2022-2023學(xué)年天津名校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年天津名校高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共18小題，共90.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.雙曲線《一［=1的離心率為（）

94

3BV13C2√13

A.2?~,3D.

2.拋物線y2=24x的準(zhǔn)線方程為()

A.X=—3B.X=—6C.X=—12D.X=-24

3.若數(shù)列｛αn｝中,a1=1,an+ι=3an—1,n∈N*.則a?=()

A.5B.6C.7D.8

4.直線I：X-y+2=0被圓。：/+y2=9截得的弦長為（)

A.2√7B.√7C.2√5D.√5

5.已知｛arι｝是等差數(shù)列，｛%｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，一ELal—九=1,+ɑ?=2b3，

-3a-7,貝肪4-=()

b52

A.7B.4C.1D.-2

6.如圖，在三棱錐S-ABC中，SA_L底面ABC,ABlAC,S4=AC=

2,AB=1,。為棱SA的中點(diǎn)，則異面直線SB與DC所成角的余弦值為

C√21

DI

7.設(shè)SrI是等差數(shù)列｛%t｝的前n項(xiàng)和，若56=60,則<?+的值是（）

A.10B.20C.30D.60

8.已知雙曲線捻-∕=l（α>0,b>0）的一條漸近線與圓（x-2）2+y2=ι相切，則該雙曲

線的離心率為（）

A.√3B.小C.辿D.2

23

9.已知拋物線C：y2=8χ的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在拋物線上，IPFl=8,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為（）

A.5B.8C.4D.6

10.已知數(shù)列｛ari｝滿足α7t=Mn+1），則數(shù)列｛工｝的前2023項(xiàng)之和為（）

an

A2023D2025C2022C2024

2024202420232023

=√3,ΛD=1,則直線BCl與平面&Bo

D.φ

555

12.如圖，在直三棱柱ABC-a/iCi中，AC1BC,AC=2,

BC=CCl=4,點(diǎn)D是棱48的中點(diǎn)，則平面488√lι與平面BICD

A1

所成角的正弦值為（）

√30

A.

"ιδ^B

√7δ

B.1δ^A

√30

C.

D.√6

~6

己知等比數(shù)列｛斯｝的前項(xiàng)和為％，若碧，則5｝的公比（

13.n=q=）

?■"IC.-或1D.沏

n1

14.已知數(shù)列｛冊(cè)｝的通項(xiàng)公式為：αn=2n-l+2-,n∈∕V*,則數(shù)列｛αn｝的前IOO項(xiàng)之和

為（）

A.9999+2100B,10099÷210°C.9998+2101D,10098+2101

15.已知數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式為：即=押，TiEN*,則數(shù)列｛Q71｝的前IOO項(xiàng)之和為（）

?,201C1000010100

A?6-普B.6-翁C.^iooΞ7DΞ≡→

16.已知雙曲線H：?-?=l（α>0）.以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的虛半軸長為半徑的圓與雙

αz9vJ

曲線的兩條漸近線相交于4、B、C、D四點(diǎn)，四邊形ABCD的面積為4α,則雙曲線的方程為（）

a??-?=1b??-?=1C?∣∣Y=1D?g-?=1

17.過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線，與拋物線C交于兩點(diǎn)A,B,若3存=5而,

則直線I的斜率k=()

A.+√15B.+2√2C.±√5D.±√3

18.已知數(shù)列｛c?｝的通項(xiàng)公式為：即=竽"，數(shù)列｛6｝的前n項(xiàng)和為上，若對(duì)任意的正整

數(shù)n,不等式立>(-1)與恒成立，則實(shí)數(shù)C的取值范圍是()

A.(-1,4)B.(-2,4)C.(-1,第D.(-2,芻

二、填空題(本大題共6小題，共30.0分)

19.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),則P的值為.

20.已知等差數(shù)列｛αn｝的前5項(xiàng)和Ss=20,a5=6,則απι=.

21.設(shè)雙曲線［-1=l的左、右焦點(diǎn)分別為居、％，點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則仍a|一

?PF2?=-

22.已知過拋物線C：*=8χ的焦點(diǎn)尸且與X軸垂直的直線與拋物線交于a、B兩點(diǎn)，則

?AB?=.

n

23.已知數(shù)列｛α7l｝的通項(xiàng)公式為：α?=(-l)?-ri),n€N*,前n項(xiàng)和為右，貝IJ

540=--------

24.已知互不相同的三點(diǎn)M、N、P均在雙曲線H：y-y2=1±,PM1PN,PD1MN,垂

足為。，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若I而|=遮，則而?麗的最大值為.

三、解答題(本大題共2小題，共30.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

25.(本小題15.0分)

設(shè)橢圓胃+《=1(。>匕〉0)的右焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為4上頂點(diǎn)為B,已知情=等.

(I)求橢圓的離心率e；

(H)設(shè)直線2與橢圓有唯一公共點(diǎn)M(M在第一象限中)，與y軸交于N,IoMl=ION其中。為

坐標(biāo)原點(diǎn)，

⑴求直線，的斜率；

3)若IMNl=2√6.求橢圓的方程.

26.(本小題15.0分)

已知｛αrι｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，其前兀項(xiàng)和為右，α1=1.且S3+α3,S5+α5,S4+?4

成等差數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛αrJ的通項(xiàng)公式；

(αrpn為奇數(shù)，

(]1)設(shè)匕=](3n+5)an汨俚將n∈N*,求數(shù)列｛b"的前2n項(xiàng)和

((n-l)(n+l)'n為偶數(shù).

(HI)設(shè)金=即+，n∈N*,證明：T=14<6?

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由雙曲線《一比=1，可得α2=9,b2=4,

94

???雙曲線的離心率e=￡=J”號(hào)=苧，

故選：D.

利用雙曲線的離心率e=￡=∣ι+玖,即可得出結(jié)論.

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：由題意可知：拋物線y2=24x的焦點(diǎn)在X軸正半軸，且2p=24,即合=6,

故拋物線產(chǎn)=24x的準(zhǔn)線方程為尤=-≡=-6.

故選：B.

由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求準(zhǔn)線方程，注意焦點(diǎn)所在位置.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解：=1,c?+ι=3αn-l,

**?。2=3。］—1=2,?=3。2-1=5,

故選：A.

根據(jù)數(shù)列的遞推式，即可得出答案.

本題考查數(shù)列的遞推式，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：由圓。：%2+y2=9,得圓心。(0,0),半徑r=3,

圓心。到直線，：x-y+2=0的距離d=

?,?弦長=2Λ∕Γ2—d2=2√9—2=2Λ∕7?

故選:A.

求出圓心到直線的距離，利用半徑、半弦長，弦心距滿足勾股定理，求出弦長.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，弦長的求法，考查計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：設(shè)｛即｝的公差為d,｛%｝的公比為q,由題意q>0,

由已知可得：『（二手：；消去d得q4-2q2-8=0,

解得q=2,d=2,

3

■?a4=a1+3d=1+6=7,b4=b1q=1x8=8,

則瓦—Ci4=8-7=1.

故選：C.

設(shè)｛斯｝的公差為d,｛b｝的公比為q,由題意q>0,利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解

d與q,進(jìn)一步求解得答案.

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：在三棱錐S-4BC中，S41底面力BC,ABLAC,SA=AC=2,AB=1,。為棱S4的

中點(diǎn)，

以4為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則S(0,0,2),B(LO,0),D(0,0,1),C(0,2,0),

SB=(1,0,-2),DC=(0,2,-1),

??m＜面反＞=1=春/

則異面直線SB與。C所成角的余弦值為|.

故選：D.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線SB與Z)C所成角的余弦值.

本題考查異面直線所成角的定義及其余弦值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列｛廝｝中，56=3(%+。6)=60,

所以的+a6=20,

則?++a6,=20.

故選：B.

由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：由題意可知，雙曲線的漸近線的方程為y=±gx,即bx±αy=0,

???一條漸近線與圓(X-2)2+y2=1相切，

2b

.?.=I1

2

y∣b+a2'

：，a=V5b,

???c=2b,

故選：C.

利用漸近線與圓(X-2)2+y2=I相切，求出α,b的關(guān)系，從而求雙曲線的離心率.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】D

【解析】解：拋物線C：y2=8χ的焦點(diǎn)F(2,0),準(zhǔn)線心X=-2,

令點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為沏，由拋物線定義得IPFl=Xo+2=8,解得XO=6,

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為6.

故選：D.

根據(jù)給定條件，利用拋物線定義求解作答.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】A

【解析】解：由題意，可得怖=U—后

則數(shù)列｛二｝的前2023項(xiàng)之和為:

----1F…d

ala2------a2023

--J-———-4-???-I--------------------------------

22320232024

2023

2024

故選：A,

先根據(jù)題干已知條件計(jì)算出數(shù)列｛占｝的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法即可計(jì)算出前2023項(xiàng)之和，

可得正確選項(xiàng).

本題主要考查數(shù)列求通項(xiàng)公式，以及運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和問題.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，以

及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

IL【答案】C

【解析】解：以。為原點(diǎn)，分別以Zλ4,DC,DDl為％,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

則

4(1,0,?B(l,√3,0),C1(0,√3,√3).

DAi=(l,0,√3)>DB=(l,√3,0)-BCi=(-l,0,√3)

設(shè)平面4/。的法向量為記=(%,y,z),

則PT?DA1=%+V3z=O

In-麗=X+√3y=O

令％=百，y=-l,z=-l?.?.n=(√3,-l,-1),

直線BCl與平面AlBD所成的角為α,

.-λ^+0-√3.√15

sina=∣cos<n,^BC[>?=|譚磊II√l÷0÷3×√3+l+lI

故選：C.

以。為原點(diǎn)，分別以DA,DC,DDl為X,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

本題考查直線與平面所成的角，是中檔題.

12.【答案】B

【解析】解：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(2,0,0),C(0,0,0),B(0,4,0),D(1,2,0),B1(0,4,4),設(shè)平面ZBBlAI的法向量元=(X,y,z),

—.----->fn-瓦5=2x—4y=0

???34=(2,—4,0)產(chǎn)31=(0,0,4)，則h1ll_舊，:,

In?BB1=4z=0

令％=2,則y=1,z=0,

?n=(2,1,0),

同理可得：平面BlCO的法向量沅=

Λ,L.→一、五?沅3√30

故fCoS⑴,m)===—,

',∣n∣∣τn∣√Zg5×√ZZ610

設(shè)平面ABBMi與平面/CO所成角為。6[0申，則COSe=黑，

410

故平面ABBMi與平面BICO所成角的正弦值Sino=√1-cos20=—■

故選:B.

建系，求兩平面的法向量，利用空間向量解決面面夾角問題.

本題考查了二面角的計(jì)算，屬于中檔題.

13.【答案】B

【解析】解：由于等比數(shù)列｛a71｝的前n項(xiàng)和為Sn,若知=，

勺(1-勺6)

所以T?=:整理得l+q3解得q=1

%(1-qj)8"8"2

-^izQ-

故選：B.

直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題和易

錯(cuò)題.

14.【答案】力

【解析】解:由題意,可得數(shù)列｛an｝的前IOO項(xiàng)之和為：

aα

α1+α2+3+`"+ιoo

=(1+20)+(3+21)+(5+22)+-+(199+2")

=(1+3+5+???+199)+(20+21+22+…+2")

_100x(1+199)1-2100

=2h1-2

=10000+2100-l

=9999+2100.

故選：A.

本題根據(jù)數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可運(yùn)用分組求和法，等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式計(jì)算出

數(shù)列｛αrl｝的前100項(xiàng)之和，得到正確選項(xiàng).

本題主要考查運(yùn)用分組求和法求前n項(xiàng)和問題.考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列和等

比數(shù)列求和公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

15.【答案】B

【解析】解：由題意，設(shè)數(shù)列｛arι｝的前Ti項(xiàng)和為5,

F

則Sn=a1+a2+?■?+an=今+最+,H----表4,

1r1,3ll2n-3,2n-l

2δ∏=尹+/+…+

兩式相減，

—r/日1C1,2,2,,2-2n-r1

可得2Sn=/+尹+/+…+^→-∕^

=1+1+工+…+_!__吧

n2n

1十?l十21十十2~2

1

2n-12n-l

=1+TI---2^

=3-2n+3

U2n+3

λ

SrI6-k，

_2×100+3_203

??lθθ=621OO-1=6-^99?

故選：B.

先設(shè)數(shù)列｛%l｝的前幾項(xiàng)和為又，再根據(jù)數(shù)列｛時(shí)｝的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)運(yùn)用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)出數(shù)列｛αn｝

的前n項(xiàng)和土的表達(dá)式，最后代入n=100即可計(jì)算出前IOO項(xiàng)之和，得到正確選項(xiàng).

本題主要考查運(yùn)用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和問題.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想,等比數(shù)列求和公式的運(yùn)用，

以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

16.【答案】B

%2+y2—9

【解析】解：聯(lián)立y=gχ-，解得/=篇,y2=晶,

由題意可得四邊形力BCD為矩形，

???=4J篇X晶=4a，

解得。2=18,

雙曲線的方程為經(jīng)一4=1,

189

故選：B.

X2÷y2=9

聯(lián)立3解得/,y2,由題意可得4bψ=4α,即可得出雙曲線的方程.

V=-X

Va

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、矩形的面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

17.【答案】A

【解析】解：拋物線C：y2=2pχ的焦點(diǎn)F《,0),顯然直線/不垂直于y軸，

設(shè)直線1的方程為久=ty+≡由F=ty+狐去X并整理得：y2-2pty-p2=0,

設(shè)A(XI/1),B(x2ty2),則%+y2=2pt,%y2=-P?,存=《一修，一丫1)，初=(%2-勺丫2)，

由3/=5而得：丫1=一|丫2，而yι+'2=2pa則有yι=5pt,y2=-3pt,

因此為為=-15p2t2=-p2,解得七=±7?WJfc=I=±√15,

所以直線/的斜率k=+√15?

故選：A.

根據(jù)給定條件，設(shè)出直線，的方程，與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及向量關(guān)系求解作答.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

18.【答案】B

【解析】解：由廝=竽裴>0,可得數(shù)列｛S"遞增，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn的最小值為S2=4；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S71的最小值為SI=2.

若對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式Sn>(-1)與恒成立，

可得n為奇數(shù)時(shí)，Srt>-C恒成立，即有一c<2,可得c>—2；

n為偶數(shù)時(shí)，Sn>C恒成立，即有C<4.

所以實(shí)數(shù)C的取值范圍是(-2,4).

故選：B.

判斷數(shù)列｛Srl｝遞增，分別求得n為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)Sn的最小值，再由不等式恒成立思想可得所求取值

范圍.

本題考查數(shù)列的單調(diào)性的運(yùn)用，以及不等式恒成立問題解法，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能

力，屬于中檔題.

19.【答案】8

【解析】解：因?yàn)閽佄锞€y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0),所以與=4,即P=8.

故答案為：8.

根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)即可得解.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】11

【解析】解：等差數(shù)列｛αjl｝的前5項(xiàng)和55=20,c?=6,

aι+4d=6r-2

所叫<J'。?ɑ,解得？π一:，

5α1+—d=20(d=1

故arι=2+(n-l)=n+l,

所以=10+1=11.

故答案為：IL

直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式建立方程組，進(jìn)一步求出結(jié)果.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題.

21.【答案】2√5

【解析】解：由雙曲線看一1=1，可得a=√^,

54

???點(diǎn)P在雙曲線的右支上，

ΛI(xiàn)PF11-IPF21=2a=2√5,

故答案為：2小.

利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義即可得出結(jié)論.

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

22.【答案】8

【解析】解：拋物線C：y2=8χ的焦點(diǎn)F(2,0),則直線4B：x=2,

由:V8久得：∣y∣=4,所以∣4B∣=8.

故答案為：8.

根據(jù)給定條件，求出直線4B的方程，即可計(jì)算作答.

本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

23.【答案】800

【解析】解：由題意，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，n+1為偶數(shù)，

n2n+12

則c?+αn+1=(-l)?(n-n)+(-l)-[(n+I)-(n+1)]

=-(n2-n)+[(n+I)2-(n+1)]

=(n+I)2-n2+n-(n+1)

=2n,

故S40=Q]++…+。40

卜a

=(a?+a2)+(a3+a4)4-----59+4θ)

=2xl+2x3+…+2X39

=2X(1+3+…+39)

=2χ20x(1+39)

=800.

故答案為：800.

本題根據(jù)通項(xiàng)公式的特點(diǎn)可先計(jì)算出當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)Qn+即+1的表達(dá)式，再運(yùn)用分組求和法及等差

數(shù)列的求和公式即可計(jì)算出SM的值.

本題主要考查運(yùn)用分組求和法求前幾項(xiàng)和問題.考查了整體思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，等差數(shù)列求和

公式的運(yùn)用，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題.

24.【答案】2JIU+2

【解析】解：設(shè)P(a,b),因?yàn)镮而I=石，故也2+爐=遮,所以Q2+272=5①，因?yàn)镻(a,b)在

?2

雙曲線三一丫2=1上，所以自一爐=1②，

由①②可得。2=4,b2=1,由于雙曲線的對(duì)稱性，不妨設(shè)P(2,l),

①直線MN斜率不存在時(shí)，

可設(shè)M(Xl,yι),N(X2，先)，P(2,l),

?PM=(x1-2,y1-1),麗=(X2-2,y2-1)，

7

又TX1=%2且JI=一力，PM1PN,

2

(^PN?PM=(x1-2)+(y1-l)(-y1-1)=O

解得M(6,√T7),/V(6,-√17),

?.?PDLMN,C為垂足，???0(6,1),

X___2_1

②直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN：y=kx+m,由彳-、=L

?=∕cx+m

整理得(1—2∕c2)x2—4fcmx—2m2—2=0,

xx-,

設(shè)M(Xl,乃)，W(x2,y2),則Xι+X2=^τ^≡,12=7∑^2?

因?yàn)镻M1PN,所以麗-PN=(x1-2)(x2-2)+(y1-l)(y2-1).

2

得(必+l)χ1%2+(km-k—2)(x1+x2)+m—2m+5=0,

2

所以(/+l)(-^±f)+(/cm-/c-2)(^^?)+m-2m+5=0,

得121+Qmk+m2+2m-3=0,即(6k+m+3)(2k+m-1)=0)

當(dāng)2∕c+τn-l=O即根=-21+1時(shí)，直線MN：y=Zcx—2/c+1過定點(diǎn)P(2,l),不符合題意：

當(dāng)6∕c+m+3=O即Tn=-6k-3時(shí)，直線MN：=Zcx—6k—3過定點(diǎn)〃(6,—3),

綜上，點(diǎn)。在以PH為直徑的圓上，?PH?=√16+16=4√2,線段P”的中點(diǎn)為(4,一1),

所以點(diǎn)。的軌跡方程為(X-4)2+(y+I)2=8,

故可設(shè)。的坐標(biāo)為(2√∑cos8+4,2√2sin0-1).

所以麗?PD=(2,1)?(2√2cos0+2,2√2sin0-2)=4√2cos0+4-2√2sin0-2=2√10sin(α-

0)+2(其中Sina=京，cosa--^=),

所以當(dāng)sin(α-。)=1時(shí)，赤.麗取得最大值2√IU+2，

故答案為：2√IU+2?

先利用Iml=遍和雙曲線方程求出P的坐標(biāo)，由于雙曲線的對(duì)稱性，取P(2,l),接著討論直線MN

斜率不存在和存在兩種情況，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積，推出鼠小的關(guān)系，說明直線MN

過點(diǎn)H(6,-3),即可得到點(diǎn)D的軌跡方程為(X-4)2+(y+1)2=8,故設(shè)D(2√∑cos8+

4,2√2sjnθ-1)，利用數(shù)量積，輔助角公式和三角函數(shù)性質(zhì)即可得到答案.

本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬難題.

25.【答案】解：⑴因?yàn)榍?等,所以;?J

所以a?=4b2,所以M=4(α2—c2),所以3Q2=4c2,

所以e=孚

橢圓的離心率9

(II)(回)由(I)可知橢圓為立誓=1，即/+4y2=次，

設(shè)直線Ay=kx+m,聯(lián)立/+4yz=a2,消去y可得：(4fc2+l)x2+8kmx+(4m2-a2)=0,

又直線I與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，

2222222

所以ZI=64fcm-4(4∕C+l)(4m-0)=0,所以4τ∏2=a(4k+1),

乂XM=一懸，所以丫”=k%"+巾=卜*(一懸)+G=總，

又IOMl=∣ON∣,所以(一淺P?+(我先)2=瓶2,

解得/=:，所以k=+%?.?M在第一象限，故k=一名

2—22

(ii)由(i)可得4z∏2=α2(4fc2+1)=3α2,.?.m=+?ɑ,

乂M在第一象限，??.m=苧α,M(2乎∕V(0,√36),

V?MN?=2√6,ΛJ-θ)2÷(??7-V3Z?)2=2Λ∕6,

解得b=V6,?a=2乃，

.?.橢圓的方程為導(dǎo)+4=1.

246

【解析】(I)根據(jù)黑J=竽，即可求得a2=4b2,即可求得橢圓的離心率；

(Il)(El)由(1)可知，橢圓方程可轉(zhuǎn)化為M+4y2=a2,設(shè)直線，的方程，代入橢圓方程，利用4=0

及IOMl=ION即可求得Zc的值；

(門)利用(1)可得點(diǎn)時(shí)，N的坐標(biāo)，結(jié)合已知可求得a和b的值，求得橢圓方程.

本題考查桶圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，計(jì)算能力，屬中檔題.

26.【答案】解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛。"｝的公比為勺，「%=1,且53+。3,S5+a5,S4+a4成等差

數(shù)列.

?S3+a3+S