江西省2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題2

江西高二期末教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：北師大版選擇性必修第一冊第一章~第五章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知直線的傾斜角為，則實數(shù)k的值為（）A．B．C．1D．2．過點且與直線平行的直線的方程是（）A．B．C．D．3．已知點P是雙曲線上一點，分別為C的左、右焦點，若,則（）A．5B．13C．5或9D．5或64．在空間直角坐標系中，已知，點,若,且,則滿足條件的點P共有（）A．15個B．20個C．25個D．30個5．已知直線與圓相交于兩點，則的周長為（）A．26B．18C．14D．136．已知點是拋物線上的動點，則直線的斜率的最大值是（）A．B．C．1D．7．楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學(xué)史上的一個偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個數(shù)字之和為（）A．B．C．D．8．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體．如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長都相等的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得．已知點E為線段上一點且,若直線與直線所成角的余弦值為,則（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知關(guān)于的方程表示的曲線是E，則曲線E可以是（）A．拋物線B．雙曲線C．橢圓D．圓10．如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，,若,則（）A．B．C．D．11．已知拋物線的焦點為F,其準線l與x軸的交點為為C上一動點，點,則（）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．的最小值為5D．的最大值為12．如圖，在長方體中，,點E為的中點，點F為側(cè)面（含邊界）上的動點，則下列說法正確的是（）A．存在點F,使得B．滿足的點F的軌跡長度為C．的最小值為D．若平面,則線段長度的最小值為三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．方程（且）的解為___________．14．已知平面的法向量為,點為平面內(nèi)一點，點為平面外一點，則點P到平面的距離為___________．15．若的展開式中的系數(shù)為70，則實數(shù)___________．16．已知橢圓的左、右焦點分別為，點P在橢圓C上，的延長線交橢圓C于點Q,且的面積為,記與的面積分別為,則___________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學(xué)組有3名男教師和2名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：（1）2名女教師必須坐在一起的坐法有多少種？（2）2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？18．（本小題滿分12分）如圖，正方體的棱長為2．（1）證明：平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值．19．（本小題滿分12分）的展開式中，二項式系數(shù)之和為a,各項系數(shù)之和為b,且．（1）求n的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項．20．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面,點E在棱上，且．（1）求證：;（2）若,求二面角的余弦值．21．（本小題滿分12分）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．在平面直角坐標系中，滿足,頂點,且其“歐拉線”與圓相切．（1）求的“歐拉線”方程；（2）若圓M與圓有公共點，求a的范圍；（3）若點在的“歐拉線”上，求的最小值．22．（本小題滿分12分）已知動點P到點的距離等于其到直線距離的2倍，記點P的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率為k的直線l與曲線交于點為坐標原點，若,證明：為定值．江西高二期末教學(xué)質(zhì)量檢測·數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細則1．B由題意可知，直線的斜率為，解得．故選B．2．A設(shè)與直線平行的直線的方程為，將點代入得，解得，所以所求直線的方程為．故選A．3．C由題意可知,若,則或9．故選C．4．B由題意可知，滿足條件的點P即從1,2,3,4,5,6這6個數(shù)中選3個數(shù)，然后按從小到大的次序分配給a，b,c,共有個．故選B．5．B由,得，所以圓心為，半徑,圓心C到直線l的距離,所以,所以的周長為．故選B．6．D設(shè)直線的斜率為k,則直線的方程為，由題意，得直線與拋物線C有交點，聯(lián)立方程得,當(dāng)時，,即;當(dāng)時，，解得且，綜上所述，k的最大值為．故選D．7．B由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個數(shù)字之和為．故選B．8．C將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)半正多面體的棱長為，正方體的棱長為2，所以,所以，則．設(shè)直線與直線所成角為，則,即，解得或（舍）．故選C．9．BCD當(dāng)時，，方程可以化簡為，曲線E是圓；當(dāng)且時，或,曲線E是橢圓；當(dāng)時，或,曲線E是雙曲線．故選BCD．10．BC,故A錯誤；，故B正確；，故C正確；,故D錯誤．故選BC．11．BCD由題意知，當(dāng)時，，則，故A錯誤；當(dāng)時，點P為拋物線與圓的交點，二者聯(lián)立并消去y,得,所以，又,所以，故B正確；過B作l的垂線,垂足為,當(dāng)P為與C的交點時，最小，最小值為5，故C正確；當(dāng)點P為線段的延長線與C的交點時，最大，最大值為，故D正確．故選BCD．12．BD以A為原點，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則,．對于選項A,若,則,又,所以,即，此方程無解，所以不存在點F,使得,故A錯誤；對于選項B,由,得,化簡可得,又，所以當(dāng)時，得,當(dāng)時，得,即滿足的點F的軌跡長度為，故B正確；對于選項C,設(shè)點C關(guān)于平面的對稱點為G,則G的坐標為，則,故C錯誤；對于選項D,,設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則,所以平面的一個法向量為，因為平面,所以，即,又點,所以，當(dāng)時，取得最小值，故D正確．故選BD．13．2或4由題意，可知,所以或．14．1由題意得，故點P到平面的距離．15．2因為的展開式中含的項為,由題意知,解得．16．不妨設(shè),焦距,由的面積為，得,由余弦定理，得,則,所以,即,所以,所以,易得,所以,所以,所以，所以,所以,所以．17．解：（1）根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有種坐法，2分將排好的女教師視為一個整體，與3名男教師進行排列，共有種坐法，4分由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．5分（2）根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有種坐法，7分再在這3名男教師之間及兩頭的4個空位中插入2名女教師，有種坐法，9分由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．10分18．如圖，以D為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,則．所以．2分（1）證明：設(shè)平面的一個法向量為,由得令,得．4分因為，所以,又在平面,所以平面．6分（2）解：由（1），得平面的一個法向量,設(shè)直線與平面所成角為，則．10分所以直線與平面所成角的正弦值為．12分19．解：（1）由題意，得,2分，4分因為,所以,所以,解得．6分（2）的展開式的通項，8分令，得．10分所以的展開式中的常數(shù)項為．12分20．（1）證明：設(shè)與相交于點F,因為平面平面,所以．1分在中，，在中，，2分又均為銳角，所以,3分因為，所以，所以，即,4分因為平面,且,所以平面,5分又平面,所以．6分（2）解：由題意知兩兩垂直，以D為坐標原點，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系,則,所以．7分設(shè)平面的一個法向量,則即令,則，所以．9分設(shè)平面的一個法向量,則即令,則,所以，11分設(shè)二面角的大小為，由題意知為銳角，所以．12分21．解：（1）因為,所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，設(shè)的歐拉線為l,則l過的中點，且與直線垂直，由可得：的中點，即，所以,3分故的方程為．4分（2）因為與圓相切，故，5分圓的圓心坐標為,半徑，則要想圓M與圓有公共點，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，故，7分所以．8分（3）因為,所以該式子是表示點到點、點的距離之和，9分又，所以上述式子表示直線上的點到點、點的距離之和．設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為,則有解得,即．11分所以,所以直線上的點到點、點的距離之和的最小值為,即的最小值為2．12分22．（1）解：設(shè)動點,則,1分點P到直線的距離，2分由題意知，即，