高考數(shù)學(xué)解析幾何-第19講 橢圓中的蝴蝶模型

高考數(shù)學(xué)解析幾何

第19講橢圓中的蝴蝶模型

知識與方法

蝴蝶定理(BUtterfIyTheorem),是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一.這個(gè)命題最早出

現(xiàn)在1815年,由WG霍納提出證明.

【蝴蝶定理】M是O。中弦AB的中點(diǎn),過點(diǎn)M的兩條弦CD,EF,連接0E,CF交AB于P,Q兩點(diǎn),

則M是線段PQ的中點(diǎn).

問題中的圖形酷似圓中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理

蝴蝶定理還可以推廣到橢圓,甚至雙曲線與拋物線中.

高考中,直接考查圓錐曲線中的蝴蝶定理很少見，大多考查蝴蝶模型背景下的直線與橢圓的

位置關(guān)系問題.此類問題的本質(zhì)是研究橢圓的內(nèi)接四邊形，其形如“蝴蝶”的四邊形通?？梢?/p>

由橢圓的兩條相交弦確定,在具體的問題中,此兩弦要么過定點(diǎn),要么某線斜率特定，由此便會

呈現(xiàn)兼具一般解法又別具一格的定點(diǎn)、定值等問題,下面略舉幾例予以說明.

典型例題

類型1：蝴蝶模型中的定點(diǎn)問題

【例1】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓0：產(chǎn)+y2=9,Q是圓。上任意一點(diǎn),Q在X軸上的射影是

點(diǎn)。,點(diǎn)P滿足前=?而,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若4(—3,0),B(3,0),過直線％=9上任意一點(diǎn)7(不在X軸上)作兩條直線T4,7B與曲線E分別

交于點(diǎn)。(%1，丫1),。(%2，丫2)(異于43),求證：直線CD過定點(diǎn).

類型2：蝴蝶模型中的斜率定比問題

［例2］已知橢圓C:1+q=1的左、右頂點(diǎn)分別為P,Q,過橢圓右焦點(diǎn)尸的直線/與橢圓交于

Io12

4B兩點(diǎn),且直線［的斜率不為O.分別記直線4P和BQ的斜率為自與心,問是否存在常數(shù)人使得

在直線1轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,有七=4心恒成立？

類型3:蝴蝶模型中的弦長關(guān)系問題

［例3］己知橢圓E:^+'=l(α>fe>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)

頂點(diǎn),點(diǎn)P(√53)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

⑵設(shè)不過原點(diǎn)。且斜率為加直線/與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)4B,線段AB中點(diǎn)為M,直線。M與

橢圓E交于C,。,求證=?MC||MD?.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖,0為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:《+A=l(α>b>0)的焦距等于其長半軸長,MN為橢圓C的

上、下頂下且IMNl=2√3.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點(diǎn)P((U)作直線，交橢圓C于異于M,N的4B兩點(diǎn),直線4M,BN交于點(diǎn)7.求證：點(diǎn)7的縱坐

標(biāo)為定值3

2.已知橢圓C:9+?=1與定點(diǎn)4(0,—2),經(jīng)過點(diǎn)E((U),且斜率存在的直線，交橢圓于Q,N兩

點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,連接AB,AN.求證：存在實(shí)數(shù);I,使得歐N=恒成立？

3.橢圓C』+'=l(α>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fι',M在橢圓上,AM&F2的周長為

2遮+4,而積的最大值為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線y=kx(fc>0)與橢圓C交于4B連接AF2,BF2并延長交橢圓C于D,E,連接。E,探索

4B與DE的斜率之比是否為定值并說明理由.

4.設(shè)橢圓C:攝+，=1的左、右頂點(diǎn)分別為4B,橢圓的弦PQ過定點(diǎn)M(t,O),直線PQ斜率為k且

k≠0,求”的值.

5.已知橢圓廠的方程為9+9=1,經(jīng)橢圓的左焦點(diǎn)F(-2,0)、斜率為七(如;如≠0)的直線與

橢圓交于4、B兩點(diǎn).設(shè)R(LO),延長ZR、BR分別與橢圓交于C、D兩點(diǎn),直線CD的斜率為

則晟=

參考答案

類型1：蝴蝶模型中的定點(diǎn)問題

【例1】在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓。：必+丫2=9,Q是圓。上任意一點(diǎn),Q在X軸上的射影是

點(diǎn)。，

點(diǎn)P滿足前=日麗,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程；

(2)若4(一3,0),8(3,0),過直線％=9上任意一點(diǎn)7(不在X軸上)作兩條直線771,TB與曲線E分別

交于點(diǎn)CO：1，%),。(%2，光)(異于4B),求證：直線CD過定點(diǎn).

【答案】(1)9+?=1;(2)見解析.

【解析】⑴設(shè)P(X,y),Q(χo,yo),因?yàn)椋篋P=γθQ,所以X0=×>yo=代入圓

O-.x2+y2=9中，得5+9=1,所以曲線E的方程為：9+?=L

(2)由對稱性,定點(diǎn)在X軸上.

解法1：設(shè)點(diǎn)表點(diǎn)

設(shè)點(diǎn)7的坐標(biāo)為(9,m)

直線74方程為：沼=言,即y=5(x+3),

直線78方程為：?-=三(,即y=7(x-3).

m-Q9-3J6κ/

分別與橢圓?+?=1聯(lián)立方程組,同時(shí)考慮到Xi≠-3,x2≠3,

解得匕(端善，蒜)，Dp(m2-20)20m\

?20+m220+m2J

20m3(m2-2θ)

X2O+7?!2_______

當(dāng)Xi≠g時(shí),直線CD方程為：42個(gè)“3(80-m2)3(r∏2-2θ)

80+m2^r20+m2

80+m220+m2

令y=0,解得:X=1.此時(shí)必過點(diǎn)K(1,0);

當(dāng)Xi=g時(shí),直線CD方程為：X=1,與X軸交點(diǎn)為K(LO).

所以直線MN必過X軸上的一定點(diǎn)K(l,0).

解法2：設(shè)線表點(diǎn)

顯然4C斜率存在,設(shè)AC斜率為k,則BD斜率為2k,直線771方程為:y=k(x+3),與橢圓%+

9=1聯(lián)立方程組得(5+9fc2)x2+54∕c2x+81∕c2-45=0,

q+81k2-45H15-27fc230k

由韋達(dá)定理局-XC=9二+5,得%c=如+5-=證中；

直線TB方程為:y=2fc(x-3),與橢圓?+?=1聯(lián)立方程組得

(5+36∕c2)x2+216fczx+324fc2-45=0,

108fc2-15_-60〃

由韋達(dá)定理,小?%d=登辭,得沏=36fc2+5''O_36k2+5

(1)當(dāng)XC=%D，易得直線。。為X=1>

__yp-yc-??fe

當(dāng)τ,所以直線的方程為

(2)XC≠XD,kcD2CDy-yc

XD—xc18?—5

-15k

(x-XC),

18∕c2-5

由對稱性定點(diǎn)在X軸上,方程中令y=0,化簡得X=1,

所以直線MN必過X軸上的一定點(diǎn)K(1,0).

【注】上述兩種解法的關(guān)鍵是通過設(shè)點(diǎn)或設(shè)線，利用韋達(dá)定理表示出點(diǎn)C和點(diǎn)D:

/3(80—m2)40m?∕3(m2—20)20m\

80+m2,80+m2/,\20+m2'20+m2)

∕15-27fc230k??∕108fc2-15-60k\

映CV9k2+5,9k2+s),υk36k2+5,36fc2+5√

在此條件下研究直線CD過定點(diǎn),研究的思路可以先由對稱性,推斷其在X軸上，寫出直線CO的

方程，令y=0,求出X的值得定點(diǎn),另一種更一般的思路是先設(shè)出定點(diǎn),再轉(zhuǎn)為多項(xiàng)式恒等解出

定點(diǎn).其過程如下：

設(shè)直線CD經(jīng)過定點(diǎn)(s,t)?%=超,直線CC的方程為"扁=惡(X-嘴汩，

也可表示為yτ=^(.s),則丹.琴需+丹=黑s+3

則IOm-3(80-m2)+40m(m2-40)=10ms(m2+80)+t(m2—40)(m2+80)對m恒成

立，

???s=l,t=O,定點(diǎn)為(1,0).

解法3:韋達(dá)代換

22

直線CD方程為:X=my+t(t≠0),與橢圓y+y=1聯(lián)立方程組得

(5m2+9)y2+IOznty+5t2-45=0,

δ

由韋達(dá)定理+y2=5m2+9,7172=57π2+9,=180(5τ∏2+9一戶)>0,

ViIZyyOV

4C：y=T^(x+3),x=9,y=τ-Γ^1'BD?,y=--2-(x-3),x=9,y=2

??I???Iτ?42?r?

1

所以：1J3=勺,化簡得：2&%-Xly2=3%+6yι-(1)

X1÷?X2-J

C-90m9Cy+y)

乂小丫1+xy=2myy+t(y+y)=、門：=--1：----2--…(2)

i212125τ∏∕+9t

由(1)(2)可知:

在直線CO方程y-y=--------(x-Xl)中,令y=0

1x2~χι

IJlljx=Xly2一犯％=停-4)%+停-2%

、y2一月y2-yi

當(dāng)G—4)+G—2)=0,即t=1時(shí),定點(diǎn)為(1,0).

【注】在此解法中關(guān)鍵是處理非對稱式：2x2y1-x1y2=3y2+6y1.

常見的處理解法是構(gòu)造對稱式?為+χιy2=紋詈＜再與2外月-χιy2=3y2+6y1

構(gòu)造方程組,解出χ2y1,χ42,從而化解式子氣資1?這種處理手法在《非對稱韋達(dá)定理》章節(jié)

有詳細(xì)說明.

類型2：蝴蝶模型中的斜率定比問題

【例2】已知橢圓C:1+《=1的左、右頂點(diǎn)分別為P,Q,過橢圓右焦點(diǎn)尸的直線，與橢圓交于

IoIZ

4B兩點(diǎn),且直線，的斜率不為0.分別記直線AP和BQ的斜率為心與心,問是否存在常數(shù)人使得

在直線1轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,有府=/1仁恒成立？

【答案】見解析.

【解析】設(shè)4(乂1，%),Ba2/2)，直線,：X=my+2,

七%(%2-4)xy-4y

yi722i1

h=,

X1+4'X2-4~k2~y2(×ι+4)^x1y2+4y2

…+—K=既2)

X=my+2

聯(lián)立x2y2=>(3m2÷4)y2÷Ylmy-36=0

——H-----=1

.1612

-36

由韋達(dá)定理得：%+y=34'y，2=,可得Tnyly2=?(/i+y2)<

2血：岑3m2+4

代入(*)式,得到”磊需4

解法2：設(shè)點(diǎn)解點(diǎn)尸(2,0),設(shè)A(Xo,yo)0o≠0),則4B:X=包二+2,由直線AB與橢圓方程聯(lián)立,

yo

x=^Zl+2

yo-163y0

22nB

XV—5XQ—5

—÷-=1

1612

3y°

yo,_._3一53yo

所以∕q=k

AP'化2―KBQ-5&-16Zl

Xo+4~x0+4

%o一5

解法3:三點(diǎn)共線+對偶式

因?yàn)?F,B三點(diǎn)共線,故有一\="?,

整理可得Xly2-X2yi=2(y2-yi),

(—96

IXIV2+X2Vl=O^^9——7

又由-12m，可得32+次為=83+丫2)

lyι+y2=WT4

所以由｛甘；E=禽-已解得圖2：M÷養(yǎng)

十x2J,l一八以十V2)lx2Λl—??l十

從而;I=22"1=211必=1

%1%+4尸23yι+9y23

類型3:蝴蝶模型中的弦長關(guān)系問題

【例31已知橢圓E:5+《=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)

頂點(diǎn),點(diǎn)P(8,3在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)不過原點(diǎn)。且斜率為，的直線］與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)4B,線段AB中點(diǎn)為M,直線。M與

橢圓E交于CD,求證MalIMBl=?MCIlMD?.

【答案】(1左+y2=i(2)見解析.

【解析】(1)橢圓E的方程為9+必=1；

(2)設(shè)直線，的方程為y=∣x+m(τn≠0),A(XI8(%及)，

(x2+4y2—4=0

22

由方程組［11得：X+2mx+2τn-2=0,

(y=-x+m

=

x1+X2-2m

2

x1x2=2m-2,易知一√Σ<m<√∑,點(diǎn)M(-孫1)，直線°知：、=-??,

{Δ=4(2—m2)>0

由方程組F二:一0得：C(-√2,y),D(√2,-y).

√5√5L5,八

?IMCHMD?=—(―m÷V2)?—(m+V2)=-(2—τn2)

224

1155

222

?MA??MB?=ZIABI2=ZKXl_不)2+(y1-y2)］=77(^1+?z)-4%ιX2=τ(2-m)

??Io4-

???∣M4∣∣MB∣=?MC??MD?.

【注】此問題結(jié)構(gòu)漂亮，結(jié)論優(yōu)美，相仿于圓中的相交線定理.一般地,黑黑I=筆寢,

其中k為直線4B斜率.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖,。為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:《+A=l(α>b>0)的焦距等于其長半軸長,MN為橢圓C的

上、下頂下且IMNl=2√3.

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點(diǎn)P((U)作直線，交橢圓C于異于M,N的4B兩點(diǎn),直線4M,BN交于點(diǎn)「求證：點(diǎn)7的縱坐

標(biāo)為定值3

【答案】(1《+9=1；(2)見解析.

【解析】⑴由題意可知：2c=a,2b=2√3,Xα2=b2+c2,

有方=√3,c=l,a=2,故橢圓C的方程為：—+5=1.

43

(2)由題意知直線1的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+l,

v—kx+12

?2?√219Z消去y得(41+3)x÷8fcx-8=0,

{3xz+4yz-12=0

設(shè)4(%,yι),B(x2,y2)(x1x2≠0),則與+x2==與看

xxx

又4Pf8三點(diǎn)共線,則為二="二,即一lV2=2-I-

xlx2

構(gòu)造式子：％2丫1+%1丫2=2?X1X2+Xl+X2=3(%1+不)，則12%1+

又lBN：y=女手_x_?iΛM=y=zτ^?^+√3

x2xI

(=%+6_G

y

.I-—X2-?X-,y-√3y1-√3X2×2V1-√3?

由<Γ-,得------F=------------------------F=------------F—

y-√3?∕y+√3χιy∑+√3Xly2+代勺

y=--i----------X+√37

I%ι

φy-√3_x2yι一√3?2_Xi+(2-√3)X2_(2-√3)[(2+√3)x1÷x2]_2W

y+√3XIy2+v??i(2+V3)x1+x2(2+√3)x1+X2

解之,得y=3.故點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為3.

【注1】此問題是例1的逆向問題,其中也再次用到了手法：

據(jù)A,P,B三點(diǎn)共線,可知-XIy2=%2-Xl.構(gòu)造式子：乂2%+%1丁2=301+X2),

則產(chǎn)】=科產(chǎn)

(XIy2=2X1+X2

【注2】橢圓的內(nèi)接四邊形的對邊交點(diǎn)落在定直線上等價(jià)于其對角線交點(diǎn)為定點(diǎn).一般結(jié)論

如下：

結(jié)論1:橢圓CW+'=l(a>b>0)的左右頂點(diǎn)為4B,7為定直線％=t(t≠0)上任意一點(diǎn),

直線TA,TB分別與橢圓交于點(diǎn)M,N.則直線MN恒過定點(diǎn)5件,0).

結(jié)論2:過有心圓徘曲線Tn/+ny2=1的中心。的直線交曲線于a,B,7為定直線LnIXoX+

∏y0y=1上任意一點(diǎn),直線「4,TB分別與橢圓交于點(diǎn)MM則直線MN恒過定點(diǎn)(XO,y°)?

2.已知橢圓C:1+t=1與定點(diǎn)A(O,-2),經(jīng)過點(diǎn)E(0,l),且斜率存在的直線，交橢圓于Q,N兩

64

點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)Q關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,連接∕B,∕N.求證：存在實(shí)數(shù)人使得∕?4N=獨(dú)的恒成立？

【答案】見解析

y—kχ?

?2.O2C可知,(2+3肥)％2+6以-9=0,

{2xz+3y"-12=0

,6k

X1÷X2=-------rr?

設(shè)NaIQ(X242)，則〈廣，????ly2+=43+X2)

卜62=一薪

又ME,Q三點(diǎn)共線,則"??="??,即％2為一%1丫2=x2-χl?

x2xI

(53

%丫2=5%I+5Λ?

T35J'4(°，一2),8(-％2，—;/2)

(無2丫1=2xι+2%2

則4=%=(%+2)M=X2%+2*2_-i+/=3

'kAB(y2+2)XιTIy2-2*1^x1+∣x2

???存在實(shí)數(shù)a=3,使得∕?4N=3∕?4R恒成立.

【注】以上問題具有如下共同特征：

(1)直線α與直線b的斜率之積為定值-當(dāng)；

(2)直線d過坐標(biāo)軸上一定點(diǎn)；

(3)直線C與直線b的斜率之積為定值.

3.橢圓C』+，=l(α>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi,aM在橢圓上,AMF∕2的周長為

2通+4,而積的最大值為2.

(1)求橢圓C的方程；

(2)直線y=kx(k>0)與橢圓C交于4B連接AF2,BF2并延長交橢圓C于D,E,連接DE,探索

AB與DE的斜率之比是否為定值并說明理由.

A

X

【答案】(l)?+y2=1；⑵見解析

【解析】(I)IFIF21+IMFll+∣MF2∣=2α+2c=2√5+4,S=TX(2c)h=be=2,

得a=√5,c=2,b=1,所以橢圓C的方程為：y+y2=1.

⑵設(shè)4(xo,yo),則B(-xt),-yo)?直線/D：X=殛二y+2,

Vo

222

代入C:9+y=1得KXo-2)+5y^]y+4(x0-2)y0y一光=O，

2

因?yàn)?Vo=1,代入化簡得(9-4x0)y+4(x0-2)y0y一光=0,

設(shè)D(Xi,y1),E(X2f2),則%%=7?,所以乃=言｝，Xl=攀為+2，

y—4?x0y—4χ0y0

直線BE:X=竽y+2,同理可得y2=念Γ,M=竽y2+2.

=?.1.4xa=9X1=9k,所以/cgk=9:1

yoyo

【注】此問題可推廣為如下一般結(jié)論:

橢圓C:'+，=l(a>b>0)的左右頂點(diǎn)為4B.橢圓的弦過定點(diǎn)M(t,O),則施p%=

(-S)-≡?,

黑=￡?(定點(diǎn)在y軸上時(shí)類似?)

4.設(shè)橢圓'=1的左、右頂點(diǎn)分別為4B,橢圓的弦PQ過定點(diǎn)M(t,0),直線PQ斜率為Zc且

k≠0,求用的值.

【答案】篙=篝

【解析】設(shè)P(XI,y1),Q(x2,y2)O2H±α),

因點(diǎn)Q在橢圓上有?+?=l

另有心Q?k。2

APx+α

x2+ai(x1+α)(x2