數(shù)學(xué)競賽專題講座七年級第7講-一元一次方程(含答案)

第七講一元一次方程早在300多年前法國數(shù)學(xué)家笛卡爾有一個偉大的設(shè)想：首先把宇宙萬物的所有問題都轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；其次，把所有的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；最后，把所有的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為解方程．雖然笛卡爾“偉大設(shè)想”沒有實(shí)現(xiàn)，但是充分說明了方程的重要性．一元一次方程〔linearequationwithoneunknown〕是代數(shù)方程中最根底的局部，是后續(xù)學(xué)習(xí)的根底，其根本內(nèi)容包括：解方程、方程的解及其討論．解一元一次方程有一般程序化的步驟，我們在解一元一次方程時，既要學(xué)會按部就班(嚴(yán)格按步驟)地解方程，又要能隨機(jī)應(yīng)變(靈活打亂步驟)解方程．當(dāng)方程中的系數(shù)是用字母表示時，這樣的方程叫含字母系數(shù)的方程，含字母系數(shù)的一元一次方程總可以化為的形式，繼續(xù)求解時，一般要對字母系數(shù)、進(jìn)行討論：1．當(dāng)時，方程有惟一解；2．當(dāng)時，方程無解；3．當(dāng)時，方程有無數(shù)個解．如果其他人也像我一樣不迷信權(quán)威，持久而深入地探索數(shù)學(xué)真理，那么他們也將做出我所做的發(fā)現(xiàn)．——C．F．高斯C．F．高斯〔1777-1855〕，著名的德國數(shù)學(xué)家，在代數(shù)、幾何和近代數(shù)論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中做過許多開創(chuàng)性的工作．例題講解【例1】(1)關(guān)于的方程和有相同的解，那么這個解是．(北京市“迎春杯”競賽題)〔2〕如果，那么＝．(江蘇省競賽題)思路點(diǎn)撥(1)設(shè)法建立關(guān)于a等式，再解關(guān)于a的方程求出a的值；(2)恰當(dāng)?shù)亟怅P(guān)于n的一元一次方程．鏈接：對于一般解題步驟與解題技巧來說，前者是通法，后者是技巧；前者是根底，后者是機(jī)智．只有真正掌握一般步驟，才能“熟能生巧”．方程的解是方程理論中的一個重要概念，解題中要學(xué)會從兩個方面去應(yīng)用：(1)求解：通過解方程，求出方程的解進(jìn)而解決問題；(2)代解：將方程的解代入原方程進(jìn)行解題．【例2】當(dāng)時，關(guān)于的方程有無數(shù)多個解，那么等于()．A．B．C．D．不存在(“希望杯”邀請賽試題)思路點(diǎn)撥將代人原方程，整理所得方程，就方程解的個數(shù)情況建立a的等式．【例3】是否存在整數(shù)k，使關(guān)于的方程；在整數(shù)范圍內(nèi)有解?并求出各個解．思路點(diǎn)撥把方程的解x用k的代數(shù)式表示，利用整除的知識求出k．【例4】解以下關(guān)于x的方程．(1)；()(2)；(3)．思路點(diǎn)撥首先將方程化為的形式，然后注意每個方程中字母系數(shù)可能取值的情況進(jìn)行討論．【例5】都是質(zhì)數(shù)，并且以為未知數(shù)的一元一次方程的解是1，求代數(shù)式的值．(“希望杯”邀請賽試題)思路點(diǎn)撥用代解法可得到的關(guān)系式，進(jìn)而綜合運(yùn)用整數(shù)相關(guān)知識分析．鏈接：同一個方程在不同的數(shù)集范圍內(nèi)求解，其解集往往是不同的．對于含字母系數(shù)的方程，我們不但可討論方程根的個數(shù)，而且還可以探求解的性態(tài)，如整數(shù)解、正數(shù)解，負(fù)數(shù)解，解這類問題，常常要用到整數(shù)知識、枚舉、分類討論等方法。解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括號，去括號與合并同類項(xiàng)可交替進(jìn)行；(2)當(dāng)括號內(nèi)含有分?jǐn)?shù)時，常由外向內(nèi)先去括號，再去分母；(3)當(dāng)分母中含有小數(shù)，可用分?jǐn)?shù)的根本性質(zhì)化成整數(shù)；(4)運(yùn)用整體思想，即把含有未知數(shù)的代數(shù)式看作一個整體進(jìn)行變形．【例6】1900年，奧地利科學(xué)家蘭德斯坦納〔1868-1943〕將人的血液分為A型、B型、AB型和O型四種類型．此后，輸血就成為臨床上實(shí)際可行的重要治療措施，輸血時，應(yīng)以輸入同型血為原那么，也就是每種血型的人可以給自己同血型的人輸血．但在沒有同型血而又情況緊急時，A型和B型的人可以給AB型的人輸血，O型的人可以給各種血型的人輸血．〔1〕根據(jù)題意，利用ABO血型之間在輸血時的相互關(guān)系填寫下表〔要求：用“+”或“—”填入相應(yīng)的空格處〕：獻(xiàn)血者紅細(xì)胞〔含凝集原〕受血者血清〔含凝集原〕A型〔抗B〕B型〔抗A〕AB型〔無〕O型〔抗A、抗B〕A型〔A〕—+—+B型〔B〕+—+AB型〔A、B〕+—+O型〔無〕————注：“+”表示有凝集反響，“—”表示無凝集反響．〔2〕一個O型血的人需要緊急輸血，現(xiàn)有18人獻(xiàn)血，與A型血發(fā)生凝集者為9人，與B型血發(fā)生凝集者為7人，與A、B型血都發(fā)生凝集者和都不發(fā)生凝集者共有8人，求獻(xiàn)血者中的候選人是幾個人？〔2007年北京市上地實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末試題〕思路點(diǎn)撥〔1〕略；〔2〕根據(jù)血清原理，設(shè)其中一種血型的人數(shù)，用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示其他血型人數(shù)，不難求解．【例7】如圖，8塊相同的長方形地磚拼成一個長方形，每塊長方形地磚的長和寬分別是多少？根底訓(xùn)練一、根底夯實(shí)1.x=-1是關(guān)于x的方程7x3-3x2+kx+5=0的解,那么k3+2k2-11k-85=______.2.計(jì)算器上有一個倒數(shù)鍵,能求出輸入的不為零的數(shù)的倒數(shù)(注:有時需先按或鍵,再按鍵,才能實(shí)現(xiàn)此功能,下面不再說明).例如,輸入2,按下鍵,那么得0.5,現(xiàn)在計(jì)算器上輸入某數(shù),再依以下順序按鍵:--,在顯示屏上的結(jié)果為-0.75,那么原來輸入的某數(shù)是_______.(第17屆江蘇省競賽題)3.方程(20x+50)+(5+2x)-(4x+10)=0的解為______;解方程｛[(x-3)-3]-3｝-3=0,得x=_______.4.關(guān)于x的方程2a(x-1)=(5-a)x+3b有無數(shù)多個解,那么a=_____,b=_____.(“希望杯”邀請賽試題)5.和方程x-3=3x+4不同解的方程是().A.7x-4=5x-11B.+2=0C.(a2+1)(x-3)=(3x+4)(a2+1)D.(7x-4)(x-1)=(5x-11)(x-1)6.a是任意有理數(shù),在下面各題中(1)方程ax=0的解是x=1(2)方程ax=a的解是x=1(3)方程ax=1的解是x=(4)方程│a│x=a的解是x=±1結(jié)論正確的個數(shù)是().A.0B.1C.2D.3(江蘇省競賽題)7.方程x-[36-12(x+1)]=x-2的解是().A.B.-C.D.-8.關(guān)于x的一次方程(3a+8b)x+7=0無解,那么ab是().A.正數(shù)B.非正數(shù)C.負(fù)數(shù)D.非負(fù)數(shù)9.解以下關(guān)于x的方程:(1)ax-1=bx;(2)4x+b=ax-8;(3)k(kx-1)=3(kx-1).10.a為何值時,方程+a=-(x-12)有無數(shù)多個解?無解?二、能力拓展11.方程2(x+1)=3(x-1)的解為a+2,那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解為_______.12.關(guān)于x的方程9x-3=kx+14有整數(shù)解,那么滿足條件的所有整數(shù)k=_______.(“五羊杯”競賽題)13.+4(+)=1,那么代數(shù)式1872+48·()的值為_________.14.假設(shè)(3a+2b)x2+ax+b=0是關(guān)于x的一元一次方程,且有惟一解,那么x=_____.15.有4個關(guān)于x的方程：(1)x-2=-1(2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)(3)x=0(4)x-2+=-1+其中同解的兩個方程是().A.(1)與(2)B.(1)與(3)C.(1)與(4)D.(2)與(4)16.方程++…+=1995的解是().A.1995B.1996C.1997D.199817.a+2=b-2==2001,且a+b+c=2001k,那么k的值為().A.B.4C.-D.-4(第15屆江蘇省競賽題)18.假設(shè)k為整數(shù),那么使得方程(k-1999)x=2001-2000x的解也是整數(shù)的k值有().A.4個B.8個C.12個D.16個(第12屆“希望杯”邀請賽試題)19.假設(shè)干本書分給小朋友,每人m本,那么余14本;每人9本,那么最后一人只得6本,問小朋友共幾個?有多少本書?20.下邊橫排有12個方格,每個方格都有一個數(shù)字,任何相鄰三個數(shù)字的和都是20,求x的值.(上海市競賽題)三、綜合創(chuàng)新21.如果a、b為定值,關(guān)于x的方程=2+,無論k為何值,它的根總是1,求a、b的值.(山東省競賽題)22.將連續(xù)的自然數(shù)1～1001按如圖的方式排列成一個長方形陣列,用一個正方形框出16個數(shù),要使這個正方形框出的16個數(shù)之和分別等于:(1)1988;(2)1991;(3)2000;(4)2080.這是否可能?假設(shè)不可能,試說明理由;假設(shè)可能,請寫出該方框16個數(shù)中的最小數(shù)與最大數(shù).(2002年河北省競賽題)12345678910111213141516171819202122232425262728…………99599699799899910001001答案：1.-105.2.設(shè)原來輸入的數(shù)為x,那么-1=-0.75,解得x=0.23.-;904.、-5.D6.A7.A8.B9.(1)當(dāng)a≠b時,方程有惟一解x=;當(dāng)a=b時,方程無解;(2)當(dāng)a≠4時,方程有惟一解x=;當(dāng)a=4且b=-8時,方程有無數(shù)個解;當(dāng)a=4且b≠-8時,方程無解;(3)當(dāng)k≠0且k≠3時,x=;當(dāng)k=0且k≠3時,方程無解;當(dāng)k=3時,方程有無數(shù)個解.10.提示:原方程化為0x=6a-12.(1)當(dāng)a=2時,方程有無數(shù)個解;當(dāng)a≠2時,方程無解.11.10.512.10、26、8、-8提示:x=,9-k│17,那么9-k=±1或9-k=±17.13.2000提示:把(+)看作一個整體.14.1.515.A16.B17.B18.D提示:x=為整數(shù),又2001=1×3×23×29,k+1可取±1、±3、±23、±29、±(3×23)、±(3×29)、±(23×29)、±2001共16個值,其對應(yīng)的k值也有16個.19.有小朋友17人,書150本.20.x=521.提示:將x=1代入原方程并整理得(b+4)k=13-2a,此式對任意的k值均成立,即關(guān)于k的方程有無數(shù)個解.故b+4=0且13-2a=0,解得a=,b=-4.22.提示:設(shè)框中左上角數(shù)字為x,那么框中其它各數(shù)可表示為:x+1,x+2,x+3,x+7,x+8,x+9,x+10,x+14,x+15,x+16,x+17,x+21,x+22,x+23,x+24,由題意得:x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+…x+24=1998或1999或2000或2001,即16x+192=2000或2080解得x=113或118時,16x+192=2000或2080又113÷7=16…余1,即113是第17排1個數(shù),該框內(nèi)的最大數(shù)為113+24=137;118÷7=16…余6,即118是第17排第6個數(shù),故方框不可框得各數(shù)之和為2080.提高訓(xùn)練1．是關(guān)于的一元一次方程，那么關(guān)于的一元一次方程的解是________．2．如圖是一個數(shù)表，現(xiàn)用一個長方形在數(shù)表中任意框出4個數(shù)，那么：〔1〕、的關(guān)系是：__________；〔2〕當(dāng)時，______．〔四川省中考題〕3．〔1〕方程的解是______．〔廣西競賽題〕〔2〕在有理數(shù)范圍內(nèi)定義一個運(yùn)算“※”其規(guī)那么為※=，那么方程※〔※2〕=的解為________．(重慶市競賽題)4．假設(shè)方程是關(guān)于的一元一次方程，那么代數(shù)式的值為〔〕．A．1或B．1C．D．2〔廣西競賽題〕5．關(guān)于的方程的解滿足，那么的值為〔〕．A．B．1C．或D．或6．對任意四個有理數(shù)、、、，定義新運(yùn)算：，，那么〔〕．A．B．C．3D．4〔希望杯競賽題〕7．假設(shè)是方程的解，那么=______．8．是以為未知數(shù)的一元一次方程，如果，那么