復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)2012

考試安排考試時(shí)間:一、2012年11月26日晚上考試地點(diǎn):東九樓答疑時(shí)間:二、11月24日上午、下午、晚上11月25日上午、下午、晚上11月26日上午答疑地點(diǎn):

科技樓南樓813室計(jì)算數(shù)學(xué)系下午2:30分至5：30時(shí)晚上7：00時(shí)至9:30分上午8:30時(shí)至11:30分三、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)要求：1、復(fù)數(shù)的表示（實(shí)部、虛部、模及幅角、三角 表示）；

2、基本運(yùn)算（四則、乘方、開(kāi)方、DeMoivre、 求方程根）；

3、已知平面曲線C的方程F(x,y)=0，寫(xiě)出C的復(fù)數(shù) 形式；

4、由復(fù)數(shù)所適合的方程（或不等式）確定平面圖 形的特征。注：多出現(xiàn)在填空題中。第二章解析函數(shù)要求：1、正確理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、解析函數(shù)等基本概念。2、掌握并能運(yùn)用C-R方程。3、知道解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，并能從已知調(diào)和函數(shù)u或v，求解析函數(shù)u＋iv。4、會(huì)求初等復(fù)函數(shù)的值。重點(diǎn)：1、會(huì)證明調(diào)和函數(shù)及構(gòu)造解析函數(shù)。（大題）2、會(huì)利用C--R方程判斷函數(shù)的解析性。（大題）3、會(huì)求初等復(fù)函數(shù)的值。（填空）參見(jiàn)教材P34公式(2.4);參見(jiàn)教材P35例2.4、P38例2.6、2.7、P40例2.8。第三章復(fù)變函數(shù)的積分要求：

1、正確理解復(fù)變函數(shù)積分的概念、性質(zhì)；

2、掌握復(fù)變函數(shù)積分的一般計(jì)算法；

3、掌握并能運(yùn)用Cauchy積分定理，復(fù)合閉路定理和柯西積分公式、高階導(dǎo)公式，特別要能運(yùn)用它們來(lái)計(jì)算積分及證明等式。第四章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示要求：1、正確理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散與絕對(duì)收斂等概念。2、清楚地知道級(jí)數(shù)的收斂范圍是圓域以及它在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)、有理運(yùn)算與分析運(yùn)算。3、會(huì)把比較簡(jiǎn)單的解析函數(shù)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ归_(kāi)Taylor級(jí)數(shù)，并指出其收斂半徑。記住幾個(gè)主要初等函數(shù)的Taylor展開(kāi)式。4、會(huì)把比較簡(jiǎn)單的函數(shù)環(huán)繞它的孤立奇點(diǎn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄕ归_(kāi)成Laurent級(jí)數(shù)。重點(diǎn)：1、將函數(shù)作Laurent展開(kāi)。方法：以展開(kāi)中心為圓心，以展開(kāi)中心到各奇點(diǎn)的距離為半徑畫(huà)圓，即可得解析環(huán)域；再將函數(shù)在各解析環(huán)域內(nèi)作Laurent展開(kāi)（L展開(kāi)在環(huán)域，T展開(kāi)在圓盤(pán)）。2、會(huì)求Taylor展開(kāi)的收斂半徑（填空題）。第五章留數(shù)及其應(yīng)用要求：1、正確理解孤立奇點(diǎn)的概念與孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)， 尤其是極點(diǎn)的階數(shù)；

2、正確理解函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)概念；

3、掌握并能應(yīng)用留數(shù)定理；

4、掌握留數(shù)的計(jì)算法，并能利用留數(shù)計(jì)算某些實(shí) 積分。第六章保形映射要求：1、正確理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義和保角映射的概念 （求旋轉(zhuǎn)角、伸縮率）；

2、掌握分式線性映射的主要性質(zhì)——保角性、 保圓性、保對(duì)稱(chēng)性；

3、給定三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，能比較熟練地掌握分式線 性映射；

4、區(qū)域之間的映射，只要求能求出由分式線性 函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及它們的復(fù)合函數(shù)所 構(gòu)成的映射。記?。航怯虻浇怯?、帶域到角域、上半平面到單位圓等映射。重點(diǎn)：1、已知映射W=f(Z)，求曲線或區(qū)域的像；

方法：給了區(qū)域找邊界，根據(jù)函數(shù)求其像，邊界繞行定區(qū)域；或直接解出Z. 2、已知兩個(gè)區(qū)域，求映射。

方法：看兩端，想中間，聯(lián)系起來(lái)求函數(shù)。第七章積分變換要求：1、兩種變換的定義及性質(zhì)。2、記住幾個(gè)常用的廣義傅氏變換對(duì)。3、了解卷積的概念并會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的卷積。4、會(huì)求拉氏變換及拉氏逆變換。5、會(huì)用拉氏變換解微分方程。6、記住幾個(gè)常用的拉氏變換對(duì)。拉氏變換的線性性：記微分性質(zhì)：求拉氏逆變換的常用方法：

1、部分分式法；

2、留數(shù)法。留數(shù)法：主要內(nèi)容一、復(fù)數(shù)的幾種表示及運(yùn)算;

區(qū)域,曲線;初等復(fù)變函數(shù).二、柯西-黎曼方程:(1)

判斷可導(dǎo)與解析,求導(dǎo)數(shù);七、Fourier變換的概念,δ函數(shù),

卷積.三、柯西積分公式,柯西積分定理,高階導(dǎo)數(shù)公式.四、洛朗展式.五、留數(shù):(1)

計(jì)算閉路積分;六、保形映射:(1)

求象區(qū)域;八、利用Laplace變換求解常微分方程(組).(2)

構(gòu)造解析函數(shù).(2)

計(jì)算定積分;(2)構(gòu)造保形映射.一、填空題。(1)的模為，輻角主值為

.。

.

(2)的值為的值為

，.

.。(3)伸縮率為處的旋轉(zhuǎn)角為映射w=z3-z在z=i

.。

，.

(4)在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)

.。充要條件為(7)

.。(5)在z0=1+i處展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的

.。收斂半徑為(6)z=0是(何種類(lèi)型的奇點(diǎn))。

.

的?(8)，已知

.。求(7)0;(8)一、(1)1,π;(2)(5);(4)u,v在D內(nèi)可微，且滿(mǎn)足C—R方程(3)π,4;(6)可去奇點(diǎn)四、計(jì)算下列各題：(2).(3).(4).(1).(5).已知，，求。二、驗(yàn)證z平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使是。三、將函數(shù)在與洛朗級(jí)數(shù)。處展開(kāi)為五、求區(qū)域在映射下的像。八、設(shè)函數(shù)在上解析，證明：七、用拉氏變換求解方程：六、求把下圖陰影部分映射到單位圓內(nèi)部的保形映射。i-i二、驗(yàn)證z平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使是。故u(x,y)

為調(diào)和函數(shù)(1)解:(2)方法一二、驗(yàn)證z平面上的調(diào)和函數(shù)，并求以為實(shí)部的解析函數(shù)，使是。解:故u(x,y)

為調(diào)和函數(shù)(1)(2)方法二三、將函數(shù)在與洛朗級(jí)數(shù)。處展開(kāi)為解:(1)在z=1

處三、將函數(shù)在與洛朗級(jí)數(shù)。處展開(kāi)為解:(2)在z=2

處四、(1).解:方法一:利用留數(shù)求解z=0為二級(jí)極點(diǎn),方法二:利用高階導(dǎo)數(shù)公式求解四、(2).解:z=1為本性奇點(diǎn),四、(3).解:四、(4).解:四、(5).已知，求。解:，f2(t-τ)

f2(t-τ)

f1(τ)

f1(τ)

f2