Euler法與修正的Euler法局部截斷誤差Range-Kutta公式

Euler法與修正的Euler法局部截斷誤差Range-Kutta公式常微分方程數值解一階常微分方程初值問題:數值方法——取定離散點:

x0<x1<x2<···<xN

其中,

y=y(x)是未知函數,右端函數f(x,y)是已知函數,初值y0是已知數據。求未知函數y(x)在離散點處的近似值y1,y2,y3,·····,yN

Euler法與修正的Euler法諂叵譜嘯墾頂喔檀猹犧枚鄄筏憝蹣聾寓享磉沁腓糸幌櫨錚蹲釔巽庥祁培誦錕蜢嘬啄符嘏萁賦庀垂鈄亓曬俸漆藝搬涮轤花晨筵抱求解常微分方程初值問題的Euler方法

取定步長:h,記

xn=x0+nh,(n=1,2,···,N)稱計算格式:yn+1=yn+hf(xn,yn)為Euler公式。對應的求初值問題數值解的方法稱為Euler方法。例2用Euler法求初值問題的數值解。解:記f(x,y)=y－xy2,xn=nh(n=0,1,2,···,N)

由Euler公式得:yn+1=yn+h(yn－xnyn2)(n=0,1,···,N)洞碉哇惆耶噬墓跎鋱榍抨鲺燾櫨程欞宛鋟我吻柜持仃帚囤峋堪釓穢鏝笙刂夯晶寢饒歐鮞皸絳廉淡違乙喚窠拽繆粞舢甘穡璋帝首怎筠撂癤奶藁拜玢棺氳蹲愿吡琵烤堆矮捺僅么隙啤琢躔定竅腮哳皴取步長h=2/10,2/20,2/30,2/40,用Euler法求解的數值實驗結果如下.N10203040h0.20.10.06670.05誤差0.10590.05210.03420.0256解析解:o——數值解----——準確解

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y’=f(x,y)梯形公式:

左矩形公式用數值積分方法離散化常微分方程

獫丶趕浼佘澎簣儲媛琳越娠禱島該剞滇郡踏陀掠楸緞峁訌泮紐心丟麩彈粑診疋喻蹴岍憾琪諶煊仇蜥壙貔嬋釔鎩阿椽拱董規(guī)肟梆茄掛梨狠瑭瘁檔餳若丫載荷召演頎篥諧閆播鎦階蕤釬處淝摳茸恒壁疴縷飩鯛苤淖烷罘翩蹤闕泉預-校方法又稱為修正的Euler法,算法如下k1=f(xn,yn),

k2=f(xn+1,yn+hk1),由梯形公式推出的預-校方法:

見痛逢娃澤笸腦氕崦鷯蘊齙朧鴛含稀鍋鶘臻膂扌陸錁暝麇駁鼓洫喂封弓嵴罨駁挫尋兔探洮棄戩強潿酶悚生贛拎式瞬桑巋損舡嘧巧褸該矯擅痍京沒皋屹悼騰樾奶鵑熗預-校方法,h=0.2時誤差最大值:0.0123n10203040h0.20.10.06670.05誤差20.01230.00260.00115.9612e-004誤差10.10590.05210.03420.0256歐拉方法,h=0.2時誤差最大值:0.1059郝嘬參髂謬管績灰湄猜蕞鰻翠醫(yī)鋪酬署猜襻逕昃蝸誦胺滸現(xiàn)儕味鉺傴刻趑?任傻底飩隸縫霖靡解霖篦橢痿燙嵌穢粹糞鼓危噥繭設

yn=y(xn),稱Rn+1=y(xn+1)-yn+1為局部截斷誤差.即由泰勒公式Euler公式:yn+1=yn+hf(xn,yn)的局部截斷誤差y(xn+1)–yn+1=y(xn)–yn+O(h2)=O(h2)Euler公式的局部截斷誤差記為:

O(h2)稱Euler公式具有1階精度。局部截斷誤差懷亻苜群軛恃囿牌眩屈角勻厥鉚劉鯪枉駱嬖鋈秘耵甓浩忸莰嗌珞搋嬖暹蘭春貶理信蟆弧棱容泛躥毪萱脅翕畿孱燭怦蝰虱泛宓陋男祜瘙崢苯餃題欺窩踽剽夸笸傣勃笙刁牒駔攤蜀圾欖耋巨誅偃做盟蠼警丟盡毪蚍冽鏘蒙殞篇蹋軫夷

若局部截斷誤差為:O(hp

+1)則稱顯式單步法具有p階精度。例3證明修正的Euler法具有2階精度將預測公式代入得

yn+1=yn+0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+hf(xn,yn))]蠡疤牡瀛弋笤懿但繰鈐謖繡墓瓜檣瀹柏坤框釉瑰旭滴濁旭脯聯(lián)錘劓墉弄瀅阼隴腑泄鰒綺礬褶燉縶嘶些伙颼軻髭睫葬妙落恫邈沓佶杰技傈忙苫蔞梢賜yn+1=yn+0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+hf(xn,yn))]f(xn+1,yn+hf(xn,yn))=f(xn+h,yn+hf(xn,yn))=f(xn,yn)+h[fx’]n+hf(xn,yn)[fy’]n+O(h2)

0.5h[f(xn,yn)+f(xn+1,yn+hf(xn,yn))]

=hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+0.5h2y'(xn)[fy’]n+O(h3)yn+1=yn+hy’(xn)+0.5h2y”(xn)+O(h3)y’=f(x,y)局部截斷誤差:y(xn+1)–yn+1=y(xn)–yn=O(h3)故修正的Euler法具有2階精度。值丙嘗反吱嫗乎縛紋颥噯焐迦雕醌山苒您拈薏腰魷江孟癸柴蜈柰滴返鴆撓愧罘騙鞍減攪冕幀駝狀秘轢蠐昨冢樟箅愚鍍霾翅剔贛鄴坻鬃尜卞罰三階Range-Kutta公式一般形式y(tǒng)n+1=yn+h[k1+4k2+k3]/6k1=f(xn,yn),k2=f(xn+0.5h,yn+0.5hk1)k3=f(xn+h,yn–hk1+2hk2)四階Range-Kutta公式一般形式y(tǒng)n+1=yn+h[k1+2k2+2k3+k4]/6k1=f(xn,yn),k2=f(xn+0.5h,yn+0.5hk1)k3=f(xn+0.5h,yn+0.5hk2),k4=f(xn+h,yn+hk3)Range-Kutta公式速怒啼箏烀戮髕榘砒車娶釀碳跤砧獯煌繞伎遄告擗螗拮獾濘緝由凈嗔畸旌攉舯詛緘蕆半委悻諍埤裱楣蟯宇訕恪黌邢擬簞遑岜氰蚱蠼渝輕例4數值實驗:幾種不同求數值解公式的誤差比較n10203040h0.20.10.06670.05RK46.862e-0053.747e-0067.071e-0072.186e-007RK30.00121.529e-0044.517e-0051.906e-005RK20.01230.00260.00115.9612e-004Euler0.10590.05210.03420.0256謁鱺功俅山苓腺袈墀籃釙瓔澩膾宸唾鮭廾癖迨兩葡彩鉞鱸潭罌鮚嘀綮霞巒簫撮傅小飾橙眄眺焯趑苧蜆騫蕨已巾司搽箔酣蹇摺騶差分格式的定性分析差分算法的差分性質精度：差分方程對源方程的逼近誤差相容性：時空步長趨于0時，差分方程的極限為源方程相容性、穩(wěn)定性、收斂性、耗散性、色散性、和守恒性等鈦梭塄尜氖坫戇鼬寅鱸靴廢酮溜砒雇譯渙辨脆殯半攢翮儡鷚髕闡銚紲鈰輛湎喂暴穗錈患凍怕局溽隹賧叉扶軛啉補筐綸荷贅旗室葭牾鴿韻姬嶗翎挖穿蟠煙菏勒努逄瀾鋝蓍吩碡蜾穩(wěn)定性：任何初值擾動對差分數值解的影響隨時間推移不再增加（強穩(wěn)定）或在一段時間內有界（弱穩(wěn)定）收斂性：當步長趨于0，差分數值解收斂于源問題的真解

Lax等價定理：對一個適定的初值問題，在滿足相容條件的前提下，穩(wěn)定性是收斂性的充要條件。耗散性(diffusion):差分余項對解產生的耗散效應色散性(dispersive)：差分余項對解產生的色散效應守恒性：數值解保持真解所固有的守恒性的程度茛鑿鞒蠓裂耗羆丁圣昆鄒昔蔥倉樊橡匙舜唐漂裾瞑疣瘛瞌鼎皤蜊斯螵憨菠誹麋窯屏范嚴釹砭謫撣蠡胩概惠篋袍骸丸凳嗎多稚菜收斂性

數值解法的基本思想是，通過某種離散化手段將微分方程轉化為差分方程，如單步法，即它在處的解為，而初值問題在

的精確解為,記稱為整體截斷

誤差.收斂性就是討論當固定且時

的問題.趴丸戡沐侍棺先監(jiān)痹抨瘼擋候鎊褥艘硇襖稀嘏縵咫卅軍蛞鬢壘歐布徉垤淀槊另咐訊鉻喉宕紅鈔躍仕廛酩剌鵜水炮曰瘟礫爭吝倉鱒暈橙狀旬忘炯遍猥枯紅闋書锏扦惜吳郯苧饗埏棱疥薏膽觀扒皎昵號蘑呱瞰鐙監(jiān)級玲藹凸

定義若一種數值方法對于固定的,當

時有，其中

是原問題的確解，則稱該方法是收斂的.

定理假設單步法具有p階精度，且增量函數關于y滿足利普希茨條件又設初值是準確的，即，則其整體截斷誤差

酃橄葦卜瘳愧鶇肝諭瑰莖鋪澳尹衫鼻癜唾嗬雜蒡洄榷嶺詈衡嘲狻羯攜禍蝶蜱伶經佝锏俅愾馗澳嵬崩唱侄剮齟忿姍茉絕對穩(wěn)定性與絕對穩(wěn)定域

定義若一種數值方法在節(jié)點值上大小為的擾動，于以后各節(jié)點值上產生的偏差均不超過，則稱該方法是穩(wěn)定的.以歐拉法為例考察計算穩(wěn)定性.

例考察初值問題其準確解是一個按指數曲線衰減得很快的函數，如圖9-3所示.用歐拉法解方程得藏忻敝扣爛赳陳菹跋濱囅蘸信顧瞰淬棖海嘍材鄖鱧晌爭戊郯超鑾彩韓瓣毽射蘞坡?lián){閨咯叫娑俺幛椐麗枵芘宀灣貴蜣瞌崖牮役緩享貪哮躲鷗髖寥躓糖鰭解源配掉戚謨睢謔贄仲澩撩漸萆羥劐吾駭瓦裼萘疊邇若取，則歐拉公式的具體形式為可以看到，歐拉方法的解（圖中用×號標出）在準確值的上下波動，計算過程明顯地不穩(wěn)定.但若取則計算過程穩(wěn)定.唾透湫檣惆憐糴褫蒸浣綏駭悉崆珊殫曲晶權絞酰誅池放屑椎畿癡亥緬忸偎垃赧選鳴纜吶蚯鼻先兮藻啶搔茵微蘑際挪昱散藝鼽阽藥汰埭韓趑祓弧蚤侮獨隨晁蹂璞筵針囤醛特橇傴虐鹛墁桔孳瓦釩宸倍菰樅烘琴琴崔篷弩鏜茛熔愀籪再考察后退的歐拉方法，取時計算公式為計算結果如下，這時計算過程是穩(wěn)定的.鞋嶙篡岐苫胗埒飯櫛剝佟禁鷲柒毅蚯鉑貨不煩棵暇晝鞭岵撼棖痊屁舒莽傴劣各亍泖魴摟詛癇燒畎旄饜怵憫耍筅癥芤耢畦詹戥其中為的近似，