2023年中考數(shù)學(xué)訓(xùn)練-圓的切線的證明

2023年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)訓(xùn)練一圓的切線的證明

1.如圖，已知。O的直徑AB=12,弦4C=10,。是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。EL4C,

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：Z)E是。。的切線；

(2)求4E的長(zhǎng).

2.如圖，RtAABC中，ZABC=90°,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接?！?

(1)求證：QE是半圓。。的切線；

(2)若/8AC=30。，DE=2,求AO的長(zhǎng).

3.如圖，已知AB是。。的直徑，銳角ND4B的平分線AC交。。于點(diǎn)C,作CD_LAO,

垂足為。，直線CD與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

(1)求證：直線CZ)為00的切線；

(2)當(dāng)AB=2BE,且CE=g時(shí)，求AD的長(zhǎng).

4.如圖，A3是「。的直徑,弦Cr)J_AS,垂足為H,連接AC,過(guò)Bo上一點(diǎn)E作EGHAC

交CQ的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AE交C。于點(diǎn)F，且EG=9G,連接CE.

(1)求證：EG是.。的切線；

(2)延長(zhǎng)AB交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,若A"=3,CH=4,求EN的值.

5.如圖，在「ABC中，A。是8C邊上的中線，以AB為直徑的O交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)

。作MNLAe于點(diǎn)例，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,過(guò)點(diǎn)B作BGLMN于點(diǎn)G.

(1)求證：ABGDS公DMA；

(2)求證：直線MV是.。的切線.

6.如圖，4B是。。的直徑，BC為。。的切線，力為。。上的一點(diǎn)，CD=CB,延長(zhǎng)C。

交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CD為。。的切線；

(2)若。尸，8。于點(diǎn)F,且。產(chǎn)=2,βD=4√3,直接寫(xiě)出圖中陰影部分的面

積.

7.如圖，已知BC是O的直徑，點(diǎn)。為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)A為圓上一點(diǎn)，且

AB=AD,AC=CD.

(1)求證：A。是。的切線；

(2)已知。的半徑為5,請(qǐng)求出AC長(zhǎng).

8.如圖，在。。中，直徑AB與弦CO垂直，垂足為E,連接AC,將^ACE^AC

折得到△ACF,直線FC與直線AB相交于點(diǎn)G.

(1)證明：直線產(chǎn)C與。。相切;

(2)若OB=BG,求證：四邊形OCBO是菱形.

9.如圖，。是ABC的外接圓，AB是直徑，NfiAC的平分線交：。于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)D

作。ElAC,分別交AC,A5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,F.

(1)求證：EF是廣。的切線；

(2)若AC=2CE=4,求BC的長(zhǎng)度(結(jié)果保留萬(wàn)).

10.如圖，AB是。的直徑，AC是弦，。￡＞，AC于E,交。于F,ZD=NBFC.

(1)求證：A。是：。的切線.

(2)若OA=IO,AC=16,求AZ)的長(zhǎng).

11.如圖，已知PC平分NMPN,點(diǎn)O是PC上任意一點(diǎn)，PM與OO相切于點(diǎn)E,交

PC于A、B兩點(diǎn).

(1)求證：PN與。0相切；

(2)如果NMPC=30。，PE=2G,求劣弧BE的長(zhǎng).

12.AB為G)C)直徑，BC為。O切線，切點(diǎn)為B,Co平行于弦AD,作直線DC.

(1)求證：DC為。O切線；

(2)若AD?OC=8,求G)O半徑.

13.如圖，在AABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC上，以O(shè)B為半徑的。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,交BC

于點(diǎn)。，連接Az),AD=CD.

(1)求證：AC為。。的切線；

(2)延長(zhǎng)AO到點(diǎn)凡連接8凡交。。于點(diǎn)E,連接。E,若AF=4,BF=5,求。0

的半徑.

14.如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作。交斜邊4C于點(diǎn)。，過(guò)圓心。作

OEHAC,交BC于點(diǎn)E,連接OE?

(1)判斷OE與。的位置關(guān)系并說(shuō)明理由;

(2)求證：2DE?=CD?0E.

15.如圖，在RtMBC中，ZC=90o,Ar)是NBAC的平分線，經(jīng)過(guò)A、。兩點(diǎn)的圓的

圓心。恰好落在AB上，O分別與A8、AC相交于點(diǎn)E、F.

B、

(1)判斷直線BC與。的位置關(guān)系并證明；

(2)若-。的半徑為2,AC=3,求BD的長(zhǎng)度.

16.如圖，已知∕?ΔACE中，NAEC=90。，CB平分/4CE交AE于點(diǎn)B,AC邊上一

點(diǎn)。，經(jīng)過(guò)點(diǎn)8、C,與AC交于點(diǎn)O,與CE交于點(diǎn)F.

(1)求證：AE是口。的切線；

4

(2)若COSNA=AE=Sf則。的半徑長(zhǎng)為

17.如圖，在AfiC中，Ae=AC,以AC為直徑作，。交BC于點(diǎn)。OEj-A8,垂足為E,

交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：直線EF是。的切線：

Λp?

(2)若C尸=5,—求AC的長(zhǎng).

Ar5

18.如圖，在AABC中，AB=AC,G)O分別切A8于M,BC于N,連接8。、CO,BO

=CO.

(1)求證：AC是。。的切線；

(2)連接MC,若tan=求SinNB的值.

19.如圖，在RtAfiC中，ZC=90o,A。平分NBAC交BC于點(diǎn)Q,點(diǎn)E在A3上,

以AE為直徑的。經(jīng)過(guò)點(diǎn)O.

(1)求證：直線BC是。的切線；

(2)若N3=30。，AC=3,求圖中陰影部分的面積.

20.如圖，在AMC中，AB=BC,以BC為直徑作，。交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作A3的

垂線交AB于點(diǎn)F,交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G?

⑴求證：EG是。的切線；

（2）若BG=OB,AC=6,求BF的長(zhǎng).

參考答案:

L(1)見(jiàn)解析

⑵11

【分析】（1）連接。。根據(jù)圓周角定理可證得/BOD=NfiAE,OD//AE,再根據(jù)平行線

的性質(zhì)，即可證得ODIOE,即可證得結(jié)論；

⑵過(guò)點(diǎn)。作OFrAC,根據(jù)垂徑定理可得AF=CF=^AC=S,可證得四邊形OFE。是矩形,

FE=OD=-AB=G,據(jù)此即可求得.

2

【解析】（1）證明：如圖：連接

。是BC的中點(diǎn)，

.?.BD=CD'

.?.ZBOD=ZBAEf

.?OD∕∕AEt

DElAC9

:.ZAEr>=90。,

.?.ZODE=180o-90o=90o,

:.ODA.DE,

又。。是。。的半徑

???OE是。。的切線；

(2)解：如圖：過(guò)點(diǎn)。作OFLAC于點(diǎn)凡

AC=IO,

.?.AF=CF=-AC=5

2f

ZOFE=ZDEF=ZODE=90°，

.??四邊形OFEz)是矩形,

:.FE=OD=-AB=6,

2

.?.A￡=AF+FE=5+6=11.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，切線的判定，垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，作出輔助線

是解決本題的關(guān)鍵.

2.(1)證明見(jiàn)解析

(2)AD=6

【分析】⑴連接ODBQ,證明BQC為直角三角形，由點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)可得BE=OE=CE,

所以NEBD=NEDB,證明出/03。=/88后，可以得出

ZODE=ZODB+ZEDB=ZOBD+AEBD=ZABC=90°,所以O(shè)E是半圓。。的切線.

(2)求出BC的長(zhǎng)度后，由30。直角三角形的性質(zhì)可求出AC的長(zhǎng)度，證明.CCE是等邊三

角形后，可得到CD的長(zhǎng)度，由AD=AC-CD即可求出A力的長(zhǎng)度.

【解析】(1)連接0。，BD,如圖，

A3是直徑，

ΛZADB=90O,

.?.ZBDC=90°,

E是BC的中點(diǎn)，

??.DE=BE=EC=>BC

2

..NEBD=NEDB,

OB=OD

.?.NOBD=NODB

.?.ZOBD+ZEBD=NoDB+ZEDB

即/QZ)E=ZA3C=90°

..ODLDE

0。是半徑，

二.DE是半圓。。的切線.

(2)DE=2

.?.BC=2ED=4

Za4C=30°

.?.AC=28C=8

.?.AB=√82-42≈4√3

:.BD=LAB=26

2

.?.AD=^(4√3)2-(2√3)2=6?

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了切線的判定，還用到了等邊對(duì)等角的性質(zhì)及勾股定理，牢固掌握切

線的判定方法和準(zhǔn)確計(jì)算是做出本題的關(guān)鍵.

3

3.(1)見(jiàn)解析；(2)?

2

【分析】(1)根據(jù)角平分線的意義以及等腰三角形等邊對(duì)等角證明AD//CO,即可得出結(jié)論；

(2)由已知得。E=2OC,在RdEOC中，設(shè)CO=x,EROE=2x,由勾股定理得：CE=拒

X,由此能求出AD.

【解析】解：(1)如圖，連接。C,

YAC平分/D4B,

.".ZDAC=ZCAB,

"：OA=OC,

：.ZOCA^ZCAB,

.,.ZOCA=ZDAC,

J.AD//CO,

'：CDLAD,

：.OCLCD,

?.?OC是。。直徑且C在半徑外端，

.?.CO為。O的切線；

(2)解：；直徑AB=2BE,

：.0E=20C,

在RtAEoC中，設(shè)C0=x,即0E=2x,

由勾股定理得：CE=√3x,

又,：CE=6，.?.χ=ι,GPOC=1,

VOC//AD,：?XEOCSXEND,

.?.生=絲，即

ADAEAD3

3

解得AD=；.

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定，平行線的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性

質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵.

25

4.(1)證明見(jiàn)解析；(2)EM=-.

O

【分析】(1)證明NGEr=NGFE,NQAE=NOEA再利用ABLCO,從而可得結(jié)論；

25

(2)連接0C,設(shè)O的半徑為一，先利用勾股定理求解r二?，再證明AHC注AMEO,

再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案.

【解析】解:(1)如圖，連接。E,

A

CD/FH?C

YFG=EG,

：.ZGEF=ZGFE=ZAFH,

?：OA=OE,

：?ZOAE=ZOEA

VCDlAB,

：.ZAFH+ZFAH=90°

：.NG即+NAEO=90。，

??.ZGEO=90°,

.,.GE±OE

???EG是圓。的切線.

(2)連接0C,設(shè)一O的半徑為人

VAΛr=3,CH=4,

:?OH=r—3,OC=r,

?25

即（r-3y+42=/,解得：r=^.

VGM//AC,

：.ZCAH=NM，

??/OEM=ZAHC,

：?AHCS^MEO,

34

.AHHC

即?725,

,Λ~EM~OE

~6

解得：EM=-.

8

經(jīng)檢驗(yàn)：EM=子是原方程的根且符合題意.

O

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用。相似三角形的

判定與性質(zhì)，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)題意，通過(guò)NBGD=NDMA=90o,NDBG=NADM即可證明

ABGDS4DMA；

（2）連接。。，通過(guò)證明0。是二ABC的中位線得到Do//AC,進(jìn)而根據(jù)題意可知OD_LMN,

即可證得直線MN是一O的切線.

【解析】（1）證明：,.?MNVAC,BGLMN,

：.NBGD=NDMA=90°,

二NDBG+ZBDG=90°,

為。的直徑,

ZADB=90°,

二ABDG+ZADM=90°,

：.ADBG=ZADM,

在ABGD和4DMA中，NDBG=ZADM,NBGD=NDMA,

，ABGDSADMA；

(2)證明：連接。。，

,/AZ)是BC邊上的中線，

，BD=DC,

?/OB=OA,

：.￡＞。是:ABC的中位線,

.?.DOIIAC,

?.?MNlAC,

，ODVMN,

；.直線MN是。的切線.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定及切線的判定，熟練掌握?qǐng)A及三角形的相關(guān)綜合

應(yīng)用方法是解決本題的關(guān)鍵.

6.(1)證明見(jiàn)解析；(2)殍-4√3.

【分析】(1)連接0。，由BC是。。的切線，得到NABC=90。，根據(jù)Cf)=C8,OB=OD,

推出NOOC=/ABC=90。，即。。_LCQ,由此證得結(jié)論；

(2)根據(jù)垂徑定理和勾股定理求得3F=g8Z)=26,08=4,由此得到N8OD=2N8OF

=120。，再利用S陰影=S扇形OBD-SABOQ計(jì)算即可得到答案.

【解析】(1)證明：連接。。，如圖所示：

：BC是。。的切線,

.*.ZABC=90o,

?：CD=CB,

；?/CBD=NCDB,

?：OB=OD,

:./0BD=NoDB,

o

：.ZODC=ZABC=90f即。。_LC￡>,

???點(diǎn)。在。。上，

???CZ）為。。的切線；

/C、16",L

（2）--4√3.

解：VOFVBD,

：.BF=WBD=2也,OB=^OF2+BF2=√22+（2√3）2=4,

/.OF=?OB,

,NOBF=30。,

：.ABOF=GOa,

：.ZBOD=2ZBOF=120°,

:.S陰影=S扇形OBD-SABOD=12鬟4：.±×√3×2=-^-4√3?

360443

【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓的切線的判定定理，垂徑定理和勾股定理，利用圓的扇形面積計(jì)算公式

求不規(guī)則圖形的面積，熟練掌握各定理知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.（1）見(jiàn)解析；（2）-π.

3

【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得NABo=NBAO,ZABD=ZD,ZCAD=ZD,

等角代換可得：NBAo=NCAD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角等于90?？傻茫篫BAO+ZCAO

=90°,

繼而可得：ZCAD+ZCAO≈90o,根據(jù)切線的判定即可求證結(jié)論；

（2）由（1）可得：AO=AC,易知AAOC是等邊三角形，繼而根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解析】（1）在，。中，C）A=OB=OC

ΛZABO=ZBAO,

VAB=AD,AC=CD,

ΛZABD=ZD,ZCAD=ZD,

.?.NBAO=NCAD,

?；BC是O的直徑，

ΛZBAO+ZCAO=90°,

ΛZCAD+ZCAO=90o,

.?.AD是。的切線；

(2)由(1)知∕ABO+NBAO=∕D+NCAD即NAc)C=NACO

ΛAO=AC,

XAO=CO,

ΛAAOC是等邊三角形，

，ZAOC=60°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，圓周角定理，等邊對(duì)等角的性質(zhì)、等邊三角形判定及其性質(zhì)，

弧長(zhǎng)公式，解題的關(guān)鍵是(1)證得：ZCAD+ZCAO=90o;(2)求得：ZAOC=60°.

8.(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析

【分析】(1)連接OC,由折疊的性質(zhì)證明OC〃AF,則NOCG=NF=90,由切線的判定

定理即可證明結(jié)論；

(2)連接OC,CB,OD,BD,由垂徑定理得CB=BD,再由直角三角形斜邊上中線的性

質(zhì)得8C=gθG=OB,由四邊相等的四邊形是菱形證明結(jié)論.

【解析】解：(1)如圖，連接OC,

ABLCD9

???ZAEC=90,

?：OA=OC,

???Z1=Z2,

由翻折得，Zl=Z3,N尸=NAEC=90，

J/2=/3,

.?.OC//AF,

?ZOCG=ZF=90,即Oe垂直直線尸C,

?.?點(diǎn)C在圓上，

，直線FC與。。相切；

(2)如圖，連接0C,CB,0D,BD,

.,.BC=-OG=OB,

2

；直徑A8垂直弦8,

?*-CB=BD,

：.CB=BD,

?.?OB=OC=OD,

：.OB=OC=OD=BD,

四邊形OCBo是菱形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的證明，解題的關(guān)鍵是掌握切線的判定定理，菱形的判定定理.

4

9.(1)見(jiàn)解析；(2)-π

【分析】(1)連接。。與BC,交點(diǎn)〃,由AD平分線∕B4C,OA=OD,可得0D〃AC,由

DE±AC,可知DE_L0D,可證EF是切線；

(2)。。是AABC的外接圓，AB是直徑.可得NA8=90。，可證四邊形CEaW是矩

形.CE=2=DM,由垂經(jīng)定理知CM=BM,由中位線得OM=；AC=2,則AO=Bc)=DO=4,

在RtAOA仍中，求ZMOB,利用弧長(zhǎng)公式求BD弧長(zhǎng)即可.

【解析】(1)證明：連接。。與BC,交點(diǎn)

A

???NBAC的平分線交。O于點(diǎn)D，

.?.ZEAD=ZDAF,

???A3是。O的直，

LOA=OB=OD,

???/ADO=NDAF,

.??ZEAD=NADO,

.?.OD//AC,

：?AODF=AE,

?：DEjLAC于E,

ΛZE=90o,

.β.ZODF=90°,

???E尸與。O相切于點(diǎn)￡),

(2)解：Y。。是ΔABC的外接圓，AB是直徑,

ZACB=90o,OA=OB,

由(1)得，ZAED=NoDE=90。,

，四邊形CEDM是矩形，

;AC=2CE=4,

：?DM=CE=2,OMtBC,

：.BM=CM,

???OM=-AC=2

29

：.OD=OM+MD=4f

.?.O8=4,

在RtAOMB中，

…八nOM21

cosZ.MOB=-----=—=一,

OB42

???NMoB=60。，

.60τr?44

??/==TC.

BD1803

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的證明與弧長(zhǎng)問(wèn)題，掌握有切點(diǎn)連半徑證垂直，利用RTAOMB的邊

關(guān)系求出/MOB是關(guān)鍵.

10.（1）見(jiàn)解析；（2）—

【分析】（1）根據(jù)OD_LAC,得到/1+/2=90。,再用同弧所對(duì)的圓周角相等得到/I=NBFC,

然后等量代換得到NOAD=90。，從而證得AD是。O的切線；

（2）利用垂徑定理求得AE的長(zhǎng)，利用勾股定理求得OE的長(zhǎng)，證明A0AEs40DA,相

似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，就可以求出AD的長(zhǎng).

【解析】（I）?.?0D,AC于點(diǎn)E,

ZOEA=90o,Z1+/2=90°.

YND=NBFC,NBFC=Nl,

ΛZD+Z2=90o,

ZOAD=90o,

ΛOA±AD于點(diǎn)A,

「OA是。O的半徑，

.?.AD是。O的切線；

(2)：OD_LAC于點(diǎn)E,AC是。O的弦，AC=16,

???AE=EC」AC=8,

2

?'?OE=√G42-AE2=√102-82=6，

VZD=Zl,NoEA=NoAD=90。，

Rt?OAE0°RtΔODA,

???絲="，即9=且，

OAAD10AD

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理以及垂徑定理，三角形相似的

判定和性質(zhì).熟記有關(guān)的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

H.（1）證明見(jiàn)解析（2）—

【分析】（1）連接OE,過(guò)。作OFJ_PN,如圖所示，利用AAS得到△PEOzaPFO,得到

OF=OE,即可確定出PN與圓0相切；

（2）在RtAPOE中，由NMPC=30°,PE=2√3.得至IJNEOP=60°,OE=2,ZEOB=120°,

利用弧長(zhǎng)公式即可求出劣弧BE的長(zhǎng).

【解析】解：（1）連接0E,過(guò)0作OFLPN,如圖所示，

：PM與圓0相切，

Λ0E±PM,

NOEP=/OFP=90。，

；PC平分NMPN,

ΛZEPO=ZFPO,

在^PEo和^PFO中，

VZEPO=ZFPO,ZOEP=ZOFP,OP=OP,

Λ?PEO^?PFO(AAS),

ΛOF=OE,則PN與圓O相切；

(2)在RtAEPO中，ZMPC=30o,PE=2√3.

.?.NEOP=60°,OE=2,

ΛZEOB=120°,

π,l,,,z1120π×24π

則BE的長(zhǎng)I=皿八=W

?Ov?

考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.弧長(zhǎng)的計(jì)算.

12.（1證明見(jiàn)解析；（2）2.

【分析】（1）連接OD,要證明DC是O的切線，只要證明NODC=90。即可.根據(jù)題意，

可證△OCD絲Z?OCB,即可得NCDO=/CBO=90。，由此可證DC是O的切線；

（2）連接BD,OD.先根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△ADBSAODC,再根據(jù)相

似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得到r的值.

【解析】解：（1）證明：連接OD.

VOA=OD,

ΛZA=ZADO.

VAD√0C,

ΛZA=ZBOC,ZADO=ZCOD,

ΛZBOC=ZCOD.

???在4OBC與AODC中，

OB=OD

[ZBOC=ZDOCF

OC=OC

ΛΔOBC^ΔODC(SAS),

ΛZOBC=ZODC,

又YBC是。的切線，

JZOBC=90o,

???ZODC=90o,

JDC是O的切線；

(2)連接BD.

:在^ADB與^ODC中，

ZA=NCoD

{NAOB=NoQC=90°

Λ?ADB<×>?ODC,

，AD:OD=AB:0C,

ΛAD?OC=OD-AB=r?2r=2r2,SP2r2=8,

故r=2.

13.(1)見(jiàn)解析；(2)√3

【分析】(1)如圖，連接04先由等腰三角形的性質(zhì)證明NoAO=/0D4,再由直徑所對(duì)

的圓周角為直角得出NBAD=90。，然后利用等量代換及互余關(guān)系證明NO4C=90。，則結(jié)論

得證；

(2)先由勾股定理求得AB的長(zhǎng)，則可知AC的長(zhǎng)，再證明NC=30。，然后由三角函數(shù)的定

義得出等式，解出OA的值，即為半徑的值.

【解析】解：(1)證明：如圖，連接04

?,AB=AC,

：.ZABC=ZC.

?：AD=DC,

：.ADAC=AC,

：.ZABC=ZDAC

λ:OA=OD,

：.AOAD=ΛODA,

???B。是直徑，

ΛZBAD=90o,

.,.NA8。+NooA=90。，

ΛZDΛC+ZOΛD=90o,即NoAC=90。，

：.OALCA,

,.?。4是。。的半徑，

???AC為。。的切線.

(2)在Rtb中，由勾股定理得：AB=√BF2-AF2=√52-42=3，

.?AC=AB=3.

VZAOD=2ZABCfZABC=ZC,

：.ZAOD=2ZACB,

YNOAC=90。，

???NA。。+NACB=90。，

ΛZC=30°.

在RIZkOAC中，NOAe=90。，

?\OA=AGtanC

=3tan30o

=6，

。。的半徑為G?

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合思維、等腰三角形與直角三角形、直線與圓有關(guān)

的位置關(guān)系、與圓有關(guān)的計(jì)算、解直角三角形及其應(yīng)用，是中考常考題型.

14.(1)相切，理由見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析.

【分析】(1)連接OD、BD,根據(jù)切線的判定即可求證答案；

(2)易證△BCDSZ?ACB,從而空=0，即BC2=CD?AC,由(1)知DE=BE=CE=JBC,

ACBC2

所以4DE2=CD?AC,從而可證明2DE2=CD?OE;

【解析】解：(1)DE是OO的切線，理由：如圖，

連接OD,BD,YAB是。O的直徑，

JNADB=NBDC=90。，

V0E√AC,OA=OB,

ΛBE=CE,

ADE=BE=CE,

.?.ZDBE=ZBDE,

VOB=OD,

ΛZOBD=ZODB,

ΛZODE=ZOBE=90o,

???點(diǎn)D在。O上，

???DE是。。的切線；

(2):NBDC=NABC=90。，ZC=ZC,

ΛΔBCD^?ACB,

.BCCD

.?---=---，

ACBC

ΛBC2=CD?AC,

?(1)知DE=BE=CE=TBC,

Λ4DE2=CD?AC,

由(1)知，OE是AABC是中位線，

.?.AC=20E,

.?.4DE2=CD?2OE,

Λ2DE2=CD?OE;

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及相似三角形的性質(zhì)與判定，切線的判定，圓周角定理

等知識(shí)，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí).

15.(I)直線BC與。。相切，證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)2√3.

【分析】(1)連接OD,根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)得出/CAD=NOZM,進(jìn)

而得出8〃AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出NOOB=∕C=9(Γ,則可證明直線BC與。。相

切；

(2)首先根據(jù)8//AC可得出AB。。SABCA,進(jìn)而有也=挈，從而求出BE的長(zhǎng)度，

BACA

然后利用勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)度.

【解析】ft?：(1)直線5C與ΘO相切，證明如下：

證明：連接OD

??飛。是NBAC的平分線，

：?NBAD=/CAD.

又??,OD=OAf

：.ZOAD=ZODA.

：.ΛCAD=AODA.

：.OD//AC.

：.NooB=NC=90°,

即ODLBC.

又?.?8C過(guò)半徑。。的外端點(diǎn)D,

???3C與。。相切.

(2)由(1)知OO〃4C.

??△3。OSZ?3CA.

.BODO

'~BA~~CA

??。。的半徑為2,

?.D0=0E=2,AE=4.

.BE+22

*BE+4^^3*

?BE=2.

.?.BO=4,

在RsBDO中，BD=√BO2-OD2=2√3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的綜合問(wèn)題，掌握切線的判定方法，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的

判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

16.(1)詳見(jiàn)解析；(2)?

【分析】(1)如下圖，連接OB,證OB〃EC,從而得出OB_LAE,故而得證；

(2)ι≡?OAB^ΔCAE,從而得出用X表示AE的長(zhǎng)，利用AE=8解得X即可.

【解析】(1)連結(jié)。B

在：。中，OB=OC,

:.ZOBC=ZOCB.

CB平分NACE,

.?.ZOCB=ZBCF.

../OBC=NBCF

:.OB//CE.

.ZAEC=90。，

.?.ZOBA=ZAEC=90°.

.?OB±AE.

.?.AE是。的切線.

(2)如下圖

?,?設(shè)AB=4x,則AO=5x

???在Rt^OAB中，OB=3x

ΛOC=3x,AC=8x

???NOBA=NCEA=90。，ZA=ZA

ΛΔOAB^ΔCAE

.?.-解得:AEA

ABOA5

325

?.?7=8,解得：x=ι

.?.圓的半徑κ3x=^

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查證圓的切線、利用相似求解，還用到了三角函數(shù)的知識(shí)，解題關(guān)鍵是證明

出OB_LAE.

17.(1)見(jiàn)解析;(2)AC=-.

【分析】(1)連接。力，根據(jù)OD=OC,AB=AC,i?WZOCD=ZODC=AB,得至IJe)D〃AB,

根據(jù)EF±AB即可得到OD_LEF,由此得到結(jié)論；

(2)設(shè)OD=r,則FO=5+廠，證明△FODs^FAE,求出r,即可得到AC.

【解析】(1)連接02

OD=OC,AB=AC,

：.ZOCD=ZODC=ZB,

:,OD//AB,

.EF±AB,

ODLEF,

.；EF是。的切線；

⑵設(shè)OD='，貝IJFo=5+r,

ODHAB,

:.FOD-FAE,

AEODr2

/.——=——,即hπ----=-

AFOFr+55

解得廠=5，

20

則AC=2r=-.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓的切線的判定定理，圓的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì).

3

18.（1）見(jiàn)解析；（2）SinZABC=j.

【分析】（1）連接NO,過(guò)點(diǎn)O作OELAC于點(diǎn)E,由AB=Ac,可得NABC=/ACB,結(jié)合

OB=OC,證明NOBC=NoC8,利用角平分線的性質(zhì)可得No=EO,則結(jié)論得證；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MF_LBC于點(diǎn)F,連結(jié)OM,ON,證得BM=BN=；BC,設(shè)BC=a,CF=b,

則MF=Jb,BF=a-b,BM=Ja,可得（〃-價(jià)?=L/,解方程得b=。。，可求出答案.

22445

【解析】（1）證明：如圖1,連接N0,過(guò)點(diǎn)。作0EL4C于點(diǎn)E,

圖1

?,AB=AC,

：.ZABC=ZACBf

???。。分別切A5于M,BC于N,

??0Nl.BC,NABO=NCBO,

OB=OC,

.?.NOBC=NOC氏

：.ZOCB=ZOCA,

9

：ONLBCfOELAC,

：.NO=EO9

???AC是。。的切線；

(2)解：如圖2,過(guò)點(diǎn)M作MBC于點(diǎn)R連結(jié)OM,ON,

?：0M=ON,OB=OB,ZBMO=NBNo=90。,

：.Rt?BoMmRtABON(HL),

IBM=BN,

VOB=OC,ONlBC,

：.BN=CN=/BC,

：.BM=-BC

2

VtanZMCB=-=~

CF2

.,.MF=-CF

2f

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