2023-2024學年云南省迪慶數(shù)學高二年級上冊期末考試試題含解析

2023-2024學年云南省迪慶數(shù)學高二上期末考試試題

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（尤）=ln（2x—/）+%的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（0,2）B.（l,+℃）

C.（l,2）D.（0,A/3）

22

2.橢圓二+與=1（。〉6〉0）的長軸長是短軸長的2倍，則離心率6=（）

ab

3.已知等比數(shù)列｛4｝各項均為正數(shù)，且半，號,與成等差數(shù)列，則“2。2。+二021+。2022=（）

2402019+02018+02017

A.27B.18

C.9D.1

4.函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，/（X）是/（x）的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）

A/（2）＜/（3）-/（2）＜/1（3）BJ（3）＜/'（2）＜/X3）-/⑵

C"（2）＜/（3）＜/（3）-/⑵D./（3）-/（2）＜/（2）＜/（3）

5.設xeR,則％＞起的一個必要不充分條件為（）

A.X〉"B.X＜7T

C.x>lD.%<1

6.中秋節(jié)吃月餅是我國的傳統(tǒng)習俗，若一盤中共有兩種月餅，其中5塊五仁月餅、6塊棗泥月餅，現(xiàn)從盤中任取3塊,

在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是（）

7.設根>0,孔>0,^lnm+em—l=lnn+en,其中e是自然對數(shù)底，貝!|()

\.m>nB.m<〃

C.m<nD.m>n

8.已知兩個向量&二(2』,—3),b=(s,2j),且0〃。，則IsT的值為()

A.-2B.2

C.10D.-10

9.直線y=2x+l關于直線y=x對稱的直線方程為（）

A.x-3y+l=0B.%-3丁-1二0

C.X—2y—1=0D.x—2y+1=0

10.若球的半徑為10m,一個截面圓的面積是36萬。加2,則球心到截面圓心的距離是（）

A.5cmB.6cm

C.ScmD.lOcm

11.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為eb,貝!J直線以+勿+2有=0到原點的距離不超過1

的概率是（）

12.已知三維數(shù)組a=（2,-1,0）,1=（1,匕7）,且。0=0,則實數(shù)左=O

A.-2B.-9

C.-D.2

7

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，在矩形A8C。中，AB=1,AD=?,將△AB。沿30所在的直線進行翻折，得到空間四邊形

給出下面三個結(jié)論:

①在翻折過程中，存在某個位置，使得AC，3。；

②在翻折過程中，三棱錐A-BCD的體積不大于一；

③在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線4。與所成角45。.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

14.有公共焦點耳，工的橢圓和雙曲線的離心率分別為4點A為兩曲線的一個公共點，且滿足/耳人工=60。，

13

則F+F的值為

15.已知雙曲線必—匕=1的左、右焦點分別為耳,乃，雙曲線左支上點A滿足AK^AE,,則AKK的面積為

3--

16.已知球的表面積是16〃，則該球的體積為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知甲射擊的命中率為0.7.乙射擊的命中率為0.8,甲乙兩人的射擊互相獨立.求：

(1)甲乙兩人同時擊中目標的概率；

(2)甲乙兩人中至少有一個人擊中目標的概率；

(3)甲乙兩人中恰有一人擊中目標的概率

18.(12分)如圖，在三棱錐P—A3C中，側(cè)面是邊長為2的等邊三角形，M,N分別為AB,AP的中點.過

MN的平面與側(cè)面PBC交于EF

M

B

（1）求證：MN//EF；

（2）若平面P3C，平面ABC,AB=AC=3,求直線尸5與平面B4C所成角的正弦值

19.（12分）已知拋物線。的方程為爐=8'，點反（0,4）,過點M的直線交拋物線于AB兩點

（1）求△045面積的最小值（。為坐標原點）；

11

（2）匚小+17下是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由

\AM\\BM\

22

20.（12分）（1）已知等軸雙曲線多-三=1（?！?,?！?）的上頂點到一條漸近線的距離為1,求此雙曲線的方程;

（2）已知拋物線V=4x的焦點為口，設過焦點R且傾斜角為45。的直線1交拋物線于A,3兩點，求線段A3的長

21.（12分）（1）已知集合A=<yy=%2—+；,2>,B=^X[\X+TTT>11.P：xeA,q：xeB,并

且。是《的充分條件，求實數(shù)機的取值范圍

（2）已知"：Bx&R,mx2+l<0,q：VxeH,^+mx+\>Q，若為假命題，求實數(shù)加的取值范圍

22.（10分）如圖，四棱柱A3CD—4與GA的底面ABC。為正方形，，平面ABC。，44=4,AB=2,

點E在Cq上，且GE=3EC.

Dx_________cx

(1)求證：AC1DE；

（2）求直線。2與平面3。石所成角的正弦值;

（3）求平面瓦汨與平面ABD夾角的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】先求定義域，再由導數(shù)小于零即可求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

【詳解】由2%-％2>0得o<光<2,所以函數(shù)〃x）=ln（2無一無2）+%的定義域為他2）,

2

又/'（X）=2--2^x+l=2「-xT，

2x-x2x-x

因為0<x<2,

所以由/'（x）<0得2—f<o,解得&<x<2,

所以函數(shù)/（無）=ln（2x—x2）+x的單調(diào)遞減區(qū)間^

故選：A.

2、D

【解析】根據(jù)長軸長是短軸長的2倍，得到〃=?,利用離心率公式即可求得答案.

【詳解】V2a=2-2b9a—2b9

冬

故選：D

3、A

【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得公比4,然后由等比數(shù)列的性質(zhì)得結(jié)論

【詳解】設｛4｝的公比為彘因為半，1，外,成等差數(shù)列，

所以2=%+③，即叱=酗+?；?，q^-lq-

-3=0,q=3或q=—l（舍去，因為數(shù)列各項為正）

2222

所以％020+。2021+。2022=j=r2n

“2019+12018+“2017

故選：A

4、A

【解析】結(jié)合導數(shù)的幾何意義確定正確選項.

【詳解】/(3)-/(2)=/(3^~{(2),表示(2"(2)),(3"(3))兩點連線斜率，

/⑵表示“力在x=2處切線的斜率；/⑶表示“力在％=3處切線的斜率；

根據(jù)/(%)圖象可知，/(2)<根3)-/(2)</(3).

故選：A

5、C

【解析】利用必要條件和充分條件的定義判斷.

【詳解】A選項：xeR,x>兀nx>,x>x>V2?

所以x〉乃是x>后的充分不必要條件，A錯誤；

B選項：xeR，x<萬4x>后，x<n<j^x>^2

所以x〈乃是%>血的非充分非必要條件，B錯誤；

C選項：xeR,x>l與x>屈，%>l<=x>-fl?

所以x>l是x>也必要不充分條件，C正確；

D選項：xeR,x<A4x>叵,x<A牛x>叵，

所以尤<1是%>血的非充分非必要條件，D錯誤.

故選：C.

6、C

【解析】分別求出取到3塊月餅都是同種月餅和取到3塊月餅都是五仁月餅的種數(shù)，再根據(jù)概率公式即可得解.

【詳解】解：由題意可得，取到3塊月餅都是同種月餅有C；+C；=30種情況，

取到3塊月餅都是五仁月餅有C；=10種情況，

所以在取到的都是同種月餅的條件下，都是五仁月餅的概率是義=g.

故選：C.

7、A

【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.

【詳解】4/(x)=lnx+ex,因為y=lnx,y=ex均為(0,+8),

故/(x)=lnx+ex為(0,+oo)上的增函數(shù)，

由111根+?加-1=111〃+&〃可得111m+匕相＞111〃+匕〃，故m＞n，

故選：A.

8、C

【解析】根據(jù)向量共線可得si滿足的關系，從而可求它們的值，據(jù)此可得正確的選項.

【詳解】因為4〃。，故存在常數(shù)2,使得4=2。，

2=As

所以＜1=24,故s=4/=-6,所以s—r=10,

—3=At

故選：C.

9、C

y=2x+l/、/、/、

【解析】先聯(lián)立方程"_得(-1,-1),再求得直線y=2x+l的點(0,1)關于直線y=x對稱點的坐標為(1,0),

進而根據(jù)題意得所求直線過點(-L-1),(1,0),進而得直線方程.

y=2x+l/、/、

【詳解】解：聯(lián)立方程”—得(—L—1),即直線y=2x+l與直線y=尤的交點為(―L—1)

、yx

設直線y=2%+1的點(0,1)關于直線y=無對稱點的坐標為(九0，%)，

%+1

2-2

所以《解得玉)=1,%=。

2ozl=-i

所以直線y=2x+l關于直線y=%對稱的直線過點(-1,-1),(1,0)

所以所求直線方程的斜率為二，

2

所以所求直線的方程為y=g(x—1),即x—2y—1=0

故選：C

10、C

【解析】由題意可解出截面圓的半徑，然后利用勾股定理求解球心與截面圓圓心的距離

【詳解】由截面圓的面積為36萬緲？可知，截面圓的半徑為6的，則球心到截面圓心的距離為

故選:C

【點睛】解答本題的關鍵點在于，球心與截面圓圓心的連線垂直于截面

11、C

【解析】先由條件得出a,》滿足儲+加220,得出滿足儲+廿220的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而

可得答案.

心12為

【詳解】直線ax+力+26=0到原點的距離不超過1,則J?<1

y/a2+b2

所以/+n20

當。=1時，6可以為5,6

當a=2時，6可以為4,5,6

當a=3時，。可以為4,5,6

當a=4時，6可以為2,3,4,5,6

當a=5時，?？梢詾?,2,3,4,5,6

當a=6時，〃可以為1,2,3,4,5,6

滿足a2+b2>20的共有25種結(jié)果.

將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a,b,共有6x6=36種結(jié)果

25

所以滿足條件的概率為二

36

故選：C

12、D

【解析】由空間向量的數(shù)量積運算即可求解

【詳解】?；a=(2,-1,0),人=(1,k,7),且。.加=0，

**.2—k+0—0,解得k=2

故選：D

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、②③

【解析】在矩形ABC。中，過AC點作5。的垂線，垂足分別為瓦/，對于①，連接CE,假設存在某個位置，使

得ACL3。，則可得到5DLCE,進而得矛盾，可判斷；對于②在翻折過程中，當平面A3。，平面時，三

棱錐A-3。的體積取得最大值，再根據(jù)幾何關系計算即可；對于③，由題知4。=4￡+即，BC=BF+FC，

39(31

設平面A.BD與平面所成的二面角為0,進而得A^-5C=--cos6>+-e-,3,進而得異面直線4。與

所成角的余弦值的范圍為即可判斷.

【詳解】解：如圖1,在矩形ABC。中，過A,C點作班）的垂線，垂足分別為瓦尸,

則在在翻折過程中，形成如圖2的幾何體，

故對于①，連接CE,假設存在某個位置，使得4。，3。，由于AELBD,A。4E=A，

所以平面4CE,所以5DLCE,這與圖1中的3。與CE不垂直矛盾，故錯誤;

ADAB_6

對于②在翻折過程中，當平面，平面BCD時,三棱錐A-BCD的體積取得最大值,此時AE=

BD-3

體積為Vng'BczrAEugxgxlxGx?：:,故三棱錐A—BCD的體積不大于:，故正確;

對于③，4力=4￡+￡?,BC=BF+FC，由②的討論得AE==1,

所以ED=5p，

所以ADBC=（AE+ED）（BF+FC）=AEFC+EDBF=—EAFC+EDBF

QO

=—陷〉附際（嗎+即.叫=_（cos（M，bC）+；,

設翻折過程中，平面A/D與平面所成的二面角為凡

所以（EA，F(xiàn)C）=6,故40力。=—：cos9+g,

由于要使直線4。與BC為異面直線，所以6e（O,?）,

所以=—1■cose+?|e1|■,3）,

「|cos9+：p

所以cos（AD，B0

向問一一3一七」

所以異面直線4。與BC所成角的余弦值的范圍為

所以在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線4。與所成角為45。.

故答案為：②③

14、4

【解析】可設A為第一象限的點，M￡|二加，|隹|=*求出冽=〃+儲，n=a—d,化簡

m2+n2-2mncos60°=（2c）2即得解.

【詳解】解：可設A為第一象限的點，|人占卜加，|隹|二〃，

由橢圓定義可得加+〃=2〃，

由雙曲線的定義可得加—〃=2a，

可得加=〃+〃'，n=a—d，

22

由ZF1AF2=60°,可得加+n-2mncos60°=（2c）,

即為（Q+"J+-a]2（〃+〃）（Q-x—=4c?

化為a2+3d2=4c2，

13）

則方言=4

故答案為：4

15、3

【解析】由雙曲線方程可得a=l力=G,C=2,利用雙曲線定義，以及直角三角形的勾股定理可得|AEJ-|A￡|=6,

由此求得答案.

2

【詳解】由雙曲線f—匕=1的左、右焦點分別為耳,B，雙曲線左支上點A滿足AK，A心，

3一一

可得:。=11=百,c=奇=2，

則|A區(qū)I—|A耳|=2a=2,且|A工『+|A片『=（2C）2=16,

222

故（|A居|—|A4|）=|ATs\+\AF,I-2\AF2\-\AFl|=4,

所以|A8|-|AK|=6,

故耳1=3，

故答案為：3

匕32〃

16、----

3

【解析】設球的半徑為r,代入表面積公式，可解得廠=2,代入體積公式，即可得答案.

【詳解】設球的半徑為r,則表面積S=4/2=I6〃，

解得r=2,

44

所以體積丫=乃義23=要，

333

32萬

故答案為：—

3

【點睛】本題考查已知球的表面積求體積，關鍵是求出半徑，再進行求解，考查基礎知識掌握程度，屬基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)0.56

(2)0.94(3)0.38

【解析】(1)根據(jù)獨立事件的概率公式計算；

(2)結(jié)合對立事件的概率公式、獨立事件的概率公式計算

(3)利用互斥事件與獨立事件的概率公式計算

【小問1詳解】

設甲擊中目標為事件A,乙擊中目標為事件3,

甲乙兩人同時擊中目標的概率A=P(AB)=P(A)P(B)=0.7x0.8=0.56；

【小問2詳解】

甲乙兩人中至少有一個人擊中目標的概率為g=l—P(AB)=1-P(A)P(B)=1—0.3x0.2=0.94；

【小問3詳解】

甲乙兩人中恰有一人擊中目標的概率為鳥=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)

=0.7x0.2+0.3x0.8=0.38

18、(1)證明見解析

力2際

35

【解析】(1)由題意先證明MN//平面MC,然后由線面平行的性質(zhì)定理可證明.

(2)由平面P3C_L平面ABC,取3c中點。，貝！JPO_L平面ABC,可得PO_LAO,由條件可得AO_LBC,以。

坐標原點，分別以?；薃O,0P為x,y,z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.

【小問1詳解】

因為M,N分別為A5,AP的中點，所以MN//PB,

又W平面尸5C,所以1W//平面P3C,

因為平面ACVFEc平面PBC=￡F,所以MN//EF

【小問2詳解】

因為平面P3CL平面A5C,取5c中點0,

連接P。，A0,因為尸BC是等邊三角形，所以尸0,3。，

所以P0,平面ABC,故P0LA0,又因AB=AC,

所以AOL3C,以0為坐標原點，分別以。5,AO,0P為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

可得：0(0,0,0),P(0,0,百)，A(0,-2A/2,0),6(1,0,0),C(-l,0,0),

所以P3=(l,0,-句，PA=(0,-20,-⑹，PC=(-1,0,-A/3),

PAn=Q-2近y-A/3Z=0

設平面E4c的法向量為〃=(九,y,z),則＜，則《

PCn=0—X—y/3z=0

(

令y=E,得x=4,z=-逑，所以"

4,-

3

/Uirr，4+42V210

cos(PB-n

35

所以直線PB與平面PAC所成角的正弦值為其巫

35

19、(1)16夜;

（2）是，該定值」.

【解析】（1）根據(jù)弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合三角形面積公式進行求解即可;

（2）根據(jù)兩點間距離公式，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.

【小問1詳解】

顯然直線存在斜率，設直線A3的方程為：y^kx+4,

Y-+4

所以有V2c二—8日一32=0,設4>1，%）,3（%2，n2），

%=8y

貝［］有％］+9=8k,玉%--32,

|AB\=Jl+/,｛（尤］+々）2=J1+/?,64公+128=8,1+/,2+1,

|4|

原點到直線,=履+4的距離為：~^=,

△OAB的面積為：S=—x8-Jl+K-12+k~x1=1612+k",

2y/l+k-

當左=0時，S有最小值，最小值為16夜；

【小問2詳解】

是定值，理由如下：

88.

由（1）可知：>1=~^2=-T，玉%2=-32,

玉x2

11

-------7--------T

|AM「\BM［

11

—小小I』］）?

11

------------1------------

44

—+16—+16

6464

]]

可亡+16

4+1664

64

164

—322+%4+322

16(匕+1)/十”

x2

4

_%264

-24+42

16(32+%2)%,+32

42

X2+32

-24

16(32+X2)

1

-16'

【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵.

22

20、(1)--—=1；(2)8.

22

【解析】(1)由等軸雙曲線的一條漸近線方程為y+無=0,再由點到直線距離公式求解即可；

(2)求得直線方程代入拋物線，結(jié)合焦點弦長求解即可.

【詳解】(1)由等軸雙曲線的一條漸近線方程為y+無=0,且頂點(0,。)到漸近線的距離為1,

a=b

可得褊,

廿

解得故雙曲線方程工=1

[b=4222

(2)拋物線V=4x的焦點為尸(1,0)

直線/的方程為y-0=tan45O-(x-1),即y=x-l

y=x-l

與拋物線方程聯(lián)立，得2，，

U=4x

消y,整理得％2_6%+1=0，設其兩根為4，且占+%2=6

由拋物線的定義可知，|43|=芯+/+夕=6+2=8

所以，線段A3的長是8

【點睛】(1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數(shù)的關系；

⑵有關直線與拋物線弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|A3|=xi+

X2+p,若不過焦點，則必須用一般弦長公式

3

21、(1)—,+oo(2)m>2

4

7

【解析】（1）由二次函數(shù)的性質(zhì)，求得A={ylz?y?2},又由元+加2，1,求得集合5=—機2},

根據(jù)命題P是命題4的充分條件，所以AuB,列出不等式，即可求解

（2）依題意知，夕國均為假命題，分別求得實數(shù)加的取值范圍，即可求解

c33c7「3-17

【詳解】（1）由y=%-—X+l=（X--）2+—,丁—,2,,Vmax=2,

24lol_4」16

Aye[-^,21所以集合A=[y|^<y<2],

16J116J

由X+〃22>1，得X>1-m2,所以集合5={x|X21-m2},

733

因為命題。是命題q的充分條件，所以413,貝！H-根2?—,解得a2—或加<-一，

1644

實數(shù)M的取值范圍是f-oo,-]|,+ooI.

（2）依題意知，P,q均為假命題，

當P是假命題時，7nx2+1〉。恒成立，則有，