中考數(shù)學(xué)解題技巧 42二次函數(shù)創(chuàng)新題及新定義問題

二次函數(shù)創(chuàng)新題及新定義問題二次函數(shù)與新定義問題在二次函數(shù)與新定義問題中，重點是將題中給出的定義“翻譯”成學(xué)過的知識，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)綜合進(jìn)行處理，其難點就在于“翻譯定義”的過程，對學(xué)生的理解能力和初中知識的運用能力要求較高.典例1.若兩個二次函數(shù)圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”．（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），若y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求當(dāng)0≤x≤3時，y2的取值范圍．【答案】解：（1）設(shè)頂點為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣h）2+k，當(dāng)a=2，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．當(dāng)a=3，h=3，k=4時，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．∵兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點相同，開口都向上，∴兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數(shù)”．∴符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=1．∵1＞0，∴函數(shù)y2的圖象開口向上．當(dāng)0≤x≤3時，∵函數(shù)y2的圖象開口向上，∴y2的取值范圍為0≤y2≤4．【精準(zhǔn)解析】（1）只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可．（2）由y1的圖象經(jīng)過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題．練習(xí)1.設(shè)二次函數(shù)y1，y2的圖象的頂點分別為（a，b）、（c，d），當(dāng)a=﹣c，b=2d，且開口方向相同時，則稱y1是y2的“反倍頂二次函數(shù)”．（1）請寫出二次函數(shù)y=x2+x+1的一個“反倍頂二次函數(shù)”；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=x2+nx和二次函數(shù)y2=nx2+x，函數(shù)y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x2+x+1，∴y=，∴二次函數(shù)y=x2+x+1的頂點坐標(biāo)為（﹣，），∴二次函數(shù)y=x2+x+1的一個“反倍頂二次函數(shù)”的頂點坐標(biāo)為（，），∴反倍頂二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣x+；（2）y1+y2=x2+nx+nx2+x=（n+1）x2+（n+1）x，y1+y2=（n+1）（x2+x+）﹣，頂點坐標(biāo)為（﹣，﹣），y1﹣y2=x2+nx﹣nx2﹣x=（1﹣n）x2+（n﹣1）x，y1﹣y2=（1﹣n）（x2﹣x+）﹣，頂點坐標(biāo)為（，﹣），由于函數(shù)y1+y2恰是y1﹣y2的“反倍頂二次函數(shù)”，則﹣2×=﹣，解得n=． 1．小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)進(jìn)行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；②方程的解為：；③若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是．（2）延伸思考：將函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)時，自變量的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)圖象即可求得；（2）根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律，畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）觀察探究：①該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；②方程的解為：或或；③若方程有四個實數(shù)根，則的取值范圍是．故答案為函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；或或；．（2）將函數(shù)的圖象向右平移2個單位，向上平移3個單位可得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，自變量的取值范圍是且．2．（2021?長沙）我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于軸對稱，則把該函數(shù)稱之為“函數(shù)”，其圖象上關(guān)于軸對稱的不同兩點叫做一對“點”．根據(jù)該約定，完成下列各題．（1）若點與點是關(guān)于的“函數(shù)”的圖象上的一對“點”，則，，（將正確答案填在相應(yīng)的橫線上）；（2）關(guān)于的函數(shù)，是常數(shù)）是“函數(shù)”嗎？如果是，指出它有多少對“點”如果不是，請說明理由；（3）若關(guān)于的“函數(shù)”，且，，是常數(shù)）經(jīng)過坐標(biāo)原點，且與直線，，且，是常數(shù)）交于，，，兩點，當(dāng)，滿足時，直線是否總經(jīng)過某一定點？若經(jīng)過某一定點，求出該定點的坐標(biāo)；否則，請說明理由．【分析】（1）由，關(guān)于軸對稱求出，，由“函數(shù)”的定義求出；（2）分和兩種情況考慮即可；（3）先根據(jù)過原點得出，再由“函數(shù)”得出的值，確定二次函數(shù)解析式后，和直線聯(lián)立求出交點的橫坐標(biāo)，寫出的解析式，確定經(jīng)過的定點即可．【解答】解：（1），關(guān)于軸對稱，，，的坐標(biāo)為，把代入是關(guān)于的“函數(shù)”中，得：，故答案為，，；（2）當(dāng)時，有，此時存在關(guān)于軸對稱得點，是“函數(shù)”，且有無數(shù)對“”點，當(dāng)時，不存在關(guān)于軸對稱的點，不是“函數(shù)”；（3）過原點，，是“函數(shù)”，，，聯(lián)立直線和拋物線得：，即：，，，又，化簡得：，，即，，當(dāng)時，，直線必過定點．3．（2021?杭州）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)，是常數(shù)，．（1）若該函數(shù)的圖象經(jīng)過和兩點，求函數(shù)的表達(dá)式，并寫出函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)；（2）寫出一組，的值，使函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點，并說明理由．（3）已知，當(dāng)，，是實數(shù)，時，該函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值分別為，．若，求證：．【分析】（1）考查使用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)題，將兩點坐標(biāo)代入，解二元一次方程組即可；（2）寫出一組，，使得即可；（3）已知，則．容易得到，利用，即代入對代數(shù)式進(jìn)行化簡，并配方得出．最后注意利用條件判斷，得證．【解答】解：（1）由題意，得，解得，所以，該函數(shù)表達(dá)式為．并且該函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為．（2）例如，，此時，，函數(shù)的圖象與軸有兩個不同的交點．（3）由題意，得，，所以，由條件，知．所以，得證．4．（2021?衡陽）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，則稱該點為“雁點”．例如，都是“雁點”．（1）求函數(shù)圖象上的“雁點”坐標(biāo)；（2）若拋物線上有且只有一個“雁點”，該拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)）．當(dāng)時．①求的取值范圍；②求的度數(shù)；（3）如圖，拋物線與軸交于、兩點（點在點的左側(cè)），是拋物線上一點，連接，以點為直角頂點，構(gòu)造等腰，是否存在點，使點恰好為“雁點”？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由題意得：，解得，即可求解；（2）①拋物線上有且只有一個“雁點”，則，則△，即，而，；由、的存在，則△，而，則，即可求解；②求出點的坐標(biāo)為，、點的坐標(biāo)為，，即可求解；（3）分兩種情形：點在的下方或上方，分別根據(jù)全等三角形解決問題．【解答】解：（1）由題意得：，解得，當(dāng)時，，故“雁點”坐標(biāo)為或；（2）①“雁點”的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，故“雁點”的函數(shù)表達(dá)式為，拋物線上有且只有一個“雁點”，則，則△，即，，故；、的存在，則△，而，則，綜上，；②，則為，解得或，即點的坐標(biāo)為，，由，，解得，即點的坐標(biāo)為，，過點作軸于點，則，，故的度數(shù)為；（3）存在，理由：當(dāng)點在的下方時，由題意知，點在直線上，故設(shè)點的坐標(biāo)為，過點作軸的平行線交過點與軸的平行線于點，交過點與軸的平行線于點，設(shè)點的坐標(biāo)為，則，，，，，，，，，，，，即，，解得或，當(dāng)點在的上方時，過點作于，交的延長線于．同法可證，，可得，，，，，，，，故點的坐標(biāo)為，或，或，．5．（2021?江西）二次函數(shù)的圖象交軸于原點及點．感知特例（1）當(dāng)時，如圖1，拋物線上的點，，，，分別關(guān)于點中心對稱的點為，，，，，如表：2，①補全表格；②在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖象記為．形成概念我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖象上的點和拋物線上的點關(guān)于點中心對稱，則稱是的“孔像拋物線”．例如，當(dāng)時，圖2中的拋物線是拋物線的“孔像拋物線”．探究問題（2）①當(dāng)時，若拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，則的取值范圍為；②在同一平面直角坐標(biāo)系中，當(dāng)取不同值時，通過畫圖發(fā)現(xiàn)存在一條拋物線與二次函數(shù)的所有“孔像拋物線”都有唯一交點，這條拋物線的解析式可能是（填“”或“”或“”或“”，其中；③若二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點，求的值．【分析】（1）①根據(jù)中點公式即可求得答案；②根據(jù)題意先描點，再用平滑的曲線從左到右依次連接即可；（2）①當(dāng)時，拋物線，當(dāng)時，的函數(shù)值隨著的增大而減小，拋物線，當(dāng)時，的函數(shù)值隨著的增大而減小，找出公共部分即可；②設(shè)符合條件的拋物線解析式為，令，整理得，分下面兩種情形：當(dāng)時，當(dāng)時，分別討論計算即可；③觀察圖1和圖2，可知直線與拋物線及“孔像拋物線”有且只有三個交點，即直線經(jīng)過拋物線的頂點或經(jīng)過拋物線的頂點或經(jīng)過公共點，分別建立方程求解即可．【解答】解：（1）①、關(guān)于點中心對稱，點為的中點，設(shè)點，，，故答案為：；②所畫圖象如圖1所示，（2）①當(dāng)時，拋物線，對稱軸為直線，開口向上，當(dāng)時，的函數(shù)值隨著的增大而減小，拋物線，對稱軸為直線，開口向下，當(dāng)時，的函數(shù)值隨著的增大而減小，當(dāng)時，拋物線與它的“孔像拋物線”的函數(shù)值都隨著的增大而減小，故答案為：；②拋物線的“孔像拋物線”是，設(shè)符合條件的拋物線解析式為，令，整理得，拋物線與拋物線有唯一交點，分下面兩種情形：當(dāng)時，無論為何值，都會存在對應(yīng)的使得，此時方程無解或有無數(shù)解，不符合題意，舍去；當(dāng)時，△，即，整理得，當(dāng)取不同值時，兩拋物線都有唯一交點，當(dāng)取任意實數(shù)，上述等式都成立，即：上述等式成立與取值無關(guān)，，解得，，，則，故答案為：；③拋物線，頂點坐標(biāo)為，其“孔像拋物線”為：，頂點坐標(biāo)為，拋物線與其“孔像拋物線”有一個公共點，二次函數(shù)及它的“孔像拋物線”與直線有且只有三個交點時，有三種情況：①直線經(jīng)過，，解得：或（舍去），②直線經(jīng)過，，解得：或（舍去），③直線經(jīng)過，，但當(dāng)時，與只有一個交點，不符合題意，舍去，綜上所述，．6．（2021?云南）已知拋物線經(jīng)過點，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減?。O(shè)是拋物線與軸的交點（交點也稱公共點）的橫坐標(biāo)，．（1）求、的值；（2）求證：；（3）以下結(jié)論：，，，你認(rèn)為哪個正確？請證明你認(rèn)為正確的那個結(jié)論．【分析】（1）當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，可得對稱軸為直線，且拋物線經(jīng)過點，列出方程組即可得答案；（2）由是拋物線與軸的交點的橫坐標(biāo)，可得，，兩邊平方得，，即可得結(jié)果；（3）正確，可用比差法證明，由（2）可得，即，而，再由，判斷，，故，從而．【解答】（1）解：經(jīng)過點，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，即對稱軸為直線，，解得；（2）證明：由題意，拋物線的解析式為，是拋物線與軸的交點的橫坐標(biāo)，，，，，；（3）正確，理由如下：由（2）知：；，，而，由（2）知：，，，，即，，，即，．7．（2021?南通）定義：若一個函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點，則稱該點為這個函數(shù)圖象的“等值點”．例如，點是函數(shù)的圖象的“等值點”．（1）分別判斷函數(shù)，的圖象上是否存在“等值點”？如果存在，求出“等值點”的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由；（2）設(shè)函數(shù)，的圖象的“等值點”分別為點，，過點作軸，垂足為．當(dāng)?shù)拿娣e為3時，求的值；（3）若函數(shù)的圖象記為，將其沿直線翻折后的圖象記為．當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，直接寫出的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)“等值點”的定義建立方程求解即可得出答案；（2）先根據(jù)“等值點”的定義求出函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”，，同理求出，，根據(jù)的面積為3可得，求解即可；（3）先求出函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或，再利用翻折的性質(zhì)分類討論即可．【解答】解：（1）在中，令，得不成立，函數(shù)的圖象上不存在“等值點”；在中，令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或；（2）在函數(shù)中，令，解得：，，，在函數(shù)中，令，解得：，，，軸，，，，的面積為3，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，△，方程沒有實數(shù)根，當(dāng)時，，解得：，綜上所述，的值為或；（3）令，解得：，，函數(shù)的圖象上有兩個“等值點”或，①當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上必有2個“等值點”或，，，令，整理得：，的圖象上不存在“等值點”，△，，，②當(dāng)時，有3個“等值點”、、，③當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”，④當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上恰有1個“等值點”，⑤當(dāng)時，，兩部分組成的圖象上沒有“等值點”，綜上所述，當(dāng)，兩部分組成的圖象上恰有2個“等值點”時，或．8．（2021?大連）已知函數(shù)，記該函數(shù)圖象為．（1）當(dāng)時，①已知在該函數(shù)圖象上，求的值；②當(dāng)時，求函數(shù)的最大值．（2）當(dāng)時，作直線與軸交于點，與函數(shù)交于點，若時，求的值；（3）當(dāng)時，設(shè)圖象與軸交于點，與軸交與點，過點作交直線于點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，若，求的值．【分析】（1）先把代入函數(shù)中，①把代入中，可得的值；②將分為兩部分確定的最大值，當(dāng)時，將配方可得最值，再將代入中，可得，對比可得函數(shù)的最大值；（2）分兩種情況：在軸的上方和下方；證明是等腰直角三角形，得，列方程可得結(jié)論；（3）分兩種情況：①，如圖2，過