高中奧林匹克物理競賽解題方法十一：圖像法

高中奧林匹克物理競賽解題方法十一：圖像法十一、圖像法方法簡介圖像法是依照題意把抽象復雜的物理過程有針對性地表示成物理圖像，將物理量間的代數關系轉變?yōu)閹缀侮P系，運用圖像直觀、形象、簡明的特點，來分析解決物理咨詢題，由此達到化難為易，化繁為簡的目的，圖像法在處理某些運動咨詢題，變力做功咨詢題時是一種專門有效的方法。賽題精講例1：一火車沿直線軌道從靜止發(fā)出由A地駛向B地，并停止在B地。AB兩地相距s，火車做加速運動時，其加速度最大為a1，做減速運動時，其加速度的絕對值最大為a2，由此可能夠判定出該火車由A到B所需的最短時刻為。解析：整個過程中火車先做勻加速運動，后做勻減速運動，加速度最大時，所用時刻最短，分段運動可用圖像法來解。依照題意作v—t圖，如圖11—1所示。①②③①②③由①、②、③解得例2：兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度為v0，假設前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停住時，后車往常車剎車時的加速度開始剎車。前車在剎車過程中所行的距離為s，假設要保證兩輛車在上述情形中不相碰，那么兩車在做勻速行駛時保持的距離至少為 〔〕 A．s B．2s C．3s D．4s解析：物體做直線運動時，其位移可用速度——時刻圖像中的面積來表示，故可用圖像法做。作兩物體運動的v—t圖像如圖11—2所示，前車發(fā)生的位移s為三角形v0Ot的面積，由于前后兩車的剎車加速度相同，依照對稱性，后車發(fā)生的位移為梯形的面積S′=3S，兩車的位移之差應為不相碰時，兩車勻速行駛時保持的最小車距2s.圖11—圖11—2例3：一只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當老鼠到達距老鼠洞中心距離s1=1m的A點時，速度大小為v1=20cm/s，咨詢當老鼠到達距老鼠洞中心s2=2m的B點時，其速度大小v2=?老鼠從A點到達B點所用的時刻t=?圖11—3解析：因為老鼠從老鼠洞沿直線爬出，爬出的速度與通過的距離成反比，那么不能通過勻速運動、勻變速運動公式直截了當求解，但能夠通過圖像法求解，因為在圖像中，所圍面積即為所求的時刻。以距離s為橫軸，為縱軸建立直角坐標系，那么s與成正比，作—s圖像如圖11—3所示，由圖可得s=2m時，老鼠的速度為10cm/s。在1m到2m之間圖像與橫軸包圍的面積即為所求的時刻，因此老鼠從A到B爬行的時刻為圖11—3圖11—4例4：在一汽缸的活塞下面封閉有μ摩爾理想氣，由于受到突然加熱，氣體迅速膨脹，且膨脹過程中其熱力學溫度與其體積的平方成正比，即T=KV2。在其體積由V1膨脹至V2的過程中，氣體從外界吸取的熱量為Q圖11—4解析：求此過程中氣體的內能增加了多少，要用熱力學第一定律，由條件可知，關鍵是要求出氣體對外做了多少功，而功可用p—V圖像中所圍的面積來運算。以缸內氣體為研究對象，依照克拉珀龍方程：pV=μRt①又由條件有T=KV2②①、②兩式可得：p=μRKV可見氣體膨脹時，其壓強p與體積V成正比例。因此作p—V圖，如圖11—4所示，圖中陰影區(qū)的面積表示氣體在此過程中，對外所做的功W.再由熱力學第一定律，可知此過程中氣體內能的增加量為圖1—5例5：如圖11—5所示，在一個開有小孔的原先不帶電的導體球殼中心O點，有一個點電荷Q，球殼的內外表面半徑分不為a和圖1—5解析：球內、外表面上的感應電荷的電量隨著放在球心的電荷電量的改變而改變，感應電荷在球心處產生的電勢也與感應電荷的電量Q感成正比，利用U—Q感的圖像也能夠求出外力做的功。感應電荷在球心O處產生的電勢為U0，那么圖1—5—甲作出U—Q感的圖像如圖11—5—甲所示，假設電量Q是一份一份地從無窮遠處移到球心，而球內外表面上的感應電荷Q感隨球心處的電荷增加而增加，在此過程中移動電荷所做的功就應等于U1圖1—5—甲例6：電源電動勢為ε，內電阻為r，試求其外電阻為何值時，電源的輸出功率最大？解析：依照全電路歐姆定律得由此可知當ε、r不變時，U隨I線性變化，作U—I圖，圖中所圍面積為功率。圖1—6設電源的輸出電流為I，路端電壓為U，由于故作U—I圖如圖11—圖1—6S=IU明顯S表示現在電源對應的輸出功率，要使電源的輸出功率最大，即要此矩形的面積最大，由幾何知識得，當一個頂點位于AB線段中點C處的矩形面積最大，從圖中可得①依照歐姆定律有②由①、②解得R=r即當外電阻R+r時，電源的輸出功率最大，其最大值為圖11—7例7：在11—7圖中，安培表的讀數為I1=20mA。假如電池εx反向聯結，電流增加到I2=35mA。假如電燈發(fā)生短路時，電路中的電流I等于多少？燈泡的伏安特性曲線如圖11—7—圖11—7解析：題目中給出ε1的數值為9V，εx的大小不確定。當εx從正向變?yōu)榉聪蚵摻Y時，回路的總電動勢增大，在εx<ε1和εx>ε1的兩種情形下，I2都有可能增加。因此要分兩種情形討論。由燈泡的伏安特性曲線可知：當I1=20mA時，有U燈1=3V，I2=35mA時，U燈2=9V圖11—7—圖11—7—甲路電壓方程有：〔1〕當①②由①+②得因此將③式代入①式得③短路瞬時，可視電燈兩端電壓為零，因此原電路中的電流〔2〕當④⑤⑤—④得：因此R內=12000/15Ω⑥將⑥式代入④式得：當回路短路時，電流為圖11—8例8：如圖11—8所示，電源ε=12.0V,內電阻r=0.6Ω,滑動變阻器與定值電阻R0〔R0=2.4Ω〕串聯，當滑動變阻器的滑片P滑到適當位置時，滑動變阻器的發(fā)熱功率為9.0W，求這時滑動變阻器aP部分的阻值Rx圖11—8解析：由閉合電路歐姆定律作aP兩端的Uap—I圖像，因圖上任意一點的Uap與I所對應的矩形面積是外電路電阻Rx的輸出功率，從而由Rx的功率求出對應的Rx值。依照閉合電路歐姆定律圖11—圖11—8—甲作圖像如圖11—8—甲所示，由圖可分析找到滑動變阻器的發(fā)熱功率為9W的A點和B點，因此Rx有兩個值。圖11—9例9：如圖11—9所示，一寬40cm的勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向里。一邊長為20cm的正方形導線框位于紙面內，以垂直于磁場邊界的恒定速度v=20cm/s通過磁場區(qū)域，在運動過程中，線框有一邊始終與磁場區(qū)域的邊界平行。取它剛進入磁場的時刻t=0，在以下圖線中，正確反映感應電流隨時刻變化規(guī)律的是圖11圖11—9圖11圖11—9—甲解析：可將切割磁感應線的導體等效為電源按閉合電路來考慮，也能夠直截了當用法拉第電磁感應定律按閉合電路來考慮。半導線框部分進入磁場時，有恒定的感應電流，當整體全部進入磁場時，無感應電流，當導線框部分離開磁場時，又能產生相反方向的感應電流。因此應選C。例10：LC振蕩回路中電容器兩端的電壓U隨時刻t變化的關系如圖11—10所示，那么〔〕 A．在時刻t1，電路中的電流最大 B．在時刻t2，電路中磁場能最大 C．從時刻t2至t3，電路中的電場能不斷增大 D．從時刻t3至t4，電容的帶電量不斷增大圖11—圖11—10針對訓練1．汽車甲沿著平直的公路以速度v0做勻速直線運動。當它路過某處的同時，該處有一輛汽車乙開始做初速為零的勻加速運動去追趕甲車。依照上述的條件 〔〕 A．可求出乙車追上甲車時乙車的速度 B．可求出乙車追上甲車時乙車所走的路程 C．可求出乙車從開始起動到追上甲車時所用的時刻 D．不能求出上述三者中任何一個2．一物體做勻變速直線運動，某時刻速度的大小為4米/秒，1秒鐘后速度的大小變?yōu)?0米/秒。在這1秒鐘內該物體的 〔〕 A．位移的大小可能小于4米 B．位移的大小可能大于10米 C．加速度的大小可能小于4米/秒2 D．加速度的大小可能大于10米/秒23．在有空氣阻力的情形下，以初速v1豎直上拋一個物體，通過時刻t1到達最高點。又通過時刻t2，物體由最高點落回到拋出點，這時物體的速度為v2，那么 〔〕 A．v2=v1t2=t1 B．v2>v1t2>t1 C．v2<v1t2>t1 D．v2<v1t2<t14．〔〕圖11—11〔1〕表示質點運動的加速度a隨時刻t變化關紗的a—t圖；〔2〕表示質點運動的位移x隨時刻t變化關系的x—t圖。圖11—125．物體從某一高度由靜止開始滑下，第一次經光滑斜面滑至底端時刻為t1，第二次通過光滑曲面ACD滑至底端時刻為t2，如圖11—12所示，設兩次通過的路程相等，試比較t1與t2圖11—12圖11—126．兩光滑斜面高度相等，乙斜面的總長度和甲斜面的總長度相等，只是由兩部分接成，如圖11圖11—127．A、B兩點相距s，將s平分為n等份。今讓一物體〔可視為質點〕從A點由靜止開始向B做加速運動，但每過一個等分點，加速度都增加a/n，試求該物體到達B點的速度。8．質量m=1kg的物體A開始時靜止在光滑水平地面上，在第1、3、5……奇數秒內，給A施加同向的2N的水平推力F，在2、4、6……偶數秒內，不給施加力的作用，咨詢經多少時刻，A可完成s=100m的位移。9．沿光滑水平面在同一條直線上運動的A、B兩物體相碰后共同運動，該過程的位移圖象如圖11—14所示。能夠得出A、B的質量比為。圖11圖11—14圖11—1510．一平均的直角