2023年高考數(shù)學理一輪復習教學案第4章4-6函數(shù)y＝Asinωx＋φ

4.6函數(shù)y=力Sin(GX+Φ)

【考試要求】

1.結(jié)合具體實例，了解y=Asin(ox+0)的實際意義；能借助圖象理解參數(shù)°,φ,A的意義，

了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.

2.會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數(shù)構建刻畫事物周期變化的數(shù)學

模型.

【知識梳理】

1.簡諧運動的有關概念

振幅周期頻率相位初相

y=Asin(①x+e)(A>O,ω>0),x≥0F2π〃13

AT=—-=---ωx+φ

ωJT2兀φ

2.用“五點法”畫y=Asin(5+°)(A>0,加>0)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點

π3π

ωx+φOπ2π

2~2

兀3兀

0~~3φτt-φ2一夕2τt-φ

X2~

ωωω

ωω

y=Asin(S+9)OAO-AO

3.函數(shù)y=sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)=Asin(<ux+o)(A>O,<υ>0)的圖象的兩種途徑

【常用結(jié)論】

1.函數(shù)y=Asin(s+w)+%圖象平移的規(guī)律：“左加右減，上加下減”.

2.由y=sincox至!]y=sin((υx+9)(3>O,p>0)的變換：向左平移2個單位長度而非0個單位長度.

3.函數(shù)y=Asin(0υc+0)圖象的對稱軸由①x+s=E+，AWZ確定；對稱中心由3r+9=E,

Z∈Z確定其橫坐標.

【思考辨析】

判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或"X”)

(1)把y=sinx的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的g,縱坐標不變，所得圖象對應的函數(shù)解析

式為y=sin2x?(×)

⑵將y=sin2x的圖象向右平移看個單位長度，得到y(tǒng)=sin(2x—§的圖象.(√)

(3)函數(shù)/(x)=ASin(3r+p)(A≠0)的最大值為A,最小值為一A.(X)

(4)如果y=Acos(c0x+8)的最小正周期為T,那么函數(shù)圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為

T,、

2?(zJ)

【教材改編題】

1.為了得到函數(shù)y=sin(3x—的圖象，只要把y=sin3x的圖象()

A.向右平移彳個單位長度

B.向左平移彳個單位長度

C.向右平移自個單位長度

D.向左平移疊個單位長度

答案C

2.為了得到y(tǒng)=3cos(3x+§的圖象，只需把y=3cos(x+∣)圖象上的所有點的()

A.縱坐標伸長到原來的3倍，橫坐標不變

B.橫坐標伸長到原來的3倍，縱坐標不變

C.縱坐標縮短到原來的小橫坐標不變

D.橫坐標縮短到原來的;，縱坐標不變

答案D

3.如圖，某地一天從6~14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin(5+p)+4A>0,0<p<π,

則這段曲線的函數(shù)解析式為.

77t

3°------------

20—/;

1()—I?II

^0[w616l'4i/h

答案y=10sin(∣r+引+20,x∈[6,l4]

解析從題圖中可以看出，從6~14時的圖象是函數(shù)y=Asin((ox+[)+〃的半個周期,

所以A=；X(30—10)=10,

?=∣×(30+10)=20,

I2JrTr

又EXK=I4—6,所以吟

π

又WXlo+p=2E,kRZR<φ<‰

所以9=華，

所以y=10sinex+引+20,x∈[6,l4].

題型一函數(shù),V=ASin（CoX+夕）的圖象及變換

例1（1）（2021.全國乙卷）把函數(shù)產(chǎn)外）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的T倍，縱坐標不

變，再把所得曲線向右平移W個單位長度，得到函數(shù)y=sin（χ-J的圖象，則./U）等于（）

答案B

解析依題意，將y=sing-g的圖象向左平移1個單位長度，再將所得曲線上所有點的橫坐

標擴大到原來的2倍，得到y(tǒng)（x）的圖象，

將其圖象向左平轉(zhuǎn)個單位長度.吟山加々所有點的橫坐標擴大到原來的2倍

---------------------------------?>=Sln（X+j5J的圖象---------------------

?x）=SinG+舊的圖象.

（2）（2022?天津二中模擬）將函數(shù)y=sinIx的圖象向左平移p（θ≤e<5個單位長度后，得到函數(shù)

y=cos(2x+1)的圖象，則夕等于()

?ππ

A?12B6

CWD?苧

答案C

解析y=sin2x=cos(2x—5

將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移°個單位長度后，

Tl

得到函數(shù)y=cos2(x+φ)~2

=CoS(2x+28-5)

=COS(2x+到

Tt71

由題意知2伊一∕=d+2E(Z∈Z),

兀

則^=2÷?π(?∈Z),

TTTT

又0＜夕＜1，所以0=Q.

【備選】

I.要得到函數(shù)y=cos(2x—的圖象，可以把函數(shù)y=sin(2x+g的圖象()

A.向右平移看個單位長度

B.向右平移去個單位長度

C.向左平移2個單位長度

D.向左平移盍個單位長度

答案D

解析函數(shù)y=cos(2x-

所以只需將y=sin（2x+1）的圖象向左平移各個單位長度就可以得到尸^儂一方的圖象.

2.（2020?江蘇）將函數(shù)y=3sin（2x+：）的圖象向右平移器個單位長度，則平移后的圖象中與??

軸最近的對稱軸的方程是.

答案工=_,

解析將函數(shù)y=3sin（2x+；）的圖象向右平移看個單位長度，

所得圖象的函數(shù)解析式為

y=3sin2（x_/+：］=3sin（2x-苗

兀TT

令2χ--^=kπ+y?∈Z,

得對稱軸的方程為X=竽+養(yǎng)k∈Z,

分析知當A=-1時，對稱軸為直線x=一碧，與），軸最近.

思維升華（1）由y=sinGzr的圖象到y(tǒng)=sin（（υx+3）的圖象的變換：向左平移?（＜υ＞0,勿＞0）個

單位長度而非3個單位長度.

（2）如果平移前后兩個圖象對應的函數(shù)的名稱不一致，那么應先利用誘導公式化為同名函數(shù)，

①為負時應先變成正值.

跟蹤訓練1（1）（2020?天津）已知函數(shù)於）=sin（x+鼻）.給出下列結(jié)論：

①/（x）的最小正周期為2π;

②/（分是人外的最大值；

③把函數(shù)y=sinX的圖象上所有點向左平移當個單位長度，可得到函數(shù)y=Kx）的圖象.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

答案B

解析T=W=2兀，故①正確.

當2kπ（k∈Z）,

JT

即x=d+2kn（kGZ）時，/）取得最大值，故②錯誤.

向左平移,個單位長度

y=sinx的圖象-----:--------

y=sin(x+1)的圖象，故③正確.

⑵(2022?開封模擬)設。>0,將函數(shù)y=sin(s+∣)的圖象向右平移處單位長度后，所得圖象

與原圖象重合，則3的最小值為()

A.3B.6C.9D.12

答案D

解析將函數(shù)y=sin(ox+∣)的圖象向右平移/個單位長度后，所得圖象與原圖象重合，

故會為函數(shù)y=sin(ft)x+/的周期，

u2kππ.,*、

即r1K=小1∈N*),

則cυ=12Z(k∈N*),

故當A:=1時，co取得最小值12.

題型二由圖象確定y=Asin(ttzr+9)的解析式

例2(1)(2022?安徽蕪湖一中模擬)已知函數(shù)外)=Acos(cυx+0)+R>0,ω>0,?φ?<^

的大致圖象如圖所示，將函數(shù)火X)的圖象上點的橫坐標拉伸為原來的3倍后，再向左平移今個

單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.~^γ+3kπ,3kπ("∈Z)

B.3kπ,3?π÷~(Z∈Z)

C.[-,+3E,一^+3?π

(?eZ)

D.[—f+3E,苧+3E(?∈Z)

答案C

A+h=i,

解析依題意,

-A+?=-3,

A=2f

解得?

b=~l,

故Λχ)—2cos(ωx÷?))-1,

而源)=1，陪)=τ,

.T_7t__7i__π

^4=3~n=49

故則ω=2;

Γ=π=CD~,

.*.2cos^g÷^—1=1,

TT

故d+9=2?π(%WZ),

又MI與故9=一》

?g)=2cos(2r*)-1；

將函數(shù)次用的圖象上點的橫坐標拉伸為原來的3倍后，

得到y(tǒng)=2cos停X-袁)一］,

再向左平移曰個單位長度，

,口…A2,π7tλ

得至IJg(x)=2cos(jx+］一之-1

≈2cos(∣x+∣J-l,

27E

令一兀+2E:≤wx+d≤2E(ReZ),

故一生+3EWXW—彳+3&兀∕∈Z),故函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［—牛+3也，一彳+3攵兀

(%∈Z).

(2)(2021?全國甲卷)已知函數(shù)/)=2COS(QAX+S)的部分圖象如圖所示，則/(?)=.

答案一小

解析由題意可得，%=詈*寸，

=Z

??T~~τt9Ct)7=2,

當X=?;時，ωx+φ=2×^γ+φ=2kπ1Λ∈Z,

13

：?(P=2kπ--^τι(k∈Z).

JT

令々=1可得＜p=-Q

/@=2cos（2×≡-≡）=2cos?-√3.

【備選】

1.（2022?天津中學月考）把函數(shù)y（x）圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的T倍，縱坐標不變,

TT

再把所得曲線向右平移了個單位長度，得到函數(shù)g（x）的圖象，已知函數(shù)g（x）=Asin（Gx+

夕）（A＞0,。＞0,I竭）的部分圖象如圖所示，則火X）等于（）

A.sin^4x÷^

C.SinG+季

答案D

解析先根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)g（x）=ASin（CM+p）的解析式,

由振幅可得A=I,

顯妖Z=四―衛(wèi)=匹

衛(wèi)…43124,

2兀

所以7=兀，所以V=兀，所以"=2,

所以g(%)=sin(2x+p),

再由g(?)=sin(∣+p)=0,

由M《可得9=一/

反向移動先向左平移京個單位長度可得

再將橫坐標伸長到原來的2倍可得

火X)=Sin(X+號).

2.已知函數(shù)∕Λ)=Λcos(ωx+^)(A>0,cυ>O,O<夕<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示,

△EFG(點G是圖象的最高點)是邊長為2的等邊三角形，則人1)=.

JG

O?EFX

答案f

解析由題意得，Λ=√3,7=4=?，ω=^.

又因為J(x)=Acos(ωx+φ)為奇函數(shù)，

所以9=∕+?π,kRLr,由0<9<兀，取k=0,

則3=多

所以XX)=Λ∕3COS(JX+^,

所以大1)=一小.

思維升華確定y=Asin(ωx÷^)÷?(Λ>O,m>0)的步驟和方法

M—mM~?~

(1)求A,。.確定函數(shù)的最大值Λ/和最小值〃?，則A=-2—，b=12--

(2)求①.確定函數(shù)的最小正周期T,則G=停

(3)求處常用方法如下：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下

降區(qū)間上)或把圖象的最高點或最低點代入.

跟蹤訓練2(1)(2020?全Sll改編)設函數(shù)y(x)=cos(3x+§在［-π,π］上的圖象大致如圖，則

T(X)的解析式為()

A.Xx)=cos∣

B.yU)=cos(∣r+^j

C.X%)=cos(jχ-^)

D.KX)=CoS&+

答案B

解析由圖象知兀v7?2τr,即兀＜含＜2兀,

所以l<∣ω∣<2.

因為圖象過點(一半0),

所以COS^-yω+^)=0,

47ΓTrTT

所以--^Yo+d=E+],kRLr,

93

所以①=一那一&RZ.

因為l<∣ω∣<2,

3

故k=-l,得0=g,

所以∕x)=cos(jx+^.

(2)(2022?張家口市第一中學模擬)已知函數(shù)外)=2Sin((OX+p)(co>0,IM)的部分圖象如圖所

示，則。=，為了得到偶函數(shù)y=g(x)的圖象，至少要將函數(shù)y=Λx)的圖象向右平移

個單位長度.

答案56

解析由圖象可知，函數(shù)兀V)的最小正周期為7=2X[6—(-2)]=16,

.2ππ

,,切―

則7(x)=2sin停+9),

由于函數(shù)<x)的圖象過點(一2,0)且在x=-2附近單調(diào)遞增，

π

/.—2×?+^-2?π(fc∈Z),

π

可得9=2E+W∕EZ),

..兀π

?一^嗎，

??fP-49

危)=2Sin停+§,

假設將函數(shù)式X)的圖象向右平移f個單位長度可得到偶函數(shù)g(x)的圖象，

I「K,、I71一

且g(x)=Λτ-r)=2sιn[j(χ-f)+4

(TtH/I兀、

=2Sm(F-W+/,

?^~?÷4~?+E(k∈Z),

o4+Z

解得/=-2—8代IGZ),

?.?f>0,當人=一1時，，取最小值6.

題型三三角函數(shù)圖象、性質(zhì)的綜合應用

命題點1圖象與性質(zhì)的綜合應用

例3(2022?咸陽模擬)若函數(shù),/(x)=2Sin((OX+夕)(。>0,∣9∣g)的最小正周期為π,且其圖象向

左平移看個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，則式X)的圖象()

A.關于直線X=W對稱

B.關于點像0)對稱

C.關于直線X=一2對稱

D.關于點信，0)對稱

答案D

解析依題意可得。="=2,

π

所以TW=2sin(2x+9),

所以人X)的圖象向左平移專個單位長度后所得圖象對應的函數(shù)為g(x)=2sin(zr+W+e),

又函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

TTTT

所以]+s=∕+E,?∈Z,

解得9=*+E,?∈Z,

又1吟，

Tr

所以φ=%,

所以y（x）=2sin（2x+§,

JrTEJΓKTL

由2X+Z=7+E,?≡Z,得X=Z+才，?∈Z,

OZOZ

所以於）圖象的對稱軸為X=/+空，％∈Z,

排除A,C,

TCTtkit

由2x+Z=E,?∈Z,得X=-77+τ7,?∈Z,

OIZZ

則段）圖象的對稱中心為（一盍+竽，o）,k∈Z,排除B,

當Z=I時，一古+，=jf，故D正確.

命題點2函數(shù)零點（方程根）問題

例4已知關于X的方程2si∏2χ-，§sin2x+機-1=0在4兀）上有兩個不同的實數(shù)根，則機

的取值范圍是.

答案（-2,-1）

解析方程2sin2χ-^/?sin2x+m-1=0可轉(zhuǎn)化為

機=1—2sin2x÷√3sin2x=cos2x+y∣3s?n2x

=2sin（2x+到x∈（j,兀）.

設法+春一，則小管,等），

題目條件可轉(zhuǎn)化為勺=sin∕,f∈借，黨有兩個不同的實數(shù)根.

.?,y=，和y=sinf,∕∈（y,譽）的圖象有兩個不同交點，如圖：

由圖象觀察知，%的取值范圍是（一1,-Q,

故機的取值范圍是（一2,-1）.

延伸探究本例中，若將“有兩個不同的實數(shù)根”改成"有實根”，則m的取值范圍是

答案［-2,1）

解析同例題知，，的取值范圍是［一1,

—2Wzn<l,機的取值范圍是［―2,1）.

命題點3三角函數(shù)模型

例5（2022?佛山一中月考）摩天輪常被當作一個城市的地標性建筑，如深圳前海的“灣區(qū)之

光”摩天輪，如圖所示，某摩天輪最高點離地面高度128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，設置若干

個座艙，游客從離地面最近的位置進艙，開啟后按逆時針勻速旋轉(zhuǎn)f分鐘，當f=15時，游

客隨艙旋轉(zhuǎn)至距離地面最遠處.以下關于摩天輪的說法中，正確的為（）

A.摩天輪離地面最近的距離為4米

B.若旋轉(zhuǎn)，分鐘后，游客距離地面的高度為〃米，則∕ι=-60CoS點:+68

C.若在“，/2時刻，游客距離地面的高度相等，則h+f2的最小值為15

D.三八，［0,20］,使得游客在該時刻距離地面的高度均為90米

答案B

解析由題意知，摩天輪離地面最近的距離為128—120=8（米），故A不正確;

，分鐘后，轉(zhuǎn)過的角度為至1,

TTTT

則∕ι=60-60CoSFr+8=-60CoS記1+68,故B正確;

∕z=-60cos?+68,周期為§=30,由余弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，若α+亥取最小值,

I?π

15

又（Z2∈［0,30］,又高度相等，

則A,B關于/=15對稱，

則與立=15,則A+f2=30,故C不正確；

JT

令OWyyWjr,解得OWfWI5,

JT

令π≤*y^∕≤2兀，解得15≤∕≤30,

則函數(shù)后一60CoS帝+68在∕∈((M5］上單調(diào)遞增，在f∈［15,20］上單調(diào)遞減,

當f=15時，Amax=128,

4IT

當f=20時，∕z=-60cos?^+68=98>90,

所以∕ι=90在/《［0,20］內(nèi)只有一個解,

故D不正確.

【備選】

（2022?福州模擬）如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心。距離水面2米，已知水輪每60

秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點Po）開始計時，給出下列結(jié)論：

①點P第一次到達最高點需要20秒;

②當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面2米；

③當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米；

④點P距離水面的高度〃（米）與/（秒）的函數(shù)解析式為∕z=4cos隔+^）+2.

其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②③B.①④

C.①②④D.②?@

答案A

解析設點P距離水面的高度〃（米）和時間"秒）的函數(shù)解析式為

%min=—A+8=—2,

由題意得，

Td=60,

Λ=4,

B=2,

2π__π

G="F=而，

又當t=0時，∕z=4sin9+2=θ(∣8∣<?,

解得9=*，

故力=4Sin隔L*)+2.故④錯誤；

對于①，令∕z=6,即∕z=4singr-。+2=6,

解得f=20,故①正確；

對于②，令/=155,代入〃=4sin《，一季)+2,

解得/?=2,故②正確；

對于③，令f=50,代入∕z=4sin與LwJ+2,

解得人=-2,故③正確.

思維升華(1)研究y=Asin((OX+?)的性質(zhì)時可將ωx+φ視為一個整體，利用換元法和數(shù)形結(jié)

合思想進行解題.

(2)方程根的個數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù).

(3)三角函數(shù)模型的應用體現(xiàn)在兩方面：一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學問題；二是把實際問題抽

象轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，利用三角函數(shù)的有關知識解決問題.

跟蹤訓練3(1)(2022.青島模擬)已知函數(shù)HX)=COS2xcosP-Sin2xsinW(OW的圖象的一個

對稱中心為《，0),則下列說法不正確的是()

A.直線X=居5兀是函數(shù)段)的圖象的一條對稱軸

JT

B.函數(shù)y(x)在［o,上單調(diào)遞減

TT

C.函數(shù)T(X)的圖象向右平移看個單位長度可得到y(tǒng)=cos2x的圖象

D.函數(shù)4x)在［θ,TT上的最小值為一1

答案C

解析..?y(x)=cosZrcos￠)-sin2xsin<p

=COS(2x+e)的圖象的一個對稱中心為值0),

7Γ7Γ

.,.2×^÷^=2÷?π,?∈Z,

π

Λ^=τ+Λπ,?∈Z.

V0<^<^,,￠=崇則y(x)=cos(2x+§.

*.*/倍）=COS（2×γ^+^）=cosπ=-1,

.?.直線X=萱5π是函數(shù)y（x）的圖象的一條對稱軸，故A正確；

當x∈[θ,百時,2x+∣∈?,

函數(shù)於）在[θ,稱上單調(diào)遞減，故B正確；

函數(shù)AV）的圖象向右平移耒個單位長度，

得到y(tǒng)=cos2（x-§+1

=cos（2x—的圖象，故C錯誤；

當x∈[θ,引時,2x+w∈y,yj,

函數(shù)兀t）在[0,上的最小值為COSTt=-1,

故D正確.

（2）（2022?西南大學附中模擬）水車在古代是進行灌溉引水的工具，亦稱“水轉(zhuǎn)筒車”，是一種

以水流作動力，取水灌田的工具.據(jù)史料記載，水車發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1OOO多

年的歷史，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半

徑為R的水車，一個水斗從點A（3,一3?。┏霭l(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一

周用時120秒.經(jīng)過f秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設點P的坐標為（x,y）,其縱坐標滿足y=∕W

=RSin（M+夕）。20,心0,I梏），則下列敘述正確的是（）

A.水斗作周期運動的初相為J

B.在水斗開始旋轉(zhuǎn)的60秒（含）中，其高度不斷增加

C.在水斗開始旋轉(zhuǎn)的60秒（含）中，其最高點離平衡位

置的縱向距離是3√3

D.當水斗旋轉(zhuǎn)100秒時，其和初始點A的距離為6

答案D

解析對于A,由A（3,-3√3）,

知Λ=√32+（-3√3）2=6,

又7=120,所以。=申=強.

當f=0時，點P在點A位置，有一3√5=6sin%

解得sin9=一半，

又1研?多

TT

所以9=一全故A錯誤；

對于B,可知刖=6Sin(W-

當∕∈(0,60]?,?-∣e(-I'?]'

所以函數(shù)用)先增后減，故B錯誤；

對于C,當f∈(0,60]時，

ωt-3e(~y用,河島一拆(一坐，1]

所以點P到X軸的距離的最大值為6,故C錯誤；

對于D,當Z=IOO時,卻一號=當'

P的縱坐標為y=-3小，橫坐標為X=-3,

所以∣∕?∣=∣-3—3|=6,故D正確.

課時精練

1.函數(shù)y(x)=-2COS&+：)的振幅、初相分別是()

A.-2,:B.-2,

C.2,ID.2,-；

答案C

解析振幅為2,當X=O時，9=今即初相為今

2.將函數(shù)式X)=Sin(2%+；)的圖象，向右平移余個單位長度后得到函數(shù)g(x)的解析式為()

A.g(x)=sin2x

B.g(x)=sin(2x+；)

C.g(x)=sin(2x-

D.g(x)=sin(2x+^)

答案C

解析向右平移;個單位長度后得，

g(x)=sin[2(x_§+；]=sin(2x_g.

3.(2022?鄭州模擬)已知函數(shù)負X)=Sin(0x+0)(ft>>O,M)的最小正周期為π,將其圖象向左

平移5個單位長度后對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則/②等于()

A.-?B坐

C.1D,^

答案D

解析因為函數(shù)yU)=sin(ftzx+p)的最小正周期為π,

所以ω=γ=2,

所以J(x)=sin(2x+9)，

圖象向左平移1個單位長度后所得函數(shù)為

y=sin^2^+^)+^=sin^2x+^+^,

因為y=sin,x+號+夕)是偶函數(shù)，

所以與+φ=]+E也￡Z),

TT

所以3=—d+E(Z∈Z),

因為網(wǎng)與

所以k=0,9=一￡，

所以f(D=sin(2X尹^=Si若=；.

4.(2022?天津五十七中月考)函數(shù)兀T)=ASin(CoX+乃b>0,ω>0,加爺?shù)牟糠謭D象如圖所示,

將犬X)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍(縱坐標不變)，再把所得的圖象沿X軸向左

平移W個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)g(x)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為()

「5ππ^∣「兀7π^]

A

?L^T^?jB.日τJ

Γπ3π~∣Γ3ππ~∣

cL4,^8^JD{^8^,2j

答案A

解析根據(jù)函數(shù)4r）=Asin（Gx+p）（A>0,ω>0,|研<§的部分圖象，

-<12π2ππ.C

可γz付bA4=I,〒丁行一不??"=2?

結(jié)合“五點法”作圖可得2X凱專

???9=^y（x）=sin（2x+*）

將述x）的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的4倍（縱坐標不變），

可得y=sin&+§的圖象.

再把所得的圖象沿X軸向左平移1個單位長度，

得到函數(shù)g（x）=singr+聿+5）

=sin（5+§的圖象.

令2E—/W]x+]:≤2fat+,,?∈Z,

5TTTt

解得4E—3^WxW4Aπ+],?∈Z,

可得函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[帆一學，4Zπ+∣,k∈Z,

令仁0,可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為[一言，

5.（2022?深圳模擬）設函數(shù)段）=sin（2x—3的圖象為曲線E,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.（一古，0）是曲線E的一個對稱中心

TT

B.若XIWX2,且y（Xl）=ΛX2）=0,則hl—刈的最小值為5

C.將曲線y=sin2%向右平移;個單位長度，與曲線E重合

D.將曲線y=sinQ-W)上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，與曲線E重合

答案B

解析函數(shù)凡T)=Sin(2x—§的圖象為曲線E,

JT

令x=一萬，求得y(x)=—1,為最小值,

故y(x)的圖象關于直線x=一盍對稱，故A錯誤;

若XlWX2,且yu∣)=y(χ2)=o,

T197ΓTr

則M—12∣的最小值為2=]XE=5，故B正確；

將曲線y=sin2x向右平移1個單位長度,

可得y=sin(2x一芝!的圖象，故C錯誤；

將曲線J=SinG一2上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，可得)，=sin&-3的

圖象，與曲線E不重合，故D錯誤.

6.已知函數(shù)<x)=2sin(ox+0)(o>0,M≤m圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為兀，且對任意

實數(shù)X，都有TWW痣).將函數(shù)y=∕(x)的圖象向左平移步單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象,

則關于函數(shù)y=∕(x)+g(x)描述不正確的是()

A.最小正周期是2兀

B.最大值是出+也

C.函數(shù)在[o,TT上單調(diào)遞增

D.圖象關于直線X=：對稱

答案C

解析由條件知，函數(shù)4X)的最小正周期T=2π=詈2TT，解得勿=1.

TT

則φ=2kτt~?~q?≡Z.

Tr

因為I例W],

所以9=看,

所以犬X)=2sin(x+§,

g(x)=f(x+l

貝(∣fix)+g(x)=2sin(x+^

=(√3÷I)(sinx+cosx)

=(√6+√2)?Sin(X+；),

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)易知，

函數(shù)y=(#+&)SinG+：)的最小正周期T=2兀，

函數(shù)最大值是加+5，函數(shù)在［0,用上單調(diào)遞增，在,，上單調(diào)遞減，

圖象關于直線X=W對稱，所以選項ABD正確，C錯誤.

7.(2022?北京豐臺區(qū)模擬)將函數(shù),/(X)=COS2x的圖象向左平移磯夕>0)個單位長度，得到函數(shù)

g(x)的圖象.若函數(shù)g(x)的圖象關于原點對稱，則°的一個取值為.(答案不唯一)

答案?

解析將函數(shù)"x)=cos2x的圖象向左平移姒9>0)個單位長度,

可得g(x)=cos(2x+2p),由函數(shù)g(x)的圖象關于原點對稱，

可得g(0)=COS23=O,

TT

所以2g=1+E,?≡Z,

TT

當Z=O時，9=7

8.(2022?濟南模擬)已知曲線C∣:y=cosx,C2:y=sin(lr+引，則為了得到曲線C∣,首先

要把C2上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變，再把得到的曲線向右至少平移

個單位長度.(本題所填數(shù)字要求為正數(shù))

答案2言

=sinf2?τx+v-5

.?.先將曲線C2上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，

再把得到的曲線y=sin（2?5+專）向右至少平移專個單位長度.

9.已知函數(shù)4T）=ASin（（WX+0）（A>O,ω>O,一紅夕<9）的最小正周期是兀，且當X=/時，兀0

取得最大值2.

（1）求段）的解析式；

（2）作出兀C）在[0,兀]上的圖象（要列表）；

（3）函數(shù)y=Λx）的圖象可由函數(shù)y=sinX的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

解（1）因為函數(shù)TU）的最小正周期是π,

所以ω=2.

又因為當X=熱，

,/（X）取得最大值2,所以A=2,

同時2X春+9=2hr+],%GZ,

π

φ=2kπ+q1∈Z,

E、，兀兀

因為一千夕巧，

所以9=看，所以於）=2sin（2x+^）.

（2）因為尤∈[0,π],

所以2x+各年甥

列表如下，

ππ3兀13兀

2x+τπ2π

062T"T

π5π2π-llπ

XOπ

612T12

於）12O-2O1

描點、連線得圖象.

(3)將y=sinx的圖象上的所有點向左平移器個單位長度，得到函數(shù)y=sin(x+*的圖象，

再將y=sin(x+§的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的;(縱坐標不變)，

得到函數(shù)y=sin(2x+g的圖象，

再將y=sin(2x+§上所有點的縱坐標伸長2倍(橫坐標不變)，

得到犬X)=2sin(2x+y的圖象.

10.(2022?普寧市第二中學模擬)已知向量∕zι=(sinX,—?),n=(??∕3cosx,cos2x),函數(shù)y(x)

=m?n.

(1)求函數(shù)y(x)的最大值及最小正周期；

⑵將函數(shù)產(chǎn)危)的圖象向左平移季個單位長度，得到函數(shù)y=g(x)的圖象，求g(x)在［o,2j-h

的值域.

解(l)∕(x)=∕zz?k

=√3sinXCosχ-^cos2x

=^sin2x-WCoS2x

所以函數(shù)的最大值為1,最小正周期為

(2)由(1)得_/(x)=sin(2x—

將函數(shù)y=∕(x)的圖象向左平移器個單位長度后得到

y=sin^2^x+^-=Sin(2x+袁)的圖象.

π

又x∈［0,2j>

所以2r+《∈?,sin^2x+^)∈—?,1

π^lj

故g(x)在［o,引上的值域為［一］,1.

11.函數(shù)7U)=Asin(0x+p)+6的圖象如圖,則7U)的解析式和S=T(O)+χ1)+fl,2)+???+^2020)

+/2021)+/2022)+/2023)的值分別為()

A.y(x)=^sin2πx+1,5=2023升

1131

B.HX)=ISin2πx+l,S=202312［×T×

C.Xx)=^sin^x÷1,S=2024^?l|；--~

D.y(jc)=^sin^x÷1,S=20240124X

答案D

CΛ+?=∣,

解析由圖象知彳

1^—A+?=2,又τ=4,

?π,?

.?ω=2>b=1,A=2，

?'√U)=^sin(jx+，+L

由人X)的圖象過點0,m得

∣sing+^+l=∣,

/.cos9=1.

.?φ=2kπ,?∈Z,取Z=O得￠=0.

?,?Λ^)=2s*n梟+1，

AΛθ)+ΛD+Λ2)+Λ3)

=Qsin0+1)+Rsinl)+&inπ+l)+&in斗+1)=4.

又2024=4X506,

.?.S=4X506=2024.

12.關于函數(shù)凡r）=2cos2χ-cos（2x+T）—1的描述正確的是（）

A.其圖象可由y≈√2sin2x的圖象向左平移;個單位長度得到

B.於）在甘，θ］上的最小值為一也

C?,/（X）在（0,圖上單調(diào)遞增

D.於）在［0,兀］上有3個零點

答案B

解析fix）=2cos2χ-COS（2X+5）—1

=sin2x÷cos2jc=gsin(2x+：),

對于A,由y=√5sin2%的圖象向左平移;個單位長度，

得到y(tǒng)=√2sin2（x+^）=也Sin（左+習

=Λ∕2COS2X9

故選項A錯誤；

Tl

對于B,因為χC［-］,OJ,

所以2r+;∈「華,之,

所以Sin（2x+：）e—1,孚］,

所以於）￡［一啦，1］，

所以於）在一，o］上的最小值為一也，

故選項B正確；

對于C,令2E—5<2^+：42^+壬fc∈Z,

解得Λπ-?≤x≤?π÷?,?∈Z,

OO

所以?的單調(diào)遞增區(qū)間為［hr—系，?π+∣］,?∈Z,

所以./U）在（0,0上單調(diào)遞增，在號上單調(diào)遞減，故選項C錯誤;

TT

對于D,令7(x)=0,得2x+ι=E,?∈Z,

解得X=竽一志Z∈Z,

因為χC[0,π],

所以當k=l時，X=:

O

7兀

當Z=2時，X=9，所以/(x)在[0,切上有2個零點，故選項D錯誤.

13.(2022.上海市吳淞中學月考)定義運算|北^=ata4-a2a3,將函數(shù)KX)=中:震;

兀

(3>0)的圖象向左平移2管個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù)，則3的最小值是

答案I

解析KX)=yβcosGX-Sinωx

=-2Sin(GX-導，

圖象向左平移2號兀個單位長度得,

.(.2兀①兀、

g(x)=—2sιnlωx÷-y--?I,

g(x)為奇函數(shù)，

則華?-尹&π,?∈Z,

解得①=T+'%,kCLr,

所以。的最小值為右

14.據(jù)市場調(diào)查，某種商品一年內(nèi)每件出廠價在7千元的基礎上，按月呈Ar)=ASin(3x+0)

+β(A>O,。>0,∣p∣<m的模型波動(X為月份)，已知3月份達到最高價9000元，