2021年新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題及答案

1.已知集合力={—5<x<l},5={X|X2<4},則2口6=

A.(2,3)B.[2,3)

C.(-2,1)D.[-2,1)

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足(l+i)z=l,則z的虛部為

A.—B.—1

2

11.

C.——D.——i

22

3.已知l-sin(e+g)=cos(5-6),則cos?1+的值為

21

A.-B.-

33

C.逅D.3

33

4.某市政府決定派遣8名干部(5男3女)分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求

每組至少3人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有

A.240種B.320種

C.180種D.120種

5.下列命題中的真命題是

A.VXEN,x2>1

h

B.命題，勺。/€&,—+—>2”的否定

ab

C.“直線4與直線4垂直”的充要條件是“它們的斜率之積一定等于-1”

22

D.“加〉-1”是“方程」-----匚=1表示雙曲線'’的充分不必要條件

2+加加+1

6.函數(shù)/熾)=叱的大致圖象是

x

7.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代張蒼、耿壽昌所撰寫(xiě)的一部數(shù)學(xué)專(zhuān)著.是《算經(jīng)十書(shū)》中最重要的一部，其中將有

三條棱互相平行且有一個(gè)面為梯形的五面體稱(chēng)之為“羨除”，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是

A.“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形B.“羨除”一定不是臺(tái)體

C.不存在有兩個(gè)面為平行四邊形的“羨除”D.“羨除”至多有兩個(gè)面為梯形

8.已知函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x<0時(shí)、函數(shù)/(x)=xe'+l,若關(guān)于x的函數(shù)

F(x)=[/(x)]2-(?+l)/(x)+a恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

A.B.(-oo,-l)U(l,+℃)

C.D.U[l,+°°)

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求,

全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知,>L>0,貝！]

ab

A.a3>b3B.問(wèn)〉回

。衿皿>以

22

10.已知6、與是雙曲線C：=_二=1的上、下焦點(diǎn)，點(diǎn)M是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且

42

以線段片鳥(niǎo)為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)“，則下列說(shuō)法正確的是

A.雙曲線。的漸近線方程為y=±J5x

B.以可鳥(niǎo)為直徑的圓的方程為/+/=2

c.點(diǎn)河的橫坐標(biāo)為土J5

D.△〃尸|鳥(niǎo)的面積為2G

11.在公比為4等比數(shù)列｛叫中，s,是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，若6=1必=27電，則下列說(shuō)法正確的是

A.q=3B.數(shù)列｛S.+2｝不是等比數(shù)列

C.$5=120D.21ga?=1gan_2+1gan+2(?S3)

12.某同學(xué)在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，受兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā)，將/(x)變形

2222

為/")=iy(x_0)+(0-l)+^(X-2)+(0-1)，則下列關(guān)于函數(shù)/(x)的描述正確的是

A.函數(shù)/(X)在區(qū)間［1,m)上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/(x)的圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形

C.函數(shù)/(X)的值域是［2后,+8)

D.方程/(/(x))=l+若無(wú)實(shí)數(shù)解

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=(-1,加)，3=(2,-3),若+則加=.

14.二項(xiàng)式(4-工)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是.

X

15.將函數(shù)/(x)=sin2x+JJcos2x的圖象沿x軸向左平移夕(夕＞0)個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，

若g(x)為偶函數(shù)，則。的最小值為.

16.已知矩形ABCD滿(mǎn)足/6=2百，AD=2,若將48。沿5。翻折到的位置，使得

平面_L平面8cP,M,N分別為4'D,8c的中點(diǎn)，則直線被四面體BCD的外接球

所截得的線段長(zhǎng)為

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（10分）

從①。=3,②③3sinfi=2sin/l這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中.若問(wèn)題中的三

△/loc2

角形存在，求出b的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.

問(wèn)題：是否存在△Z8C,內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且c=0T，3ccos8=3a+2"?

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答記分.

18.（12分）

已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)的和為S”,且滿(mǎn)足S,=2%—1（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛&,,｝的通項(xiàng)公式凡及S“.

（2）若數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足"=|S,-15|,求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)的和葉.

19.（12分）

東莞的輕軌給市民出行帶來(lái)了很大的方便，越來(lái)越多的市民選擇乘坐輕軌出行，很多市民都會(huì)開(kāi)汽車(chē)到離

家最近的輕軌站，將車(chē)停放在輕軌站停車(chē)場(chǎng)，然后進(jìn)站乘輕軌出行，這給輕軌站停車(chē)場(chǎng)帶來(lái)很大的壓力.某

輕軌站停車(chē)場(chǎng)為了解決這個(gè)問(wèn)題，決定對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)停車(chē)施行收費(fèi)制度，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：4小時(shí)內(nèi)（含4小時(shí)）

每輛每次收費(fèi)5元；超過(guò)4小時(shí)不超過(guò)6小時(shí)，每增加一小時(shí)收費(fèi)增加3元；超過(guò)6小時(shí)不超過(guò)8小時(shí)，

每增加一小時(shí)收費(fèi)增加4元，超過(guò)8小時(shí)至24小時(shí)內(nèi)（含24小時(shí)）收費(fèi)30元；超過(guò)24小時(shí)，按前述標(biāo)

準(zhǔn)重新計(jì)費(fèi).上述標(biāo)準(zhǔn)不足一小時(shí)的按一小時(shí)計(jì)費(fèi).為了調(diào)查該停車(chē)場(chǎng)一天的收費(fèi)情況，現(xiàn)統(tǒng)計(jì)1000輛車(chē)

的停留時(shí)間（假設(shè)每輛車(chē)一天內(nèi)在該停車(chē)場(chǎng)僅停車(chē)一次），得到下面的頻數(shù)分布表：

T（小時(shí)）(0,4](45](5,6]（6，刀(7,8](8,24]

頻數(shù)（車(chē)次）10010020020035050

以車(chē)輛在停車(chē)場(chǎng)停留時(shí)間位于各區(qū)間的頻率代替車(chē)輛在停車(chē)場(chǎng)停留時(shí)間位于各區(qū)間的概率.

（1）現(xiàn)在用分層抽樣的方法從上面1000輛車(chē)中抽取了100輛車(chē)進(jìn)行進(jìn)一步深入調(diào)研，記錄并統(tǒng)計(jì)了停車(chē)

時(shí)長(zhǎng)與司機(jī)性別的2x2列聯(lián)表:

男女合計(jì)

不超過(guò)6小時(shí)30

6小時(shí)以上20

合計(jì)100

完成上述列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為“停車(chē)是否超過(guò)6小時(shí)”與性別有關(guān)？

(2)(i)X表示某輛車(chē)一天之內(nèi)(含一天)在該停車(chē)場(chǎng)停車(chē)一次所交費(fèi)用，求X的概率分布列及期望￡(才)；

(ii)現(xiàn)隨機(jī)抽取該停車(chē)場(chǎng)內(nèi)停放的3輛車(chē)，自表示3輛車(chē)中停車(chē)費(fèi)用大于少(才)的車(chē)輛數(shù)，求產(chǎn)(J22)的

概率.

參考公式及數(shù)據(jù)：H———c——其中〃=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2?30.400.250.150.100.050.025

"o0.7801.3232.0722.7063.8415.024

20.(12分)

如圖，四棱錐P—力88中，四邊形是菱形，P4=PC,BD上P4,E是BC上一點(diǎn)、，且EC=3BE,

設(shè)NCfW=。.

(1)證明：PO,平面力BCD；

(2)若NB4D=60°,PALPE,求二面角Z-PE-C的余弦值.

21.(12分)

已知橢圓。：m+，=1(4>6>0)的離心率為等，其左、右焦點(diǎn)分別為大，鳥(niǎo)，點(diǎn)尸為坐標(biāo)平面內(nèi)的

f3TT3

一點(diǎn)，且OP=一，PFfPF,=一一，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

24

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)〃為橢圓C的左頂點(diǎn)，A,8是橢圓C上兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線M4,MB的傾斜角分別為￡,

1T

且a+4=],證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

22.(12分)

已知函數(shù)/(x)=e%x+a),其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aeR.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)g(x)=/(x-a)-x2,討論函數(shù)g(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

1.D【解析】因?yàn)?={x|—5<x<l},8=卜上244}={川—24x42},所以/n8={x|—2?x<l}.

2.C【解析】由（l+i）z=l得z=±i=，=；一gi，所以z的虛部為一g.故選C.

3.A【解析】因?yàn)?-sin[。+《）=cos1]—6）,所以i-；sin6-^^cos6=sin8，所以

—sin0+cos0-\所以sin（e+^J=,所以?052（夕+不）=1一5畝2（6+石）=1一§=§,

故選A.

4.C【解析】?jī)山M至少都是3人，則分組中兩組的人數(shù)分別為3、5或4、4,又因?yàn)?名女干部不能單

（Q4、

獨(dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為仁+甘-1人；=180.故選?.

IA2）

5.D【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)x=0時(shí)，Vzi不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,命題“三凡beR,2+色＞2”的否定是“\/41€&2+色《2”，當(dāng)。=3,6=1不成立,

abab

故B錯(cuò)誤：

對(duì)于選項(xiàng)C,當(dāng)一直線斜率為0,另一直線斜率不存在時(shí)，“它們的斜率之積一定等于-1”不成立，故C

錯(cuò)誤；

22

對(duì)于選項(xiàng)D,由方程」-----匚=1表示雙曲線等價(jià)于（2+加）（加+1）＞0,即掰＜—2或加＞一1,所

2+加m+\

以“加＞-1”是“方程廣-----匕一=1表示雙曲線”的充分不必要條件，故D正確.故選D.

2+加〃？+1

【解析】/（X）的定義域?yàn)椴穔#0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且/（T）=皿=-叱=_/（X），.??/（X）

6.B

-XX

為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A,C錯(cuò)誤；當(dāng)x＞0時(shí)，為（x）=2（l”x）,故當(dāng)xe（0,e）時(shí),

/'（x）＞0,/（x）單調(diào)遞增，當(dāng)xe（e,+8）時(shí)，/'（x）＜0,/（x）單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤，B正確.故選

B.

7.D【解析】如圖所示，AEHBFHCD,四邊形NCDE為梯形.

對(duì)選項(xiàng)A,由題知：“羨除”有且僅有兩個(gè)面為三角形，故A正確；

對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)锳EHBFHCD,所以“羨除”一定不是臺(tái)體，故B正確;

對(duì)選項(xiàng)C,假設(shè)四邊形NBbE和四邊形8。尸為平行四邊形，

則AE//BF/CD,AE=BF=CD,則四邊形4C0E為平行四邊形,

與已知四邊形為梯形矛盾，故不存在，C正確.

對(duì)選項(xiàng)D,若貝IJ“羨除”有三個(gè)面為梯形，故D錯(cuò)誤.

故選D.

8.C【解析】F(x)=(/(x)-l)(/(x)-4)=0,/(x)=l或/(x)=a,

x<0時(shí),f(x)=xex+1<1,f(x)=(x+l)eA?

x<-l時(shí),f'(x)<0,/(x)遞減，T<x<0時(shí),f\x)>0,/(x)遞增,

.../(x)的極小值為"-1)=1」,又/(x)<l,因此/(x)=l無(wú)解.

e

此時(shí)/(x)=a要有兩解，則1一2<。<1,

e

又/(X)是奇函數(shù)，...x〉。時(shí)，/(x)=l仍然無(wú)解，/(X)=a要有兩解，則—1<》<，一1.

e

綜上,—])u(l—,1].

故選C.

9.CD【解析】：〉0,6〉a〉0,???〃>/,A錯(cuò)誤；<網(wǎng)，B錯(cuò)誤；g>1,C正確；,

D正確.故選CD.

22

10.ACD【解析】由雙曲線方程匕—土=1知a=2,b=JL焦點(diǎn)在y軸，漸近線方程為丁=±3》=±缶,

42b

A正確；c7a2〃=&，以1月為直徑的圓的方程是Y+/=6,B錯(cuò)；由

X=—y/2i—

,由對(duì)稱(chēng)性知M點(diǎn)橫坐標(biāo)是土亞，C正確;

歹=一2

S/ug=；|月眉除|=；*26*及=20，D正確.故選ACD.

11.ABD【解析】因?yàn)椋?1嗎=27%，所以有qd=27q?夕ng，=27=>夕=3,因此選項(xiàng)A正確；因?yàn)?/p>

S+2!(3'"+3)2

工=片=和"一1)'所以5〃+2=m+24(3"+3)'因?yàn)?--------=1+中廣常

1-323〃十幺—(3w+3)?十J

數(shù)，所以數(shù)列｛s,,+2｝不是等比數(shù)列，故選項(xiàng)B正確：因?yàn)镾s=；(35-1)=121,所以選項(xiàng)C不正確;

%=囚=3"’>°，因?yàn)楫?dāng)"23時(shí)，Iga“_2+lga“+2=lg(a"-2q+2)=lga/=21gq,，所以選項(xiàng)D正

確.故選ABD.

12.ACD【解析】設(shè)2(0,1),8(2,1),f(x)=J(x—O)2+(O—iy+J(x—2)2+(0-表示x軸上點(diǎn)

P(x,0)到48兩點(diǎn)的距離之和，設(shè)。(L0),以A,B為焦點(diǎn)、,。為短軸上一個(gè)端點(diǎn)，作橢圓，x軸與

此橢圓相切于點(diǎn)0,當(dāng)尸從。向右移動(dòng)時(shí)，|/訓(xùn)+|。用逐漸增大，即函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)

遞增，A正確；當(dāng)尸與°重合時(shí)，|/訓(xùn)+|尸8|最小，最小值為2夜，因此/(x)的值域是［2后,+8),

C正確；函數(shù)圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，不是中心對(duì)稱(chēng)是，B錯(cuò)誤；當(dāng)x=0或x=2時(shí)，/(x)=l+V5，

由于/(x)22jl，因此/(幻=0和〃x)=2都無(wú)解，D正確.故選ACD.

QMP

13.8【解析】因?yàn)椤?(—1,加)，3=(2,-3),所以￡+25=(3,加一6).因?yàn)?￡+2B)_L5,所以

a+2b\-b=6-3(m-6)=0,解得加=8.

14.15【解析】因?yàn)椋?一工）6的展開(kāi)式的通項(xiàng)是C；（J7嚴(yán)卷，當(dāng)3—主=0時(shí)，廠

xx2

=2,所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是C；（-iy=15.

15.【解析】函數(shù)/（》）=而2乂+氐052工=2應(yīng)吟+§,將函數(shù)/（x）的圖象沿x軸向左平移8個(gè)單位

后，得到函數(shù)y=2sin（2x+2s++的圖象，因?yàn)間（x）為偶函數(shù)，所以2。+。=版■+與丘Z）,則

k冗冗TT

夕=晝+丘（左eZ）.當(dāng)左=0時(shí)，＜P=~-

原

16.【解析】過(guò)M做于點(diǎn)P,連接PN,因?yàn)槠矫嫫矫?co，所以MPJ.PN,可

2

求得MP=Y3，8P=3,所以。P=3,在三角形。/W中，NPDN=30°,DN=6,所以PN=立,

2222

所以加乂=業(yè)1,由題意可知，四面體力BCD的外接為8。中點(diǎn)，設(shè)為。，過(guò)。做的_LW于，，連

2

接ON,可求得ON=1,從而得剛=叵，所以0。=、1^=啦,因?yàn)榍虻陌霃綖?,故所截得的

4V164

線段長(zhǎng)為2

17.(10分)

【解析】解法1：由正弦定理，得3sinCcos5=3sin[7r-(5+C)]+2sin^,

2

整理得3sia5cosc+2sin8=0.因?yàn)閟inHrO,所以cosC=---.(5分)

3

解法2：由3ccos3=3a+2b,得34ccos5=3〃2+2Qb,

2222222

由余弦定理，得3(a+c-i)=6a+4abt整理得3^a+c-b)=4ah,

2

BP3abcosC+2ab=0.所以COsC=---.(5分)

3

選①Q(mào)=3.由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos=>21=9+/)2-6x/)x

所以〃+4b?12=0,解得方=2或b=?6(舍去)，

所以問(wèn)題中的三角形存在.(10分)

選②5=-absmC=-abx—=—,故M=9,(7分)

8c2"AcBC2232

由余弦定理可得c2+a2+b2-2abcosC^>21=a2+b2+~a^>又a2+b2>2ab,

4in

所以21=/+b2+-ab>yab^ab<6,3,與必=9矛盾，

所以問(wèn)題中的三角形不存在.(10分)

選③3sin8=2sirL4.由正弦定理得，3sin5=2sin/l=>3b=2a,(7分)

71

由余弦定理可得。2=〃+岳-2“6cosc=2l=—b2,

4

所以6=2或6=-2(舍去)，

所以問(wèn)題中的三角形存在.(10分)

18.(12分)

【解析】(1)由S,,=2a“—1得：$=24-1,即q=l,

由S,=2a”-1得:5n+1=2an+1-l,兩式相減得：an+l=2an+i-2a?,

即%+1=24，即數(shù)列｛%｝是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，(4分)

則%=2"，

貝US=上三一=2"—1.(6分)

"1-2

,‘16—2"

(2)由⑴知：b?=2"-16,則〃=4，

2"-16(〃>4)

則當(dāng)時(shí)，7；,=(16-2')+(16-22)+---+(16-2Z,)

=16?-(2'+22+---+2n)=16?-)

=16M-2,,+1+2：(9分)

當(dāng)〃〉4時(shí)，

7；,=(16-2')+(16-22)+---+(16-24)+(25-16)+(26-16)+(27-16)+---+(2,,-16)

=27；+(2'+22+---+2,,)-16n

=2x34+20—216〃=2旬-16/+66，

1-2

16?-2,,+|+2(1<?<4)

則（,="''.(12分)

2"“—16〃+66(〃>4)

19.(12分)

100+100+200

【解析】（1）由題,不超過(guò)6小時(shí)的頻率為0.4,則100輛車(chē)中有40輛不超過(guò)6小時(shí),60

1000

輛超過(guò)6小時(shí)，（2分）

則2x2列聯(lián)表如下:

男女合計(jì)

不超過(guò)6小時(shí)103040

6小時(shí)以上204060

合計(jì)3070100

根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得小1篇*0**0.794<2,06

所以沒(méi)有超過(guò)90%的把握認(rèn)為“停車(chē)是否超過(guò)6小時(shí)”與性別有關(guān).（5分）

(2)(i)由題意知：X的可取值為5,8,11,15,19,30,則

尸(X=5)=*(X=8)=>(X=ll)q,尸(X=15)=g，

71

P(Jf=19)=—,P(^=30)=—.(7分)

所以X的分布列為：

X5811151930

1171

?(X)

1010552020

（8分）

A￡(^)=5x—+8x—+llxl+15x-+19x—+30x—=14.65.(9分)

v71010552020

1713（31。分）

（ii）由題意得P（X>14.65）干宗赤'所以"中"（1

5

所以P（*2）=P（-）+P（-固（|）+0二啜/備喘<2分）

20.（12分）

【解析】（1）???四邊形力8C。是菱形，二。是ZC的中點(diǎn)，BDLAC,

'：BD1PA，&口/。=/，二80，平面P4C,（2分）

?.?。。匚平面以。，，8。，尸。.

?:PA=PC,。是NC的中點(diǎn)，二尸OJ.4C.

?；ZCu平面Z8C。，80U平面力8C7）,AC^BD^O,

，PO_L平面N8CD.（5分）

（2）由（1）知，PO_L平面/BCD,BD1.AC.

...以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)N,OB,0。所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)四邊形力88的邊長(zhǎng)為4,PO=a.

?.?四邊形/BCD是菱形，NR4。=60。，；.A4BD與ABCD都是等邊三角形.

?*-OA=OC=2^5.

.-.P（0,0,a）,碓百,0,0）,C（-2A/3,0,0）,E,-,0,

[22,

PA=^2^3,0,—,PE=3,—Q,EC=f—^^-，―^-,0.（7分）

<22）（22,

VPA_LPE,**?PA-PE=^2>/3,0,—<2^,f—=0,

7

即一3+a2=0，得a=G-

一亭，|，同（9分）

???莎=(230,-G),~PE=

7

設(shè)平面P4E的法向量為五=（%，M，zJ,

m-PA=2上x(chóng)「A/3Z]=0/

5百、

由<_3，取Z1=2,得加=1,/；

r3

tn.pE=--X{+-yl-^zi=QI7

設(shè)平面PEC的一個(gè)法向量為〃=（/，為,Z2）,

無(wú)比=_述》3

2一5?2二°

2

由，,取》2=_1，得〃=.

n.PE=-^-

X2+5y2-2~0

2

設(shè)二面角N-PE-C的平面角為。，由圖可得，。為鈍角,

m?，7

貝ijcos0=-

網(wǎng)洞

...二面角4-PE-C的余弦值為—姮.（12分）

5

21.(12分)

【解析】（1）設(shè)尸（加,〃），耳（-c,0）,F2（C,0）,

由|。尸|=3,PF/PF,=-3可得nt?+"2=2,(-c-m,-n)(c-m,

11244

\222923

-w)=m-c+n=——c=——,

44

即有。2=3,即。=百，（2分）

又e=一字可得-2,底戶(hù)7=1

2

則橢圓的方程為二+歹2=1.（4分）

4-

（2）設(shè)4占，乂），B（x2,y2）,由題意可得”（—2,0）,

若直線AB的斜