2022-2023學年湖北省恩施州來鳳縣高三年級（上）數(shù)學期末模擬測試2

來鳳縣2022-2023學年高三年級(上)期末模擬測試

數(shù)學

一、單項選擇題(本題共8個小題，每小題5分，共40分。下列各題，每小題只有一個

選項符合題意。)

1.已知集合知={#)>l},N={Mf—2x<o},則u=()

A.(0,1)B.(1,2)C.(0,+oo)D.(2,+oo)

2.若復數(shù)=g,貝ij|+/|=()

A.25B.7C.5D.\1~5

3.六名志愿者到北京、延慶、張家口三個賽區(qū)參加活動，若每個賽區(qū)兩名志愿者，則安排方式共

有()

A.15種B.90種C.540種D.720種

4."sine"是"sine=^cosa”的()

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.現(xiàn)要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首鋼滑雪大跳臺三個場

館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲和乙都沒被安排去首鋼滑

雪大跳臺的種數(shù)為()

A.12B.14C.16D.18

6.已知點A(-1,2),B（l,0）,C（l,-2）,￡)(4,2),則向量AB與CO夾角的余弦值為()

A,也BO「70D.還

U.------

10101010

7.已知橢圓E:三+馬=1(。>匕〉0)的左頂點和上頂點分別為A5,若的垂直平分線過E的

a-b

下頂點C,則E的離心率為()

A.巫B.3C."D.1

3333

8.已知數(shù)列｛4｝滿足：LT=）/+1）則下列說法正確的是（）

??+i?）.

A.若4>1,則數(shù)列｛4｝是單調遞減數(shù)列

B.若0</<1,則數(shù)列｛4｝是單調遞增數(shù)列

1c,

C.4=2時，cz?+1+——>2+4〃

??+1

11c,

D.a,=—時，+<2+4/7

2??+1

二.多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多個選

項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然

的象征.如圖是一個半徑為火的水車，一個水斗從點A。,-G）出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋

轉，且旋轉一周用時6秒.經過，秒后，水斗旋轉到P點，設點P的坐標為（x,y）,其縱坐標滿足

y=/(/)=Hsin(d+0)(fNO,3>OM<m),則下列結論正確的是()

71

A.（P--

3

B.當/e[0,3]時，函數(shù)y=/（f）單調遞增

C.當re|,y時，點尸的縱坐標越來越小

D.當，=5時，|酬=2

10.某工廠研究某種產品的產量x（單位：噸）與需求某種材料y（單位：噸）之間的相關關系,

在生產過程中收集了4組數(shù)據如表所示

X3467

y34

根據表中的數(shù)據可得回歸直線方程y=0.7x+a，則以下正確的是（）

A.變量x與y正相關B.y與x的相關系數(shù)廠<0

c.a=0.35D.產量為8噸時預測所需材料約為噸

11.設。>。>0,則下列不等式中一定成立的是（）

A.e“>e〃B.>lo§?

22

bb+\11

C.—<----D.----<—

aa+\a+bah

12.已知正方體ABC。—A4G2的棱長為2,p,。分別為棱AA，2G的中點，必為線段切

上的動點，則（）

A.PQ//BC

B.PQ^B.M

C.三棱錐尸一。加瓦的體積為定值

D."為做的中點時，則二面角M-PQ-耳的平面角為60°

三.填空題（共4題，總計16分）

13.已知函數(shù)〃x）=（e*+aer）ln（x+Gn）是偶函數(shù)，則4=.

14.一個盒子內裝有形狀大小完全相同的5個小球，其中3個紅球2個白球.如果不放回依次抽取

3個球，則在第一次抽到紅球的條件下，第二次抽到紅球的概率為.______.

22

15.已知雙曲線C：土-匕=1的左右焦點分別是￡,⑸，點。是。的右支上的一點（不是頂點），

169

過K作/￡陽的角平分線的垂線，垂足是材，。是原點，則|,刈=—.

16.已知P為正方體ABCO-AgCQ表面上的一個動點，AB=2，M是棱AB延長線上的一點,

且=若PM=20，則動點P運動軌跡的長為._______.

四.解答題（共6題，總計74分）

17.已知等比數(shù)列｛叫的公比為s前。項和為S,,,凡〉0,34+2%=%，凡=13%+4.

⑴求｛叫；

（2）記數(shù)列｛a,,｝中不超過正整數(shù)7的項的個數(shù)為勾，求數(shù)列｛粼｝的前100項和10n.

18.已知△46。的內角46,C的對邊分別為a",c,2?cosA-4^(ccosB+bcosC),b-A/3C,a=1,

求△4笈的面積.

19.為了調查某蘋果園中蘋果的生長情況，在蘋果園中隨機采摘了100個蘋果.經整理分析后發(fā)現(xiàn),

蘋果的重量x（單位：kg）近似服從正態(tài)分布N（0.4,4），如圖所示，已知P（x<0.1）=0.1,

P(x<0.3)=0.3.

（1）若從蘋果園中隨機采摘1個蘋果，求該蘋果的重量在（0.5,0.7］內的概率;

（2）從這100個蘋果中隨機挑出8個，這8個蘋果的重量情況如下.

重量范圍（單位：kg）[0.1,0.3)[0.3,0.5)[0.5,0.7]

個數(shù)242

為進一步了解蘋果的甜度，從這8個蘋果中隨機選出3個，記隨機選出的3個蘋果中重量在

［0.3,0.7］內的個數(shù)為X,求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望.

20.如圖，一張邊長為4的正方形紙片力成力，E,尸分別是力。，a1的中點，將正方形紙片沿跖對

折后豎立在水平的桌面上.

（1）求證：EFLAD；

（2）若二面角A-￡F-￡>的平面角為45°,4是線段CF（含端點）上一點，問是否存在點人,使

得直線與平面CW所成角的正切值為g?若存在，求出掰的長度；若不存在，說明理由.

221

21.已知橢圓Er：T+/=l（a>b>。）的離心率為5,短軸長為2G.

（1）求橢圓E的標準方程；

r2

（2）已知點A、5是雙曲線二I的兩個實軸頂點,點P是雙曲線上異于AB的任意一

a

點，直線P4交E于M,直線PB交E于N,證明：直線的傾斜角為定值.

22.過點P（aS）可以作出曲線y=lnx的兩條切線，切點分別為48兩點.

(1)證明：0<a<eJ

（2）線段16的中點"的橫坐標為與，比較與與a的大小關系.

來鳳縣2022-2023學年高三年級（上）數(shù)學期末模擬測試

參考答案及解析

單項選擇題

1.【答案】：C

【解析】:由e*T>l得,T>e°,

函數(shù)y=e"R上單調遞增，則％-1>0,即知="|%>1},

又由/一2%<0得0<x<2,即"={x[0<x<2},

所以MDN={X|X>0}.

故選：C.

2.【答案1C

【解析工因為2=瞿=歿心=2+4，，所以z+l=3+4i,故|z+止疹斤=5.

故選：C.

3.【答案】:B

【解析】：解：先從六名志愿者中選擇兩名志愿者到北京參加活動，有C；=15種方法，再從剩下

4名志愿者中選擇2名志愿者到延慶參加活動，有盤=6種方法，最后從剩下的2名志愿者中選擇

2名志愿者到延慶參加活動，有C；=1種方法.由乘法分步原理得共有15x6x1=90種方法.

故選：B

4.【答案】：D

ITT、冗

【解析】：由sina,可得a=—+2A肛火￡Z或a=—+2%肛%cZ,

266

當a=—+2k7r,kEZ時，此時sina上心~cosa,即充分性不成立；

63

反之當sina=—'cosa時，tana=,其中?？蔀?，此時sina=-《，即必要性不成立，

3362

所以“sina=1”是"sina=^^cosa”的既不充分也不必要條件.

23

故選：D.

5.【答案】:B

【解析工因甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，計算安排種數(shù)有兩類辦法：

若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速滑館,

有A；=2種;

若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有C；=2種，然后剩下的一個人和甲、乙

被安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有C；A；=6種，則共有2x6=12種，

綜上可得，甲和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數(shù)為12+2=14.

故選：B

6.【答案1B

【解析】:設A8與CO夾角為。，因為AB=（2,—2）,8=（3,4）,所以3$6=與"=—也

2V2x510

故選：B

7.【答案】：A

【解析】：由題可知A（—。,0）,8（0,。）,。（0,—與，因為的垂直平分線過E的下頂點C,所以

卜4=忸。|,則=解得：a=6b，所以E的離心率6=

故選：A

8.【答案】:C

【解析?】：由—1）.=（■+[€N*）得見J_2?向+]=a"+M+1,

aa

4+1nn+la,

即（。"+1+—）一（4,+'）=4,

所以數(shù)列｛q+,｝是以4為公差的等差數(shù)列，

a“

函數(shù)fW=X+-,

X

A項，??>1,a?+1>1,f（x）在（1,y）上是單調遞增函數(shù)，即數(shù)列｛4｝是單調遞增數(shù)列，

B項，0<區(qū),<1,/（x）在（0,1）上是單調遞減函數(shù)，即數(shù)列｛%｝是單調遞減數(shù)列,

1515“八“3

C項，［=2時，可知4+丁耳，%+/5+4(〃-1)=4〃-5,

135

an+}H----=4(〃+1)——=4〃+—>2+4〃，

4+i22

1151…

D項，4=7?時，4+—=7，由C知，%+1+>2+4”，

242%

故選：c.

多選題

9.【答案】：CD

【解析工因為A（l,—6）,所以%=-?,|。4|=2,

因為旋轉一周用時6秒，所以角速度0=?2TT=g7T,

63

所以％=%+四="JT一J(T，

/JT7T

所以根據三角函數(shù)的定義可得y=/Q）=2sin%=

所以夕=-?，所以A錯誤，

對于B,當/w[0,3]時，則函數(shù)在此區(qū)間上不單調，所以B錯誤，

511TTTCTT34511

對于C,當fe時，所以函數(shù)在上單調遞減，所以點P的縱坐

_乙乙_/DD乙_乙乙_

標越來越小，所以C正確，

對于D,當，=5時，6>p=yx5-y=y,所以尸（一1,一百），因為人（1,一6）,所以1PAi=2,所

以D正確，

故選：CD

10.【答案】:ACD

3+4+6+7「2.5+3+4+5.9

【解析】：X=5，y=------；------=3.85,

4

3.85=0.7x5+a,a=3.85—0.7x5=0.35,

所以y=0.7x+0.35.

所以變量X與y正相關，y與X的相關系數(shù)r>0,a=0.35,產量為8噸時預測所需材料約為

0.7x8+0.35=5.95噸.

所以ACD選項正確，B選項錯誤.

故選：ACD

11.【答案】：AC

【解析】：依題意。>。>0,

由于y=e，在R上遞增，所以e">eJA選項正確.

由于>在(0,+“)上遞減，所以logyUogl”,B選項錯誤.

b+\ba(6+l)-6(a+l)a-bbb+\八、小皿丁「五

—7—=7—八—=-7—n>0，所以一<—，C選項正確.

4+1a研。+1)仆+1)aa+1

對于D選項，4=3,2=2,----=—,—=—,---->—,D選項錯誤.

a+b5ab6a+bab

故選：AC

12.【答案1BC

【解析】：由正方體的性質可知BC〃4G，PQ與BC不平行，故A錯誤;

由正方體的性質可知PQ，4A，PQJ.qB,又BRcB]B=Bi，

PQ±平面BRDB,又B]Mu平面BRDB,

PQ±B{M,故B正確;

由題可知必到平面4G的距離為定值02,三角形PQBX的面積sPQB、為定值，所以

==

^P-QMBt^M-PQB,3^PQB、d為定值，故C正確；

如圖建立空間直角坐標系，則尸(l,0,2),Q(0,l,2),M(l,l,0),

.?.PQ=(T,l,0),QM=(l,0,-2),

設平面聞葉的法向量為m=(x,y,z),則

m-PQ=-x+y=0

令z=1則機=（2,2,1）,

m-QM=x-2z=0

平面的法向量可取n=(0,0,1),

設二面角M—P。-4的平面角為a,則

cosa=故D錯誤.

故選：BC.

填空題

13.【答案】:-1

【解析】：/(-x)=(e-1+ae*)In卜x++])=心力+ae*)In(Jf+]_1)

由〃x)為偶函數(shù),則/(x)=/(r)

即(e“+恁-，)111(1+&+l)=(e-^+aex)ln(&+i-%)

2

即(e"+加-")】n(x+[x+1)=-⑹，+ae")In+1+X

所以e'+ae-*=-97+加")，則e*+e-*+e)故a=-l

故答案為：-1

14.【答案】：y.

【解析】：記事件A:第一次抽到紅球，記事件8:第二次抽到紅球，

aC?Qp(A3)351

貝廳(A)=，P(AB)=-^=-,因此，所求概率為P(B|A)=磊親=而、4=子

。1^51Ur1vJz,

故答案為：

15.【答案苔4

【解析】：延長交PF；于Q,由于PM是N片“2的角平分線，6MlpM,

所以三角形QP《是等腰三角形，所以|尸。|=歸司，且反是。鳥的中點.

根據雙曲線的定義可知|P耳|一|「勾=2。，即\QF{\=2a,

由于。是￡月的中點，所以M0是三角形06%的中位線,

所以|MO|=；|Q用=a=4.

故答案為：4

16.【答案】：(夜+1)萬.

【解析工因為AB=2，M是棱AB延長線上的一點，且AB=8M，所以8M=2，

由勾股定理，可知MC=4M=20,

因為加=20，所以點P的軌跡是以“為球心，2&為半徑的球與正方體表面的交線，如下如

所示：

所以動點P運動軌跡在平面A8CD上的交的弧線是以M為圓心，MC=2行為半徑的圓弧，其中

該圓弧所對圓心角為f；在平面AAB片上的交的弧線是以M為圓心，加4=2血為半徑的圓弧，

41

TT

其中該圓弧所對圓心角為:；在平面34G。上的交的弧線是以8為圓心，BC=2為半徑的圓弧，

4

7T

其中該圓弧所對圓心角為二；

2

所以動點尸運動軌跡的長為2x?x2收+]x2=(夜+1)萬.

故答案為：(8+1)乃.

17【答案】：

(1)4=3"T

(2)384

【解析工

【小問1詳解】

由3a2+24=%得3a2+2。24=”2。2，則d-2夕一3=0,

因?！?gt;0,則“>0,q=3,

又8=13%+4,q(l3'')=g+4,],

1-31

所以4=3"，

【小問2詳解】

(2)由題設及(1)得仇=1,且當3"T<加<3"時，bm=n,即

瓦=2=1,2="=…=々=2,bg—b、o=…=b26=3,

%=%==%)=4,%i=%=-b100=5,

所以工oo=1x2+2x6+3x18+4x54+5x20=384.

18【答案】：

【解析】：

解：因為2優(yōu)054=6(?:058+反05。)，由正弦定理得：2sinAcosA=6(sinCcos3+sinBcosC),

即2sinAcosA=Gsin(B+C)

即2sirt4cosA=J§sinA，又因為4為內角，sinA>0?所以cosA="

2

因為A?0,?),所以A=f.

6

根據余弦定理/=〃+。2-2)ccosA及Z?=6c，a=l,A=^,得1=3<?+c?一zgc?.且，

62

即。2=1，即C=l,b=也.

所以△力a'的面積S^ABC=；bcsinA=^x>/3xlx^=

19【答案】:

(1)0.2；

9

(2)分布列答案見解析，數(shù)學期望為J.

4

【解析】：

【小問1詳解】

解：已知蘋果的重量x(單位：kg)近似服從正態(tài)分布N(0.4,er?),

由正態(tài)分布的對稱性可知，

P(0.5<x<0.7)=P(0.1<x<0.3)=P(x<0.3)-P(x<0.1)=03-0.1=0.2,

所以從蘋果園中隨機采摘1個蘋果，該蘋果的重量在(0.5,0.7］內的概率為0.2.

【小問2詳解】

解：由題意可知，隨機變量X的所有可能取值為1、2、3,

2

皆r'C3C2cl15c[A

P(X=1)=P(X=2)=-^P(X=3)=

28J28C；14

所以，隨機變量X的分布列為:

X123

3155

P

詆314

9

3cl5c5

所以E(X)=1x----F2x----F3x—4-

282814

20【答案】：

(1)證明見解析

(2)存在；次的長度為2

【解析】：

小問1詳解】

因為EF上AE，EFLDE，AEDE=E,

所以所，平面ADE.

因為ADu平面力比；所以

【小問2詳解】

方法一：

因為￡F_LAE,EF±DE,所以NAED是二面角4一所-〃的平面角，即NAED=45°.

因為所，平面ADE,所以平面CDEF_1_平面/龍.

過力作AGLOE,垂足為G,因為平面CDEF?平面4)￡=。￡,

所以AGJ_平面磁汽

連結的，則NAKG為/4與平面CW所成的角，即tan4KG=!.

3

在Rt.-AGE中，因為A￡=2,NA￡D=45°,所以AG=及.

AG1

在RtZ^AGK中，因為tan/AKG=—；=-,所以KG=30.

KG3

設KF=《0WT2),過K作KH_LDE于凡則G"=|夜—4

在R3KG”中，由KH'GH?=KG?，得4?+(及一，

解之得f=0或.=20(舍)，所以仔'=0，即CK=2.

方法二：因為ERLAE，所，小，所以NAED是二面角/一廝一〃的平面角，即NA￡D=45。.

建立如圖所示的空間直角坐標系，設K/=《0?fW2),則

(6,立、.(6夜1

A(2,0,0),K—,AK=—t-2,—t,4

I22JI22)

設直線4人與平面而印所成角為夕，則tan6=!，從而sin。=2.

設平面CW法向量為“=(x,y,z),直線44的方向向量與平面CW法向量所成的角為萬，則

因為EE=(0,0,4),￡D=(V2,V2,0),

[u-EF=4z=0,、

所以「廠，令,=-1,則“=(1,一1,0)

[“?后。=缶+丹=0

此時，點《為點尸，成的長度為2.

21【答案1

(2)證明見解析.

【解析1

【小問1詳解】

c1

a2a=2

22

解：由題意得＜2。=26,解得，b=B所以，橢圓￡的標準方程為工+匕=

,43

cr=b2+c2C=1

【小問2詳解】

22

解：由(1)知，雙曲線方程為±-±=1.

43

設尸(七,％),則3片—4y；=12,則巾=芯片一4),

因為A(—2,0)、8(2,0),所以即

x0+2x0-2x0-44

設直線PA的方程為〉=左(％+2),

y=k(x+2)

聯(lián)立消去了得(3+4公)》2+16公%+16《2-12=0,

<3X2+4/=12,

16k2-126-8k2

由韋達定理可