第八節(jié) 圓錐曲線的綜合問題

第八節(jié)圓錐曲線的綜合問題課標版文數(shù)1.直線與圓錐曲線位置關系的判斷判斷直線l與圓錐曲線r的位置關系時,通常將直線l的方程Ax+By+C=0(A,B不同

時為0)與圓錐曲線r的方程F(x,y)=0聯(lián)立,消去y(也可以消去x)得到一個關于變

量x(或變量y)的方程,即聯(lián)立

消去y(或x)后得ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0).教材研讀(1)當a≠0時,若①

,則直線l與曲線r相交;若②

,則直線l與曲線r

相切;若③

,則直線l與曲線r相離.(2)當a=0時,得到一個一次方程,則直線l與曲線r相交,且只有一個交點,此時,若r

為雙曲線,則直線l與雙曲線的④

平行;若r為拋物線,則直線l與拋物

線的⑤

平行或重合.2.直線與圓錐曲線相交的弦長問題直線l:f(x,y)=0,圓錐曲線r:F(x,y)=0,l與r有兩個不同的交點A(x1,y1),B(x2,y2),則點A

的橫、縱坐標與點B的橫、縱坐標是方程組

的兩組解,方程組消元Δ>0

Δ=0

Δ<0

漸近線對稱軸

后化為關于x(或y)的一元二次方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0),判別式Δ=b2-4ac,

應有Δ>0,所以x1,x2(或y1,y2)是方程ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0)的兩個根.由根與

系數(shù)的關系(韋達定理)得x1+x2=-

,x1·x2=

,以此結合弦長公式可整體代入求值.A、B兩點間的距離|AB|=⑥

=

·

(其中k為直線l的斜率),也可以寫成關于y的形式,即|AB|=⑦

=

·

(k≠0).特殊地,如果直線l過拋物線的焦點,拋物線方程以y2=2px(p>0)為例,那么|AB|=⑧

.x1+x2+p(1)已知AB是橢圓

+

=1(a>b>0)的一條弦,其中點M的坐標為(x0,y0).運用點差法求直線AB的斜率,設A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),∵A,B都在橢圓上,∴

兩式相減得

+

=0,∴

+

=0,∴

=-

=-

,故kAB=-

.(2)已知AB是雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦中點M(x0,y0),則與(1)同理可知kAB=

.3.弦AB的中點與直線AB斜率的關系(3)已知AB是拋物線y2=2px(p>0)的一條弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),x1≠x2,弦中點M(x0,y

0).則

兩式相減得

-

=2p(x1-x2),∴(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x2),∴

=

=

,即kAB=

.1.過點

的直線l與拋物線y=-x2交于A、B兩點,O為坐標原點,則

·

的值為

(

)A.-

B.-

C.-4

D.無法確定

答案

B由題意知直線l的斜率存在.設A(x1,y1)、B(x2,y2),直線l的方程為y=kx-

,代入拋物線方程得2x2+2kx-1=0,由此得

∴

·

=x1x2+y1y2=x1x2+

=(k2+1)·x1x2-

k(x1+x2)+

=-

(k2+1)-

k·(-k)+

=-

.故選B.2.拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0的距離的最小值是

(

)cA.

B.

C.

D.3

答案

A設直線4x+3y+m=0與拋物線y=-x2相切,聯(lián)立兩方程并消去y得3x2-4x-m=0.∵Δ=0,∴m=-

,∴所求最小值為

=

.3.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A、B兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜

率為

,則

的值為

(

)A.

B.

C.

D.

c

答案

A設A(x1,y1)、B(x2,y2),AB的中點為M(x0,y0),結合題意,由點差法得,

=-

·

=-

·

=-1,∴

=

.4.若雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的漸近線與拋物線y=x2+2相切,則雙曲線的離心率為

.

答案

3

解析由雙曲線方程可知其漸近線為y=±

x,不妨取其中一條漸近線y=

x,由

得ax2-bx+2a=0,由題意知Δ=0,得b2=8a2,故c2=9a2,所以e=3.c5.若橢圓

+

=1(m>n>0)與曲線x2+y2=m-n無交點,則橢圓的離心率e的取值范圍為

.

答案

解析由

得(n-m)x2-2mn+m2=0,∵兩曲線無交點,則Δ=-4(n-m)(m2-2mn)<0,又m>n>0,則m<2n,則e=

<

,又0<e<1,∴0<e<

.c

圓錐曲線中的范圍、最值問題典例1

(2015山東,21,14分)平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,且點

在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程;(2)設橢圓E:

+

=1,P為橢圓C上任意一點,過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點,射線PO交橢圓E于點Q.(i)求

的值;(ii)求△ABQ面積的最大值.

解析

(1)由題意知

+

=1,考點突破c又

=

,解得a2=4,b2=1.所以橢圓C的方程為

+y2=1.(2)由(1)知橢圓E的方程為

+

=1.(i)設P(x0,y0),

=λ,由題意知Q(-λx0,-λy0).因為

+

=1,又

+

=1,即

=1,所以λ=2,即

=2.(ii)設A(x1,y1),B(x2,y2).將y=kx+m代入橢圓E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2.

①則有x1+x2=-

,x1x2=

.所以|x1-x2|=

.因為直線y=kx+m與y軸交點的坐標為(0,m),所以△OAB的面積S=

|m||x1-x2|=

=

=2

.設

=t.將y=kx+m代入橢圓C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.

②由①②可知0<t≤1,因此S=2

=2

.故S≤2

,當且僅當t=1,即m2=1+4k2時取得最大值2

.由(i)知,△ABQ面積為3S,所以△ABQ面積的最大值為6

.圓錐曲線中的最值(范圍)問題類型較多,解法靈活多變,但總體上主要有兩種

方法:一是幾何法,即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定

理、性質等進行求解;二是代數(shù)法,即把要求最值(范圍)的幾何量或代數(shù)表達

式表示為某個(些)變量的函數(shù),然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.1-1

(2014課標Ⅰ,20,12分)已知點A(0,-2),橢圓E:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,F是橢圓E的右焦點,直線AF的斜率為

,O為坐標原點.(1)求E的方程;(2)設過點A的動直線l與E相交于P,Q兩點.當△OPQ的面積最大時,求l的方

程.

解析

(1)設F(c,0),由條件知,

=

,得c=

.又

=

,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程為

+y2=1.c(2)當l⊥x軸時不合題意,設l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).將y=kx-2代入

+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.當Δ=16(4k2-3)>0,即k2>

時,x1,2=

.從而|PQ|=

|x1-x2|=

.又點O到直線PQ的距離d=

,所以S△OPQ=

d·|PQ|=

.設

=t,則t>0,S△OPQ=

=

.因為t+

≥4,當且僅當t=2,即k=±

時等號成立,且滿足Δ>0,所以,當△OPQ的面積最大時,l的方程為y=

x-2或y=-

x-2.

圓錐曲線中的定點、定值問題典例2

(2015課標Ⅱ,20,12分)已知橢圓C:

+

=1(a>b>0)的離心率為

,點(2,

)在C上.(1)求C的方程;(2)直線l不過原點O且不平行于坐標軸,l與C有兩個交點A,B,線段AB的中點

為M.證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.

解析

(1)由題意有

=

,

+

=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程為

+

=1.c(2)證明:設直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入

+

=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=

=

,yM=k·xM+b=

.于是直線OM的斜率kOM=

=-

,即kOM·k=-

.所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值.1.定點問題的常見解法(1)根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個含參數(shù)的直線系或曲線系方程,經(jīng)過分析、整

理,對方程進行等價變形,以找出適合方程且與參數(shù)無關的坐標(該坐標對應的

點即為所求定點).(2)從特殊位置入手,找出定點,再證明該點符合題意.2.求定值問題常見的方法(1)從特殊情況入手,求出定值,再證明這個值與變量無關;(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.2-1已知橢圓C:

+y2=1(a>1)的上頂點為A,右焦點為F,直線AF與圓M:(x-3)2+(y-1)2=3相切.(1)求橢圓C的標準方程;(2)若不過點A的動直線l與橢圓C交于P,Q兩點,且

·

=0,求證:直線l過定點,并求該定點的坐標.

解析

(1)圓M的圓心為(3,1),半徑r=

.由題意知A(0,1),設F(c,0)(c>0),則直線AF的方程為

+y=1,即x+cy-c=0,由直線AF與圓M相切,得

=

,c解得c2=2,所以a2=c2+1=3,故橢圓C的方程為

+y2=1.(2)解法一:由

·

=0,知AP⊥AQ,從而直線AP與坐標軸不垂直,由A(0,1)可設直線AP的方程為y=kx+1(k≠0),則直線AQ的方程為y=-

x+1(k≠0).將y=kx+1代入橢圓C的方程

+y2=1中,整理,得(1+3k2)x2+6kx=0,解得x=0或x=-

,∴P

,即P

,將上式中的k換成-

,得Q

.∴直線l的方程為y=

+

,化簡得直線l的方程為y=

x-

,因此直線l過定點

.解法二:由

·

=0知AP⊥AQ,從而直線PQ與x軸不垂直,故可設直線l的方程為y=kx+t(t≠1),將其與橢圓方程聯(lián)立得

消去y,整理得(1+3k2)x2+6ktx+3(t2-1)=0.設P(x1,y1),Q(x2,y2),則

(*)由

·

=0,得

·

=(x1,y1-1)·(x2,y2-1)=(1+k2)x1x2+k(t-1)·(x1+x2)+(t-1)2=0,將(*)代入,得t=-

.∴直線l過定點

.

圓錐曲線中的探索性問題典例3

(2015四川,20,13分)如圖,橢圓E:

+

=1(a>b>0)的離心率是

,點P(0,1)在短軸CD上,且

·

=-1.(1)求橢圓E的方程;(2)設O為坐標原點,過點P的動直線與橢圓交于A,B兩點.是否存在常數(shù)λ,使

得

·

+λ

·

為定值?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.

解析

(1)由已知,點C,D的坐標分別為(0,-b),(0,b).又點P的坐標為(0,1),且

·

=-1,于是

解得a=2,b=

.所以橢圓E的方程為

+

=1.(2)存在.當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=kx+1,A,B的坐標分

別為(x1,y1),(x2,y2).聯(lián)立

得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判別式Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-

,x1x2=-

.從而,

·

+λ

·

=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=

=-

-λ-2.所以,當λ=1時,-

-λ-2=-3.此時,

·

+λ

·

=-3為定值.當直線AB斜率不存在時,直線AB即為直線CD.此時,

·

+λ

·

=

·

+

·

=-2-1=-3.故存在常數(shù)λ=1,使得

·

+λ

·

為定值