2021版新高考地區(qū)高考數(shù)學(xué)(人教版)大一輪復(fù)習(xí) 圓的方程

第3講圓的方程

一、知識(shí)梳理

1.圓的方程

圓心(mb)

標(biāo)準(zhǔn)方程(x-〃)2+。-b)2=r2(廠>0)

半徑為r

條件：￡>2+E2-4F>0

圓心:(二二1)

一般方程X2+y2+Dx+Ey+F=0

半徑：r=?\/￡)2+￡2-4F

2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)M(x0，%)與圓(x—a)2+(y一份2=r2的位置關(guān)系.

⑴若M(xQf%)在圓外,則(%—〃)2+仇一與2三也

(2)若M>0，%)在圓上，則。0一°)2+%一/?)2三,2.

(3)若M(%，%)在圓內(nèi)，則(%—〃)2+。0-6)2三2

常用結(jié)論

1.以A(X],x),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(X—X])(x—*2)+?！?gt;2)=°，

2.二元二次方程表示圓的條件

對(duì)于方程m+y2+Dx+Ey+F=0表示圓時(shí)易忽視O2+E2—4F>0這一條件.

二、教材衍化

1.圓JQ+)，2—2x+4y—6=0的圓心坐標(biāo)>半徑.

答案：(1,—2)\[\\

2.若圓的圓心為(-8,3),且經(jīng)過點(diǎn)(-5,0),則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案：(x+8)2+。-3)2=18

3.在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0),(1,1),(2,0)的圓的方程為.

答案：x2+y2—2x=0

一、思考辨析

判斷正誤(正確的打“J”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()

(2)方程m+y2=a2表示半徑為“的圓.()

(3)方程x2+y2+4,〃x—2y+5nl=0表示圓.()

(4)方程Ax2+fiyy+Cy2+Dv+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=CW0,B=0,D2+E2

-4AF>0.()

答案：⑴J(2)X(3)X(4)V

二、易錯(cuò)糾偏

常見誤區(qū)?(1)忽視方程表示圓的條件D2+E2-4F>0；

2

⑵錯(cuò)用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判定.

1.方程％2+y2+4mx—2y+5機(jī)=0表示圓的充耍條件是()

A.1<w<lB.加<；或機(jī)>1

C.D.m>1

解析：選B.由(4m)2+4—4X5機(jī)>0,得機(jī)V；或機(jī)>1.

2.點(diǎn)(1,1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

解析：因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)在圓的內(nèi)部，

所以(1-a)2+(l+a)2<4,

所以一1<a<1.

答案：(-1.1)

考點(diǎn)一求圓的方程(基礎(chǔ)型)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)I回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程

與一般方程.

核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算

3

(1)圓心在x軸上，半徑長(zhǎng)為2,且過點(diǎn)

A(2,1)的圓的方程是()

A.(x—2—帀”+*=4B.(x—2+帀)2+y2=4

C.(x一2±^/§)2+y2=4D.(x—2)2+(y—1)2=4

(2)(一題多解)圓心在直線x-2y-3=0上，且過點(diǎn)4(2,—3),8(—2,—5)的圓的方程

為.

【解析】(1)根據(jù)題意可設(shè)圓的方程為。一“)2+)，2=4,因?yàn)閳A過點(diǎn)4(2,I),所以(2-

“”+12=4,解得“=2士小，所以所求圓的方程為(x-2±\/5)2+產(chǎn)=4.

(2)法一：設(shè)點(diǎn)C為圓心，因?yàn)辄c(diǎn)C在直線x-2y—3=0上，所以可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2a

+3,a).

又該圓經(jīng)過A,B兩點(diǎn)、,所以ICAI=IC8I,

即，(2a+3—2)2+(a+3)2

=，(2a+3+2)2+(a+5)2,解得a=-2,

所以圓心。的坐標(biāo)為(-1,-2),半徑r=4而，

故所求圓的方程為(x+l)2+(y+2)2=10.

法二：設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—a)2+(y—b)2=n,

(2-a)2+(-3—b)2=r2,

由題意得,(―2—〃”+(—5—b)2=r2,解得a=-],b=-2,r2=10,

a—2b-3=0,

故所求圓的方程為(犬+1)2+0+2)2=10.

法三：設(shè)圓的一般方程為x2+)，2+Dr+Ey+尸=0,

則圓心坐標(biāo)為(一號(hào)，—9，

4

<一%2X（_1）_3=0,

由題意得4+9+。。一3E+F=0解得D=2,￡=4,尸=—5.故所求圓的方程為X2

l4+25-2D-5￡+F=0,

+y2+2x+4y-5=0.

【答案】（1）C（2）北+*+2%+4），-5=0

求圓的方程的兩種方法

(1)直接法

根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.

(2)待定系數(shù)法

①若已知條件與圓心3,6)和半徑，?有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于

a,b,r的方程組，從而求出a,b,r的值；

②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于

D,E,尸的方程組，進(jìn)而求出O,E,尸的值.

［提醒］解答圓的有關(guān)問題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).

5

1.(2020?內(nèi)蒙古巴彥淖爾月考)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0(0,0),4(2,4),8(6,2),

則三角形OAB的外接圓方程是.

解析：設(shè)三角形043的外接圓方程是x2+y2+￡?x+Ey+F=0,由點(diǎn)。(0,0),A(2,4),

>=0,|>=0,

8(6,2)在圓上可得,4+16+2￡>+4E+F=0,解得彳。=一6,故三角形的外接圓方程為館+

36+4+6O+2E+F=0,IE=-2,

y2—6x—2y=0.

答案：X2+y2—6x—2y=0

2.若圓。經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)與點(diǎn)(4,0),且與直線y=l相切，則圓。的方程是.

解析：因?yàn)閳A的弦的垂直平分線必過圓心且圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(4,0),設(shè)圓心為(2,〃?),

又因?yàn)閳A與直線)，=1相切，

i3

所以,22+〃22=11—ml,解得機(jī)=一］,

所以圓C的方程為(x—2)2+(》+3-=苧.

答案：(x—2)2+(y+|y=?

考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題(綜合型)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)?求解此類問題常利用數(shù)形結(jié)合思想或函數(shù)思想.

角度一借助幾何性質(zhì)求最值

6

已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2—4戈+1

=0.

(1)求扌的最大值和最小值;

(2)求y—x的最大值和最小值；

(3)求X2+*的最大值和最小值.

【解】原方程可化為(工一2)2+尸=3,表示以(2,0)為圓心，小為半徑的圓.

(1步的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，

所以設(shè);=匕即y=kx.

12女一Qi

當(dāng)直線y=kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)I——==小,解得k=±\風(fēng)如

屮2+1

圖1).

所以?的最大值為小，最小值為一屮.

7

(2)y—x可看作是直線>=無+6在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時(shí)，縱截距/?

取得最大值或最小值，此時(shí)生兼啰=小，解得/7=—2士"(如圖2).

所以y—l的最大值為-2+#,最小值為一2一

(3)%2+y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)和圓心連線與

圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖3).

又圓心到原點(diǎn)的距離為4(2—0)2+(0—0)2=2,

所以尤2+尸的最大值是(2+屮)2=7+45，X2+*的最小值是(2一小)2=7—4小.

與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法

(1)形如〃=三形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題.

(2)形如f=ox+力形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題.

(3)形如加=。-02+。一切2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值

8

問題.

角度二建立函數(shù)關(guān)系求最值

設(shè)點(diǎn)尸(X,)，)是圓：(X—3)2+>2=4上的

動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(0,2),8(0,-2),則I或+為啲最大值為.

【解析】由題意，知麗=(一工，2—y),而=(一x,-2-y),所以麗+崩=(-2%,一

2y),由于點(diǎn)P(x,y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程(x—3)2+y2=4,故y2=—(x—3"+4,

所以I麗+而I=、4x2+4)，2=2,6x—5.由圓的方程(x—3)2+*=4,易知1WXW5,所以當(dāng)x=

5時(shí)，I麗+而I的值最大，最大值為2y6X5—5=10.

【答案】10

建立函數(shù)關(guān)系式求最值

根據(jù)已知條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)關(guān)系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調(diào)

性等方法求最值.

9

1.(2020?反門模擬)設(shè)點(diǎn)尸(x,y)是圓：爲(wèi)+。，-3)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)4(2,0),8(—2,

0),則函?協(xié)的最大值為.

解析：由題意，知麗=(2—x,~y),PB=(-2~x,-y),所以說?協(xié)=鹿+)，2—4,由

于點(diǎn)尸(x,y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿足方程t+。-3)2=1,故足=一。一3)2+1,所以兩?通

=一。一3)2+1+)，2—4=6丫-12.易知2?>?4,所以，當(dāng))，=4時(shí)，麗?麗的值最大，最大值

為6X4-12=12.

答案：12

2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足(x—2)2+。-1)2=1,則2=匚?■的最大值與最小值分別為

和.

v+]

解析：由題意,得、-表示過點(diǎn)A(0,—1)和圓(x—2)2+(y—1)2=1上的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)的

直線的斜率.當(dāng)且僅當(dāng)直線與圓相切時(shí)，直線的斜率分別取得最大值和最小值.設(shè)切線方程

為)，=日-1,即fcr-y-1=0,則竿二馬=1,解得k=4屮,所以z=4+^,z.=4~^.

丿丿-J/d+l3max3min3

較安4+帀4—帀

a菜：33

考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題(綜合型)

10

已知4(2,0)為圓心+*=4上一定點(diǎn),

8(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P,。為圓上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；

(2)若/尸8。=90。，求線段P。中點(diǎn)的軌跡方程.

【解】(1)設(shè)4P的中點(diǎn)為M(x,y),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，尸點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-2,2y).

因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2+y2=4上，

所以(2v-2)2+(2y)2=4.

故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x—1)2+*=1.

(2)設(shè)P。的中點(diǎn)為Mx,y),

在RtAPBg中，PM=IBM,

設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON,則ON1PQ,

所以10*2=\ON\2+\PN\i=\ON\2+IBN12,

所以％2+y2+(x-l)2+(y—1)2=4.

故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2—x~y—1=0.

II

與圓有關(guān)的軌跡問題的四種求法

已知RtAABC的斜邊為48,且4（一

12

1,0),8(3,0).求:

(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；

(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.

解：⑴法一：設(shè)C(x,y),

因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線，所以y￥0.

因?yàn)锳C丄BC,所以上一?大吐=一1,

ACDL

乂與。=x+l'kBc=~9

所以備

x十1x~3

化簡(jiǎn)得x2+j2—2x—3=0.

因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2+y2—2A—3=0(y0).

法二：設(shè)A8的中點(diǎn)為。，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得。(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知IC￡)I=；

L4BI=2.由圓的定義知，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以0(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于A,B,C三

點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).

所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(上一l)2+y2=4(yW0).

(2)設(shè)y),C(x0,.),

因?yàn)?(3,0),M是線段8C的中點(diǎn)，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得

所以%=2x—3,y0=2y.

由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x—1)2+*=4()學(xué)0),

<x0=2x-3,yQ=2y代入得(21-4)2+(2>)2=4,

即(X—2)2+>2=1.

因此動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為(x—2)2+y2=l(yW0).

13

[基礎(chǔ)題組練]

1.己知圓C的圓心為(2,-1),半徑長(zhǎng)是方程(尤+1)。-4)=0的解，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方

程為()

A.(x+1)2+0，-2)2=4B.(x—2)2+(y—1)2=4

C.(x-2)2+(y+l)2=16D.(X+2)2+(>-1)2=16

解析：選C.根據(jù)圓C的半徑長(zhǎng)是方程(x+l)(x-4)=0的解，可得半徑長(zhǎng)為4,故要求

的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+l)2=I6.

2.(2020?河北九校第二次聯(lián)考)圓C的半徑為2,圓心在x軸的正半軸上，直線3x+4y

+4=0與圓C相切，則圓C的方程為()

A.x2—y2—2x—3—0B.x2+yi+4x=0

C.%2+y2-4x=0D.x2+y2+2x~3=0

13m+41

解析：選C.由題意設(shè)所求圓的方程為(x—/n)2+y2=4(/n>0),則/==2,解得加

432+42

14

=2或機(jī)=—彳(舍去)，故所求圓的方程為(x—2)2+y2=4,即》2+)，2—4x=0,故選C.

3.方程3—1=41—()，-1)2所表示的曲線是()

A.一個(gè)圓B.兩個(gè)圓

C.半個(gè)圓D.兩個(gè)半圓

(M-l)2+(^-1)2=1,

解析：選D.由題意得，

lrl-1^0,

f(x-1)2+(^-1)2=1,f(x+l)2+(.y-1)2=1,

[xNl[x^-i.

故原方程表示兩個(gè)半圓.

4.(2020?湖南長(zhǎng)沙模擬)圓%2+y2-2x-2y+l=0上的點(diǎn)到直線工一>=2距離的最大值

14

是()

A.1+72B.2

C.1+乎D.2+2也

解析：選A.將圓的方程化為。-1)2+。-1)2=1,圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑為1,則圓

11—1—21

心到直線x-y=2的距離d=—7=-=6，故圓上的點(diǎn)到直線x-y=2距離的最大值為d

72

+1=6+1,選A.

5.點(diǎn)尸(4,-2)與圓北+丫2=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()

A.(x—2)2+6+1)2=1B.(X—2)2+3+1)2=4

C.(x+4)2+(y—2)2=4D.(x+2)2+(y—1)2=1

4+.%

x=2",

解析：選A.設(shè)圓上任一點(diǎn)為。(X。，y。)，PQ的中點(diǎn)為M(x，y)，則.,解得

~2+yn

y—2，

X=2X~49

因?yàn)辄c(diǎn)。在圓X2+*=4上，所以4+赤=4,即(2x—4)2+(2y+2)2=4,化簡(jiǎn)

瓦=2》+2.

得(冗一2)2+0+1)2=1.

6.已知方程〃2*+(〃+2)戸+4工+8)；+5〃=0表示圓，則圓心坐標(biāo)是,

半徑是.

解析：已知方程表示圓，則〃2=。+2,

解得4=2或4=—1.

當(dāng)4=2時(shí)，方程不滿足表示圓的條件，故舍去.

當(dāng)a=—1時(shí)，原方程為x2+y2+4x+8y—5=0,

化為標(biāo)準(zhǔn)方程為0+2)2+0+4)2=25,

表示以(-2,—4)為圓心，半徑為5的圓.

答案：(-2,-4)5

7.過兩點(diǎn)4(1,4),8(3,2)且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

解析：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—。)2+°，一b)2=r2.因?yàn)閳A心在直線y=0上，所以6=0,所

[(1—?)2+16=/-2,

以圓的方程為。一〃)2+*=r2.又因?yàn)樵搱A過A(l,4),8(3,2)兩點(diǎn)，所以

[(3-。)2+4=不，

解得,I二2()'所以所求圓的方程為。+1)2+尸=20.

答案：(x+l)2+y2=20

8.若圓。與圓x2+>2+2x=0關(guān)于直線x+y—l=O對(duì)稱，則圓。的方程是.

解析：設(shè)C(a,/?),因?yàn)橐阎獔A的圓心為4(-1,0),由點(diǎn)A,C關(guān)于x+)-l=0對(duì)稱

15

1備X(T)=T，

。=1,

解得又因?yàn)閳A的半徑是1,

b=2.

所以圓C的方程是(X—1)2+(J—2)2=1,

即x2+y2—2x—4y+4=0.

答案：x2+y2—2x—4y+4=0

9.求適合下列條件的圓的方程.

(1)圓心在直線>=—41上，且與直線/：x+y—1=0相切于點(diǎn)尸(3,-2)；

(2)過三點(diǎn)三(1,12),8(7,10),C(-9,2).

b=-4。，

v(3—I(—2—卜、2*~

解：(1)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(兀一〃)2+(y—Z;)2=r2,則有

k~^~=r,

解得a=l,b=—4,r=2y[2.

所以圓的方程為(x—l)2+(y+4)2=8.

法二：過切點(diǎn)且與x+y—1=0垂直的直線為y+2=x—3,與y=-4x聯(lián)立可求得圓心

為(1,-4).

所以半徑r=.(l-3)2+(—4+2)2=2也,

所以所求圓的方程為。-1)2+()，+4)2=8.

(2)設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(Di+E2-4F>0),

l+144+￡>+12E+F=0,

則《49+100+7。+10E+F=0,

.81+4-9￡)+2E+F=0.

解得。=-2,￡=-4,F=-95.

所以所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-95=0.

10.已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)&-1,0)和8(3,4),線段AB的垂直平分線交圓P

于點(diǎn)C和力，且IC￡>l=4jT5.

(1)求直線CO的方程；

(2)求圓P的方程.

解：(1)由題意知，直線A8的斜率k=l,中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2).

則直線C。的方程為y—2=—(x—1),即x+y—3=0.

(2)設(shè)圓心P(a,h),

則由點(diǎn)P在CD上得a+6—3=0.①

16

又因?yàn)橹睆絀CDI=4回，所以I鞏1=2回,

所以3+1)2+62=40.②

a=-3,

由①②解得或，

b=6,

所以圓心P(—3,6)或P(5,-2).

所以圓P的方程為(x+3)2+(y-6)2=40或(無一5)2+0+2)2=40.

[綜合題組練]

1.自圓C：(x-3)2+G，+4)2=4外一點(diǎn)P(x,y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)為。，尸。的長(zhǎng)

度等于點(diǎn)？到原點(diǎn)。的距離，則點(diǎn)尸的軌跡方程為()

A.8x-6y-21=0B.8x+6y—21=0

C.6x+8y—21=0D.6田一8y-21=0

解析：選D.由題意得，圓心C的坐標(biāo)為(3,-4),半徑r=2,如圖.

因?yàn)镮PQI=POI,JLPQLCQ,

所以IP0l2+f2=PCl2,

所以ja+y2+4=(x—3)2+。+4)2,

即6x-8y-21=0,所以點(diǎn)尸的軌跡方程為6x-8y-21=0,故選D.

2.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)y=—{4—(x—1)2的圖象上的任意一點(diǎn),點(diǎn)Q(2a,a—3)(aWR),則爐。1

的最小值為()

A.8，-2B.\{5

C.巾-2D.乎-2

解析：選C.如圖所示，點(diǎn)P在半圓C(實(shí)線部分)上，且由題意知，C(l,0),點(diǎn)。在

直線/:X-2)，-6=0上.過圓心C作直線/的垂線，垂足為點(diǎn)A,?]\CA\=\[5,\PQ\.=ICAI

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-2=帀-2.故選C.

卜20,

3.(應(yīng)用型)已知平面區(qū)域“20，恰好被面積最小的圓C：(x—a)2+(y—b)2—rz

Lr+2y-4<0

及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為.

解析：由題意知，此平面區(qū)域表示的是以0(0,0),尸(4,0),2(0，2)所構(gòu)成的三角形

及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓.

因?yàn)檑獭?5。為直角三角形，

所以圓心為斜邊尸。的中點(diǎn)(2,1),半徑廠=華=由，

因此圓C的方程為。一2)2+。-1)2=5.

答案：(X—2)2+。-1)2=5

4.(應(yīng)用型)已知4(0,2),點(diǎn)尸在直線x+y+2=0上，點(diǎn)。在圓C：x2+y2-4x~2y=

0上，則IM+IPQ啲最小值是.

解析：因?yàn)閳AC:x2+y2-4x—2y=0,故圓C是以C(2,1)為圓心，半徑r=小的圓.設(shè)

I機(jī)+0,〃+2

I-y+—7-+2=0,

點(diǎn)4(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為4(〃?，n),故

n-2

m—0

w=-4,

解得故4(-4,-2).

幾=—2,

連接4。交圓。于Q,由對(duì)稱性可知

\RA\+\PQ\=\A,P\+\PQ\^\A,Q\=lA,C\-r=2yj5.

答案：2小

5.(2018?高考全國卷H)設(shè)拋物線C：/=4元的焦點(diǎn)為尸，過尸且斜率為左伏>0)的直線