江蘇省南京市六校聯(lián)合體2022-2023學年高二上學期12月聯(lián)考數(shù)學試題(學生版+解析)

2022-2023學年第一學期12月六校聯(lián)合調研考試高二數(shù)學試卷一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則的虛部為()A.1 B. C. D.2.某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名?，F(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數(shù)為()A6 B.7 C.8 D.93.若，則的值等于()A. B. C. D.4.若數(shù)列為等比數(shù)列，且是方程的兩根，則的值等于()A. B.1 C. D.5.圓與圓的公切線的條數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.46.已知為雙曲線左焦點，直線過點與雙曲線交于兩點，且最小值為，則雙曲線離心率取值范圍為()A. B. C. D.7.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，且點在第一象限，則當時，直線的斜率為()A. B. C. D.8.在矩形中，，動點在矩形所在平面內，且滿足.若，則的取值不可能為()A. B.1 C.2 D.3二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.在某市高二舉行的一次期中考試中，某學科共有2000人參加考試.為了了解本次考試學生成績情況，從中抽取了部分學生的成績(成績均為正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計，樣本容量為.按照的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示.其中，成績落在區(qū)間內的人數(shù)為16.則下列結論正確的有()A.樣本容量B.圖中C.估計該市全體學生成績的平均分為分D.該市要對成績由高到低前的學生授予“優(yōu)秀學生”稱號，則成績?yōu)?8分的學生肯定能得到此稱號10.已知正方體，動點在線段上，則下述正確的有()A.與平面所成角為B.C.二面角的余弦值為D.平面11.如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，.設第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則()AB.C.D.12.已知橢圓的左右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，分別為橢圓的左右頂點，則下列命題正確的有()A.若直線的斜率為，直線的斜率，則B.若有且僅有兩個不同的實數(shù)使得為等腰直角三角形，則C.取值范圍為D.周長的最大值為8三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13.已知數(shù)列滿足前項和，則通項公式為___________.14.若雙曲線的左右焦點分別為為雙曲線上一點，若，則的取值為___________.15.在三棱錐中，，則三棱錐的外接球表面積為___________.16.在平面直角坐標系中，過點的直線與圓交于兩點，則四邊形面積最大值為___________.四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟17.的內角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若面積為，求.18.江蘇省高考目前實行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文?數(shù)學，外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理?歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治?地理?化學?生物這4門再選科目中選擇2門.已知南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學?生物至少1門.(1)從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率；(2)假設甲?乙?丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，求這三人中至少有兩人的選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率.19.如圖，是矩形所在平面外一點，且平面平面分別是線段的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.20.已知數(shù)列和滿足，且，設.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，且，設的前項和為，判斷并證明的單調性.21.已知動圓過定點，且軸被圓所截得的弦長恒為4，直線.(1)求圓心的軌跡方程；(2)若直線過點且與的軌跡交于兩點，求(為坐標原點)的大?。?3)若的軌跡上存在兩點關于直線對稱，求的取值范圍.22.設橢圓的左右焦點為，橢圓上頂點為，點為橢圓上任一點，且面積的最大值為，橢圓的離心率小于.(1)求橢圓的標準方程；(2)設為坐標原點，問：是否存在過原點直線，使得與橢圓在第三象限的交點為，與直線交于點，且滿足.若存在，求出的方程，不存在請說明理由.2022-2023學年第一學期12月六校聯(lián)合調研考試高二數(shù)學試卷一?單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復數(shù)滿足，則的虛部為()A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據已知條件,結合復數(shù)的四則運算,以及虛部的定義,即可求解.【詳解】故的虛部為-2.故選：2.某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名?，F(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數(shù)為()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根據分層抽樣的定義建立比例關系進行求解即可.【詳解】設在高二年級的學生中應抽取的人數(shù)為，依題意可得，解得.故選：C.3.若，則的值等于()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系及正弦二倍角公式,即可求得式子的值.【詳解】因為，所以故選:.4.若數(shù)列為等比數(shù)列，且是方程的兩根，則的值等于()A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知結合方程的根與系數(shù)關系及等比數(shù)列的性質即可求解.【詳解】由題意得,,故所以故選:5.圓與圓的公切線的條數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】首先判斷兩個圓的位置關系，從而判斷出公切線的條數(shù).【詳解】圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，圓心距，，所以兩圓相交，公切線有條.故選：B6.已知為雙曲線的左焦點，直線過點與雙曲線交于兩點，且最小值為，則雙曲線離心率取值范圍為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別討論經過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上和直線與雙曲線的交點在兩支上這兩種情況,列出不等式,計算即可得到范圍．【詳解】①當經過焦點的直線與雙曲線的交點在同一支上,可得雙曲線的通徑最小,設雙曲線的左焦點為，過的直線與雙曲線左支相交于，當直線斜率不存在時，直線的方程為可得,即有，當直線斜率存在時，設直線的方程為聯(lián)立，消去，得，，由，解得或，所以，所以當直線與軸垂直時，的長最小，即最小值為②當直線與雙曲線的交點在兩支上,可得當直線的斜率為0時,最小為由①②及題意可得,即為,即有,則離心率.故選:.7.過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，且點在第一象限，則當時，直線的斜率為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先設直線,把直線與拋物線聯(lián)立,結合,找到與關系式,計算即可得到斜率.【詳解】由題意知,設直線:,聯(lián)立方程,可得,即得①又因為,可得,②結合①②,可得,因為,,又因所以即可得故選:.8.在矩形中，，動點在矩形所在平面內，且滿足.若，則的取值不可能為()A. B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】根據已知條件建系計算,結合向量運算和輔助角公式,計算范圍即可【詳解】根據矩形,,以為坐標原點,以,分別為軸,則,又因，則,即設且，所以可取-1,1,2；又，所以的取值不可能為3.故選:.二?多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9.在某市高二舉行的一次期中考試中，某學科共有2000人參加考試.為了了解本次考試學生成績情況，從中抽取了部分學生的成績(成績均為正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計，樣本容量為.按照的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示.其中，成績落在區(qū)間內的人數(shù)為16.則下列結論正確的有()A.樣本容量B.圖中C.估計該市全體學生成績的平均分為分D.該市要對成績由高到低前學生授予“優(yōu)秀學生”稱號，則成績?yōu)?8分的學生肯定能得到此稱號【答案】BC【解析】【分析】根據頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關系即可判斷A；根據頻率之和等于，即可判斷B；根據頻率分布直方圖平均數(shù)的求解方法即可判斷C；根據題意得，即可判斷D.【詳解】對于A：因為成績落在區(qū)間內的人數(shù)為，所以樣本容量，故A不正確；對于B：因為，解得，故B正確；對于C：學生成績平均分為：，故C正確；對于D：因為，即按照成績由高到低前的學生中不含分的學生，所以成績?yōu)榉值膶W生不能得到此稱號，故D不正確.故選：.10.已知正方體，動點在線段上，則下述正確的有()A.與平面所成角為BC.二面角的余弦值為D.平面【答案】BCD【解析】【分析】A選項：根據三棱錐為正三棱錐，得到平面，即可得到為與平面所成角，然后求角即可；B選項：根據正方體的性質得到，，即可推出平面，，同理得到，根據線面垂直的判定定理得到平面，最后根據線面垂直的性質即可得到；C選項：根據，得到為二面角的平面角，然后求二面角的余弦值即可；D選項：根據平面∥平面和面面平行的性質即可得到∥平面.【詳解】A選項：設正方體邊長為2，取中點，連接，為靠近的三等分點，根據題意可得，，所以三棱錐為正三棱錐，F(xiàn)為正三角形BC1D中心，所以平面，為與平面所成角，，所以，所以與平面所成角不是，故A錯；B選項：連接，因為為正方體，所以，平面，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，故B正確；C選項：連接，因為，為等邊三角形，為中點，所以，，平面平面，所以為二面角的平面角，又，，所以，故C正確；D選項：因為為正方體，所以，，又，平面，，平面，所以∥平面，∥平面，因為，，平面，所以平面∥平面，因為平面，所以∥平面，故D正確.故選：BCD.11.如圖，此形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著《詳解九章算法.商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，.設第層有個球，從上往下層球的總數(shù)為，則()A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據由累加法可得，進而結合選項可判斷A.B.C,根據裂項相消法則可判斷D.【詳解】由題意得，，，，…，，以上個式子累加可得，又滿足上式，所以，由已知，，，，，得,故正確;因為,則,故錯誤;由通項公式得,故正確；由，得，故D正確.故選：.12.已知橢圓的左右焦點分別為，直線與橢圓交于兩點，分別為橢圓的左右頂點，則下列命題正確的有()A.若直線的斜率為，直線的斜率，則B.若有且僅有兩個不同的實數(shù)使得為等腰直角三角形，則C.取值范圍為D.周長的最大值為8【答案】BCD【解析】【分析】設出的坐標，根據斜率、等腰直角三角形、向量數(shù)量積、三角形的周長、橢圓的定義知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】設，不妨設在軸的上方，，A選項，,，A選項錯誤.B選項，若等腰三角形中，，根據橢圓的對稱性可知，只能是上下頂點，由，但只有一個值，不符合題意.若，，則，，依題意，兩邊平方并化簡得，解得(負根舍去).當時，同理可求得，此時.綜上所述，若有且僅有兩個不同的實數(shù)使得為等腰直角三角形，則，B選項正確.C選項，，由于，所以，，所以取值范圍為，C選項正確.D選項，設直線與軸相交于點，則的周長為,其中，當且僅當重合時等號成立，所以的周長的最大值為，D選項正確.故選：BCD【點睛】本小題是考查橢圓有關知識的多選題，每個選項都可以作為一個獨立的小問.四個選項都涉及到的坐標，這是貫穿整個題目的.在研究斜率、向量數(shù)量積時，可利用坐標運算來進行求解，在求周長的最值時，可利用定義法去轉化.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應位置.13.已知數(shù)列滿足前項和，則通項公式為___________.【答案】【解析】【分析】利用當時,;當時,,即可得出.【詳解】根據已知條件當時,;當時,綜上,可得故答案為:14.若雙曲線的左右焦點分別為為雙曲線上一點，若，則的取值為___________.【答案】5【解析】【分析】根據雙曲線的定義分點在左支上和右支上兩種情況求即可.【詳解】根據雙曲線的定義可得，，所以點可以在左支上，此時，解得；，所以點不可能在右支上，綜上可得.故答案為：5.15.在三棱錐中，，則三棱錐的外接球表面積為___________.【答案】【解析】【分析】根據外接球半徑與底面外接圓半徑，高度的關系計算即可.【詳解】因為,由余弦定理得,由題由正弦定理得，外接圓直徑為，得，因為由勾股定理得又因為由勾股定理得,平面,平面,,所以平面設球心到平面的距離為，所以，所以三棱錐的外接球半徑為，則三棱錐的外接球表面積為故答案為:16.在平面直角坐標系中，過點的直線與圓交于兩點，則四邊形面積最大值為___________.【答案】##【解析】【分析】設直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立，設，由韋達定理表示，令，轉化為求利用配方法求的最值可得答案.【詳解】圓，，由題意直線的斜率不為，設直線的方程為，與圓的方程聯(lián)立得，，設，所以，所以，所以，令，則，則，當時有最大值，所以有最大值，此時，即.故答案為：.四?解答題：本大題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟17.的內角的對邊分別為，已知.(1)求；(2)若的面積為，求.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據已知條件及正弦定理邊化角，利用兩角和的正弦公式的逆用及三角形的內角和定理，結合三角函數(shù)的誘導公式及三角函數(shù)的特殊值對應的特殊角即可求解.(2)根據(1)的結論及三角形的面積公式及余弦定理即可求解.【小問1詳解】由及正弦定理，得，即因為在中，，所以又因為，所以，又，所以.【小問2詳解】由(1)知，，因為的面積為，所以，即，由余弦定理，又，所以.18.江蘇省高考目前實行“3+1+2”模式，其中“3”指的是語文?數(shù)學，外語這3門必選科目，“1”指的是考生需要在物理?歷史這2門首選科目中選擇1門，“2”指的是考生需要在思想政治?地理?化學?生物這4門再選科目中選擇2門.已知南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求是首選科目為物理，再選科目為化學?生物至少1門.(1)從所有選科組合中任意選取1個，求該選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求概率；(2)假設甲?乙?丙三人每人選擇任意1個選科組合是等可能的，求這三人中至少有兩人的選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)利用古典概型求概率的方法求概率即可；(2)根據互斥事件概率加法公式求概率即可.【小問1詳解】用分別表示“選擇物理”“選擇歷史”，用分別表示選擇“選擇化學”“選擇生物”“選擇思想政治”“選擇地理”，則所有選科組合的樣本空間，，設“從所有選科組合中任意選取1個，該選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求”則，，.【小問2詳解】設甲?乙?丙三人每人的選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求的事件分別是，由題意知事件相互獨立.由(1)知.記“甲?乙?丙三人中至少有兩人的選科組合符合南京醫(yī)科大學臨床醫(yī)學類招生選科要求”，則易知以上子事件兩兩互斥，根據互斥事件概率加法公式得.19.如圖，是矩形所在平面外一點，且平面平面分別是線段的中點.(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)根據已知條件構造平行四邊形證明線線平行,再根據線面平行判定定理可證.(2)根據面面垂直性質定理得出是三棱錐的高,利用已知條件求相關量,應用等體積法,計算即可求出【小問1詳解】取中點，連接，在中，因為分別是的中點，所以；因為是矩形邊中點，所以；所以；即四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面平面，故平面【小問2詳解】如圖，設，連接，因為為中點，所以，又平面平面，平面平面平面，故平面，即是三棱錐的高；由矩形邊，得所以因為，所以，設點到平面的距離為，由(1)知點到平面的距離也為因為，即，解得，所以點到平面的距離為.20.已知數(shù)列和滿足，且，設.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，且，設的前項和為，判斷并證明的單調性.【答案】(1)(2)單調遞增，證明見解析【解析】【分析】(1)首先構造等差數(shù)列,再應用等差數(shù)列通項公式即可求.(2)由(1)結合得到的通項公式,應用錯位相減法求得,再作差比較證明單調性即可.【小問1詳解】由，等式兩邊同除以得，即即又，所以是以1為首項，2為公差