2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（全國版）第06講 分式方程（講義）（原卷版）

第06講分式方程目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一解分式方程題型01判斷分式方程題型02分式方程的一般解法題型03分式方程的特殊解法類型一分組通分法類型二分離分式法類型三列項相消法類型四消元法題型04錯看或錯解分式方程問題題型05解分式方程的運用（新定義運算）題型06根據(jù)分式方程解的情況求值題型07根據(jù)分式方程有解或無解求參數(shù)題型08已知分式方程有增根求參數(shù)題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)考點二分式方程的應(yīng)用題型01列分式方程題型02利用分式方程解決實際問題類型一行程問題類型二工程問題類型三和差倍分問題類型四銷售利潤問題考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測解分式方程能解可化為一元一次方程的分式方程中考中本考點考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預(yù)計2024年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學(xué)生應(yīng)扎實掌握．分式方程的應(yīng)用能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性考點一解分式方程分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．增根的概念：在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根.1.1.分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).2.去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項.3.分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．4.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．5.解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無意義的根，檢驗是解分式方程的必要步驟.6.分式方程有增根與無解并非是同一個概念．分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.題型01判斷分式方程【例1】（2021·河南信陽·河南省淮濱縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列方程：①1x+1=x；②x+12-3=0；③2xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-1】（2022南明區(qū)二模）下列關(guān)于x的方程，是分式方程的是（

）A．x2-3=x5 B．12題型02分式方程的一般解法【例2】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）將方程1x-1+3=3A．1+3=3x1-x BC．x-1+3=-3x【變式2-1】（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）方程1x+2+【變式2-2】（2022·青海西寧·統(tǒng)考中考真題）解方程：4x2+【變式2-3】（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）代數(shù)式3x+2與代數(shù)式2x-1【變式2-4】（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）方程2x+1解分式方程方法：先通過方程兩邊同乘最簡公分母將分式方程化為整式方程，再解整式方程，最后需要檢驗整式方程的解是不是分式方程的解.題型03分式方程的特殊解法類型一分組通分法方法簡介：如果整個方程一起通分，計算量大又易出錯，觀察方程中分母的特點可聯(lián)想分組通分求解.【例3】解方程：3類型二分離分式法方法簡介：每個分式的分母與分子相差1，利用這個特點可采用分類分式法求解【例4】解方程：x類型三列項相消法方法簡介：根據(jù)分式方程的結(jié)果特點，依據(jù)公式“1nn+【例5】我們把分子是1的分?jǐn)?shù)叫做分?jǐn)?shù)單位，有些單位分?jǐn)?shù)可以拆成兩個不同的分?jǐn)?shù)的差，如16=12-13，112=【變式5-1】因為11×2所以11×2(1)在和式11×2+12×3+13×4(2)解方程：1x【變式5-2】探索研究：請觀察：①1x②1x③1x④1x……(1)請寫出第n個等式；(2)解方程：1x(3)當(dāng)m為正整數(shù)時，12+【變式5-3】探索發(fā)現(xiàn)：11×2根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）14×5＝，1n×(n+1)（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：1（3）利用規(guī)律解方程：1類型四消元法方法簡介：當(dāng)方程中的分式互為倒數(shù),或不同分式中的分母互為相反式,或方程中分子、分母的二次項與一次項分別相同時,可考慮用換元法.【例6】用換元法解分式方程xx2-1+【變式6-1】閱讀與思考閱讀下面的材料，解答后面的問題．解方程：x-解：設(shè)y=x-1x，則原方程可化為y解得y=±2經(jīng)檢驗：y=±2都是方程y-4y=0的解，∴當(dāng)y當(dāng)y=-2時，x-1x=-2∴原分式方程的解為x=-1或x=1問題：(1)若在方程中x-12x-(2)模仿上述換元法解方程：x-【變式6-2】用換元法解：x+1題型04錯看或錯解分式方程問題【例7】（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考中考真題）小明解分式方程1x解：去分母，得

3=2x-去括號，得

3=2x-移項、合并同類項，得

-x=6化系數(shù)為1，得

x=-6．以上步驟中，開始出錯的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式7-1】（2022·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是．先化簡，再求值：3-xx-解：原式==3-=-1【變式7-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小丁和小迪分別解方程xx-小?。航猓喝シ帜福脁去括號，得x合并同類項，得3=解得x∴原方程的解是x小迪：解：去分母，得x去括號得x合并同類項得2解得x經(jīng)檢驗，x=2你認(rèn)為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤，請在框內(nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．【變式7-3】（2023忻州市一模）小華想復(fù)習(xí)分式方程，由于印刷問題，有一個數(shù)“？”看不清楚：?x（1）她把這個數(shù)“？”猜成5，請你幫小華解這個分式方程；（2）小華的媽媽說：“我看到標(biāo)準(zhǔn)答案是：方程的增根是x=2，原分式方程無解”，請你求出原分式方程中“？”題型05解分式方程的運用（新定義運算）【例8】（2022·河南平頂山·統(tǒng)考二模）定義運算m※n=1+1m+nA．x=1 B．x=-1 C．x=-【變式8-1】（2023廣西大學(xué)附屬中學(xué)二模）對于實數(shù)a和b，定義一種新運算“”為：a?b=1a-bA．x=4 B．x=5 C．x=6【變式8-2】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）定義一種新運算：對于任意的非零實數(shù)a，b，a?b=1a+1b．若【變式8-3】（2022·四川內(nèi)江·統(tǒng)考中考真題）對于非零實數(shù)a，b，規(guī)定a⊕b＝1a-1b，若（2x﹣1）⊕2＝1，則x題型06根據(jù)分式方程解的情況求值【例9】（2020·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程3xx-2＝mA．m＜﹣10 B．m≤﹣10C．m≥﹣10且m≠﹣6 D．m＞﹣10且m≠﹣6【變式9-1】（2020·四川瀘州·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程mx-1+2=-3A．3 B．4 C．5 D．6【變式9-2】（2023鹽城市二模）關(guān)于x的分式方程1x-2+a【變式9-3】（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程2x-mx-【變式9-4】（2023齊齊哈爾市二模）要使關(guān)于x的方程x+1x+2-xx由分式方程的解的情況求字母系數(shù)的取值范圍，一般解法是：

①根據(jù)未知數(shù)的范圍求出字母的范圍；

②把使分母為0的未知數(shù)的值代入到去分母后的整式方程中，求出對應(yīng)的字母系數(shù)的值；

③綜合①②，求出字母系數(shù)的范圍.題型07根據(jù)分式方程有解或無解求參數(shù)【例10】（2022·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的方程2x=m2xA．0 B．4或6 C．6 D．0或4【變式10-1】（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）已知關(guān)于x的分式方程kx-2－32-x＝1A．－3 B．1 C．2 D．3【變式10-2】（2023·山東菏澤·?？家荒＃┮阎P(guān)于x的分式方程a2x+3-a-xx已知分式方程的解確定字母參數(shù)，首先將分式方程化為整式方程，用含字母參數(shù)的代數(shù)式表x，再根據(jù)解的情況確定字母參數(shù)的取值.同時要注意原分式方程的最簡公分母不能為零.題型08已知分式方程有增根求參數(shù)【例11】（2021·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的分式方程m+4x-3=3xA．2 B．3 C．4 D．5【變式11-1】（2021·山東煙臺·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的分式方程6x-2-1=A．?3 B．3 C．2 D．-【變式11-2】（2022·遼寧丹東·?？级＃┤絷P(guān)于x的方程6-xx-3-依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的值的一般步驟：

1)先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程;

2)由題意求出增根;

3)將增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母參數(shù)的值.題型09已知分式方程有整數(shù)解求參數(shù)【例12】（2022·廣東佛山·統(tǒng)考一模）若關(guān)于x的分式方程x-2x-1＝mx1-x有正整數(shù)解，則整數(shù)【變式12-1】（2020·重慶·統(tǒng)考中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式結(jié)3x-12≤x+3x≤a的解集為x≤A．7 B．－14 C．28 D．－56【變式12-2】（2023·重慶九龍坡·重慶市育才中學(xué)?？家荒＃┤绻P(guān)于x的不等式組x-m2≥0x+3<3x-1的解集為xA．-4 B．-3 C．-1【變式12-3】（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？既＃┤绻P(guān)于y的分式方程9-ayy-3+2=213-y有整數(shù)解，且關(guān)于【變式12-4】（2023·重慶九龍坡·重慶實驗外國語學(xué)校校考三模）關(guān)于x的不等式組-x+a<23x-14≤x考點二分式方程的應(yīng)用用分式方程解決實際問題的步驟：審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系;設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;解：求解方程;驗：考慮求出的解是否具有實際意義;+1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.2）檢驗所求的解是否符合實際意義.答：實際問題的答案.與分式方程有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：題型01列分式方程【例1】（2022·云南·中考真題）某地開展建設(shè)綠色家園活動，活動期間，計劃每天種植相同數(shù)量的樹木，該活動開始后、實際每天比原計劃每天多植樹50棵，實際植樹400棵所需時間與原計劃植樹300棵所需時間相同．設(shè)實際每天植樹x棵．則下列方程正確的是（

）A．400x-50=300x B．300【變式1-1】（2022·廣西·統(tǒng)考中考真題）《千里江山圖》是宋代王希孟的作品，如圖，它的局部畫面裝裱前是一個長為2.4米，寬為1.4米的矩形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是8：13，且四周邊襯的寬度相等，則邊村的寬度應(yīng)是多少米?設(shè)邊襯的寬度為x米，根據(jù)題意可列方程（

）A．1.4-x2.4-x=813 B．1.4+【變式1-2】（2022·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）我市某區(qū)為30萬人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項工作，實際每天接種人數(shù)是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了這項工作．設(shè)原計劃每天接種x萬人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（

）A．30x-30C．301.2x-【變式1-3】（2022·山東淄博·統(tǒng)考中考真題）為扎實推進“五育”并舉工作，加強勞動教育，某校投入2萬元購進了一批勞動工具．開展課后服務(wù)后，學(xué)生的勞動實踐需求明顯增強，需再次采購一批相同的勞動工具，已知采購數(shù)量與第一次相同，但采購單價比第一次降低10元，總費用降低了15%．設(shè)第二次采購單價為x元，則下列方程中正確的是（

）A．20000x=20000×(1-15C．20000x=20000×(1-15【變式1-4】（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）一輛汽車開往距出發(fā)地420km的目的地，若這輛汽車比原計劃每小時多行10km，則提前1小時到達目的地．設(shè)這輛汽車原計劃的速度是xkm/h，根據(jù)題意所列方程是（

）A．420x=420C．420x=420【變式1-5】（2023·重慶江北·?？家荒＃┮阎状a頭與乙碼頭相距36千米，一輪船往返于甲，乙兩碼頭之間，輪船由甲碼頭順流而下到乙碼頭所用時間比逆流而上所用時間少2小時，已知水流速度為3千米/時，求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中的速度為x千米/時，根據(jù)題意列方程為（

）A．36x+3-36x-3=2 B【變式1-6】（2022·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）“愛勞動，勞動美．”甲、乙兩同學(xué)同時從家里出發(fā)，分別到距家6km和10km的實踐基地參加勞動．若甲、乙的速度比是3:4，結(jié)果甲比乙提前20min到達基地，求甲、乙的速度．設(shè)甲的速度為3xkm/h，則依題意可列方程為（

）A．63x+13=104x題型02利用分式方程解決實際問題類型一行程問題【例2】（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）學(xué)校師生去距學(xué)校45千米的吳玉章故居開展研學(xué)活動，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時后，其余師生乘汽車出發(fā)，結(jié)果同時到達；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．【變式2-1】（2023青島市一模）小李從A地出發(fā)去相距4.5千米的B地上班，他每天出發(fā)的時間都相同．第一天步行去上班結(jié)果遲到了5分鐘．第二天騎自行車去上班結(jié)果早到10分鐘．已知騎自行車的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和騎自行車的速度分別為多少千米每小時；(2)有一天小李騎自行車出發(fā)，出發(fā)1.5千米后自行車發(fā)生故障．小李立即跑步去上班（耽誤時間忽略不計）為了至少提前5分鐘到達．則跑步的速度至少為多少千米每小時？類型二工程問題【例3】（2023重慶市模擬預(yù)測）為方便群眾出行，甲、乙兩個工程隊負(fù)責(zé)修建某段通往高鐵站的快線，已知甲隊每天修路的長度是乙隊的1.5倍，如果兩隊各自修建快線600m，甲隊比乙隊少用4天．(1)求甲，乙兩個工程隊每天各修路多少米？(2)現(xiàn)計劃再修建長度為3000m的快線，由甲、乙兩個工程隊來完成．若甲隊每天所需費用為1萬元，乙隊每天所需費用為0.6萬元，求在總費用不超過38萬元的情況下，至少安排乙工程隊施工多少天？【變式3-1】（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學(xué)校考一模）重慶市潼南區(qū)是中國西部綠色菜都，為全市人民提供了新鮮多樣的蔬菜．今年，區(qū)政府著力打造一個新的蔬菜基地，計劃修建灌溉水渠1920米，由甲、乙兩個施工隊合作完成．已知乙施工隊每天修建的長度是甲施工隊每天修建的長度的43，而乙施工隊單獨修建這項工程需要的天數(shù)比甲施工隊單獨修建這項工程需要的天數(shù)少4(1)求甲、乙兩施工隊每天各修建多少米？(2)若甲施工隊每天的修建費用為13萬元，乙施工隊每天的修建費用為15萬元，實際修建時先由甲施工隊單獨修建若干天，再由甲、乙兩個施工隊合作修建，恰好12天完成修建任務(wù)，求共需修建費用多少萬元？類型三和差倍分問題【例4】（2022·廣東深圳·深圳中學(xué)?？家荒＃?022年北京冬奧會吉祥物冰墩墩深受大家的喜歡．某商家兩次購進冰墩墩進行銷售，第一次用22000元，很快銷售一空，第二次又用48000元購進同款冰墩墩，所購進數(shù)量是第一次的2倍，但單價貴了10元．(1)求該商家第一次購進冰墩墩多少個？(2)若所有冰墩墩都按相同的標(biāo)價銷售，要求全部銷售完后的利潤率不低于20%（不考慮其他因素），那么每個冰墩墩的標(biāo)價至少為多少元？【變式4-1】（2022·河南·統(tǒng)考中考真題）近日，教育部印發(fā)《義務(wù)教育課程方案》和課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版），將勞動從原來的綜合實踐活動課程中獨立出來．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗農(nóng)耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動．據(jù)了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的54倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少3(1)求菜苗基地每捆A種菜苗的價格．(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該?；顒?，對A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購買最少花費多少錢．【變式4-2】（2021·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．某超市節(jié)前購進了甲、乙兩種暢銷口味的粽子．已知購進甲種粽子的金額是1200元，購進乙種粽子的金額是800元，購進甲種粽子的數(shù)量比乙種粽子的數(shù)量少50個，甲種粽子的單價是乙種