2019版高中全程練習方略配套資料：古典概型

第五節(jié)古典概型三年13考高考指數(shù):★★★1.理解古典概型及其概率計算公式；2.會計算一些隨機事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.1.古典概型的概率是高考考查的重點；2.利用列舉法、樹狀圖法、分類討論的思想解決古典概型問題是重點，也是難點；3.古典概型的考查，往往結(jié)合排列、組合的知識進行考查，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn).1.古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概型.(1)有限性:試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果_____________，每次試驗只出現(xiàn)其中的一個結(jié)果.(2)等可能性:每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性_______.只有有限個相同【即時應(yīng)用】判斷下列試驗是否是古典概型.(請在括號中填寫“是”或“否”)①投擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，觀察其朝上的點數(shù)；()②口袋里有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，從中任取一球；()③向一個圓面內(nèi)隨機地投一個點，該點落在圓內(nèi)任意一點都是等可能的；()④射擊運動員向一靶心進行射擊，試驗結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán).()【解析】對于①：由于質(zhì)地不均勻，故每個面朝上的概率不相等；對于②：摸到白球和黑球的概率相同，均為對于③：基本事件有無限個；對于④：由于受射擊運動員水平的影響，命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)的可能性不等.故只有②是古典概型.答案：①否②是③否④否2.古典概型的概率公式如果試驗的所有可能結(jié)果(基本事件)數(shù)為n，隨機事件A包含的基本事件數(shù)為m，那么事件A的概率規(guī)定為P(A)==.

【即時應(yīng)用】(1)思考:先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，有人說，一共出現(xiàn)：“兩枚正面”、“兩枚反面”、“一枚正面，一枚反面”三種結(jié)果，因此出現(xiàn)“一枚正面，一枚反面”的概率是這種說法正確嗎？提示:不正確.兩枚硬幣編號為1,2，則基本事件應(yīng)為：(正1，正2)，(正1，反2)，(反1，正2)，(反1，反2)，故出現(xiàn)一正一反有(正1，反2)，(反1，正2)兩種情況，故所求概率為(2)在一個袋子中裝有分別標注數(shù)字1,2,3,4,5的五個小球，這些小球除標注的數(shù)字外完全相同．現(xiàn)從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的概率是______.【解析】取2個小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，其中標注的數(shù)字之差的絕對值為2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共4種，故所求的概率為答案：(3)若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m、n作為P點的坐標，則點P落在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率是________．【解析】基本事件的總數(shù)為6×6＝36個，記事件A＝{(m,n)|(m，n)落在圓x2＋y2＝16內(nèi)}，則A所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2),共8個．∴P(A)＝答案：3.互斥事件定義：在一個隨機試驗中，把一次試驗下______________

的兩個事件A與B稱作互斥事件.P(A+B)=___________

概率公式：

P(A1+A2+…+An)=____________________不能同時發(fā)生P(A)+P(B)P(A1)+P(A2)+…+P(An)4.對立事件的概率在每一次試驗中，相互對立的事件A和事件不會同時發(fā)生，并且一定有一個發(fā)生，其計算公式：1-P(A)

【即時應(yīng)用】(1)兩個事件互斥是這兩個事件對立的__________條件.(2)從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，下列兩個事件是互斥事件但不是對立事件的是__________(填序號).①至少有1個白球，都是白球②至少有1個白球，至少有1個紅球③恰有1個白球，恰有2個白球④至少有1個白球，都是紅球【解析】(1)互斥不一定對立，但對立一定互斥，故互斥是對立的必要不充分條件.(2)①、②中的兩個事件不互斥，當然也不對立；③中的兩個事件互斥，但不對立；④中的兩個事件不但互斥，而且對立.所以正確答案應(yīng)為③.答案：(1)必要不充分(2)③

簡單古典概型的概率【方法點睛】1.求古典概型概率的步驟第一步：判斷本試驗的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；第二步：分別求出基本事件的總數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個數(shù)m;第三步：利用公式P(A)=求出事件A的概率.

2.基本事件個數(shù)的確定方法(1)列舉法(2)列表法(3)樹狀圖法適合于基本事件較少的古典概型.適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成是坐標法.適合于有順序的問題及較復雜問題中基本事件數(shù)的探求.【例1】(2011·山東高考)甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率；(2)若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一學校的概率.【解題指南】(1)本題考查古典概型，要將基本事件都列出，然后找出2名教師性別相同所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.(2)從報名的6名教師中任選2名，列出基本事件，然后找出2名教師來自同一學校所含的基本事件的個數(shù)，由古典概型概率公式求得結(jié)果.【規(guī)范解答】(1)從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，所有可能的結(jié)果為(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲男1,乙女1)、(甲男1,乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2,乙女2)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)、(甲女,乙男)，共9種；選出的2名教師性別相同的結(jié)果有(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為(2)從報名的6名教師中任選2名，所有可能的結(jié)果為(甲男1,乙男)、(甲男2,乙男)、(甲男1,乙女1)、(甲男1,乙女2)、(甲男2,乙女1)、(甲男2,乙女2)、(甲女,乙女1)、(甲女,乙女2)、(甲女,乙男)、(甲男1,甲男2)、(甲男1,甲女)、(甲男2,甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男,乙女2)、(乙女1,乙女2)，共15種；選出的2名教師來自同一學校的所有可能的結(jié)果為(甲男1,甲男2)、(甲男1,甲女)、(甲男2,甲女)、(乙男,乙女1)、(乙男,乙女2)、(乙女1,乙女2)，共6種，所以選出的2名教師來自同一學校的概率為【反思·感悟】在求解本題時應(yīng)注意第(1)問屬于有順序的問題，該類問題的基本事件按先甲校再乙校分步列舉；第(2)問屬于無順序的問題，基本事件按所含字母利用列舉法，按一定順序分類列舉.

【變式訓練】用紅、黃、藍三種不同顏色給下圖中3個矩形隨機涂色，每個矩形只涂一種顏色，求：(1)3個矩形顏色都相同的概率；(2)3個矩形顏色都不同的概率.【解析】所有可能的基本事件共有27個，如圖所示.紅紅黃藍紅黃藍紅黃藍紅黃藍黃紅黃藍紅黃藍紅黃藍紅黃藍藍紅黃藍紅黃藍紅黃藍紅黃藍(1)記“3個矩形都涂同一顏色”為事件A，由圖知，事件A的基本事件有3個，故(2)記“3個矩形顏色都不同”為事件B，由圖可知，事件B的基本事件有6個，故【變式備選】袋內(nèi)裝有6個球，每個球上都記有從1到6的一個號碼，設(shè)號碼為n的球重n2-6n+12克，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、號碼的影響).(1)如果任意取出1球，求其重量大于號碼數(shù)的概率.(2)如果不放回地任意取出2球，求它們重量相等的概率.【解析】(1)由題意，任意取出1球，共有6種等可能的事件.由不等式n2-6n+12＞n,得n＞4或n＜3.所以n=1,2或n=5,6，于是所求概率為(2)從6個球中任意取出2個球,共有15種等可能的方法,列舉如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),設(shè)第n號與第m號的兩個球的重量相等,則有n2-6n+12=m2-6m+12,∴(n-m)(n+m-6)=0.∵n≠m,∴n+m=6,∴(n,m)=(1,5),或(n,m)=(2,4),故所求概率為互斥事件、對立事件的概率【方法點睛】求復雜的互斥事件的概率的一般方法(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算.(2)間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)=

即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便.【提醒】應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和.

【例2】(1)(2012·濟南模擬)在數(shù)學考試中，小明的成績在90分及以上的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，則小明在數(shù)學考試中取得80分及以上的概率為______.(2)國家射擊隊的隊員為在世界射擊錦標賽上取得優(yōu)異成績，正在加緊備戰(zhàn)，經(jīng)過近期訓練，某隊員射擊一次，命中7～10環(huán)的概率如表所示：求該射擊隊員射擊一次①射中9環(huán)或10環(huán)的概率；②至少命中8環(huán)的概率.命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.320.280.180.12【解題指南】(1)小明的成績在80分及以上可以看作是互斥事件“80～89分”“90分及以上”的并事件；(2)該射擊隊員在一次射擊中，命中幾環(huán)不可能同時發(fā)生，故彼此是互斥事件，利用互斥事件求概率的公式求其概率.另外，當直接求解不容易時，可先求其對立事件的概率.【規(guī)范解答】(1)分別記小明的成績“在90分及以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“60分以下”為事件B、C、D、E、F，這五個事件彼此互斥.所以小明的成績在80分及以上的概率是：P(B+C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.答案：0.69(2)記事件“射擊一次，命中k環(huán)”為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥.①記“射擊一次，射中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，那么當A9，A10之一發(fā)生時，事件A發(fā)生，由互斥事件的概率加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.60.②設(shè)“射擊一次，至少命中8環(huán)”為事件B，那么當A8，A9，A10之一發(fā)生時，事件B發(fā)生.由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.【互動探究】在本例(1)中條件不變，求小明在數(shù)學考試中及格的概率.【解析】方法一：由例題知小明考試及格的概率是P(B+C+D+E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.方法二：小明考試不及格的概率是0.07，記“小明考試及格”為事件A.所以小明考試及格的概率是P(A)=1-0.07=0.93.所以小明在數(shù)學考試中及格的概率是0.93.【反思·感悟】必須明白事件A、B互斥的條件，只有互斥事件才可用概率的求和公式P(A+B)=P(A)+P(B).【變式備選】一盒中裝有各色球12個，其中5個紅球、4個黑球、2個白球、1個綠球.從中隨機取出1球，求：(1)取出的1球是紅球或黑球的概率；(2)取出的1球是紅球或黑球或白球的概率.【解析】記事件A1={任取1球為紅球}；A2={任取1球為黑球}；A3={任取1球為白球}；A4={任取1球為綠球}，則方法一：根據(jù)題意知，事件A1,A2,A3,A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得：(1)取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=(2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)方法二：(1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出一球為白球或綠球，即A1+A2的對立事件為A3+A4.所以取得一球是紅球或黑球的概率為：P(A1+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)=(2)A1+A2+A3的對立事件為A4,所以P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=構(gòu)建不同的概率模型解決問題【方法點睛】建立概率模型的原則、要求及作用(1)原則：建立概率模型的一般原則是“結(jié)果越少越好”，這就要求選擇恰當?shù)挠^察角度，把問題轉(zhuǎn)化為易于解決的古典概型問題.(2)要求：每次試驗有一個并且只有一個基本事件出現(xiàn).(3)作用：①對于同一個實際問題，我們有時可以通過建立不同的“模型”來解決，即“一題多解”，在這“多解”的方法中，再尋求較為“簡捷”的解法；②我們可以用一種“模型”去解決很多“不同”的問題，即“多題一解”.

【例3】(2012·西安模擬)有兩個不透明的箱子，每個箱子都裝有4個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1、2、3、4.(1)甲從其中一個箱子中摸出一個球，乙從另一個箱子中摸出一個球，誰摸出的球上標的數(shù)字大誰就獲勝(若數(shù)字相同則為平局)，求甲獲勝的概率；(2)摸球方法與(1)同，若規(guī)定：兩人摸到的球上所標數(shù)字相同甲獲勝，所標數(shù)字不相同則乙獲勝，這樣規(guī)定公平嗎？【解題指南】把摸出的數(shù)字構(gòu)成實數(shù)對(x，y)，根據(jù)實數(shù)對(x，y)的意義求解.【規(guī)范解答】(1)用(x，y)(x表示甲摸到的數(shù)字，y表示乙摸到的數(shù)字)表示甲、乙各摸一球構(gòu)成的基本事件，則基本事件有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)，共16個；設(shè)甲獲勝的事件為A，則事件A包含的基本事件有：(2，1)、(3，1)、(3，2)、(4，1)、(4，2)、(4，3)，共有6個；則P(A)=(2)設(shè)甲獲勝的事件為B，乙獲勝的事件為C；事件B所包含的基本事件有：(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)，共有4個；則P(B)=∴P(C)=1-P(B)=因為P(B)≠P(C).所以這樣規(guī)定不公平.答：(1)甲獲勝的概率為

(2)這樣規(guī)定不公平.【反思·感悟】注意研究事件的特征，靈活處理此問題，可借助于實數(shù)對、數(shù)表、樹狀圖等直觀明了的形式處理，使問題更易理解與解答.【變式訓練】(2012·大連模擬)同時投擲兩粒骰子，求向上的點數(shù)之和為奇數(shù)的概率.【解析】方法一：從下圖可以看出基本事件與所描點一一對應(yīng)，有36種，記“向上的點數(shù)和為奇數(shù)”的事件為A，從圖中可以看出，事件A包含的基本事件共有18個，因此P(A)=方法二：若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：(奇，奇)，(奇，偶)，(偶，奇)，(偶，偶)，則它們也組成等概率的樣本空間.基本事件總數(shù)為4，事件A“點數(shù)之和為奇數(shù)”包含的基本事件個數(shù)為2，故P(A)=方法三：若把一次試驗的所有可能結(jié)果取為：點數(shù)和為奇數(shù)，點數(shù)和為偶數(shù)，則它們也組成等概率的樣本空間.基本事件總數(shù)為2，事件A“點數(shù)之和為奇數(shù)”包含的基本事件個數(shù)為1，故P(A)=【滿分指導】古典概型主觀題的規(guī)范解答【典例】(12分)(2011·天津高考)編號為A1,A2,…,A16的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下：運動員編號A1A2A3A4A5A6A7A8得分1535212825361834運動員編號A9A10A11A12A13A14A15A16得分1726253322123138

(1)將得分在對應(yīng)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)填入相應(yīng)的空格;(2)從得分在區(qū)間［20，30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人,①用運動員的編號列出所有可能的抽取結(jié)果;②求這2人得分之和大于50的概率.區(qū)間［10,20)［20,30)［30,40］人數(shù)【解題指南】(1)分別按區(qū)間范圍列舉出人數(shù)；(2)用列舉法、古典概型的概率公式計算概率.【規(guī)范解答】(1)4，6，6……2分(2)①得分在區(qū)間［20，30)內(nèi)的運動員編號為A3，A4，A5，A10，A11，A13.…………………4分從中隨機抽取2人，所有可能的抽取結(jié)果有：{A3,A4}，{A3,A5}，{A3,A10}，{A3,A11}，{A3,A13}，{A4,A5}，{A4,A10}，{A4,A11}，{A4,A13}，{A5,A10}，{A5,A11}，{A5,A13}，{A10,A11}，{A10,A13}，{A11,A13}，共15種.…………………8分②“從得分在區(qū)間［20，30)內(nèi)的運動員中隨機抽取2人，這2人得分之和大于50”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有：{A4，A5}，{A4，A10}，{A4，A11}，{A5，A10}，{A10，A11}，共5種.…………11分所以P(