2023年高三物理二輪練習(xí)18 帶電粒子在組合場(chǎng)和疊加場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)問題（解析版）

2023年高三物理二輪高頻考點(diǎn)沖刺突破

專題18帶電粒子在組合場(chǎng)和疊加場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)問題

專練目標(biāo)____________________________________專練內(nèi)容____________________________________

目標(biāo)1高考真題(IT—4T)

目標(biāo)2帶電粒子在二維平面組合場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)問題(5T-8T)

目標(biāo)3帶電粒子在三維空間組合場(chǎng)中動(dòng)力學(xué)問題(9T-12T)

目標(biāo)4帶電粒子在交變組合場(chǎng)中動(dòng)力學(xué)問題(13T—16T)

目標(biāo)5帶電粒子疊加場(chǎng)中直線類動(dòng)力學(xué)問題(17T—20T)

目標(biāo)6帶電粒子疊加場(chǎng)中曲線類動(dòng)力學(xué)問題(21T-24T)

【典例專練】

一、高考真題

1.2021年中國(guó)全超導(dǎo)托卡馬克核聚變實(shí)驗(yàn)裝置創(chuàng)造了新的紀(jì)錄。為粗略了解等離子體在托卡馬克環(huán)形真空

室內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀況，某同學(xué)將一小段真空室內(nèi)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)理想化為方向均水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)

(如圖)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為瓦若某電荷量為q的正離子在此電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，其

速度平行于磁場(chǎng)方向的分量大小為刃，垂直于磁場(chǎng)方向的分量大小為V2,不計(jì)離子重力，則()

A.電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率為qE《v；+v；B.該離子受到的洛倫茲力大小為"由

C.也與V/的比值不斷變大D.該離子的加速度大小不變

【答案】D

【詳解】A.根據(jù)功率的計(jì)算公式可知P=&cos仇則電場(chǎng)力的瞬時(shí)功率為P="v∕,A錯(cuò)誤；

B.由于盯與磁場(chǎng)8平行，則根據(jù)洛倫茲力的計(jì)算公式有尸洛B錯(cuò)誤；

C.根據(jù)運(yùn)動(dòng)的疊加原理可知，離子在垂直于紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，沿水平方向做加速運(yùn)動(dòng)，則V/增大,

V2不變，V2與山的比值不斷變小，C錯(cuò)誤；

D.離子受到的安培力不變，電場(chǎng)力不變，則該離子的加速度大小不變，D正確。

故選Do

2.如圖所示，磁控管內(nèi)局部區(qū)域分布有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。電子從M點(diǎn)由靜

止-釋放-，沿圖-中所-示軌跡?依次經(jīng)過N、尸兩點(diǎn)。已知"、?在同一等勢(shì)面上，下列說法正確的有（）

XXq；χX

X衣X；

A.電子從N到P,電場(chǎng)力做正功

B.N點(diǎn)的電勢(shì)高于P點(diǎn)的電勢(shì)

C.電子從M到N,洛倫茲力不做功

D.電子在M點(diǎn)所受的合力大于在P點(diǎn)所受的合力

【答案】BC

【詳解】A.由題可知電子所受電場(chǎng)力水平向左，電子從N到尸的過程中電場(chǎng)力做負(fù)功，故A錯(cuò)誤；

B.根據(jù)沿著電場(chǎng)線方向電勢(shì)逐漸降低可知N點(diǎn)的電勢(shì)高于P點(diǎn)，故B正確；

C.由于洛倫茲力一直都和速度方向垂直，故電子從Λ/到N洛倫茲力都不做功；故C正確：

D.由于M點(diǎn)和尸點(diǎn)在同一等勢(shì)面上，故從〃到產(chǎn)電場(chǎng)力做功為0,而洛倫茲力不做功，M點(diǎn)速度為0,

根據(jù)動(dòng)能定理可知電子在P點(diǎn)速度也為0,則電子在M點(diǎn)和尸點(diǎn)都只受電場(chǎng)力作用，在勻強(qiáng)電場(chǎng)中電子在

這兩點(diǎn)電場(chǎng)力相等，即合力相等，故D錯(cuò)誤；

故選BCo

3.中國(guó)"人造太陽(yáng)"在核聚變實(shí)驗(yàn)方面取得新突破，該裝置中用電磁場(chǎng)約束和加速高能離子，其部分電磁場(chǎng)

簡(jiǎn)化模型如圖所示，在三維坐標(biāo)系。中Z中，0<z,,”空間內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場(chǎng)I,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,方向沿

X軸正方向；-3d..z<0,兒0的空間內(nèi)充滿勻強(qiáng)磁場(chǎng)II,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為交8,方向平行于Xoy平面，

2

與X軸正方向夾角為45。；z<0,y≤0的空間內(nèi)充滿沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。質(zhì)量為機(jī)、帶電量為+4的

離子甲，從yθz平面第三象限內(nèi)距y軸為/,的點(diǎn)A以一定速度出射,速度方向與Z軸正方向夾角為尸，在yθz

平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后，經(jīng)坐標(biāo)原點(diǎn)。沿Z軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)I。不計(jì)離子重力。

（1）當(dāng)離子甲從A點(diǎn)出射速度為%時(shí)，求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E;

（2）若使離子甲進(jìn)入磁場(chǎng)后始終在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，求進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的最大速度%;

（3）離子甲以翌■的速度從。點(diǎn)沿Z軸正方向第一次穿過Xoy面進(jìn)入磁場(chǎng)I,求第四次穿過xS平面的位

2m

置坐標(biāo)（用d表示）；

（4）當(dāng)離子甲以等的速度從。點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)I時(shí)，質(zhì)量為4〃?、帶電量為+q的離子乙，也從。點(diǎn)沿Z軸正

2m

方向以相同的動(dòng)能同時(shí)進(jìn)入磁場(chǎng)I,求兩離子進(jìn)入磁場(chǎng)后，到達(dá)它們運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)間差A(yù)（忽略

離子間相互作用）。

ZA

d

ZZZI//8//

【答案】⑴竺也細(xì)”（2）型；⑶（d,d,。）：⑷（2+2√Σ）W

qLmqB

將離子甲從A,點(diǎn);出射速度為％分解到沿y軸方向和Z軸方向，離子受到的電場(chǎng)力沿y軸負(fù)方向，可知離子沿

Z軸方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，沿歹軸方向做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，從A到。的過程，有L=V（ICos/71：v0smβ=at

再聯(lián)立解得E=竺逆叱*

mqL

（2）離子從坐標(biāo)原點(diǎn)。沿Z軸正方向進(jìn)入磁場(chǎng)I中，在磁場(chǎng)I中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過磁場(chǎng)I偏轉(zhuǎn)后從歹軸

進(jìn)入磁場(chǎng)Il中，繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示

Z

由洛倫茲力提供向心力可得以8=叱，qv?*B=時(shí)可得4=應(yīng)《為了使離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，則離子磁

42r1

場(chǎng)1運(yùn)動(dòng)時(shí).，不能從磁場(chǎng)I上方穿出。在磁場(chǎng)Il運(yùn)動(dòng)時(shí)，不能XoZ平面穿出，則離子在磁場(chǎng)用運(yùn)動(dòng)的軌跡半

徑需滿足外＜d,r,≤3d聯(lián)立可得v≤型要使離子甲進(jìn)入磁場(chǎng)后始終在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的最大速

m

度為四；

tn

(3)離子甲以察的速度從。點(diǎn)沿Z軸正方向第一次穿過Xoy面進(jìn)入磁場(chǎng)I,離子在磁場(chǎng)I中的軌跡半徑為

2/W

mvyd

mvdr'--^

邛=—=彳離子在磁場(chǎng)Il中的軌跡半徑為2-√22離子從0點(diǎn)第一次穿過到第四次穿過宜“平

qB2a-B

2

離「第四次穿i-?g°U二=2八、in45。=,/R「第四次穿U的-3'"u=2∕=d

故離子第四次穿過XQy平面的位置坐標(biāo)為(乩d,0)。

(4)設(shè)離子乙的速度為v',根據(jù)離子甲、乙動(dòng)能相同，可得:/w∕=2χ4加W可得丫，=：=爭(zhēng)離子甲、離

2224m

nιvd4陽(yáng)M

子乙在磁場(chǎng)I中的軌跡半徑分別為?=七=彳，/'=r="=2々’離了甲、離了乙在磁場(chǎng)Il中的軌跡半

qB2qB

mV_√2<∕4∕nv,rr,__

徑分別為務(wù)=F-=亍，々=—√Γ?！砸弧备鶕?jù)幾何關(guān)系可知離子甲、乙運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)

Q--Bq--B

t=TT=2πw2πm=7J1?-

從。點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)到第一個(gè)交點(diǎn)的過程，有甲一ILqBy/2~t)qB

q?-γB

_1,lzl2τr?4〃12π?4箕歷πm

δ=1+2=X

222￠5√2d^可得離子甲、乙到達(dá)它們運(yùn)動(dòng)軌跡第一個(gè)交點(diǎn)的時(shí)

Cl?----D

2

間差為加=壇-，甲=(2+2五)W

qB

4.圖是一種花瓣形電子加速器簡(jiǎn)化示意圖，空間有三個(gè)同心圓°、6、c圍成的區(qū)域，圓α內(nèi)為無(wú)場(chǎng)區(qū)，圓

。與圓6之間存在輻射狀電場(chǎng)，圓6與圓C之間有三個(gè)圓心角均略小于90。的扇環(huán)形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)I、Il和111。

各區(qū)感應(yīng)強(qiáng)度恒定，大小不同，方向均垂直紙面向外。電子以初動(dòng)能與。從圓Z,上尸點(diǎn)沿徑向進(jìn)入電場(chǎng)，電

場(chǎng)可以反向，保證電子每次進(jìn)入電場(chǎng)即被全程加速，已知圓α與圓6之間電勢(shì)差為U,圓6半徑為/?,圓C

半徑為JJA,電子質(zhì)量為加，電荷量為e,忽略相對(duì)論效應(yīng)，取tan22.5。=0.4。

(1)當(dāng)耳。=0時(shí)，電子加速后均沿各磁場(chǎng)區(qū)邊緣進(jìn)入磁場(chǎng)，且在電場(chǎng)內(nèi)相鄰運(yùn)動(dòng)軌跡的夾角。均為45。，

最終從0點(diǎn)出射，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖中帶箭頭實(shí)線所示，求I區(qū)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小、電子在I區(qū)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

時(shí)間及在。點(diǎn)出射時(shí)的動(dòng)能；

(2)已知電子只要不與1區(qū)磁場(chǎng)外邊界相碰，就能從出射區(qū)域出射。當(dāng)瓦O=AeU時(shí)，要保證電子從出射

區(qū)域出射，求A■的最大值。

【答案】（1）5跖,兀RG而，8eU;（2）上

eR4eU6

【詳解】（1）電子在電場(chǎng)中加速有2eU=!〃?y在磁場(chǎng)I中，由幾何關(guān)系可得,?=Rtan225=0.4R;

2

4口="士聯(lián)立解得用=基電在磁場(chǎng)I中的運(yùn)動(dòng)周期為7=應(yīng)由幾何關(guān)系可得，電子在磁場(chǎng)I中運(yùn)動(dòng)

reRV

的圓心角為夕=3乃在磁場(chǎng)I中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=?7聯(lián)立解得t=IR品而從0點(diǎn)出來(lái)的動(dòng)能為《=8eU

（2）在磁場(chǎng)1中的做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑為7,此時(shí)圓周的軌跡與I邊界相切，由兒何關(guān)系可得

222

（√3∕?-rm）=/?+rm解得q=等R由于Blevm=用臺(tái)：2eU=^mv^-keU聯(lián)立解得?=y

二、帶電粒子在二維平面組合場(chǎng)中的動(dòng)力學(xué)問題

5.水平地面上方豎直邊界MN右側(cè)離地面a=3m處有長(zhǎng)為L(zhǎng)=O.9Im的光滑水平絕緣平臺(tái)（厚度不計(jì)），平臺(tái)

的左邊緣與MN重合，此時(shí)平臺(tái)上方存在E∣=2√∑N∕C的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)方向與水平方向成（9角，指向左

下方，MN邊界左側(cè)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)8和沿豎直方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)第（圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)

度B=LOT。平臺(tái)右邊緣有一質(zhì)量m=0.1kg?電量q=0.1C的帶正電小球，以初速度h=0?6m∕s向左運(yùn)動(dòng)。小

球在平臺(tái)上運(yùn)動(dòng)的過程中，。為45。至90。的某一確定值，小球離開平臺(tái)左側(cè)后恰好在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)

動(dòng)。小球可視為質(zhì)點(diǎn)，g=10m∕s2,求：

（1）電場(chǎng)強(qiáng)度￡的大小和方向；

（2）若6=45。，小球離開平臺(tái)左側(cè)后在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;

（3）若。=90。，小球落地點(diǎn)到N點(diǎn)的水平距離。

【答案】(I)10N/C,方向豎直向上：(2)-yS：(3)0.36m

【詳解】(1)因?yàn)樾∏蛟贛N邊界左側(cè)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所受到的電場(chǎng)力必等于重力，有qE2=mg

代入得到&=10N∕C方向豎直向上

(2)若。=45。，小球勻加速通過MN有最大速度,此時(shí)α=EIqc°，9=2m/s?由吸、-*=2aL可得Va=2m/s

m

n↑vh—RI

對(duì)應(yīng)半徑及.=→≡=2m對(duì)應(yīng)圓心角α=90o+Θ旦Sinθ=--≡-=彳所以α=i20。所以小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)

BqRmax2

120°F12πm2π

的時(shí)間"礪T=-X---------=——s

3qB3

(3)若O=90。，小球勻速通過MN有最小速度vmin=0.6m/S小球從MN邊界飛出的最小半徑

RmM=*=°?6m設(shè)小球落到N點(diǎn)右邊時(shí)，到N點(diǎn)的水平距離為s,由平拋運(yùn)動(dòng)得力-2&M=ggf'2

的2

解得S=Vmi/=0.36m

6.如題圖，在區(qū)域I內(nèi)有方向未知電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在區(qū)域H內(nèi)有右邊無(wú)邊界豎直向下的勻強(qiáng)電

場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度同為從在區(qū)域I、II邊界/8與Co之間有一圓心為。|半徑A=40cm的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)

有垂直紙面向里磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且該圓形區(qū)域無(wú)重力。兩個(gè)體積相同可視為質(zhì)點(diǎn)的金屬小球

a、6分別位于ON和。上，a、6與圓心Q等高，且6球所在位置是CO與圓形磁場(chǎng)的切點(diǎn)。現(xiàn)將a球以

一定速度釋放，能平行于0A/勻速運(yùn)動(dòng)，一段時(shí)間后。球與6球發(fā)生彈性碰撞，碰撞后兩小球均分電荷，

t

忽略兩小球間的庫(kù)侖力。已知a小球質(zhì)量叫=4x10Ykg,電荷量%=+2XIO-C；b小球質(zhì)量叫=2χl（Γkg,

不帶電；。8長(zhǎng)S=24cm:除圓形區(qū)域外的其他區(qū)域重力加速度均為g=10m∕s2,萬(wàn)取3.14。求：

（1）區(qū)域I內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向以及釋放速度；

（2）小球a從出發(fā)到與小球b發(fā)生碰撞所經(jīng)歷的時(shí)間（保留兩位小數(shù)）；

（3）小球.、6碰撞后在CO與CW圍城的區(qū)域Il內(nèi)相距的最大距離。

【答案】（I）2V∕m,方向豎直向上，4m/s；（2）1.17s；（3）巫m

10

【詳解】（1）小球〃以一定的初速度釋放后，沿直線勻速運(yùn)動(dòng)，可知電場(chǎng)的方向豎直向上，根據(jù)二力平衡

qE=mg解得E=2V∕m由題意可知，。恰能與b發(fā)生彈性碰撞，可知其軌跡一定在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)了90。，在。∣

作出軌跡如圖所示

2

根據(jù)qvB解得v=4m∕s

（2）根據(jù)題意可知，a小球撞上b小球經(jīng)歷三段時(shí)間，設(shè)在最初電場(chǎng)和重力場(chǎng)疊加場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為％,

在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，2，在純重力場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為4，則有4=^=0?06s,=；箸=°?Es,

V

4=2—=0.8s則有％=a+芍+G≈?-?7s

g

（3）a恰能與b發(fā)生彈性碰撞,碰撞前匕=V=4m/s根據(jù)動(dòng)量守恒得mava=mava+mbvb根據(jù)機(jī)械能守恒得

Sa=解得匕'=gm∕sV；=與m/s碰撞后兩球做類平拋運(yùn)動(dòng),由于兩球質(zhì)量不一樣,

所以豎直方向的加速度不一樣。設(shè)“小球豎直方向的加速度為4,分小球豎直方向的加速度為右，根據(jù)

aE+niaS2

F八-qE+mg=ma解得％=^=15m/s,a2=%E+/g=zθm/s?由此可知b小球先到達(dá)CM邊緣,

mamh

所用的時(shí)間為。。作出軌跡如圖所示

根據(jù)夫=；&1解得0=0?2s設(shè)。、/，小球平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)，在空間相距乩則建立函數(shù)關(guān)系有

d=J（??J+MJ=Ni）＞+；（g_a,"=116/+爭(zhēng)4上式表明a、b小球在空間距離d是它

們同時(shí)在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，的增函數(shù)，即當(dāng)f=%=0?2s時(shí)，兩球距離最遠(yuǎn)，即d=J161+gr；=嚕m兩球

豎直方向高度差ΔΛ=R-；。/=0.1m水平方向的位移差?χ=%'/-”"=0.8m根據(jù)幾何關(guān)系可知最大距離

d=Λ/ΔΛ2+?r2=m

10

7.如圖，光滑絕緣水平桌面上有一個(gè)矩形區(qū)域/BCD,BC長(zhǎng)度為4L,CD長(zhǎng)度為63E、尸、G、，分別

為4D、BC、AB、CD的中點(diǎn)，以FE為y軸、G4為X軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為。。EFCD

區(qū)域存在垂直桌面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為線；GOE/區(qū)域存在沿X軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)

度為G=型皂，GBFO區(qū)域有沿V軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。質(zhì)量為〃八電荷量為+0的絕緣小球Q靜止在磁

3m

場(chǎng)中。點(diǎn)。質(zhì)量為公〃的帶電量也為+4的絕緣小球P,以大小為VP=型匹的初速度從BG邊界上的某點(diǎn)沿

m

與BG邊界夾角為。=37。的方向進(jìn)入電場(chǎng)。小球P與Q恰好在。點(diǎn)沿X軸方向發(fā)生彈性正碰，碰撞前后小

球Q的電量保持不變，小球P、Q均可視為質(zhì)點(diǎn)。

（1）求G8尸。區(qū)域勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度心的大??；

（2）若小球Q從8邊離開磁場(chǎng)，求左的最小值；

（3）若小球Q從Eo邊中點(diǎn)離開磁場(chǎng)，求人的可能值。

【答案】⑴&=2縱〃8；；(2)圖.=5；⑶左可能為二或;或Il

25m11723

【詳解】(1)依題意，可得小球P在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，有2Z=VpSina；VPCoSg=尊√聯(lián)立解得益=絲她宣

km225m

(2)兩球碰撞有h"°Vp=h嗎+””；?^nf-v1=，而寸+1M聲解得V=JIi八VP=J聶LB；、小球Q在

52∣k5J225(A+1)5加/+1)

磁場(chǎng)中有「Bo="?L解得r=TTJ^可知，r越小，％越小，當(dāng)r=2Z,時(shí)，％最小，解得％ιnM=5

r5(k+1)

(3)Q從Ez)中點(diǎn)離開磁場(chǎng)，有以下幾種：如圖由幾何關(guān)系

22

3L=2r2+r2-√r2-I解得“=工或々'=(￡代入軌跡表達(dá)式解得《=沁k；=||若小球以%垂直進(jìn)入左邊

界，速度恰為。，則有/心坐e3所以A的值應(yīng)小Ea3,以上解均附合。

女可能為者25或15或U25

8.如圖所示，真空中四個(gè)!絕緣圓弧柱面彼此相切，垂直紙面固定放置，圓弧半徑為凡其中柱面1中間

位置開一條狹縫。在裝置中心。處有一粒子源，無(wú)初速釋放質(zhì)量為加、電荷量為+q的粒子。在。與狹縫之

間加一電壓為U的加速電場(chǎng)。在圓形區(qū)域內(nèi)設(shè)計(jì)合適的勻強(qiáng)磁場(chǎng)可使離開狹縫的粒子做逆時(shí)針方向的循環(huán)

運(yùn)動(dòng)。已知粒子與柱面的碰撞為彈性碰撞，碰撞過程中電荷量沒有損失，不計(jì)粒子重力及粒子間相互作用。

求：

（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的速度大?。?/p>

（2）四個(gè)圓形區(qū)域所加磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值及方向；

（3）在（2）的情境下，若僅同步調(diào)整圓形區(qū)域2、3、4內(nèi)的磁場(chǎng)，試導(dǎo)出磁感應(yīng)強(qiáng)度的所有可能值。

I犯?=0,1,2...)

，垂直紙面向里；（3）β""~π一

Atanq

4（〃+1）

【詳解】（1）粒子從O點(diǎn)開始加速到達(dá)狹縫過程，由動(dòng)能定理得gU=gm∕解得V=

m

（2）根據(jù)左手定則可知粒子要做逆時(shí)針方向的循環(huán)運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)方向必須垂直紙面向里。由洛倫茲力提供向

心力得qvB=機(jī)二解得廠=W由幾何知識(shí)可得磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值對(duì)應(yīng)軌跡半徑的最大值o做出臨界情況下的

rqB

軌跡如圖所示:

2

L

由幾何關(guān)系有公X+%uCOS45°=Hsin45°可得飛χ=（&-1）氏又妙外”=花」一解得=勿代入已知量

'max"naX

可得“Q+物）惜

（3）滿足題意的各種情況中，除第一象限外，另外三個(gè)象限軌跡半徑的最大值為幾軌跡弦長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)

圓的圓心角為若粒子與柱面2碰撞一次，則上述圓心角為粒子與柱面2碰撞兩次，則上述圓心

222

角為（工彳.…若粒子與柱面2碰撞,次，則上述圓心角為（一、］一由幾何關(guān)系得4=Rtan產(chǎn)木

V3√21"+1J24（〃+1）

v-2tnvR=______1__包，"=0,1,2...)

又qvBn=m—得Bn=——代入已知量得”一π

rq{Λtan—-q

〃n4（〃4

三、帶電粒子在三維空間組合場(chǎng)中動(dòng)力學(xué)問題

9.如圖所示，在O—平三維坐標(biāo)系中，y>0空間一側(cè)有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，y<0空間一側(cè)有沿y

軸負(fù)方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。一帶正電粒子以速度%從X軸上的4點(diǎn)Gd,0,0）處在Xoy平面內(nèi)沿與X軸正方

向成37。角射入電場(chǎng)中，已知粒子質(zhì)量為加，電荷量為q,粒子恰好經(jīng)過。點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8=2},

qd

sin37°=0.6,cos370=0.8.粒子的重力忽略不計(jì)，求：

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E;

（2）粒子射入電場(chǎng)開始計(jì)時(shí)，第〃次經(jīng)過y軸的時(shí)刻；

（3）粒子在磁場(chǎng)中第〃次距y軸最遠(yuǎn)時(shí)離Z點(diǎn)的位移大小。

I答案】⑴甯⑵?G2,3...）；⑶加―S2,3）

【詳解】（1）粒子在電場(chǎng)中做類斜拋運(yùn)動(dòng)，則有d=%cos37W,-hsin37。=%sin37。-也,

m

解得E=要學(xué)

25qd

（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，在XoZ平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在y軸上沿y軸負(fù)向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有

∕°cos37"8=m（廿37），7=,第，則粒子射入電場(chǎng)開始計(jì)時(shí)，第〃次經(jīng)過J，軸的時(shí)刻

L,Sd+^πdn

t2=t.+nT（w=l,2,3...）解得G=------------（〃=1,2,3...）

(3)粒子在磁場(chǎng)中第〃次距)，軸最遠(yuǎn)時(shí)，粒子沿y軸負(fù)方向移動(dòng)的距離y=%sin37°(2"l)j(w=l,2,3...)

2222

粒子距離y軸最大的距離Z=2R則A點(diǎn)的位移大小χ0=Jd+y+z解得XO="犧+9伽-1)。g,

3...)

10.如圖甲所示，位于P處的粒子源不斷產(chǎn)生初速度為零的帶正電的粒子，粒子經(jīng)兩板間勻強(qiáng)電場(chǎng)加速后

沿圖中;圓弧虛線通過靜電分析器，從。點(diǎn)垂直XOy平面向上進(jìn)入長(zhǎng)方體有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，恰好打在EH

的中點(diǎn)加速電場(chǎng)的電壓為U,兩板間距為小靜電分析器通道內(nèi)有均勻輻向分布的電場(chǎng)，圓弧虛線的半

徑為L(zhǎng)。磁場(chǎng)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度瓦(大小未知)的方向沿J，軸負(fù)方向(圖中未畫出)；磁場(chǎng)區(qū)域的高為日L,

底面NBCD為正方形，位于X。)，平面內(nèi)，邊長(zhǎng)為3中心為O,48邊與X軸平行；長(zhǎng)方體上表面EFG，為

一熒光屏。粒子質(zhì)量為加，電荷量為g,不計(jì)粒子重力。求：

(1)輻向電場(chǎng)中虛線處的電場(chǎng)強(qiáng)度E的大??；

(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度瓦的大小；

(3)粒子從P運(yùn)動(dòng)到M的時(shí)間t?,

2乃2τt

(4)若x、y方向的磁場(chǎng)按如圖乙所示隨時(shí)間周期性變化，其中用=&Sin7r/,By=-Bllcos-1,磁場(chǎng)變

化的周期為兀不計(jì)粒子間的相互作用，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間遠(yuǎn)小于磁場(chǎng)變化的周期，不考慮磁場(chǎng)變化

產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)粒子的影響。試確定一個(gè)周期內(nèi)粒子在熒光屏上留下的光斑軌跡形狀，并寫出軌跡方程(用X,

y,Z坐標(biāo)表示)。

7-√3

z=-L

2

【詳解】（1）粒子在加速電場(chǎng)中有W=Sd-O粒子在靜電分析器中，由電場(chǎng)力提供粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向

心力qE=m］解得E=

（2）若粒子恰好能打在的中點(diǎn)其軌跡如圖所示

-V2,≈n1∣2mU

爐解得K=Z粒子做圓周運(yùn)動(dòng),有qvB。=m一解z7i得z&----

LLNq

（3）粒子在加速電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有L=；叫?粒子在靜點(diǎn)分析器中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，

L乙

有qE=m苓L由題意可知，粒子運(yùn)動(dòng)四分之一周期，所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，2=（粒子在磁場(chǎng)中有刀=平

0

由（2）的軌跡及幾何關(guān)系可知，粒子的軌跡圓的圓心角為。=60。，有4=三刀所以粒子從P點(diǎn)到M點(diǎn)的

2π

時(shí)間為，=4+t2+g=(12+；%M

6NIqU

（4）在磁場(chǎng)區(qū)域的合磁場(chǎng)為5=巧逅=用所以粒子在磁場(chǎng)中做圓周的軌跡半徑為R=R=L

其粒子在一個(gè)周期內(nèi)留下的光斑為圓，如圖所示

由幾何關(guān)系可知，其光斑的半徑為〃=與圓心的坐標(biāo)為（0,0,旦），其軌跡方程為/+V=g;Z=EA

2242

11.某型號(hào)質(zhì)譜儀由加速區(qū)域和偏轉(zhuǎn)區(qū)域構(gòu)成，如圖所示，O1,。2為加速電場(chǎng)兩金屬板上的小孔，長(zhǎng)方體

形狀的偏轉(zhuǎn)區(qū)域位于側(cè)面P、〃之間，分界面。將該區(qū)域分為寬度均為d的相同的I、∏兩部分，。0'是長(zhǎng)

方體的中心線，且。八。2、。、在同一水平直線上?以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，垂直紙面向內(nèi)為X軸、豎直向上

為y軸、水平向右為Z軸建立直角坐標(biāo)系。Uz，區(qū)域I、∏內(nèi)分別充滿沿X軸正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)和勻強(qiáng)電

場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E,加速電場(chǎng)的電壓為S某種帶正電的待測(cè)粒子流從。/孔飄

入電場(chǎng)（初速度視為零），加速后從處射出，再?gòu)?。點(diǎn)進(jìn)入偏轉(zhuǎn)區(qū)域，穿過分界面0后，再?gòu)膫?cè)面"穿

出，不計(jì)粒子重力。

（1）若己知粒子流穿過分界面。時(shí)的y坐標(biāo)為”，求粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角度的正弦值；

（2）若已知粒子流穿過側(cè)面M時(shí)的X坐標(biāo)為M，求粒子的比荷；

（3）若希望增大笊、瓶打到M板上在X方向的距離，可以采取怎樣的措施。請(qǐng)定性給出兩種可行的方法；

（4）若已知粒子的電量為外質(zhì)量為機(jī)，加速電壓U在波動(dòng)，即（""一4,）≤〃≤（〃”+△”）,磁場(chǎng)B、電場(chǎng)E

穩(wěn)定，分別用砧、砒表示粒子流穿過側(cè)面M時(shí)的X坐標(biāo)的最小值、最大值，求的值。

dd

根據(jù)幾何關(guān)系有之=（A-Mi）2+/，sinθ=（解得R=《產(chǎn)，Sine=署2

（2）在。、α兩金屬板間，由動(dòng)能定理得夕。=；機(jī)F在區(qū)域/中，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)力提供向心

力,由牛頓第二定律得08=族（聯(lián)立解得夫=J番L設(shè)區(qū)域〃中粒子沿Z軸方向的分速度為VZ,沿X軸

正方向加速度大小為",運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/,由牛頓第二定律得Eg=Wa粒子在Z軸方向做勻速宜線運(yùn)動(dòng)，由

運(yùn)動(dòng)合成與分解的規(guī)律得=vcosα;d=%∕,?cosa=近ΞZ粒子在X方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，

R

由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式X。=；""聯(lián)立得5=（慧-E）/

（3）可知，若希望增大笊、病打到M板上在X方向的距離，可以適當(dāng)增大磁感應(yīng)強(qiáng)度8或者適當(dāng)增大電場(chǎng)

強(qiáng)度E,適當(dāng)減小。。

（4）若改變加速電壓U,y軸側(cè)移隨之改變，磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)角也發(fā)生改變，根據(jù)上述有x=g必

2m

d=vcosa4在加速電場(chǎng)中有=解得X=Ed2磁場(chǎng)中有*=與=4域.根據(jù)幾何關(guān)系有

24Ucos?aqBBNq

COSa=亞T■解得I=空-逆?可知加速電壓增大，粒子在X軸方向上的距離亦增大，若加速電壓。

R'XEd'mE

在波動(dòng)，即（“°—△"）≤“≤（"o+品）時(shí)，當(dāng)電壓為"θ+△"時(shí)，X坐標(biāo)達(dá)到的最小值XW,當(dāng)電壓為“0—品時(shí),

J____4("n+A")2qB?'(有坦一笨］解得J_」善

X坐標(biāo)達(dá)到的最大值W2。

?∣?IEdlmE)

2(EdmE)x0∣x02Ed

12.如圖所示，在。-型坐標(biāo)系中，左、右側(cè)空間分別有沿歹軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和沿冗軸負(fù)方向磁感

應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；足夠大的平面MN與X軸垂直，距。點(diǎn)距離A）=當(dāng)警，現(xiàn)有一質(zhì)量為加、電荷

量為q的帶正電粒子從P（-2∕,-√i∕,0）點(diǎn)沿X軸正方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)，恰好過。點(diǎn)并進(jìn)入右側(cè)空間，不計(jì)

粒子的重力和邊界效應(yīng)，求:

（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)E的大小;

（2）粒子經(jīng)過O點(diǎn)后距X軸的最大距離出

4OπMjυo3mvll3?∕3mvn

'3,3qB,~2Bq`2Bq

粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則2L=%t;√3L=1J?2解得E=Y??

【詳解】⑴Z

2mIqL

(2)過。點(diǎn)的速度分解為匕和4,其中2L="=v(∕;&=±f解得％=6%粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后，在沿X

軸方向上以％做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在〉OZ平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，可得q5{=∕M匕

R

解得R=叵也所以粒子在經(jīng)過o點(diǎn)后距X軸的最大距離為d=2R=速吆

BqBq

-2πR2πmLn40πtn

(3)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T=——=一―粒子打到平面仞V上所經(jīng)歷的時(shí)間為f,則，=」=二七

VVqBv03qB

40τrm

則5=4絡(luò)=V即,=6。T經(jīng)過整周期粒子又回到了X軸，即打在MV板時(shí)，相當(dāng)于轉(zhuǎn)動(dòng),T所在的位置,

1711∏333

IB

3加%3VJwv_3必加%

z=R+Rcos60°=0

2Bq2Bq2Bq

,4Oπmv3wv3>y∕3mv0

則粒子打到平面MN上的位置坐標(biāo)為(4,y,Z),π1fo0

、（3qB，2Bq'2Bq'

四、帶電粒子在交變組合場(chǎng)中動(dòng)力學(xué)問題

13.兩塊面積和間距均足夠大的金屬板水平放置，如圖1所示，金屬板與可調(diào)電源相連形成電場(chǎng)，方向沿V

軸正方向。在兩板之間施加磁場(chǎng)，方向垂直XQV平面向外。電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律如圖2

所示。板間。點(diǎn)放置一粒子源，可連續(xù)釋放質(zhì)量為加、電荷量為第4>0)、初速度為零的粒子，不計(jì)重力及

粒子間的相互作用，圖中物理量均為已知量。求：

(I)f=0時(shí)刻釋放的粒子，在f=:Tk時(shí)刻的速度；

2通

πm4πm

(2)f=7^-時(shí)刻釋放的粒子，在/=F時(shí)刻的位置坐標(biāo)；

2祝qB0

4萬(wàn)E6TT777

(3)在X=—?-直線上放置一排粒子接收器，在0~F時(shí)間內(nèi)哪些時(shí)刻釋放的粒子在電場(chǎng)存在期間被

祖qB0

接收。

Ek

4E。-

34-

2E,?

E0-

------------------------------O

"B，\

BG.

--------------?O12345678,1πmx

X〃（F）

-----------------qB。

圖1圖2

2

?一、■,4冗ECm5πEm八，，，九m.』2πm

【答案】（I）0:（2）（―?,n°x）；（3）°4f≤-和，=

雙M0oqBr°洛

【詳解】（1）在0?一二時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度為線，帶電粒子在電場(chǎng)中加速度，根據(jù)動(dòng)量定理可知

7Γ∕W7Vttl7TETtlYl2兀TTI

5

qE0?一-=wvl解得粒子在一看時(shí)刻的速度大小為Vl=-^?"在F~一丁時(shí)間內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng),

qB。qB。BoqBnqBn

2冗m

且運(yùn)動(dòng)的周期7=一丁可知粒子偏轉(zhuǎn)180°,速度反向，由于洛倫茲力不改變帶電粒了的速度大小，所以

qB

27rιn7tE2τζττι

I=F-時(shí)該粒子的速度大小為巧=宏且此時(shí)速度方向豎直向下，0~-Z-時(shí)間內(nèi)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖

洛Bo洛

2πm5ττm

則在F?不G-時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度為2&）,帶電粒子在電場(chǎng)中做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，規(guī)定向上為正方向，根

通IqB0

兀m5兀m

據(jù)動(dòng)量定理可知92F0?--=Wv3+W%解得粒子在W時(shí)刻的速度大小為匕=0

2祖2qBu

（2）f=普■時(shí)刻釋放的粒子，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖

O%

兀m?！?兀m

在不G------丁時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度為品，帶電粒子在電場(chǎng)中加速度，根據(jù)動(dòng)量定理可知?了W-=TW4

2洛qBn2qB?>

乃加JCE

解得粒子在F-時(shí)刻的速度大小為%="方向豎直向I:.粒子豎直向上運(yùn)動(dòng)的距離

qB02B0

2

（V.+0）TimπEnm兀In2πtn,F1πm

%=近=--―丁丁=0在F----丁時(shí)間內(nèi)，粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)的周期T=一丁可

2IqB08qB∕qB0qB0qB

2幾m

知粒子偏轉(zhuǎn)180°,速度反向，由于洛倫茲力不改變帶電粒子的速度大小，所以，=一1時(shí)該粒子的速度方

qB。

向堅(jiān)!工向卜，速度大小為匕=根qvB=m—可對(duì)植廣水,門句∕∣運(yùn)君的正道；/J-v∣=2八=2-^=~τb~

2綜"rqBtt洛

此時(shí)粒子的位置坐標(biāo)為4（2?r,q?>在粵?粵時(shí)間內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度為24，粒子受到的電場(chǎng)力豎直向

qB?的瑞qB。qB。

τtrn3ττm

上，規(guī)定