高中數(shù)學(xué)必修4重點知識點

重點-高中數(shù)學(xué)必修4知識點

人教版高中數(shù)學(xué)必修四知識點歸納總結(jié)

1.1.1任意角

1.角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的

圖形.

②角的名稱：

③角的分類：

c正角：按is時鐘方向的形成的的，

-等用：兆線沒有任何旋制的2的角?

負能：接順時It方向旋轉(zhuǎn)形成的角?

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角a”或“Na”可以簡化成“a”；

⑵零角的終邊與始邊重合，如果a是零角a=0°；

⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負角和零角.

2.象限角的概念：

①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終

邊（端點除外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.

1.1.2弧度制（一）

1.定義

我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量

角的單位制叫做弧度制.在弧度制下，1弧度記做Irad.在實際運算中，常常將

rad單位省略.

弧度制的性質(zhì):

①半圓所對的圓心角為至=兀②整圓所對的圓心角為四=2笈“

rr

③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).④負角的弧度數(shù)是一個負數(shù).P

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的弧度數(shù)的絕對值|a|=L>

r

4.角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：。

①將角度化為弧度：-

360°=21；180°=乃；1°=—?0.01745/ad；n°=rad.v

180180

②將弧度化為角度：，

(

2^=360°；1=180°；Irad=(―)°?57.30°=57°185?=()°.P

7171

5.常規(guī)寫法:

①用弧度數(shù)表示角時，常常把弧度數(shù)寫成多少”的形式，不必寫成小

數(shù).

②弧度與角度不能混用.

6.特殊角的弧度

角030456090120135150180270360

度?OOOOPOOOOOOO

瓠71717171171371乃

一「57r——3(

0-一「—P一「---+1兀斗

度，6432346.2

7.瓠長公式"

冏=1='=??-冏p

弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積.

4-1.2.1任意角的三角函數(shù)(三)

1.三角函數(shù)的定義

2.誘導(dǎo)公式

=ai

cos(Zbr+a)=coswZ)

+a)=tana(JkwZ)

當角的終邊上一點的坐標滿足翁山寸，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾

何表示一一三角函數(shù)線。

1.有向線段：

坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。

規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負。

有向線段：帶有方向的線段。

2.三角函數(shù)線的定義:

設(shè)任意角。的頂點在原點。，始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點尸(xj),“

由四個圖看出."(IID~

當角a的終邊未在坐標軸上時，有向線段OM=X,MP=F，于是有“

sna=—=—=y=MPcnsa.=————x=OMtxa=—=3>==AT

r1r1xOMQA

我們就分別稱有向線段四。““為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為a的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線

段；余弦線在X軸上；正切線在過單位圓與軸正方向的交點的切線上，三條有向

線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點；余弦

線由原點指向垂足；正切線由切點指向與a的終邊的交點。

(3)三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x

軸或y軸反向的為負值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。

高中數(shù)學(xué)必修四知識點總結(jié)

第一章：三角函數(shù)

§1.1.1、任意角

1、正角、皮角、本角、象偎角的概念.

2、嶼角攻終邊相同的角的集合:

\fi\P=a+2k兀,kez}.

1.1.2、弧度制

1、回=1.

2、孤長公式:Z=—=|?|^.

1801r

>21T-1

3、晶彩近積公式:S=——=-lR.

3602

§121、任意再的三角酬

1、設(shè)a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點

P(x,y),那么：sina=y,cosa=x,tana=-

x

2、設(shè)點d(xj)為角a終邊上任意一點，那么：(設(shè)

r={x，+y?)

.VXV

sina=—,cosa=—,tana=-.

rrx

3、sina,cosa,tana在四個象限的符號:一全

正，二正弦，三正切，四余弦.

4、三角函數(shù)線的畫法.

正弦線：BP：

余弦線：0K：

正切線：AT

5、特殊角

0*.30*.45*.60,.9。'敗一血等的三角的故

值.

K2?KIK

0y3e

anKKTV-J*

64

sina

caa

utna

§1.2.2.同角三角量的基本關(guān)系式

1、平方關(guān)系:sin2a+cos2a=l.

、*“-sina

2、葡致關(guān)系：tana=-------.

cosa

3、制效關(guān)系：tanacota=1

§1.3.三角敬的誘導(dǎo)公式

(概括為黃安倜工安，符號看束檀■-keZ)

1、銹導(dǎo)公式一:

sin(a+2k7r)=sina,

cos(a+Ik7i)=cosa,(其中：keZ)

tan(a+Ikji)=tana.

2、誘導(dǎo)公式二:

sin(乃+a)=—sina,

cos(乃+a)=_cosa：

tan(^+a)=tana.

3、誘導(dǎo)公式三:

sin(-a)=-sina,

cos(-a)=cosas

tan(—(z)=-tana.

4、謗導(dǎo)公式口:

sin(^—a)=sina,

cos(乃一a)=-cosas

tan(^-a)=-tana.

5、謗導(dǎo)公式五:

.\n\

sm,--aI=cosat

=sina.

注意二六個誘導(dǎo)公式中全部將a看成銳角.

§1.4.1、正弦、余弦翻（的雕和性質(zhì)

1、記住正弦、聲弦函數(shù)圖象：

2、能夠?qū)φ請D象講出正弦、余弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：X

義域、域域,、最大量小值、使母軸、行稱中心、

奇偶性、單調(diào)性、周期性.

3、會用五點法作明?|

y=sinx在x￡［0,2萬］上的五個關(guān)鍵點為：

（0,?,（乙九（乃M竺以2^）0

22

§1.4.3、正切翻［的喉與性J貴

1、記住正切函數(shù)的圖象：一

3、能夠?qū)φ折樦v出正切函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)：定義域、

值垓、行稱中心、奇偶性、單調(diào)性、劇用性.

4、周期函數(shù)定義：對干函翻/(X),如果存在一個非零

常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有

〃x+T)=/(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非

零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.

y=cosx

y

圖象

uXV7

定義域R

值域[-1.1]

最值x=2Az,keZB寸，=1

x=25+尸,JtwZB寸，j==-l

周明性T=171

奇偶性偶

單調(diào)性在已左燈-樂2Qr］上單調(diào)遞增

keZ在［2大區(qū)2丘十力上單調(diào)遞減

對稱軸方程：X=kN

橢勝

k&Z對稱中心（2+1：0）

y=tanx

\J\\\)\』.

圖象T\t

定義域{x[x*]+Z}

值域R

最值

無

周即性T=7l

奇偶性奇

單調(diào)性在（for-^fcr-p上單調(diào)遞增

keZ

無對稱軸

對稱性

對稱中心（^^,0）

keZ

2

§1.5、&S]=Xsin（次+01的圖象

1、對于函數(shù)：

y=asin（0x+°）+8（N>O：o>0）有：振幅A,周

期7=文，初相9,相位皈+9,頻率/=：=彌

8

2、函數(shù)y=sinx的量象與j=Xsin（0x+9）+3的

圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系.

①先平移后伸縮：

y=sinx平移I01個單位y=sin（x+<p）

—（左加右減）——?

橫坐標不變.y=/sin（x+0）

縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁后

縱坐標不變,y=/sin（ax+<p）

橫坐標變?yōu)樵瓉淼膢-|倍

0

平移|用個單位y=4sin（ox+p）+8

~（上加下減）“

3、二角函判的固障

函數(shù)V=sin（0x+0）,XER及函數(shù)y=cos（ox+。）>

X€R（A,a,。為常數(shù)，目序0）的周期T=—；函

數(shù)），=tan（￡yx+°）,XHk;r+一,左cZ（A,3,°為

常數(shù)，且序0）的周期T=兩.

第二章：平面向量

§2.1.1、向量的枷里背景與R念

1、既有大小又有方向的量叫做虹.

§2.1.2、的幾何表示

1、帶有方向的線段叫儆藥三邀致，有向線段包含三

個要壑起點、方向、長度.

2、向量AB型卜，也就是向量AB的長度（或稱

接），記作口耳；長度為零的向量叫做且麥；長

度等于1個單俗的向量叫做罡位向量.

3、方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共

線向重:.規(guī)定:零向量與任意向量平行.

§2.1.3、蹄向量與共線向量

1、長度相等且方向相同的向量叫做運至芻堂.

§2.2.1、向量加法運算及其幾何意義

］、三角/如法去財和平行四心彩加去去時.

§2.2.2、向星福法運算及其幾何意義

1、與。長度相等方向相反的向量叫做a的度反包i.

2、三角常疝注法JB和平和B邊形減法法則.

三角形雌法則+區(qū)平行四邊形”隧法則

1、規(guī)定：實數(shù)2與向量a的積是一個向蚩，這種運

算叫做向量的數(shù)乘.記作:它的長度和方向

規(guī)定如下：

⑴卜4=即卜

⑵當2>0時，/）的方向與￡的方向相同；當

A<004,2J的方向與）的方向相反.

2、平面向量共線定理:向量/）工。）與Z共線，當

且僅當有唯一二個實數(shù)2,使1=Ra.

§2.3.1,平面向量基本定理—

1、平白向量基本定理：如果&e?是同一平面內(nèi)的兩

個丕共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任73向量a，

有且只有一對頭數(shù)使a=4°]+4cl.

§2.3.3、平面向量的坐標運算

1、設(shè)4=（對兇）5=（巧，巧），則：

⑴4+5=（甬+%,必+＞）

（2）a-Z=（x1-x2,y1-y2）,

⑶/&=（初,否J,

（4）a//b=xv2=電M?

2、設(shè)乂（孫川）加：2，刈），，4=（今一再J2r'i）?

§2.3.4、平面向量共線的坐標表示

1、設(shè)4（和川）創(chuàng)巧jJC（孫匕），則

⑴線段AB中點坐標為（空,空），

⑵AABC的重心坐標為g/，書出）.

§2.4.2.斗面嚼解蹬麗.樵癱

1、設(shè)a=（%M）5=（巧,當），則：

⑴al=|o||i|cos6=x\x2+yjVj

（2）a|==Jxf+）,；

⑶a_1=a工=0=再w+My?=0

⑷a//石=a=4=再）、一巧M=0

2、設(shè)乂（孫用）3（巧,乃），則：

網(wǎng)=血一項＞+82f）’"

3、兩向量的夾角公式

COS6=!■!■=再乜+把2

琲I收+）1內(nèi)+/

第三章:三角恒等變換I

§3.1.1、兩角差的余弦公式

記住15。的三角函數(shù)值：

asinacosatana

?心一點73+點-括

12442

§3.L2、兩新嗚翊]嗓球正切恒

1、sin(a+0]=sinacos/?+cosasin(3

2、sin(a->0)=sinacos/?-cosasin/3

3、cos(a+⑼=cosacos￡一sinasin/3

4、cos(a一切=cosacos￡+sinasinJ3

tana-tan￡

tan(a+/3)=

5、1-taneztan^

tana-tan/g

tan(a->0)=

6、l+tanatan￡

§3.1.3J二倍角睡弦、徽正般式

1、sin2a=2sinacosa,

變形：sinacosa=-ysinla.

2、cos2(z=cos2a-sin2a

=2cos:a-1

=l-2sin:a.

變形如下：

1+cos2a=2cos2a

升冥公式:<

l-cos2a=2sin2a

cos2a=[(1+cos2a)

降皋公式:

sin2a=i(l-cos2a)

3、tan2a=--01：-.

1-tan2a

sinla1—cos2a

4、tanCL-----------=——；-------

14-cos2asin2a

§3.2、簡單的三角恒

1、汴^正切化弦、于方性次.

2、輔的在公式

v=asinx+bcosx=^a1田-sin(x+0)

(其中輔助角。所在象限由點(。乃)的象限決

IE,tan0=—).

知識點串講

興修皿

必修皿第一堂：三角函致

1.1.1任意角

1、角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形.

②角的名稱：

③角的分類，B\始電

終邊八,/

(負角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角A

i正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角…66G..

I零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

2、象限角臺(泳A才

①定義：若將角頂點與原點重合，角的始邊與Jr軸的非￡戈色以終邊(端點除外)在第

幾象限，我們就說這個角是第幾象限角.

終邊相同的角的表示：圖4-3

所有與角。終邊相同的角，連同a在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合5={|Z*=a+A*360?,

4C才，即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角a與整個周角的和.

注意：

(1)k￡Z(2)a是任一角；

⑶終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的角有無限個，它們相差

360°的整數(shù)倍：

(4)角"+k?720'與角。終邊相同，但不能表示與角。終邊相同的所有角.

3、寫出終邊在y軸上的角的集合(用1到360。的角表示).

解：{a|a=90。+"?180°,〃GZ}.

4、已知。角是第三象限角，則2a,巴各是第幾象限角？

2

解：Ta角屬于第三象限，.1k-3600+180*<a<k-3600+27(T(ArSZ)

因此，2k-360°+360°<2<2Ar?360°+540°(AGZ)

即(2*+D36(r<2a<(2k+1)360*+180°(AGZ)

故2a是第一、二象限或終邊在y軸的非負半軸上的角.

a

又才780°+90°<-<k*1800+135°(Ar€Z).

2

a

當4為偶數(shù)時，令A(yù)=2"(〃GZ),則"?360°+90"<-<?-3600+135°(“GZ)，

2

當〃為奇數(shù)時，令啟2m4SGZ),則"?360°+270'<-</)?3600+315°(/>eZ),

2

因此3屬于第二或第四象限角.

2

1.1.2弧度制

1、弧度制

我們規(guī)定，長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度

制.在弧度制下，1弧度記做Irad.在實際運算中，常常將rad單位省略.

2、弧度制的性質(zhì)：

加._2m-

----=2TT.

①半圓所對的圓心角為"’②整圓所對的圓心角為〃

③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù).④負角的弧度數(shù)是一個負數(shù).

/

⑤零角的弧度數(shù)是零.⑥角a的瓠度數(shù)的絕對值|a|=>

3、弧長公式

lal=-=>/=r-lai

r弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角（的弧度數(shù)）的絕對值與半徑的積.

例6.利用弧度制證明扇形面積公式S='//?,其中/是扇形弧長,A是圓的半徑.

2

]rrR2

2----7TK

證法一二?圓的面積為成“，???圓心角為Irad的扇形面積為2%,又扇形弧長為1,半徑為R,

S'LR2=LR

J.扇形的圓心角大小為Rrad,.?.扇形面積R22.

§小乃R21—〃成

證法二:設(shè)圓心角的度數(shù)為n,則在角度制下的扇形面積公式為-360，又此時弧長180,/.

可看出弧度制與角度制下的扇形面積公式可以互化，而弧度制下的扇形面積公式顯然要簡潔得多.

網(wǎng)形面積公式：S=g/R=；閩爐

I.2.I任惠角的三角商政

1、三角函數(shù)定義

在直角坐標系中，設(shè)a是一個任意角，a終邊上任意一點Q（除了原點）的坐標為（X,y）,它與

3

原點的距離為那么

(1)比值上叫做a的正弦,記作sina,即sina=上;

rr

x

(2)比值土叫做a的余弦,記作cosa,即cosa=一

rr

(3)比值叫做a的正切,記作tana,BPtana=—

Xx

x

(4)比值E叫做a的余切,記作cota,BPcota=-

yy

三角函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

y=sinaR[-1J]

y=cosaR[-1J]

\a\a^%+k汽、kwZ}

y=tanaR

3、求函數(shù)i——cos.v1+詈tan事x的值域

cosx|tanx|

解：定義域：cosxxO；?x的終邊不在x軸上又YtanxM；?x的終邊不在y軸上

???當x是第I象限角時，x>O.y>0cosx=|cosx|tanx=|tanx|.".y=2

.......II........,x<0,v>0|cosx|=-cosx|tanx|=-tanx.*.y=-2

.......HIIV.....,Icosx|=-cosx|tanx|=tanx.*.y=0

x>0,”01'

4、誘導(dǎo)公式

sin(2Zr^+a)=sina(^GZ)

cos(2Avr+a)=cosa伏wZ)

tan(2^+cr)=tana(keZ)

5、三角函數(shù)線的定義：

設(shè)任意角a的頂點在原點。，始邊與工軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點尸(x,y),

過。作x軸的垂線，垂足為M；過點4(1,0)作單位圓的切線，它與角。的終邊或其反向延

當角a的終邊不在坐標軸上時，有向線段OM=x,A/P=y,于是有

sina=^-=—=y=MP,cosa=~=-=x=OM,tana=-=——=-^―=AT

r1r1xOMOA

我們就分別稱有向線段為正弦線、余弦線、正切線。

說明：

(1)三條有向線段的位置：正弦線為0的終邊與單位圓的交點到'軸的垂直線段：余弦線在工軸上：

正切線在過單位圓與工軸正方向的交點的切線上，三條有向線段中兩條

在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。

(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向1的終邊與單位圓的交點：余弦線由原點指向垂

足；正切線由切點指向與。的終邊的交點。

(3)三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或歹軸同向的為正值，與*軸或J'軸反向的

為負值。

(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前，終點字母在后面。

6、利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?/p>

.2乃一.4”?In.4/r

1°sm——與sin——2°tan——與tan——

3535

解：如圖可知：

2乃.4萬In4乃

sm——>sm—tan——<tan

3535

1.2.2局角三角由數(shù)的基本關(guān)系

1＞由三角函數(shù)的定義，我們可以得到以下關(guān)系:

5

sina

(1)商數(shù)關(guān)系:tana=(2)平方關(guān)系：sin2a+cotra=1

cona

2、已知sina=±,

并且a是第二象限角，求cosa,tana,cota.

13

解：sin2a+cos2a=1,cos2a=l-sin2a=1-(—)2=(—)2

1313

又???a是第二象限角，cosa<0,即有cosa=,從而

13

sina1215

tana=-------=------cota=-------=------

cosa5,tana12

,sina-4cosa

3、已知sina=2cosa,求—;-----------2sin2a+2sinacosa-cos3a.

5sina+2cosa

cos.r_1+sinx

4^求證:

1-sinxcosx

證法一：由題義知cosx40,所以I+sin女工0.1—sinxw0.

.4二cos.r(l+sinx)cos.v(l+sinx)I+sinx.

..左-----------------=-------z-----=--------=右必.

(l-sin.r)(i+sinx)cosxCQSX

???原式成立.

證法二：由題義知cosxwO,所以l+sin.rw01-sinx，0.

又「(l-sinx)(l+sinx)=l-sin?x=co/x=cosx-cosx,

.cosx1+sinx

??-----------=------------.

l-sinxcosx

證法三：由題義知cosxwO,所以1+sin工工0,1-sinxw0.

cosx1+sinxcosx-cosx-(1+sinx)(l-sinx)cos2x-l+sin2x.

-------------------------=--------------------:-------------------------=----------:--------------=0

1-sinxcosx(l-sinx)cosx(1-sinx)cosx

cosx1+sinx

1-sinxcosx

1.3誘導(dǎo)公大

1、誘導(dǎo)公式(一)

6

sin(360%+a)=sinacos(360°〃+a)=cosatan(360%+a)=tana

誘導(dǎo)公式（二）

sin（180°+a）=-sinacos(180°+a)=-cosatan(180°+a)=tana

誘導(dǎo)公式（三）

sin（-a）=-sinacos(-a)=cosatan(-a)=Tana

誘導(dǎo)公式（四）

sin（n-a）=sinacosGt-a)=-cosatan(n—a)=-tana

誘導(dǎo)公式（五）

sin（=cosacos(-a)=sma

2

誘導(dǎo)‘R式（六）

sin（y+a）=cosacos(5+a)=-sina

sin(In-a)cos("+a)cos(-+a)cos(-a)

22

2、化簡：Q-

9/r

cos(/r-a)sin(3/r-a)sin(-a-/r)sin(+a)

2

42sin(a-^)+3tan(3^r-a)

3、已知sin(a+;r)=s，且sinacosa<0,求的值.

4cos(a-3乃)

4、化簡:

tan(360°+a)

?sin(a-2江)?cos(2^-a);(2)cos2(-a)-

sin(-a)

5、已知§ina,cosa是關(guān)于x的方程-ax+；=（世）兩根，且3%<a<7j

求tan(6^-a)sin(-2^+a)cos(6^-a)^u

cos(a-180°)sin(900°-a)

141正弦、余弦施數(shù)的0B家

1、

7

正弦函數(shù)y=sinx的圖象和余弦函數(shù)y=cosx的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.

2、用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(描點法)：

正弦函數(shù)尸sinx,xe［O,2兀］的圖象中，五個關(guān)鍵點是：(0,0)(g,l)(K,0)(=,T)

22

(2匹0)

余弦函數(shù)丫=以)5乂xw［0,2川的五個點關(guān)鍵是哪幾個？(0,1)(1,0)(nt-1)(1，0)(2n,1)

3、別利用函數(shù)的圖象和三角函數(shù)線兩種方法，求滿足下列條件的x的集合：

(l)sinx2—;(2)cos.r<—,(0<x<—).

222

1.4.2正弦、余弦由數(shù)的帙質(zhì)

1、奇偶性：y=cosx是偶函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)。

2、單調(diào)性

正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［一工+24叫工+24萬］J￡Z)上都是增函數(shù)，其值從一1增大到

22

1；在每一個閉區(qū)間［衛(wèi)+2?”，2+2/萬］?WZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到

22

-1.

余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2A-1)",2A”］(RGZ)上都是增函數(shù)，其值從一1增加到1；

在每一個閉區(qū)間［24萬，(2什1)OteZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到一1.

3、有關(guān)對稱軸

觀察正、余弦函數(shù)的圖形，可知

y=sinx的對稱軸為x=A;r+工kez尸cosx的對稱軸為x=A;rk￡Z

2

4、判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)/(x)="si0”_￡2^；(2)f(x)=lg(sinx+Vl+sin2x);

1+sinx+cosx

8

1.4.3正切西數(shù)的嵯質(zhì)與圖象

1、正切函數(shù)丁=tanx的定義域是什么？^+女友,%￡z

3、正切函數(shù)的性質(zhì)(1)定義域：1X|XHC+ATT,〃W二卜

(2)值域：R觀察：當x從小于面+多代z),x----->履+1時，tanx------?+?

當x從大于y+k欣kez)fx------>3+k/r時,tanx----->-oo°

(3)周期性：T=h

(4)奇偶性：由lan(-x)=-lanx知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；

(5)單調(diào)性：在開區(qū)間(_；+4乃仁+k汽卜WZ內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增.

4、求下列函數(shù)的周期：

(1)y=3tan(x+?)答：T=n、(2)>=tan(3x-g]答：T=~J.

說明：函數(shù)/"廊3+*)(/*0所°)的周期7=

H-

5、求函數(shù).r=tan(3x-(]的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性，

解：1、由3x-￡#A;r+”得xw也+紅，所求定義域為|x|xeR,山*M人丘2

323181318

2,值域為R,周期丁=￡,3,在區(qū)間(也-X,"+且'ez)上是增函數(shù)。

31318318J

1.5函數(shù))弓久坳留>0,僅:力的圖安

1、函數(shù)y=Asin(wx+<p),(A>0,w>0)的圖像可以看作是先把y=sinx的圖像上所有的點向左(<p>0)或

向右((pV0)平移加I個單位，再把所得各點的橫坐標縮短(w>l)或伸長(0?<1)到原來的,倍(縱坐標

(0

不變)，再把所得各點的縱坐標伸長(A>1)或縮短((KA。)到原來的A倍，(橫坐標不變)。即：平移變

換一周期變換一振幅變換。

2、⑴函數(shù)y=sin2x圖像向右平移1個單位所得圖像的函數(shù)表達式為y=sin2(x-^|)

⑵函數(shù)y=3cos(x+三)圖像向左平移H個單位所得圖像的函數(shù)表達式為v=3cos(.v+—)

4312

⑶函數(shù)y=21oga2x圖像向左平移3個單位所得圖像的函數(shù)表達式y(tǒng)=21og“2(x+3)

⑷函數(shù)y=2tan(2x+；)圖像向右平移3個單位所得圖像的函數(shù)表達式為

y=2tan[2(,r-3)+y

3、函數(shù)y=Asin(wx抑)表示一個振動量時：

A：這個量振動時離開平衡位置的最大距離，稱為“振幅”.

T：T=二往復(fù)振動一次所需的時間，稱為“周期”.

CD

f、/=!=畀單位時間內(nèi)往返振動的次數(shù)，稱為“頻率

TIn

&x+°：稱為“相位”.

°：4o時的相位，稱為“初相”.

4、7=/sinm+0)(|夕|<”)的表達式.

解析：由圖象可知去2,

T.It.

T=---()=冗、

88

即生=%；.0=2.

CO

又(-1,0)為五點作圖的第一個點，

O

因此2x(-G)+0=0,/..

84

因此所求函數(shù)的表達式為y=2sin(2x+￡).

4

1.6三角函數(shù)槨曳的葡單位用

1、畫出函數(shù)尸Isinxl的圖象并觀察其周期.

/=|sin.r|

第二章:平面向量

2.1.1-2.1.2向登的物理背景與砥念灰向量的幾百表示

1、數(shù)量與向量的區(qū)別：/

數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大??；

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.A國第

2、向量的表示方法：

①用有向線段表示；②用字母a、b(黑體，印刷用)等表示：

③用有向線段的起點與終點字母：方；④向量方的大小一長度稱為向量的模，記作|瓦|.

3、有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.

向量與有向線段的區(qū)別：

(1)向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個向量就是相同的

向最；

(2)有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向

11

線段.

4、零向量、單位向量概念：

①長度為0的向量叫零向量，記作〃。的方向是任意的.注意。與0的含義與書寫區(qū)別.

②長度為1個單位長度的向量，叫單位向量./

說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.彳二

5、平行向量定義：彳）

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量：②我們規(guī)定。與任一向量平行./

說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義：（2）向量a、b、c平行，記作a〃6〃

2.1.3相等向置與共線向it

1、相等向量定義：

長度相等且方向相同的向量叫相等向量.

說明：（1）向量&與8相等，記作a=b：（2）零向量與零向量相等；

（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點無關(guān).

2、共線向量與平行向量關(guān)系：

平行向量就是共線向量，因為任一組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.

說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；

（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.

3、判斷：

（1）不相等的向量是否一定不平行？（不一定）

（2）與零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）

（3）兩個非零向量相等的當且僅當什么？（長度相等且方向相同）

（4）共線向量一定在同一直線上嗎？（不一定）

4、下列命題正確的是（）

A.a與6共線，6與c共線，則a與。也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相

等的非零向量可以在同一直線上,而此時就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點,

所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于

C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假