shù)亩x域?yàn)?)

A.(-∞,2)B.(2,+∞)

C.(-∞,2)U(2,+8)D.R

【解答】解：由題意得：χ-2≠0,解得x≠2,

故函數(shù)的定義域是（-8,2）IJ（2,+8）,

故選：C.

8.（3分）不等式2x+y-4W0表示的平面區(qū)域是（)

C.

【解答】解：根據(jù)線性規(guī)劃的知識(shí)可得，考慮代（0,0）進(jìn)行檢驗(yàn)，代入得-4W0,

不等式2x+y-4≤0表示的平面區(qū)域包括原點(diǎn)，且直線2r+y-4=0經(jīng)過第一、二、四象

限.

故選：A.

9.（3分）已知直線/1：y=x-2,Iizy=kx,若人〃/2,則實(shí)數(shù)k=（）

A.-2B.-IC.0D.1

【解答】解：已知直線/1：y=χ-2,/2：y^kx,若八〃/2,

則兩直線的斜率相等，在y軸上的截距顯然不相等，

'.k-?,

故選：D.

10.（3分）化簡疝V+介一談=（）

A.MPB.NQC.MQD.PM

【解答】解：MN+NP-QP=ON-OM+OP-ON-OP+OQ=OQ-OM=MQ.

故選：C.

11.（3分）不等式（x+2）（X-3）<0的解集是（）

A.{小<-2或》>3}B.{x?-2<Λ<3}

C.{-2VXV可}D.{x∣XV—2或x>g}

【解答】解：不等式（X+2）（x-3）<0對應(yīng)方程的兩根為-2和3,

所以該不等式的解集是{x∣-2<x<3}.

故選：B.

12.（3分）化簡tan（π+α）=（）

A.sinaB.cosaC.-sinaD.tana

【解答】解：tan（π+a）=tana,

故選：D.

13.（3分）下列函數(shù)中，在（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A.y=x-3B.y=C.y=x2D.y=2x

【解答】解：對于A,函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

對于3,函數(shù)在（0,+°o）上單調(diào)遞減，

對于C,函數(shù)在（0,+8）上單調(diào)遞增，

對于Q,函數(shù)在R上單調(diào)遞增，

故選：B.

14.（3分）已知α=4°s,?=42,c=log4θ.5,則α,b,C的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<?<aC.c<cι<bD.a<c<b

【解答】解：?."=4°5=2,?=42=16,C=IOg40.5=

??c<a<h9

故選：C.

15.（3分）函數(shù)V=]'㈤<2'的圖象大致為（）

{log2?x?>IXI≥2

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)/(χ)=F'|X|<2,,易得/(χ)為偶函數(shù)，排除￡>，

{log2?x?>∣x∣≥2

在區(qū)間(-2,2)上，/G)=1,與X軸平行，排除8,

在區(qū)間［2,+∞)上，f(x)=IogM,為增函數(shù)，排除C,

故選：A.

二、填空題。(本大題有5小題，每小題3分，共15分)

16.(3分)已知向量Z=(0,2),則=(0,4).

【解答】解：向量；=(0,2),則立=(0,4).

故答案為：(0,4).

17.(3分)閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的X的值為-4,則輸出相應(yīng)的

y的值是-4.

【解答】解：輸入的X的值為-4,

?.?χ<0,.?.y=-4,二輸出的y值為-4.

故答案為：-4.

18.(3分)函數(shù)/(x)=x2+x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

【解答】解：令/(x)=x2+x=0得，X=O或X=-1；

故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

故答案為：2.

19.(3分)在AABC中，AB=?,BC=2,8=60°,則4C=_V5_.

【解答】解：由余弦定理得：AC2=12+22-2×1×2×cos60o=3.：.AC=√3.

故答案為舊

20.(3分)函數(shù)/(x)=x+∣(x>0)的最小值為2.

【解答】解：?.”>0,???函數(shù)/(x)=x+4≥2?H=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào).

???

.?.函數(shù)/(x)=x+；的最小值為2.

故答案為：2.

三、解答題。(本大題有5小題，共40分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

21.(6分)已知角α的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)。重合，始邊與X軸的非負(fù)半軸重合，在a的終邊

22

上任取點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離r=y∕x+y>Q,定義：sina=cosa=ptana='

(x≠0).如圖，P(√2,√2)為角a終邊上一點(diǎn).

(1)求Sina,CoSa的值；

(2)求Sin(a÷ξ)的值.

【解答】解：(1)由題意，Sina=-^獷―==q，CoSa=η='2==格

J(√2)2+(√2)22J(√2)2+(√2)22

nTtττV2√2V2√2

(2)sin(a+-τ)—sinacos-+cosasin-=—X—+-X—=1.

4442222

22.(8分)如圖，四棱錐P-ABC。中，底面ABC。是矩形，POJ_平面ABC。，且相>=3,

PD=CD=2.

(1)求四棱錐P-ABC。的體積；

(2)若E,尸分別是棱PC,A8的中點(diǎn)，則EF與平面力。的位置關(guān)系是,在下面

三個(gè)選項(xiàng)中選取一個(gè)正確的序號(hào)填寫在橫線上，并說明理由.

①EFU平面PAD；

②EF〃平面PAD；

③EF與平面外￡＞相交.

【解答】解：（1）因?yàn)槠矫鍭BCZX

所以V=SXS'矩形ABCDXPD=號(hào)X2X3X2=4:

（2）②，理由如下：

取PZ）的中點(diǎn)G,連接GA,GE,

因?yàn)镋,G分別為PC,PQ的中點(diǎn)，

1

所以GEHDC,GE=WDC,

因?yàn)槭瑸锳B的中點(diǎn)，所以4F=*4B,

又矩形ABC。中，AB〃OC,且AB=OC,

所以GE〃4凡且GE=A凡所以四邊形AFEG是平行四邊形,

所以EF//GA,

又EFC平面B4。，GAU平面以。，

所以EF〃平面PAD.

23.（8分）如圖，某報(bào)告廳的座位是這樣排列的：第一排有9個(gè)座位，從第二排起每一排

都比前一排多2個(gè)座位，共有10排座位.

（1）求第六排的座位數(shù)；

（2）某會(huì)議根據(jù)疫情防控的需要，要求：同排的兩個(gè)人至少要間隔一個(gè)座位就坐，且前

后排要錯(cuò)位就坐.那么該報(bào)告廳里最多可安排多少人同時(shí)參加會(huì)議？

（提示：每一排從左到右都按第一、三、五、……的座位就坐，其余的座位不能就坐,

就可保證安排的參會(huì)人數(shù)最多）

×××××××××××××

×××××××××××

×××××××××

主席臺(tái)

【解答】解：（1）設(shè)第〃排的座位數(shù)為“"，

由題意可得數(shù)列｛〃”｝是以9為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

貝Ua,,=9+2（/J-1）=2"+7,

則06=2X6+7=19,

即第六排的座位數(shù)為19；

（2）為了保證安排的參會(huì)人數(shù)最多，設(shè)第〃排安排就坐的人數(shù)為為，

由題意可得數(shù)列｛叢｝是以5為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

貝IJSIO=10×5+X1=95,

即該報(bào)告廳里最多可安排95人同時(shí)參加會(huì)議.

24.（8分）己知圓C的方程為（X-2）2+（y-1）2=5.

（1）寫出圓心C的坐標(biāo)與半徑長；

（2）若直線/過點(diǎn)P（0,1）,試判斷與圓C的位置關(guān)系，并說明理由.

【解答】解：（1）根據(jù)題意，圓C的方程為（χ-2）2+（y-1）2=5,

則其圓心的坐標(biāo)為（2,1）,半徑r=√5,

（2）根據(jù)題意，點(diǎn)P（0,1）,有（0-2）2+（1-I）2=4<5,

則點(diǎn)P在圓內(nèi)，故過點(diǎn)P的直線/與圓C一定相交.

25.（10分）某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5