2023年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)一模試卷及答案解析

2023年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）己知復(fù)數(shù)z=2i（3-萬），則5=（）

A.4-6zB.4+6zC.-4-6/D.-4+6/

2.(5分)已知集合A={Rx>2},θ={0,1,2,3,4),貝IJ()

79

A.1∈A∩3B.-?AUBC.3∈A∩BD.-∈AUB

34

3.（5分）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列伍〃｝中，（736713=144,45=6,則42=（）

A.6B.4C.3D.2

4.（5分）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜

想可以表述為“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和"，如：16=5+11.在不超

過12的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）

1374

A?—B.-C.—D?一

25105

5.（5分）已知a,b,c是三條不同的直線，α,β是兩個不同的平面，aGβ=c,aua,??β,

則%,〃相交“是％,C相交”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（5分）函數(shù)y=（Λ3-X）?3H的圖象大致是（）

7.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓。的半徑為3,直線/1,/2互相垂

直，垂足為M(l,√5),且/1與圓。相交于4,C兩點(diǎn)，/2與圓。相交于8,力兩點(diǎn),

則四邊形ABCO的面積的最大值為()

A.10B.12C.13D.15

8.(5分)黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的等腰三角形，另一種是頂角為108°的

等腰三角形.己知在頂角為36°的黃金三角形中，36°角對應(yīng)邊與72°角對應(yīng)邊的比值

為虛匚20.618,這個值被稱為黃金比例.若U與?,則上竿尊-=()

222t√4-t2

√5+l√5-l11

A.-------B.-------C.-D.-

4424

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.(5分)關(guān)于函數(shù)/(x)=2sin(2x-苧Tr)的圖象，下列說法正確的是()

n

A.(-,0)是曲線y=∕(x)的一個對稱中心

8

B.X=系是曲線y=∕(x)的一個對稱軸

C.曲線y=2sin2x向左平移，兀個單位，可得曲線y=f(x)

D.曲線y=2sin2x向右平移;兀個單位，可得曲線y=∕(x)

8

(lfx>0

(多選)10.(5分)已知符號函數(shù)sg∕zx=10,X=O，偶函數(shù)/(無)滿足/G+2)=/(%),

1-1,x<0

當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=χf則下列結(jié)論不正確的是()

2023

A.sgn[f(x)]>0B./(?-)=1

C.sgn[f(2?+1)]=1CkEZ)D.Sg"[f(k)]=?sgnk?(Z∈Z)

(多選)11.(5分)拋物線y2=6χ的焦點(diǎn)為F,尸為拋物線上的動點(diǎn)，若點(diǎn)A不在拋物線

9

上，且滿足∣%∣+∣PFI的最小值為5，則Hn的值可以為()

935

A.-B.3C.-D.-

224

(多選)12.(5分)已知α=?H.8,?=0.8,e=e'01-0.1,則下列結(jié)論正確的是()

A.a>bB.a<c

C.In(2c+0.2)>aD.efl^o?9<c+O.l

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)已知向量Q=(2,1),b=(1,O),C=(1,2),若C_L(Q÷mh),則m—.

14.(5分)(x2+l)2(X-I)6的展開式中，％5的系數(shù)為.

%2

15.(5分)設(shè)放是雙曲線丁-/=1的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線在第一象限部分上的

任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Q作/門尸尸2平分線的垂線，垂足為M,則IOMl=.

16.(5分)“蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”是最早系

外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似現(xiàn)在

的踢足球活動.已知某“鞠”的表面上有四個點(diǎn)A,B,C,D,且滿足AB=BC=CC=

DA=DB^2cm,AC=3cm,則該“鞠”的表面積為cm2.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

cos(B+C)CosC

17.(10分)在aABC中，角4,B,C的對邊分別為mb,c,且滿足-------乙———=

ac

2bcos(^A+C)

ac

(1)求角8的大??；

(2)若α+c=6,b=√15,求aABC的面積.

18.(12分)在①Si、S2、S4成等比數(shù)列，②S5=50,③S6=3(?6+2)這三個條件中任選兩

個，補(bǔ)充到下面問題中，并解答本題.

問題：已知等差數(shù)列｛4,,｝的公差為d(d≠0),前〃項和為S”，且滿足—.

(1)求4"；

1

(2)右bn-bn-1=2CbI(n≥2),且∕η-m=l,求數(shù)歹1」｛廠｝的前〃項和Tk

19.(12分)甲市某中學(xué)數(shù)學(xué)建模小組隨機(jī)抽查了該市2000名初二學(xué)生“雙減”政策前后

每天的運(yùn)動時間，得到如下頻數(shù)分布表：

表一“雙減”政策后

時間/分鐘[20,30](30,40J(40,50J(50,60J(60,70](70,80J(80,90]

人數(shù)1060210520730345125

表二“雙減”政策前

時間/分鐘[20,30](30,40](40,50](50,60](60,70](70,80](80,90]

人數(shù)4024556061040313012

(1)用一個數(shù)字特征描述“雙減”政策給學(xué)生的運(yùn)動時間帶來的變化(同一時間段的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值做代表)；

(2)為給參加運(yùn)動的學(xué)生提供方便，學(xué)校計劃在球場邊安裝直飲水設(shè)備.該設(shè)備需同時

裝配兩個一級濾芯才能正常工作，且兩個濾芯互不影響，一級濾芯有兩個品牌A,B：A

品牌售價500元，使用壽命為7個月或8個月(概率均為0.5)；B品牌售價200元，壽

命為3個月或4個月(概率均為0.5).現(xiàn)有兩種購置方案，方案甲：購置2個品牌A.方

案乙：購置1個品牌A和2個品牌8.試從性價比(設(shè)備正常運(yùn)行時間與購置一級濾芯

的成本之比)的角度考慮，選擇哪一種方案更實(shí)惠.

20.(12分)在直角梯形ABC￡>中，AD//BC,ABlBC,BOJ_OC,點(diǎn)E是Be的中點(diǎn).將

△ABO沿8。折起，使ABLAC,連接AE,AC,DE,得到三棱錐A-BCZX

(1)求證：平面ABD_L平面BCz)；

√7

(2)若AD=I,二面角C-AB-。的余弦值為彳，求二面角B-Ao-E的正弦值.

21.(12分)己知函數(shù)/(x)=sin2x+av2.

(1)當(dāng)a=l時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若X€[0,芻，不等式Sin(2COSX)+a2x^^af(x)恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

22.(12分)已知橢圓C：各方=l(α>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為Ai,A2,上、下頂點(diǎn)

分別為Bi,&,四邊形4B∣A2B2的面積為4百,坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線481的距離為馬√21.

7

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線/與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)尸為橢圓C上異于A,B的一點(diǎn)，四邊形

04PB為平行四邊形，探究：平行四邊形OAPB的面積是否為定值？若是，求出此定值；

若不是，請說明理由.

2023年河北省唐山市高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.（5分）已知復(fù)數(shù)z=2i（3-2i）,則2=（）

A.4-6ZB.4+6/C.-4-6z-4+6/

【解答］解:z=2i(3-2i)=-4a+6i=4+6i,

則2=4-6i.

故選：A.

2.(5分)已知集合A={x∣x>2},B={0,1,2,3,4},則()

9

A.I∈A∩βC.3∈A∩B-∈AUB

4

【解答】解：由A={x∣x>2},B={0,1,2,3,4),

則4CB={3,4},

AlJB={0,1,2,3,4}1){》|%>2}={4?22或*=0,X=1},

9

可得一CAUB,

故選：D.

3.（5分）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃"｝中，α3ni3=144,45=6,則“2=（）

【解答】解：???｛“”｝是等比數(shù)列，

.".?3<213=?82=144,又48>0,

.?.48=12,又α8α2=α52,

.?.12α2=36,解得“2=3.

故選：C.

4.（5分）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜

想可以表述為“每個大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個質(zhì)數(shù)的和”，如：16=5+11.在不超

過12的質(zhì)數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）

【解答】解：不超過12的質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,11；

隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，共有量=10種方法,

其和為偶數(shù)的共有廢=6種方法，

其和為偶數(shù)的概率為P=?=|.

故選：B.

5.（5分）已知〃，b,C是三條不同的直線，α,0是兩個不同的平面，ɑ∏B=c,αuα,?cβ,

則''a,人相交''是"a,c相交”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：①若。，b相交，“ua,?cβ,則其交點(diǎn)在交線C,上，故a,c相交，

②若a,C相交，可能a,b為相交直線或異面直線.

綜上所述：a,。相交是a,C相交的充分不必要條件.

故選：C.

6.（5分）函數(shù)y=（x3-x）?3k∣的圖象大致是（）

【解答】解：設(shè)y=∕(x)=(x3-χ)?3w,該函數(shù)的定義域為R,

?：f(-x)=[(-χ)3-(-x)J?3l-xl=-(√-χ)?3w=-/(x),

：.f(Λ)為奇函數(shù)，排除選項B和D,

當(dāng)0<x<l時，xi<x,.*√(x)=(x3-x)?3w<0,排除選項A,

故選：C.

7.（5分）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓。的半徑為3,直線/1,/2互相垂

直，垂足為M（l,√5）,且∕ι與圓。相交于A,C兩點(diǎn)，/2與圓O相交于B,Z）兩點(diǎn),

則四邊形ABCO的面積的最大值為()

A.10B.12C.13D.15

【解答】解：設(shè)圓心到直線/1的距離為力，圓心到直線/2的距離為d2,

???直線/1,/2互相垂直，垂足為M(l,√5),Λrf1?22=∣OM∣2=6,

22

.??AC?=2J9-d1,.??BD?=219-d2,

2222

：.SABCD=×?AQ×?BD?=2J9-d1XJ9-d2≤9-t∕ι+9-J2=18-6=13.

故選：C

8.(5分)黃金三角形有兩種，一種是頂角為36°的等腰三角形，另一種是頂角為108°的

等腰三角形.已知在頂角為36°的黃金三角形中，36°角對應(yīng)邊與72°角對應(yīng)邊的比值

zo

為上√5丁-l右0.618,這個值被稱為黃金比例.若Z=J亨ξ-1，則l-2sin一27()

222t√4-t2

IlJ,-l--2-s—in=22-7-o-----------C--o-S-5-4-°---------=------C-o-S-54°_=-----c-o--s5--4-0-----

'2t√4-t24cos720√4-(2cos720)24cos72o√4sin272o4cos72°?2sin72°

sin36o1

4sinl44o4’

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

(多選)9.(5分)關(guān)于函數(shù)/(x)=2sin(2Λ-^7T)的圖象，下列說法正確的是()

Tl

A.(-,0)是曲線y=∕(x)的一個對稱中心

B?X=等是曲線y=f(x)的一個對稱軸

C.曲線y=2sin2r向左平移JTr個單位，可得曲線y=∕(x)

8

5

D.曲線y=2sin2x向右平移GTr個單位，可得曲線y=∕(x)

【解答】解：函數(shù)/(x)=2Sin⑵一竽Tr)的圖象，

對于Az當(dāng)％=即寸，f(^)=2sin(-3π)=0,故A正確；

,一,?r,5Ti5π13Tr,,,,一

對于8：當(dāng)X=b7時，f(—)=2sin(——-----)=0,故B錯l誤；

8J844

.5KTT

對于C：曲線y=2sin2x向左平移一Tr個單位，得到Iy=f(x)=2sin(2x+-τ-)=-2sin

8，

(2x+J)的圖象，故C錯誤;

5KTT

對于。：曲線y=2sin2x向右平移一Tr個單位，可得曲線y=∕(x)=2sin(2X-H)=2sin

8,

(2x—?TT)的圖象，故。正確.

故選：AD.

(1,x>0

(多選)10.(5分)已知符號函數(shù)SgnX=I0,χ=0,偶函數(shù)f(x)滿足/(x+2)—f(x),

尤VO

當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=x,則下列結(jié)論不正確的是()

2023

A.sgn[f(X)]>0B./(—)=1

C.sgn?f(2?+l)]=1(k∈Z)D.sgn?f(k)]=∣sg"k∣(?∈Z)

【解答】解：當(dāng)x<0時，/(x)=-1,貝∣Jsg"l∕(x)]=-1<0,故A錯誤，

?"(x+2)=/(x),：.f(?-)=∕(1012-∣)=∕(-i)=/(-)=與故8錯誤，

/(2H1)=∕(l)=1則sg〃"(2A+1)]=1(&6Z)成立，故C正確，

當(dāng)％是偶數(shù)時不妨設(shè)％=2",則/(2〃)—f(0)=0,

則sg”[∕^α)]=0,而當(dāng)左=2〃,〃>0時,ISg成|=1,則sg〃[/(k)]=∣sg欣I(Z∈Z)不成

立，故O錯誤，

故選：ABD.

(多選)11.(5分)拋物線∕=6χ的焦點(diǎn)為F,P為拋物線上的動點(diǎn)，若點(diǎn)A不在拋物線

9

上，且滿足∣∕?∣+Ipfl的最小值為5，則HFI的值可以為()

935

A.-B.3C.-D.-

224

【解答】解：當(dāng)A在拋物線外時，?PA?+?PF]^?AF],當(dāng)且僅當(dāng)P,A,尸在同一直線上時取

等號，故此時依用=￡,

當(dāng)A在拋物線內(nèi)時,記P到準(zhǔn)線的距離為IPNl,則∣aM+∣P∕∏2∣%l+∣PN∣2HNI,當(dāng)且僅當(dāng)P，

QQ

此時XA+]=}.?.XA=3,故A在定直線x=3上，記A（3,力，則?<18,故HFl=

???∣A∕ηe[-,-),

39

綜上所述：∣AF∣∈[-,-].

故選：ABC.

（多選）12.（5分）已知α=∕"1.8,?=0.8,c=e'°,-0.1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.a>bB.a<c

C.In(2c+0.2)>aD.^^o?9<c+O.l

【解答】解：根據(jù)泰勒公式："1.8="（1+0.8）=0.8—噗+竽一…<D.8,e-01

0.001

1-0.1+寫-+??■>0.9,e'0'-0.1>0.8,

6

lao9ol

??a<c9In(2c+0.2)=In(2e^°)>∕/l.8=",e^?<e^=c+O.l.

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.（5分）已知向量；=（2,1),b=(1,0),c=(1,2),若C_L(Q+mb),則In=

4

【解答】ft?：Va=(2,1),b=(1,O),

→T

Λα÷mb=(2+m,1),

TTTT

Vc±(Q+mb),c=(1,2),

Λl×(2+∕∕z)+2=0,解得機(jī)=-4.

故答案為：-4.

14.(5分)(X2+1)2(?-D6的展開式中，X5的系數(shù)為-52.

【解答】解：在(/+1)2(X-1)6=(X4+2X2+1)?(X-1)6的展開式中，

為小的系數(shù)IX(-CQ+2×(-叱)+1×(一禺)=-6-2X20-6=-52,

故答案為：-52.

%2

15.(5分)設(shè)人，尸2是雙曲線一一y2=l的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線在第一象限部分上的

4

任意一點(diǎn)，過點(diǎn)Fl作/尸1尸尸2平分線的垂線，垂足為M,則IOM=2.

【解答】解：如圖所示，

延長尸IM交尸放于點(diǎn)Q,由尸M為/FiPFi的平分線及PMLFiQ,易知aPMF∣SPMQ,

所以IPnl=IPQ.

根據(jù)雙曲線的定義,得IPFlI-IPF2∣=2。=4,即IPQ-IPf12∣=4,

從而∣QF2∣=4.

在4FIQF2中，易知OM為中位線，則QM=2.

故答案為：2.

16.(5分)“蹴鞠”，又名“蹴球”“蹴圓”等，“蹴”有用腳蹴、踢的含義，“鞠”是最早系

外包皮革、內(nèi)飾米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、踢皮球的活動，類似現(xiàn)在

的踢足球活動.已知某“鞠”的表面上有四個點(diǎn)A,B,C,D,且滿足AB=BC=CQ=

DA=DB=Icm,AC=z3cm,則該“鞠”的表面積為一Trcm~.

-3-

【解答】解：由已知得ACBO均為等邊三角形，如圖所示，

設(shè)球心為0,Z?BCZ)的中心為0',取B力中點(diǎn)凡連接4F,CF,OB,0'B,AO,

貝IJAFJ_B￡>,CFLBD,rfffAF∏CF=F,.?.8D?L平面ACR

在平面AFC中，過點(diǎn)A作CF的垂線，與CF的延長線交于點(diǎn)E,

由BC_L平面ACF,得BDlAE,故AE_L平面BCD,

過點(diǎn)。作OG_LAE于點(diǎn)G,則四邊形0'EGo是矩形，

而0'B=BCSin60°×∣=0'F-'B=苧c,"3

設(shè)球的半徑為R，00'=X(CM,則由。0'2+0'B2=OB2,0A2=AG1+G01,

得%2+g=R2,_χy+(乎+92=R2,

∕τT

解得X—1cm,R=-y-cπ?,

故三棱錐A-BCD外接球的表面積為S=4πW=尋T(c,√).

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)在aABC中，角A,B,C的對邊分別為小江c,且滿足空空@一

2bcos(A+C)

(1)求角B的大?。?/p>

(2)若α+c=6,b=√15,求AABC的面積.

【解答】解：(1)因為在AABC中，角力，B,C的對邊分別為α,Ac,且滿足.'(B+'

a

cosC2bcos(A+C)

ac

”,-cosAcosC2b(-cosB)”

所以------.....=----------,即-ccosA-αcosC=-2?cosB,

acac

由正弦定理可得sinCcosA+sinΛcosC=2sinBcosθ,

所以sin(A+C)=sinB=2sinBcosB,

又BE(O,π),

所以sinBW0,

可得CoSB=可得B=全

(2)因為B=半a+c=6,b=√15,

所以由余弦定理b2=a1+c2-2accosB,可得15=a2+c2-ac—(〃+c)2-3ac=61-3s

所以CIC=7,

所以AABC的面積S=itzcsinB=?×7×噂=

18.(12分)在①Si、S2、S4成等比數(shù)列，②55=50,③$6=3(?6+2)這三個條件中任選兩

個，補(bǔ)充到下面問題中，并解答本題.

問題：已知等差數(shù)列｛“”｝的公差為d(dW0),前〃項和為S”，且滿足—.

(1)求an;

(2)若bn-bki=2an(心2),且為-m=l,求數(shù)列法｝的前"項和Tk

Dn

【解答】(1)解:①:因為Si、S2、S4成等比數(shù)列，則廢=S1S4,即(2%+d)2=α1(4α1+6d),

因為d≠0,可得d=2aι,

②：S5=5m+l(W=50,可得aι+2d=10,

③：S6=3(。6+2),可得6aι+15d=3(aι+5d+2),可得aι=2,

若選①②，則有｛j；怎=io,可得｛/142,則加=，"+(〃-1)d=4"-2;

若選①③，則d=2aι=4,則如=aι+(n-1)4=4〃-2；

若選②③，則〃ι+2d=2+2d=10,可得d=4,所以，a∏=a↑+(n-I)d=4n-2；

(2)解：b∏-bn-↑=2an=8n-4(n≥2)>且加-aι=L則加=3,

所以，當(dāng)n≥2時,則有bn=b?+(?2-?ι)+(加-te)+…+(b∏-b∏-?)=3+12+20÷

,CΛ?o(8∏-4+12)(∏-1).2

???+(8n-4)=3÷-----------γ2s------=4n2一λ1,

?1=3也滿足“=4n2-1,

2

故對任意的〃∈N",bn=4n—1,

11111

則—=-------------=一(------------),

ky

bn(2n-l)(2n+l)22n-l2n÷l

T11、，/11、I.Z11、?，1.1、n

所以，Tn=2K1一/+G-5)+…+?i=I_]=2(1_=

19.(12分)甲市某中學(xué)數(shù)學(xué)建模小組隨機(jī)抽查了該市2000名初二學(xué)生“雙減”政策前后

每天的運(yùn)動時間，得到如下頻數(shù)分布表：

表一“雙減”政策后

時間/分鐘[20,30](30,40](40,50](50,60](60,70](70,80](80,90]

人數(shù)1060210520730345125

表二“雙編V'政策前

時間/分鐘[20,30](30,40](40,50](50,60J(60,70](70,80](80,90]

人數(shù)4024556061040313012

(1)用一個數(shù)字特征描述“雙減”政策給學(xué)生的運(yùn)動時間帶來的變化(同一時間段的數(shù)

據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值做代表)；

(2)為給參加運(yùn)動的學(xué)生提供方便，學(xué)校計劃在球場邊安裝直飲水設(shè)備.該設(shè)備需同時

裝配兩個一級濾芯才能正常工作，且兩個濾芯互不影響，一級濾芯有兩個品牌A,B-.A

品牌售價500元，使用壽命為7個月或8個月(概率均為0.5)；B品牌售價200元，壽

命為3個月或4個月(概率均為0.5).現(xiàn)有兩種購置方案，方案甲：購置2個品牌A.方

案乙：購置1個品牌A和2個品牌B.試從性價比(設(shè)備正常運(yùn)行時間與購置一級濾芯

的成本之比)的角度考慮，選擇哪一種方案更實(shí)惠.

【解答】解：(1)雙減政策后運(yùn)動時間的眾數(shù)是65,雙減政策前的眾數(shù)是55,說明雙減

政策后，大多數(shù)學(xué)生的運(yùn)動時間都變長；

(2)若采用甲方案，記設(shè)備正常運(yùn)行時間為X(單位是月)，則X的取值可能為7、8,

則p(x=7)=i—?i×?=τ>p(x=8)=i×i=?,

則X的分布列：

X78

p31

44

3129

：.E(X)=7x[+8x”字，

它與成本之比為能=V

5+540

若采用乙方案，記設(shè)備正常運(yùn)行時間為y（單位是月），則y的取值有6、7、8,

5p（y=8）=1,

8,O

55

=τ?

（）

它與成本之比為IEY55.

5+2+272

2955

—<—，

4072

.?.方案乙性價比更高.

20.（12分）在直角梯形45Cz）中，AD//BC,ABLBC,BDlDC,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn).將

△A8D沿8。折起，使AB_LAC,連接AE,AC,DE,得到三棱錐A-BcD

（1）求證：平面ABDl.平面BCD；

√7

（2）若AC=I,二面角C-AB-Q的余弦值為一，求二面角B-A。-E的正弦值.

7

【解答】（1）證明：因為直角梯形ABeQ中，AD//BC,ABlBC,

所以AB_LAD,

因為ABJ_AC,ACDAD=A,所以ABJ_平面AOC,

所以ABjLCn

因為8￡>_LOC,ABnBD=B,

所以CQJ_平面ADB,

因為C￡>在平面BCD內(nèi)，

所以平面ABO_L平面BCD；

解：（2）由（1）知AB_L平面AQC,

所以二面角C-AB-。的平面角為/C4O,

因為CD_L平面AD8,所以AO_LaX

所以CoS乙=傘=，，得AC=巾.所以CD=粕,

2

設(shè)AB=χf則80=√x+1,

ABADX1

由題意可知4A8f>S∕?QCB,所以二？=二7?即R=~∕^9解得X=V2,

CDBD√6Vx2+1

所以80=遮，BC=3,

如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系。-盯z,

則D(0,0,0),B(√3,0,0),C(0,√6,0),力(母，0,E尋'T,0),

所以蘇1=(停，0,苧)，法=(亨，苧，0),

因為C￡>_L平面AO8,所以令平面4。B的法向量為U=(0,1,0),

設(shè)平面AfiD的法向量為￡=(x,y,z),

√6Z=O

x+3

貝業(yè)？=0,βpJJ

J?DE=0I-X-I.√26y=O

取y=l,則％=—V∑,z=

設(shè)二面角B-AD-E的平面角為θ,

則ICoSol=??=―7===義，

∣m∣∣n∣1×√2+1+12

所以SirIe=Il—(?)2=*，

21.(12分)已知函數(shù)/(x)=sin2x+αx2.

(1)當(dāng)Q=I時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若x∈[O,?],不等式Sin(2COSX)+//，月/(不)恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)〃=1時，f(?)=2siarcosx+2Λ=sin2x+2r,

???/(O)=0,???元=0是/(x)的一個零點(diǎn)；

又令/(X)=g(x),g,(x)=2+2CoS2x20,

：.f(x)在R上單調(diào)遞增，又XV0,/(x)<0,x>0時，/(x)>0,

:?f(X)在(-8,0)單調(diào)遞減；在(0,+°o)單調(diào)遞增；

(2)不等式Sin(2cosx)+a2x2≥qfCx)在R上恒成立，

即不等式Sin(2cosx)24si∏2χ恒成立