上海新古北中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

上海新古北中學(xué)高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知一個邊長為1的正方體的8個頂點都在同一球面上，則該球的直徑為（

）A.1

B.

C.

D.2參考答案：C略2.設(shè)F1、F2是橢圓（a>b>0）的左、右焦點，P為直線x=上一點，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(

)A． B． C． D．參考答案：C考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計算題．分析：利用△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根據(jù)P為直線x=上一點，可建立方程，由此可求橢圓的離心率．解答：解：∵△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P為直線x=上一點∴∴故選C．點評：本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3.把15個相同的小球放到三個編號為1,2,3的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，則共有多少種放法（

）A.18 B.28 C.38 D.42參考答案：B【分析】根據(jù)題意，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3.個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的9個小球，放入3個盒子，每個盒子至少放1個的問題，由擋板法分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，15個相同的小球放到三個編號為1,2,3的盒子中，且每個盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號數(shù)，先在1號盒子里放1個球，在2號盒子里放2個球，在3號盒子里放3個球，則原問題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的9個小球，放入3個盒子，每個盒子至少放1個的問題，將剩下的9個球排成一排，有8個空位，在8個空位中任選2個，插入擋板，有種不同的放法，即有28個不同的符合題意的放法；故選B．【點睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是將原問題轉(zhuǎn)化為將個球放入個盒子的問題，屬于基礎(chǔ)題．4.在一次馬拉松比賽中，30名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示．若將運動員按成績由好到差編號為1﹣30號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取6人，則其中成績在區(qū)間[130，151]上的運動員人數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點】莖葉圖．【分析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣方法的特征，將運動員按成績由好到差分成6組，得出成績在區(qū)間[130，151]內(nèi)的組數(shù)，即可得出對應(yīng)的人數(shù)．【解答】解：將運動員按成績由好到差分成6組，則第1組為，第2組為，第3組為，第4組為，第5組為，第6組為，故成績在區(qū)間[130，151]內(nèi)的恰有5組，故有5人．故選：C．5.已知橢圓有相同的準(zhǔn)線,則動點P(n,m)的軌跡為

A．橢圓的一部分

B．雙曲線的一部分

C．拋物線的一部分

D．直線的一部分參考答案：解析:由已知得:,化簡為,軌跡為橢圓的一部分.故選A.6.在面積為S的△ABC的邊AC上任取一點P，則△PBC的面積大于的概率是()A.

B.

C.

D.參考答案：C解析：如圖，在△ABC中，點F是AC邊的四等分點，設(shè)△ABC的高為AD，△FBC的高為FE，則FE＝AD，∴S△FBC＝S△ABC＝，要使△PBC的面積大于，則點P需在線段FA上選取，故P＝＝.答案：C7.曲線的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，則曲線是（

）A、線段B、雙曲線的一支C、圓

D、射線參考答案：D8.準(zhǔn)線為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C略9.已知函數(shù)的圖象在點處的切線的斜率為3，數(shù)列的前項和為,則的值為

（

）參考答案：D略10.拋物線y2=12x上與焦點的距離等于7的點的橫坐標(biāo)是（）A．6 B．5 C．4 D．3參考答案：C【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線y2=12x的方程可得焦點F（3，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣3．再由拋物線的定義可得拋物線y2=12x上與焦點的距離等于7的點到準(zhǔn)線x=3的距離也等于7，故有x+3=7，由此求得x的值，即為所求．【解答】解：∵拋物線y2=12x的焦點F（3，0），故準(zhǔn)線方程為x=﹣3．根據(jù)拋物線的定義可得，拋物線y2=12x上與焦點的距離等于7的點到準(zhǔn)線x=﹣3的距離也等于7，故有x+3=7，∴x=4，即與焦點的距離等于7的點的橫坐標(biāo)是4，故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.橢圓的焦點分別為,點P在橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么的

倍.參考答案：712.直線與平行,則實數(shù)______.參考答案：13.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱和底面垂直，且所有棱長都相等，若該三棱柱的各頂點都在球O的表面上，且球O的表面積為7π，則此三棱柱的體積為．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；球內(nèi)接多面體．【分析】通過球的內(nèi)接體，說明幾何體的中心是球的直徑，由球的表面積求出球的半徑，設(shè)出三棱柱的底面邊長，通過解直角三角形求得a，然后由棱柱的體積公式得答案．【解答】解：如圖，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長都相等，6個頂點都在球O的球面上，∴三棱柱為正三棱柱，且其中心為球的球心，設(shè)為O，再設(shè)球的半徑為r，由球O的表面積為7π，得4πr2=7π，∴r=．設(shè)三棱柱的底面邊長為a，則上底面所在圓的半徑為a，且球心O到上底面中心H的距離OH=，∴r2=（）2+（a）2，即r=a，∴a=．則三棱柱的底面積為S==．∴==．故答案為：．14.數(shù)列{an}中的前n項和Sn=n2﹣2n+2，則通項公式an=．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式．【分析】由已知條件利用公式求解．【解答】解：∵數(shù)列{an}中的前n項和Sn=n2﹣2n+2，∴當(dāng)n=1時，a1=S1=1；當(dāng)n＞1時，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣2n+2）﹣[（n﹣1）2﹣2（n﹣1）+2]=2n﹣3．又n=1時，2n﹣3≠a1，所以有an=．故答案為：．15.橢圓的半焦距為,若直線與橢圓的一個交點的橫坐標(biāo)恰為,則橢圓的離心率_________________.參考答案：16.已知函數(shù)，的最大值為4，則實數(shù)a的值為_______．參考答案：－5【分析】求導(dǎo)后，若，則，可驗證出不合題意；當(dāng)時，求解出的單調(diào)性，分別在，，三種情況下通過最大值取得的點構(gòu)造關(guān)于最值的方程，解方程求得結(jié)果.【詳解】由題意得：當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，解得：，不合題意，舍去當(dāng)時，令，解得：，可知在，上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增①當(dāng)，即時，解得：，不合題意，舍去②當(dāng)，即時，，解得：③當(dāng)，即時解得：，不合題意，舍去綜上所述：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的最值求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是對于含有參數(shù)的函數(shù)，通過對極值點位置的討論確定最值取得的點，從而可利用最值構(gòu)造出方程，求解出參數(shù)的取值范圍.17.一份試卷有10個題目，分為兩組，每組5題，要求考生選擇6題，且每組至多選擇4題，則考生有

種不同的選答方法．參考答案：200略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在[0,2]上的最值；（2）若函數(shù)在(－1,1)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．參考答案：(1)見解析；(2)a≥.【分析】(1)當(dāng)a＝2時，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值；(2)根據(jù)函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為在(－1,1)上恒成立，再利用分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可求解．【詳解】(1)當(dāng)a＝2時，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)=0，則x=－或x=當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0，)(，2)2f′(x)

+0-

f(x)f(0)=0↗極大值f()↘f(2)=0所以，f(x)max=f()=(-2+2),f(x)min=f(0)=0.(2)因為函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．設(shè)y＝x＋1－，則y′＝1＋>0，即y＝x＋1－在(－1,1)上單調(diào)遞增，則y<1＋1－＝，故a≥.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性與，以及函數(shù)單調(diào)性，求解參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．19.如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，是的中點，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.（Ⅰ）求出該幾何體的體積;（Ⅱ）若是的中點，求證：平面；（Ⅲ）求證：平面平面.參考答案：如圖是某直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側(cè)視圖、俯視圖，在直觀圖中，是的中點，側(cè)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示.（Ⅰ）求出該幾何體的體積;（Ⅱ）若是的中點，求證：平面；（Ⅲ）求證：平面平面.解：(Ⅰ)由題意可知：四棱錐中，平面平面，

…………2分平面平面=所以，平面

…………4分又，則四棱錐的體積為：

…………6分(Ⅲ)

,是的中點,又平面平面平面

…………12分由(Ⅱ)知：平面

又平面所以，平面平面.

…………14分20.（本小題共13分）設(shè)數(shù)列的前項和．（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；ks5*u（Ⅱ）若，且，求數(shù)列的前項和參考答案：（本小題共13分（Ⅰ）證：因為

，，所以當(dāng)時，，整理得.由，令，得，解得.所以是首項為，公比是的等比數(shù)列.………6分（Ⅱ）解：由，得.所以從而.

.…………13分略21.設(shè)Sn是數(shù)列[an}的前n項和，．（1）求{an}的通項；（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．參考答案：【考點】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．【專題】計算題．【分析】（1）由條件可得n≥2時，，整理可得，故數(shù)列{}是以2為公差的等差數(shù)列，其首項為，由此求得sn．再由求出{an}的通項公式．（2）由（1）知，，用裂項法求出數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【解答】解：（1）∵，∴n≥2時，，展開化簡整理得，Sn﹣1﹣Sn=2Sn﹣1Sn，∴，∴數(shù)列{}是以2為公差的等差數(shù)列，其首項為．∴，．由已知條件可得．（2）由于，∴數(shù)列{bn}的前n項和，∴．【點