高一數(shù)學人教A版必修1學案1-2-1第2課時函數(shù)的定義域與值域

第2課時函數(shù)的定義域與值域[目標]1.了解構成函數(shù)的要素，理解函數(shù)相等的概念；2.會求簡單函數(shù)的定義域與值域；3.會求形如f(g(x))的函數(shù)的定義域．[重點]函數(shù)相等的概念，求函數(shù)的值域．[難點]求函數(shù)的值域，求形如f(g(x))的函數(shù)的定義域.知識點一函數(shù)相等[填一填]1．條件：①定義域相同；②對應關系完全一致．2．結論：兩個函數(shù)相等．[答一答]1．若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，它們是否為同一函數(shù)？對應關系和值域相同呢？提示：觀察下表：函數(shù)定義域對應關系值域f1(x)＝xRx→xRf2(x)＝2xRx→2xRf3(x)＝x2[0,2]x→x2[0,4]f4(x)＝x2[－1,2]x→x2[0,4]對于f1(x)和f2(x)，定義域和值域雖相同，但對應關系不同，故不是同一函數(shù)；對于f3(x)和f4(x)，對應關系和值域雖相同，但定義域不同，故不是同一函數(shù)．知識點二函數(shù)的定義域[填一填]函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的所有自變量的集合．求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：1．f(x)是整式時，定義域是全體實數(shù)的集合．2．f(x)是分式時，定義域是使分母不為0的一切實數(shù)的集合．3．f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值的實數(shù)的集合．4．零(負)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．5．對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域時，需根據(jù)問題的具體情況對字母參數(shù)進行討論．6．由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．[答一答]2．函數(shù)f(x)＝eq\f(\r(x－1),x－2)＋(x－1)0的定義域為(D)A．{x|x≥1}B．{x|x>1}C．{x|1≤x<2或x>2}D．{x|1<x<2或x>2}解析：要使函數(shù)有意義，則只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－2≠0，,x－1≠0，))解得1<x<2或x>2，所以函數(shù)的定義域為{x|1<x<2或x>2}．故選D.知識點三函數(shù)的值域[填一填]求函數(shù)的值域是一個較復雜的問題，要首先明確兩點：一是值域的概念，即對于定義域A上的函數(shù)y＝f(x)，其值域就是指其函數(shù)值的集合：{f(x)|x∈A}；二是函數(shù)的定義域、對應關系是確定函數(shù)的依據(jù)．另外，在求函數(shù)的值域時，要根據(jù)所給的函數(shù)的形式，采用相應的方法．[答一答]3．已知函數(shù)y＝x2，x∈{0,1,2，－1}，函數(shù)y＝x2的值域是什么？提示：當x＝0時，y＝0；當x＝±1時，y＝1；當x＝2時，y＝4.所以函數(shù)的值域是{0,1,4}．類型一函數(shù)相等的判斷[例1]下列各組函數(shù)：①f(x)＝eq\f(x2－x,x)，g(x)＝x－1；②f(x)＝eq\f(\r(x),x)，g(x)＝eq\f(x,\r(x))；③f(x)＝eq\r(x＋1)·eq\r(1－x)，g(x)＝eq\r(1－x2)；④f(x)＝eq\r(x＋32)，g(x)＝x＋3；⑤汽車勻速運動時，路程與時間的函數(shù)關系f(t)＝80t(0≤t≤5)與一次函數(shù)g(x)＝80x(0≤x≤5)．其中表示相等函數(shù)的是____________(填上所有正確的序號)．[答案]③⑤[解析]①不同，定義域不同，f(x)定義域為{x|x≠0}，g(x)定義域為R.②不同，對應法則不同，f(x)＝eq\f(1,\r(x))，g(x)＝eq\r(x).③相同，定義域、對應法則都相同．④不同，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤相同，定義域、對應法則都相同．討論函數(shù)問題時，要保持定義域優(yōu)先的原則.判斷兩個函數(shù)是否相等，要先求定義域，若定義域不同，則不相等；若定義域相同，再化簡函數(shù)的解析式，若解析式相同，則相等，否則不相等.[變式訓練1]下列各組中兩個函數(shù)是否表示相等函數(shù)？(1)f(x)＝6x，g(x)＝6eq\r(3,x3)；(2)f(x)＝eq\f(x2－9,x－3)，g(x)＝x＋3；(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.解：(1)g(x)＝6eq\r(3,x3)＝6x，它與f(x)＝6x定義域相同，對應關系也相同，所以是相等函數(shù)．(2)f(x)＝eq\f(x2－9,x－3)＝x＋3(x≠3)，它與g(x)＝x＋3的定義域不同，故不是相等函數(shù)．(3)雖然自變量用不同的字母表示，但兩個函數(shù)的定義域和對應關系都相同，故是相等函數(shù)．類型二函數(shù)的定義域命題視角1：求具體函數(shù)的定義域[例2]求下列函數(shù)的定義域，結果用區(qū)間表示：(1)y＝eq\r(x＋2)＋eq\f(1,x2－x－6)；(2)y＝eq\f(x＋10,\r(|x|－x)).[解](1)要使函數(shù)有意義，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2≥0，,x2－x－6≠0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥－2，,x≠－2且x≠3，))故函數(shù)的定義域是(－2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函數(shù)有意義，必須滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,|x|－x>0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x<0，))故函數(shù)的定義域是(－∞，－1)∪(－1,0)．求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)式有意義的自變量的取值范圍.當一個函數(shù)式由兩個以上數(shù)學式子的和、差、積、商的形式構成時，定義域是使各部分都有意義的公共部分的集合.[變式訓練2]求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝eq\r(1－x)＋eq\f(1,x＋5)；(2)y＝eq\f(3,1－\r(1－x)).解析：(1)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,x＋5≠0，))解得x≤1且x≠－5.所求定義域為{x|x≤1且x≠－5}．(2)由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得x≤1且x≠0.所求定義域為{x|x≤1且x≠0}．命題視角2：求抽象函數(shù)的定義域[例3](1)已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,4]，求函數(shù)f(2x＋1)的定義域．(2)已知函數(shù)f(2x＋1)的定義域是[－1,4]，求函數(shù)f(x)的定義域．[分析]在對應關系相同的情況下，f(x)中x應與f(g(x))中g(x)的取值范圍相同，據(jù)此可解答該題．[解](1)由已知f(x)的定義域是[－1,4]，即－1≤x≤4.故對于f(2x＋1)應有－1≤2x＋1≤4.∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤eq\f(3,2).∴f(2x＋1)的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2))).(2)由已知f(2x＋1)的定義域是[－1,4]，即f(2x＋1)中，應有－1≤x≤4，∴－1≤2x＋1≤9.∴f(x)的定義域是[－1,9]．因為fgx就是用gx代替了fx中的x，所以gx的取值范圍與fx中的x的取值范圍相同.若已知函數(shù)fx的定義域為[a，b]，則函數(shù)fgx的定義域是指滿足不等式a≤gx≤b的x的取值范圍；而已知fgx的定義域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求fx的定義域，就是求x∈[a，b]時gx的值域.[變式訓練3]若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2]，則函數(shù)g(x)＝eq\f(f2x,x－1)的定義域是(B)A．[0,1] B．[0,1)C．[0,1)∪(1,4] D．(0,1)解析：因為f(x)的定義域為[0,2]，所以對于函數(shù)g(x)滿足0≤2x≤2，且x≠1，故x∈[0,1)．類型三求函數(shù)的值域[例4]求下列函數(shù)的值域．(1)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)；(2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；(4)y＝eq\f(5x－1,4x＋2).[解](1)∵x∈[－5,2)，∴－15≤3x<6，∴－16≤3x－1<5，∴函數(shù)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是[－16,5)．(2)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴2x＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函數(shù)的值域為{3,5,7,9,11}．(3)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5)，∴其圖象如圖所示，當x＝2時，y＝2；當x＝5時，y＝11.∴所求函數(shù)的值域為[2,11)．(4)y＝eq\f(5x－1,4x＋2)＝eq\f(\f(5,4)4x＋2－1－\f(10,4),4x＋2)＝eq\f(\f(5,4)4x＋2－\f(14,4),4x＋2)＝eq\f(5,4)－eq\f(7,24x＋2).∵eq\f(7,24x＋2)≠0，∴y≠eq\f(5,4)，∴函數(shù)y＝eq\f(5x－1,4x＋2)的值域為{y∈R|y≠eq\f(5,4)}．根據(jù)函數(shù)關系式，選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠛瘮?shù)的值域.1對于一次函數(shù)，已知自變量的取值范圍，依據(jù)簡單不等式的運算，求得函數(shù)的取值范圍，即為函數(shù)的值域；2對于二次函數(shù)，可借助圖象求函數(shù)的值域；3通過分離常數(shù)，借助反比例函數(shù)的特征求值域.無論哪種方法求值域，都應注意定義域的限制.[變式訓練4]求下列函數(shù)的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}；(2)y＝eq\f(x,x＋1)；(3)y＝x2－4x，x∈[1,4]．解：(1)∵y＝2x＋1，x∈{0,1,3,4}，∴y∈{1,3,7,9}．(2)∵y＝eq\f(x,x＋1)＝eq\f(x＋1－1,x＋1)＝1－eq\f(1,x＋1)，且eq\f(1,x＋1)≠0，∴函數(shù)y＝eq\f(x,x＋1)的值域為{y|y≠1}．(3)配方，得y＝(x－2)2－4.∵x∈[1,4]，∴函數(shù)的值域為[－4,0].1．函數(shù)f(x)＝eq\r(x＋1)＋eq\f(1,2－x)的定義域為(A)A．[－1,2)∪(2，＋∞) B．(－1，＋∞)C．[－1,2) D．[－1，＋∞)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,2－x≠0，))解得x≥－1且x≠2.故選A.2．函數(shù)f(x)＝x2＋1(0<x≤2且x∈N*)的值域是(D)A．{x|x≥1} B．{x|x>1}C．{2,3} D．{2,5}解析：∵0<x≤2且x∈N*，∴x＝1或x＝2.∴f(1)＝2，f(2)＝5，故函數(shù)的值域為{2,5}．3．若函數(shù)f(x)與g(x)＝eq\f(3,2－\r(x－2))是相等的函數(shù)，則函數(shù)f(x)的定義域是[2,6)∪(6，＋∞)．解析：∵2－eq\r(x－2)≠0，∴x≠6，又x－2≥0，∴x≥2，∴g(x)的定義域為[2,6)∪(6，＋∞)．故f(x)的定義域是[2,6)∪(6，＋∞)．4．已知函數(shù)f(x)的定義域為{x|－1<x<1}，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域為{x|－1<x<0}．解析：因為f(x)的定義域為{x|－1<x<1}，所以－1<2x＋1<1，解得－1<x<0.所以f(2x＋1)的定義域為{x|－1<x<0}．5．試求下列函數(shù)的定義域與值域：(1)f(x)＝(x－1)2＋1；(2)y＝eq\f(5x＋4,x－1)；(3)y＝x－eq\r(x＋1).解：(1)函數(shù)的定義域為R，因為(x－1)2＋1≥1，所以函數(shù)的值域為{y|y≥1}．(2)函數(shù)的定義域為{x|x≠1}，y＝eq\f(5x＋4,x－1)＝5＋eq\f(9,x－1)，所以函數(shù)的值域為{y|y≠5}．(3)要使函數(shù)式有意義，需x＋1≥0，即x≥－1，故函數(shù)的定義域為{x|x≥－1}．設t＝eq\r(x＋1)，則x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝(t－eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，又t≥0，故y≥－eq\f(5,4)，所以函數(shù)的值域為{y|y≥－eq\f(5,4)}．——本課須掌握的三大問題1．兩個函數(shù)當且僅當它們的三要素完全相同時才表示同一函