2023年北京海淀區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷【含答案】

2023年北京海淀區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷一、單選題1、已知集合，，則（

）A.B.C.D.2、在平面直角坐標系中，角以為始邊，其終邊經(jīng)過點，則（

）A. B. C.2 D.3、若的展開式中常數(shù)項為，則（

）A.5 B.6 C.7 D.84、下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A. B. C. D.5、已知等差數(shù)列的前項和為，，，則的最大值為（

）A.7 B.6 C.5 D.46、拋物線，經(jīng)過點P的任意一條直線與C均有公共點，則點P的坐標可以為（

）A. B. C. D.7、芯片是科技產(chǎn)品中的重要元件，其形狀通常為正方形．生產(chǎn)芯片的原材料中可能會存在壞點，而芯片中出現(xiàn)壞點即報廢，通過技術(shù)革新可以減小單個芯片的面積，這樣在同樣的原材料中可以切割出更多的芯片，同時可以提高芯片生產(chǎn)的產(chǎn)品良率．．在芯片迭代升級過程中，每一代芯片的面積為上一代的．圖是一塊形狀為正方形的芯片原材料，上面有個壞點，若將其按照圖的方式切割成個大小相同的正萬形，得到塊第代芯片，其中只有一塊無壞點，則由這塊原材料切割得到第代芯片的產(chǎn)品良率為．若將這塊原材料切割成個大小相同的正方形，得到塊第代芯片，則由這塊原材料切割得到第代芯片的產(chǎn)品良率為（

）A. B. C. D.8、已知正方形ABCD所在平面與正方形CDEF所在平面互相垂直，且，P是對角線CE的中點，Q是對角線BD上一個動點，則P，Q兩點之間距離的最小值為（

）A.1 B. C. D.9、已知是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“”是“存在，使得”的（

）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件10、已知動直線與圓交于，兩點，且．若與圓相交所得的弦長為，則的最大值與最小值之差為（

）A. B.1 C. D.2二、填空題11、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為，則

．12、已知雙曲線經(jīng)過點，漸近線方程為，則的標準方程為

．13、如圖，在中，是邊上一點，，，，則

；的面積為

．14、設(shè)函數(shù)，①若，則不等式的解集為

；②若，且不等式的解集中恰有一個正整數(shù)，則的取值范圍是

．15、在數(shù)列中，，．設(shè)向量，已知，給出下列四個結(jié)論：①；②，；③，；④，．其中所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題16、已知函數(shù)，且．(1)求的值和的最小正周期；(2)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．17、某大學(xué)學(xué)院共有學(xué)生1000人，其中男生640人，女生360人．該學(xué)院體育社團為了解學(xué)生參與跑步運動的情況，按性別分層抽樣，從該學(xué)院所有學(xué)生中抽取若干人作為樣本，對樣本中的每位學(xué)生在5月份的累計跑步里程進行統(tǒng)計，得到下表．(1)求的值，并估計學(xué)院學(xué)生5月份累計跑步里程s（）在中的男生人數(shù)；從學(xué)院樣本中5月份累計跑步里程不少于的學(xué)生中隨機抽取3人，其中男生人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；該大學(xué)學(xué)院男生與女生人數(shù)之比為，學(xué)院體育社團為了解學(xué)生參與跑步運動的情況，也按性別進行分層抽樣．已知學(xué)院和學(xué)院的樣本數(shù)據(jù)整理如下表．5月份累計跑步里程平均值（單位：）設(shè)A學(xué)院樣本中學(xué)生5月份累計跑步里程平均值為，B學(xué)院樣本中學(xué)生5月份累計跑步里程平均值為，是否存在，使得?如果存在，求的最大值；如果不存在，說明理由．18、如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，分別為的中點．(1)求證：平面；(2)若，二面角的大小為，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知．求的長．條件①：；條件②：．已知橢圓的左頂點為，上、下頂點分別為，，直線的方程為．求橢圓的方程及離心率；是橢圓上一點，且在第一象限內(nèi)，是點關(guān)于軸的對稱點．過作垂直于軸的直線交直線于點，再過作垂直于軸的直線交直線于點．求的大?。?0、已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求證：；(3)若函數(shù)在區(qū)間上無零點，求a的取值范圍．21、設(shè)為整數(shù)．有窮數(shù)列的各項均為正整數(shù)，其項數(shù)為m（）．若滿足如下兩個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：①，且；②(1)若為數(shù)列，且，求m；(2)若為數(shù)列，求的所有可能值；(3)若對任意的數(shù)列，均有，求d的最小值．1、【答案】B;【解析】因為，，所以，.故選：2、【答案】A;【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的定義可知，故選：A3、【答案】A;【解析】的展開式通項為.故常數(shù)項為，得.因此正確答案為：A.4、【答案】D;【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，即可由選項逐一判斷.【詳解】對于A,的定義域為，定義域不關(guān)于原點對稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤，對于B，的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)，但在單調(diào)遞減，故B錯誤，對于C，的定義域為,關(guān)于原點對稱，又，故為偶函數(shù)，故C錯誤，對于D，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故D正確，故選：D5、【答案】B;【解析】【分析】設(shè)公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出，即可得到的通項公式，再令，即可求出的最大值.【詳解】設(shè)公差為，因為，，所以，解得，所以，令，解得，所以當或時取得最大值，且.故選：B6、【答案】D;【解析】【分析】根據(jù)點與拋物線的位置即可求解.【詳解】在軸上，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線外部，將代入拋物線中，則，所以在拋物線內(nèi)部，將選項中的點分別在直角坐標系中畫出來，只有點在拋物線內(nèi)部，故當點位于點處，此時經(jīng)過點P的任意一條直線與C均相交，故均有公共點，故選：D7、【答案】C;【解析】通過題意將這塊原材料如下切割得到第代芯片，其中塊無壞點，塊有壞點，故第代芯片的產(chǎn)品良率為.因此正確答案為：C8、【答案】C;【解析】【分析】根據(jù)面面垂直可得線面垂直，進而根據(jù)線線垂直得到勾股定理，根據(jù)點到直線的距離最小即可求解的最小值.【詳解】取邊的中點為,連接,P是CE的中點，則,由于,平面平面,平面平面，平面,故平面,平面,故,在直角三角形中，,,要使最小，則最小，故當時，此時最小，故的最小值為,所以，、故選：C9、【答案】C;【解析】若，則存在唯一的實數(shù)，使得，故，而，存在使得成立，所以“”是“存在，使得”的充分條件，若且，則與方向相同，故此時，所以“”是“存在，使得”的必要條件，故“”是“存在，使得”的充分必要條件，因此正確答案為：C10、【答案】D;【解析】通過題意可知圓的圓心在圓上，則當動直線經(jīng)過圓心，即點或與圓心重合時，如下圖1所示，，此時弦長取得最大值，且最大值為；設(shè)線段的中點為，在中，由，且，則，則動直線在圓上做切線運動，所以當動直線與軸垂直，且點的坐標為時，如下圖2所示，，此時弦長取得最小值，且最小值為，所以的最大值與最小值之差為2．因此正確答案為：D．11、【答案】;【解析】通過題意可知，所以，因此正確答案為：12、【答案】;【解析】由已知可得，雙曲線的焦點位于軸上，設(shè)的標準方程為.因為雙曲線經(jīng)過點，所以，則雙曲線的漸近線方程為，所以，所以的標準方程為.因此正確答案為：.13、【答案】;;【解析】在中，由余弦定理，得，即，解得，所以，所以，所以.因此正確答案為：；．14、【答案】

;【解析】①當時，和的圖象如下圖所示，由圖像分析可得當時，；②當時，的圖象如下圖所示，若不等式的解集中恰有一個正整數(shù)，則由圖像分析可得，即，解得，因此正確答案為：；15、【答案】②③④;【解析】對于①，由已知可得，，所以，.因為，所以有，解得，故①有誤；對于②，，，所以，.因為，所以有，解得.同理可知，.所以有，，，.猜想，，有，.（*）顯然，當時，（*）式成立；假設(shè)時，（*）式成立，即，有，.因為，，，所以，.由已知可得，，所以，所以.又，所以，所以.即，時，式子（*）也成立.所以，猜想正確.即，有，.所以，，.猜想，，.（**）當時，（**）式成立；假設(shè)當時，（**）式成立，即，.則，，當且僅當，即時，等號成立.因為，所以.所以，當時，（**）式也成立.所以，，，故②無誤；對于③，因為，所以，所以，所以，所以.又，所以.同理可知，.所以，，，故③無誤；對于④，由（**）可得，，.所以，，，故④無誤.因此正確答案為：②③④.16、【答案】(1)，(2)，;【解析】【分析】（1）根據(jù)代入求出，再利用三角恒等變換公式化簡，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）因為，且，所以，解得，所以，即，所以的最小正周期；（2）由，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，當時的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.17、【答案】(1)，人(2)分布列見解析，(3)存在滿足條件的，且的最大值為，;【解析】【分析】（1）首先求出男女生人數(shù)之比，即可得到方程，求出的值，再由樣本求出估計值；（2）依題意的可能取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)學(xué)院女生人數(shù)為，則男生人數(shù)為，求出，，即可得到不等式，解得即可.【詳解】（1）依題意，男女生人數(shù)之比為，所以，解得，故計學(xué)院學(xué)生月份跑步里程在中的男生人數(shù)為人.（2）依題意的可能取值為，，，所以，，，所以的分布列為所以（3）存在滿足條件的，且的最大值為，設(shè)學(xué)院女生人數(shù)為，則男生人數(shù)為，則，而，依題意，即，顯然，解得，所以的最大值為.18、【答案】(1)證明見解析(2)12.;【解析】（1）取的中點，連接，∵分別為的中點，∴是的中位線，∴且，又為的中點，∴且，∴且，∴四邊形是平行四邊形，∴平面平面，∴平面.（2）選擇條件①：,平面，,平面，平面,平面,,,底面為菱形，為的中點．,是等邊三角形，以為軸，為軸,為軸，建立空間直角坐標系，設(shè),則,設(shè)平面法向量為,設(shè)平面法向量為,,,,令,則,二面角的大小為∴，,選擇條件②：．平面，,,取的中點，,平面，平面,平面,,,底面為菱形，為的中點．,是等邊三角形，以為軸，以為x軸，以為軸設(shè),則,設(shè)平面法向量為,,,,令則,設(shè)平面的法向量為,,,,令,則,二面角的大小為∴，,19、【答案】(1)，(2);【解析】（1）因為直線的方程為，所以，，即，，所以，所以橢圓方程為，離心率（2）通過題意，設(shè)，，則，且點是橢圓上一點，可得，直線的方程為，由，可得，所以，直線的方程為，令，得，即，所以，即直線的傾斜角是，所以.20、【答案】(1)(2)見解析(3);【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，即可得，結(jié)合，由點斜式即可求解切線方程；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求出最值即可證明結(jié)論成立；（3）對分情況討論，在時，，通過二階求導(dǎo)，結(jié)合即可求解，在時，求導(dǎo)，結(jié)合零點存在性定理可得存在使得，進而結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】（1），則，又，所以曲線在點處的切線方程為，（2）因為所以，要證明，只需要證明，即證.令，則，當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，，此時在上單調(diào)遞減，故在取極大值也是最大值，故，所以恒成立，即原不等式成立.（3），當時，，故當時，在區(qū)間上恒成立，符合題意；當時，，令，則在區(qū)間上恒成立，所以在單調(diào)遞減，且，①當時，此時，在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，所以在上恒成立，符合題意，②當時，此時，由于且，所以，所以，故存在使得，故當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減，故時，取極大值也是最大值，故，由，可得，令，得，所以在上存在零點，不符合題意，舍去，綜上可知，a的取值范圍為.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及函數(shù)問題的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.21、【答案】(1)(2)的所有可能取值為全體大于的正整數(shù)(3);【解析】（1）通過題意，，所以，，，，，所以.（2）通過題意，，下面證明對于任意的正整數(shù)，當時，均存在數(shù)列為數(shù)列，時，與題意相符，反證，假設(shè)存在正整數(shù)，當時，不存在數(shù)列為數(shù)列，設(shè)此時的最小值為，即時存在數(shù)列