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關(guān)于預(yù)測控制中的模型與預(yù)測本章目錄概述基于SISO階躍響應(yīng)模型的預(yù)測基于SISO傳遞函數(shù)模型的預(yù)測基于狀態(tài)空間模型的預(yù)測模型之間的轉(zhuǎn)換第2頁,共31頁,2024年2月25日,星期天概述預(yù)測控制中,基于模型預(yù)測對象的未來輸出是否足夠準確是控制成功的關(guān)鍵。這里,預(yù)測所用的模型往往是通過系統(tǒng)辨識獲得的模型。最早用于預(yù)測控制的模型是基于階躍響應(yīng)的模型,然后是傳遞函數(shù)模型,最后是狀態(tài)空間模型。本章將詳述基于這些模型的預(yù)測方法。預(yù)測的目標是在k時刻基于數(shù)據(jù),預(yù)測y(k+j):第3頁,共31頁,2024年2月25日,星期天基于SISO階躍響應(yīng)模型的預(yù)測設(shè)被控對象的沖激響應(yīng)為h0=0,h1,h2,…

該對象的階躍響應(yīng)為s0=0,s1,s2,…

則兩者具有關(guān)系

sk=h0+…+hk hk=sk-sk-1實際的沖激響應(yīng)序列和階躍響應(yīng)序列都是無限的。在計算機中,因為計算時間和內(nèi)存大小都是有限的,故只能截取其中的一部分。如果對象是穩(wěn)定的,可不失合理性地假設(shè)當k>n時,hk=0,也即有sn=sn+1=sn+2=…第4頁,共31頁,2024年2月25日,星期天基于SISO階躍響應(yīng)模型的預(yù)測(續(xù))在假設(shè)外部擾動為零的前提下,對象輸出y(k)和控制量u(k)的關(guān)系式為:將外部擾動建模為累加白噪聲,記白噪聲為v(k)。有:基于上式推導(dǎo),得:第5頁,共31頁,2024年2月25日,星期天為何將擾動建模為累加白噪聲?因為將擾動假定為累加白噪聲比較符合真實情況。對象的真實模型與預(yù)測模型的誤差可以認為是一種擾動,而且是總擾動的主要成分。而這種擾動在一個小的時間區(qū)間內(nèi)是比較恒定的。如果將擾動假定為白噪聲,則不同時刻的擾動毫不相關(guān),這與實際情況不符合。此外,將擾動假定為積分白噪聲在模型上比較簡單,計算上也是比較方便的。用直觀的語言來說,這個假設(shè)就是:上次的擾動是多少,這次的擾動差不多還是那么大。第6頁,共31頁,2024年2月25日,星期天基于SISO階躍響應(yīng)模型的預(yù)測(續(xù))回到剛才推得的模型。該模型為一輸入輸出模型,它有一個等價的狀態(tài)空間模型:第7頁,共31頁,2024年2月25日,星期天基于SISO階躍響應(yīng)模型的預(yù)測(續(xù))令則第8頁,共31頁,2024年2月25日,星期天注意到v(k)=y(k)-Nx(k),將其代入狀態(tài)方程可得:我們可以利用上式來構(gòu)造狀態(tài)x(k)的觀測器:對象的狀態(tài)x(k)和觀測器的狀態(tài)

(k)將會在至多n步內(nèi)相同(deadbeatobserver),這是可以證明的。有興趣的同學(xué)可以自己證明。第9頁,共31頁,2024年2月25日,星期天因此,在k時刻,x(k+1)的最佳預(yù)估值為在k時刻,x(k+j),j≥1的最佳預(yù)估值為第10頁,共31頁,2024年2月25日,星期天在k時刻,y(k+j)的最佳預(yù)估值為:所以Y*(k)的公式為:第11頁,共31頁,2024年2月25日,星期天附:M-1N冪零性的證明第12頁,共31頁,2024年2月25日,星期天而注意到第13頁,共31頁,2024年2月25日,星期天基于SISO傳遞函數(shù)模型的預(yù)測前面給出的預(yù)測算式,只有在對象是穩(wěn)定時才是可行的。因為階躍響應(yīng)截尾假設(shè)只對穩(wěn)定對象適用。不過,對于一般的SISO線性對象,無論其是否穩(wěn)定,其傳遞函數(shù)總是有的。在無干擾的情況下,對象輸出y(k)和控制量u(k)的關(guān)系式為:如果考慮到擾動的影響,則可以使用如下的模型:有人會問:為什么這里的擾動不用累加白噪聲?我們說:其實確實是應(yīng)該建模成累加白噪聲。但是,采用累加白噪聲的CARIMA模型可以轉(zhuǎn)換成為用白噪聲的CARMA模型,所以我們現(xiàn)在暫時這么推導(dǎo)。等到我們講到廣義預(yù)測控制時,再重新從CARIMA模型出發(fā)。第14頁,共31頁,2024年2月25日,星期天我們發(fā)現(xiàn)上面的這種表述方式在后面的推導(dǎo)中顯得很麻煩,所以我們采用一種算子描述。Z是超前1步算子。Z-1是滯后一步算子。因此上面的CARMA模型可以寫出下面的形式:第15頁,共31頁,2024年2月25日,星期天G和E一定可以展開成冪級數(shù)形式:令則第16頁,共31頁,2024年2月25日,星期天令,則有由于zjEjv(k)是未來的擾動,其最優(yōu)預(yù)測是0,因此我們得到如下的預(yù)測算式:第17頁,共31頁,2024年2月25日,星期天注意到zj(E-Ej)E-1y(k)所涉及的都是已經(jīng)觀測到的y值。注意到則因此y*的公式為:而第18頁,共31頁,2024年2月25日,星期天C=1時y*的計算公式上式中,由于而是的部分和,同理也是多項式。這說明可以通過公式計算y*。第19頁,共31頁,2024年2月25日,星期天一個例子用算子描述:A[y(k)]=B[u(k)]+C[v(k)]因此,第20頁,共31頁,2024年2月25日,星期天第21頁,共31頁,2024年2月25日,星期天基于狀態(tài)空間模型的預(yù)測我們采用穩(wěn)態(tài)Kalman新息模型文獻上還有另外一種帶隨機輸入的線性狀態(tài)空間模型不過,第二種模型可以轉(zhuǎn)換成為第一種模型。第22頁,共31頁,2024年2月25日,星期天基于狀態(tài)空間模型的預(yù)測(續(xù))則我們有因此,只要-H的特征值在單位圓內(nèi),則觀測器穩(wěn)定。從狀態(tài)方程和輸出方程可推出我們構(gòu)造如下的狀態(tài)觀測器第23頁,共31頁,2024年2月25日,星期天因此,在k時刻,x(k+1)的最佳預(yù)估值為在k時刻,x(k+j),j>1的最佳預(yù)估值為第24頁,共31頁,2024年2月25日,星期天又由于所以在k時刻,y(k+j)的最佳預(yù)估值為第25頁,共31頁,2024年2月25日,星期天模型之間的轉(zhuǎn)換階躍響應(yīng)模型可以看作是傳遞函數(shù)模型的一種特殊情況。階躍響應(yīng)為s0=0,s1,s2,…,sn,sn,…而且擾動建模為累計白噪聲。則其差分方程模型為:根據(jù)上式不難寫出其傳遞函數(shù)模型。前面已經(jīng)給出了它的狀態(tài)空間模型。根據(jù)傳遞函數(shù)模型或狀態(tài)空間模型得到階躍響應(yīng)模型?前提必須是對象穩(wěn)定,而且一般只能得到近似模型,截尾的長度要合適。第26頁,共31頁,2024年2月25日,星期天模型之間的轉(zhuǎn)換(續(xù))SISO傳遞函數(shù)模型可以看作是狀態(tài)空間模型的一種特殊情況。從傳遞函數(shù)模型得到狀態(tài)空間模型,可以用其標準實現(xiàn):控制器形,能控性形,觀測器形,能觀性形。這四種是相互等價的。當然你也可以選其他實現(xiàn)。從狀態(tài)空間模型得到傳遞函數(shù)模型?用計算公式即可。記G(z)代表從u到y(tǒng)的傳遞函數(shù),E(z)代表從v到y(tǒng)的傳遞函數(shù)。第27頁,共31頁,2024年2月25日,星期天上面的CARMA模型的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)是:第28頁,共31頁,2024年2月25日,星期天附:從普通的隨機狀態(tài)空間模型得到穩(wěn)態(tài)Kalman信息模型前面我們的推導(dǎo)是基于穩(wěn)態(tài)Kalman信息模型。為什么可以用這個模型?我們知道,普通的隨機線性系統(tǒng)的模型形式為:其中w(k)為單位白噪聲,其定義為:第29頁,共31頁,

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