專題05 三角函數(shù)（解析版）2024年高考數(shù)學(xué)一模試題分類匯編（新高考新題型專用）

第第頁專題05三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)1．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）的一個(gè)充分不必要條件是.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合充分不必要條件即可求解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，由可得,故的一個(gè)充分不必要條件是，故答案為：（答案不唯一）2．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）英國著名數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒（TaylorBrook）以微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)的定理著稱于世泰勒提出了適用于所有函數(shù)的泰勒級數(shù)，泰勒級數(shù)用無限連加式來表示一個(gè)函數(shù)，如：，其中．根據(jù)該展開式可知，與的值最接近的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】觀察題目將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，再將弧度制與角度制互化，結(jié)合誘導(dǎo)公式判斷即可.【詳解】原式，故選：C.3．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）若，則．【答案】/【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式有，即可求值.【詳解】.故答案為：4．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）下列說法正確的是（

）A．B．若圓心角為的扇形的弧長為，則扇形的面積為C．終邊落在直線上的角的集合是D．函數(shù)的定義域?yàn)?，為該函?shù)的一個(gè)周期【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號可判斷出A正確；根據(jù)扇形弧長和面積公式可知B正確；由終邊相同的角的集合表示方法可知C錯(cuò)誤；根據(jù)正切型函數(shù)定義域和周期的判斷方法可知D正確.【詳解】對于A，均為第二象限角，，，，A正確；對于B，設(shè)扇形的半徑為，則，解得：，扇形的面積，B正確；對于C，終邊落在直線上的角的集合為，C錯(cuò)誤；對于D，由得：，的定義域?yàn)?；又，是的一個(gè)周期，D正確.故選：ABD.5．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎瘮?shù)，若，是銳角的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出，由的單調(diào)性即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)椋卿J角的兩個(gè)內(nèi)角，所以，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故，故D正確.同理可得，C錯(cuò)誤；而的大小不確定，故與，與的大小關(guān)系均不確定，所以與，與的大小關(guān)系也均不確定，AB不能判斷.故選：D6．（2024·河北·校聯(lián)考一模）在中，若，則（

）A．對任意的，都有B．對任意的，都有C．存在，使成立D．存在，使成立【答案】AD【分析】根據(jù)給定條件，舉例說明判斷BD；構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性判斷AC.【詳解】在中，當(dāng)時(shí)，，取，則，，，，則，B錯(cuò)，D對；顯然，即，則，令，，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，即，從而，A對，C錯(cuò).故選：AD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及不同變量的數(shù)式大小比較，細(xì)心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，分析并運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.兩角和與差的三角函數(shù)7．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式和誘導(dǎo)公式即可.【詳解】,所以，故選：A.8．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用換元法，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式等知識求得正確答案.【詳解】設(shè)，則.故選：A9．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)和差角公式以及誘導(dǎo)公式可得，由輔助角公式以及二倍角公式即可求解.【詳解】由得，進(jìn)而可得，結(jié)合輔助角公式得，則，故選：B.10．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知是第二象限角，，現(xiàn)將角的終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到角，若，則．【答案】/【分析】由兩角和的正切公式先得，進(jìn)一步由兩角差的正切公式即可求解.【詳解】由題意，且，，解得，所以.故答案為：.11．（2024·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？家荒＃┮阎?，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由已知條件求出的值，再利用三角函數(shù)恒等變換公式求出的值，然后對利用兩角和的正弦公式化簡計(jì)算即可【詳解】由，得，所以，，所以，故選：A12．（2024·江西吉安·吉安一中?？家荒＃┮阎?，且，則可能為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由得，化簡后可求出，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求出.【詳解】由，得，所以，所以，整理得，，所以或，所以或，①當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，②?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，③?dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，由于，所以解得，綜上，，或，或，故選：B13．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的最小正周期為．(1)求的值，并寫出的對稱軸方程；(2)在中角的對邊分別是滿足，求函數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)，再根據(jù)周期求出的值,利用整體法即可求解對稱軸.（2）把已知的等式變形并利用正弦定理可得，故，故，根據(jù)正弦函數(shù)的定義域和值域求出的取值范圍．【詳解】（1）．，．故令，解得，故對稱軸方程為：（2）由得，．，，,．，，，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)14．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若的圖象關(guān)于直線對稱，則【答案】BC【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、整體法逐一判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由，最小正周期，A錯(cuò)；由，即是對稱中心，B對；由，則，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；由題意，故，D錯(cuò).故選：BC15．（2024·吉林延邊·統(tǒng)考一模）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到曲線，若關(guān)于軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】得出平移后的方程后，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】結(jié)合題意可得，因?yàn)榍€關(guān)于軸對稱，所以，解得,因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值.故選：B.16．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．當(dāng)時(shí)，的最小正周期為B．當(dāng)時(shí)，的最小值為C．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn)D．若在上單調(diào)遞減，則【答案】AB【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性、含的二次項(xiàng)函數(shù)的值域、三角函數(shù)的零點(diǎn)、單調(diào)性等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以的最小正周期為，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，令，解得或，此時(shí)或或，在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，設(shè)，在上單調(diào)遞減，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在上單調(diào)遞增，所以，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB17．（2024·湖南長沙·雅禮中學(xué)校考一模）已知函數(shù)f(x)=sin(>0)滿足:f()=2,f()=0,則(

)A．曲線y=f(x)關(guān)于直線對稱 B．函數(shù)y=f()是奇函數(shù)C．函數(shù)y=f(x)在(,)單調(diào)遞減 D．函數(shù)y=f(x)的值域?yàn)閇-2,2]【答案】ABD【分析】用輔助角公式化簡,再利用,得出的取值集合,再結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】,所以函數(shù)的值域?yàn)?故D正確；因?yàn)?所以,所以，因?yàn)?所以,所以，所以,即，所以，因?yàn)?，所以曲線關(guān)于直線對稱,故A正確；因?yàn)榧?，所以函?shù)是奇函數(shù),故B正確；取,則最小正周期,故C錯(cuò)誤.故選：ABD18．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）如圖，點(diǎn)是函數(shù)的圖象與直線相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，且，則（

）A．B．C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．若將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則的最小值為【答案】ACD【分析】令求得根據(jù)求得，根據(jù)求得的解析式，再逐項(xiàng)驗(yàn)證BCD選項(xiàng).【詳解】令得，或，，由圖可知：，，，所以，，所以，所以，故A選項(xiàng)正確，所以，由得，所以，，所以，，所以，，故B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵跒闇p函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，故C正確；將函數(shù)的圖象沿軸平移個(gè)單位得，（時(shí)向右平移，時(shí)向左平移），為偶函數(shù)得，，所以，，則的最小值為，故D正確.故選：ACD.19．（2024·重慶·統(tǒng)考一模）已知的部分圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，的最大值為．

【答案】【分析】由圖象求出函數(shù)的解析式，然后利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】因?yàn)?，設(shè)，由圖可知，函數(shù)的最小正周期為，則，又因?yàn)?，則，因?yàn)?，可得，所以，，則，則，當(dāng)時(shí)，，故.故答案為：.20．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）函數(shù)（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．函數(shù)的最小正周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度以后，所得的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】AC【分析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，代值計(jì)算可判斷A選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的周期性可判斷B選項(xiàng)；利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷C選項(xiàng)；利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項(xiàng).【詳解】由圖可知，，函數(shù)的最小正周期滿足，則，，B錯(cuò)；所以，，，可得，因?yàn)?，所以，，則，可得，所以，，則，A對；，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C對；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度以后，得到函數(shù)的圖象，所得函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，D錯(cuò).故選：AC.21．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)，該圖象上最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的最近距離為5，且點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱點(diǎn)，則和的值可能是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意首先得，進(jìn)一步由，對比選項(xiàng)即可得解.【詳解】由題意函數(shù)的周期滿足，，所以，又點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對稱點(diǎn)，所以，所以或，對比選項(xiàng)可知，只有當(dāng)時(shí)滿足題意.故選：D.22．（2024·廣東深圳·?？家荒＃┮阎瘮?shù)的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】由周期公式求得，結(jié)合換元法即可求得最大值.【詳解】由題意，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.故選：C.23．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）若函數(shù)在上至少有兩個(gè)極大值點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】先求出極大值點(diǎn)表達(dá)式，利用題干條件列不等式賦值求解.【詳解】令，，得的極大值點(diǎn)為，，則存在整數(shù)，使得，解得．因?yàn)楹瘮?shù)在兩個(gè)相鄰的極大值點(diǎn)之間有兩個(gè)零點(diǎn)，所以．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．又，所以的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，求出并賦值計(jì)算是解決問題關(guān)鍵.24．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動稱為“簡諧運(yùn)動”．在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，某個(gè)簡諧運(yùn)動可以用函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．，頻率為，初相為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在上的值域?yàn)镈．若把圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位，則所得函數(shù)是【答案】BCD【分析】根據(jù)圖象求出三角函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)以及函數(shù)平移的原則即可判斷.【詳解】由圖象可得，頻率是，即，，對于A，，初相是，故A錯(cuò)誤；對于B，，故B正確；對于C，因?yàn)?，所以，在上的值域?yàn)?，故C正確；對于D，把的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的函數(shù)為，又向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)為，故D正確；故選：BCD.解三角形25．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，為了測量某濕地A，B兩點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)C，D，E．從D點(diǎn)測得∠ADC＝67.5°，從C點(diǎn)測得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，從E點(diǎn)測得∠BEC＝60°．若測得DC＝2，CE＝(單位：百米)，則A，B兩點(diǎn)的距離為（

）A． B．2C．3 D．2【答案】C【分析】在中，求得；在中，利用正弦定理求得；再在中，利用余弦定理即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，則∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，則AC＝DC＝2，在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝，則∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，則有＝，變形可得BC＝＝＝，在中，AC＝2，BC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，則AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，則AB＝3．故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用正余弦定理解三角形，涉及距離的求解，屬基礎(chǔ)題.26．（2024·廣東深圳·?？家荒＃┰凇鰽BC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，則cosA＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知結(jié)合余弦定理進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】解：因?yàn)閏＝2acosA，由余弦定理可得，將a＝3，b＝5代入整理得，所以.故選：D.27．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考一模）在銳角中，角所對的邊分別為，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．的取值范圍為C．的取值范圍為D．的最小值為【答案】AC【分析】用正弦定理可判斷A項(xiàng)，由銳角三角形可判斷B項(xiàng)，用倍角公式可判斷C項(xiàng)，切化弦后用取等條件即可判斷D項(xiàng).【詳解】在中，由正弦定理可將式子化為，把代入整理得，，解得或，即或（舍去），所以，選項(xiàng)正確；選項(xiàng)：因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，由解得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：，因?yàn)?，所以，，即的取值范圍為，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等，但因?yàn)?，所以，無法取到等號，故D錯(cuò).故選：AC.28．（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求；(2)若，且的周長為，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求邊長；（2）應(yīng)用余弦定理及已知得且，進(jìn)而求得，最后應(yīng)用面積公式求面積.【詳解】（1）由題設(shè)，由正弦定理有，所以，而，故，又，所以.（2）由（1）及已知，有，可得，又，即，所以，故.29．（2024·廣西南寧·南寧三中校聯(lián)考一模）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求角的大??；(2)若，求周長的最大值．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)題意利用正、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）根據(jù)，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，整理得，由余弦定理可得，且，所?（2）由（1）可知：，整理得，即，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則，可得，即，所以周長的最大值為.30．（2024·山東濟(jì)南·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┰谥校瑑?nèi)角的對邊分別是，且.(1)求的值；(2)若的周長為18，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解;（2）由余弦定理解方程得邊長，再利用面積公式求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以因?yàn)?，所以，則.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，解?因?yàn)榈闹荛L為18，所以，解得，則.故的面積為.31．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）在中，內(nèi)角所對的邊分別是，已知．(1)求角；(2)設(shè)邊的中點(diǎn)為，若，且的面積為，求的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和題中所給式子化簡計(jì)算得到，再結(jié)合余弦定理即可求出角；（2）根據(jù)三角形面積公式得到和，再結(jié)合中線向量公式計(jì)算即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，，因?yàn)椋?，化簡得，，在中，由余弦定理得，，又因?yàn)?，所以?）由，得，由，得，所以．又因?yàn)檫叺闹悬c(diǎn)為，所以，所以32．（2024·河南鄭州·鄭州市宇華實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┮阎凇鰽BC中，sin（A+B）＝1+2sin2．（1）求角C的大??；（2）若∠BAC與∠ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)Ⅰ，△ABC的外接圓半徑為2，求△ABI周長的最大值．【答案】（1）；（2）4+2．【分析】（1）利用降冪公式、兩角和的正弦公式變形可得sin（C+）＝1，再根據(jù)角的范圍可得解；（2）利用正弦定理求出，求出，設(shè)出，將用表示，根據(jù)三角函數(shù)知識求出的最大值可得解.【詳解】（1）∵sin（A+B）＝1+2sin2，且A+B+C＝π，∴sinC＝1+1﹣cosC＝2﹣cosC，即sinC+cosC＝2，∴sin（C+）＝1．∵C∈（0，π），∴C+∈（，），∴C+＝，即C＝．（2）∵△ABC的外接圓半徑為2，∴由正弦定理知，＝＝2×2＝4，∴AB＝，∵∠ACB＝，∴∠ABC+∠BAC＝，∵∠BAC與∠ABC的內(nèi)角平分線交于點(diǎn)Ⅰ，∴∠ABI+∠BAI＝，∴∠AIB＝，設(shè)∠ABI＝θ，則∠BAI＝﹣θ，且0＜θ＜，在△ABI中，由正弦定理得，＝＝＝＝4，∴BI＝4sin（﹣θ），AI＝4sinθ，∴△ABI的周長為2+4sin（﹣θ）+4sinθ＝2+4（cosθ﹣sinθ）+4sinθ＝2+2cosθ+2sinθ＝4sin（θ+）+2，∵0＜θ＜，∴＜θ+＜，∴當(dāng)θ+＝，即時(shí)，△ABI的周長取得最大值，最大值為4+2，故△ABI的周長的最大值為4+2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將用表示，根據(jù)三角函數(shù)知識求出的最大值是解題關(guān)鍵.33．（2024·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）在中，角所對的邊分別為，且.(1)求證：；(2)當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦定理并結(jié)合正弦函數(shù)兩角和差公式化簡即可求解.（2）利用基本不等式求得的最小值時(shí)的取等條件，再結(jié)合余弦定理從而求解.【詳解】（1）證明：由余弦定理知，又因?yàn)椋?，化簡得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)椋曰颍ㄉ幔?，所?（