2023-2024學(xué)年天津市部分區(qū)域聯(lián)考高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市部分區(qū)域聯(lián)考高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.已知函數(shù)"x)=l∏x-χ2+2,其導(dǎo)函數(shù)是，'(%),貝!1/⑴=()

A.2B.IC.0D.-1

【正確答案】D

【分析】求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算得到答案.

【詳解】/(x)=lnr-x2+2,則尸(X)=B-2x,則./(1)=1—2=T.

故選：D

2.A：xC：=()

A.960B.480C.160D.80

【正確答案】B

【分析】直接計(jì)算得到答案.

［詳解】A：xC：=—^―×——連一T=4X3X2X6x5x4=480

L沖/，46(4-3)!3!×(6-3);3×2×1

故選：B

3.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)是y'(X),若f'(x0)=2,則+一人*。)_()

??n?-

AKToΔ%

A.?B.1C.2D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，將增量化成g&v。即可得到.

【詳解】因?yàn)?'(%)=2

/(X0+∣ΔX)-∕(Λ0),/(?+∣ΔΛ)-∕(X0),

所以Iinl--------Z--------------=；?????----------η---------------=-∕,(?)=1

AYTO?x2^→012

-Aax

2

故選：B

4.在(l-2x)8的二項(xiàng)展開式中，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是()

A.-32C≡B.ClC.16C；D.C：

【正確答案】D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，即可求得中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，得到答案.

【詳解】由二項(xiàng)式(I-2x)8的展開式為J=CJ(-2x)r,

又由二項(xiàng)式(l-2x)8的展開式共有9項(xiàng)，所以中間一項(xiàng)為第5項(xiàng)，

所以中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C；.

故選：D.

5.有5人承擔(dān)A,B,C,D,E五種不同的工作，每人承擔(dān)一種，且每種工作都有人承

擔(dān).若這5人中的甲不能承擔(dān)A種工作，則這5人承擔(dān)工作的所有不同的方法種數(shù)為()

A.24B.60C.96D.120

【正確答案】C

【分析】先讓甲在民C,RE中選擇一項(xiàng)工作，再讓剩余的4人選擇4項(xiàng)工作，計(jì)算得到答

案.

【詳解】先讓甲在8,C,DE中選擇一項(xiàng)工作，共有C：=4種方法；

再讓剩余的4人選擇4項(xiàng)工作，共有A：=24種方法，故共有24x4=96種方法.

故選：C

A.-18B.18C.-9D.9

【正確答案】A

【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，即可求得結(jié)果.

令一^-=0,得r=l,

故常數(shù)項(xiàng)為C[(-2)'=-18?

故選：A.

7.函數(shù)/(x)=-2∞axr,尤∈(0,π),下列關(guān)于"x)的說法中正確的是()

A.?)為極小值，,用為極小值

B.fQj為極大值，/(g)為極小值

C.7圖為極小值，/用為極大值

D./(2)為極大值，/(為極大值

【正確答案】C

【分析】由導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間，再由極值的概念即可得解.

【詳解】因?yàn)?(x)=-2CoSVr-X,x∈(0,π),所以f'(x)=2sinx-l,x∈(θ,π),

令∕[x)=0即SinX=！，可得X=B或X=孚，

266

當(dāng)To高時(shí)，∕,(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)XeC,汽x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(管,π)時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

所以當(dāng)χ=E時(shí)，函數(shù)〃χ)取得極小值/(J當(dāng)X=,時(shí)，函數(shù)f(χ)取得極大值/傳),

故選：C

8.7名身高各不相同的同學(xué)站成一排，若身高最高的同學(xué)站在中間，且其每一側(cè)同學(xué)的身

高都依次降低，則7名同學(xué)所有不同的站法種數(shù)為()

A.20B.40C.8D.16

【正確答案】A

【分析】讓最高的同學(xué)站中間，再在剩余的6人中選擇3人，放在左邊，剩余3人放在右邊,

計(jì)算得到答案.

【詳解】讓最高的同學(xué)站中間，再在剩余的6人中選擇3人，放在左邊，剩余3人放在右邊,

共有C：=20種站法.

故選：A

9.已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)是廣(X),對(duì)任意的xeR,r(x)<l,若/(一1)=1,則/(x)>x+2

的解集是()

A.(—1,1)B.(―l,+∞)C.(→X),-1)D.(l,+∞)

【正確答案】C

【分析】設(shè)g(x)=∕(x)-X—2,求得g'(x)=∕'(x)-1,根據(jù)題意得到g'(x)<O,得到函數(shù)

g(x)單調(diào)遞減，又由/(T)=I,得至Ug(T)=0,把/(x)>x+2,轉(zhuǎn)化為g(x)>g(T),結(jié)

合函數(shù)g(x)的單調(diào)性，即可求得不等式的解集.

【詳解】設(shè)函數(shù)g(χ)="χ)*2,可得g<χ)=r(χ)-ι,

因?yàn)?'(χ)<ι,可得g'(χ)=r(χ)τ<o,所以函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

又因?yàn)椤唉?=l,可得g(τ)=∕(-1)+1-2=0,

由不等式/(x)>x+2,即為g(x)>g(-1)=0,所以x<-l,

即不等式/(x)>x+2的解集為1).

故選：C.

二、填空題

10.在一展開式中，/的系數(shù)是.

【正確答案】60

【分析】由二項(xiàng)式展開式可得其通項(xiàng)為(T)'26r?C"∣ir,寫出含/的項(xiàng)即可得系數(shù).

【詳解】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為CK2χ3)6-qJy=(TA26-yd-”,

X

當(dāng)r=4時(shí)，M)426-4C^18-16=60X2,故爐的系數(shù)是60.

故60

11.函數(shù)"x)=fInX的導(dǎo)數(shù)r(x)=.

【正確答案】2x?nx+x

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

【詳解】由函數(shù)幺可得2

I(X)=Inx,r(x)=(xyinx+=2(JnXy=2χl∏%+%.

故答案為.2xlnx+x

已知1345則。。一%a+aa

12.(2-X)5=+axx+a2x+a3x+a4x+α5x,+^2~34~s=.

【正確答案】243

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式，令尸-1,即可求解.

5i345

［詳解］?（2-x）-aa+axx+a2x+aix+aix+asx,

令X=—1,可得a?！哩O+a?—4+“4-4=（2+1）=3'=243.

故答案為.243

13.有12個(gè)志愿者名額全部分配給某年級(jí)的10個(gè)班，若每班至少分配到一個(gè)名額，則所有

不同的分配方法種數(shù)為.

【正確答案】55

【分析】采用擋板法，即將12個(gè)志愿者名額看作12個(gè)相同的元素，分為10組，每組至少

一個(gè)元素，在這12個(gè)元素之間形成的11個(gè)空中，選9個(gè)插入擋板即可.

【詳解】12個(gè)志愿者名額全部分配給某年級(jí)的10個(gè)班，若每班至少分配到一個(gè)名額，

可將12個(gè)志愿者名額看作12個(gè)相同的元素，分為10組，每組至少一個(gè)元素，

因此在這12個(gè)元素之間形成的11個(gè)空中，選9個(gè)插入擋板即可，

故有C1=55種不同的分配方法種數(shù)，

故55

14.一個(gè)集合的含有3個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)與這個(gè)集合的含有4個(gè)元素子集的個(gè)數(shù)相等，則這

個(gè)集合子集的個(gè)數(shù)為.

【正確答案】128

【分析】設(shè)集合的元素個(gè)數(shù)為“，C=C：,解得〃=7,再計(jì)算子集個(gè)數(shù)得到答案.

【詳解】設(shè)集合的元素個(gè)數(shù)為〃，則C：=C：,解得〃=7,故集合子集的個(gè)數(shù)為2'=128.

故128

15.若直線/與拋物線y=-V+3相切，且切點(diǎn)在第一象限，則/與坐標(biāo)軸圍成三角形面積的

最小值為.

【正確答案】4

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，然后表示出三角形面積，利用導(dǎo)數(shù)可得最小值.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為《,3-產(chǎn)）,

因?yàn)閥'=-2x,所以切線斜率為-2r,

得切線I的方程為>,-(3-r)=-2t(x-t)

/與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0/+3),C+：,0),

令-χ2+3=0,解得x=±6，

因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以fe(0,6),

所以/與坐標(biāo)軸圍成三角形面積S=1(/+3足+?=l(r3+6r+-)

222r4t

令")=入8+2,貝"⑺=3r+6-2=.+6產(chǎn)-9=3(產(chǎn)+3)(TI)(f+1)

trrV

當(dāng)re((M)時(shí)，∕,ω<o,/Q)單調(diào)遞減，

當(dāng)re(1,百)時(shí)，f'(t)>o,/⑺單調(diào)遞增，

O

所以當(dāng)/=1時(shí)，/(f)有最小值/(1)=I3+6+-j-=16

所以SmM=1X16=4

故4

三、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=d+χ2-χ+]

⑴求曲線y="χ)在點(diǎn)(IJ⑴)處的切線方程；

⑵求/(χ)的單調(diào)區(qū)間.

【正確答案】(l)4x-y-2=0

(2)/(其的單調(diào)遞增區(qū)間是(->,-1)和8,+00)；單調(diào)遞減區(qū)間是EIT)

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)f(χ),得出切線斜率/⑴，再計(jì)算出了⑴，由點(diǎn)斜式寫出切線方

程，整理即得；

(2)由/'(X)>0得增區(qū)間，J"(x)<O得減區(qū)間，即可.

【詳解】(1)由題意得：f'(x)=3χ2+2x-l,

所以f'(l)=4,f(1)=2,

故曲線y=∕(x)在點(diǎn)(I,/(D)處的切線方程y-2=4(x-l),即4x—y—2=0；

(2)∕,(X)=3X2÷2x-l=(3x-l)(x+l),

令/'(x)>0,易得或無<一1,令f'(x)vθ,易得一1<工<；,

所以函數(shù)在(γ>,τ)和?,+∞)上遞增，在上遞減，

即f(χ)的單調(diào)遞增區(qū)間是(γ>,τ)和(；，+8)；單調(diào)遞減區(qū)間是1-1g

在(-l+

17.r2x的二項(xiàng)展開式中,

(I)若〃=7,且第3項(xiàng)與第6項(xiàng)相等，求實(shí)數(shù)X的值；

(2)若第5項(xiàng)系數(shù)是第3項(xiàng)系數(shù)的10倍，求〃的值.

【正確答案】(1)更

2

⑵8

【分析】(1)當(dāng)〃=7時(shí)，求得展開式的通項(xiàng)(”=2℃"314,根據(jù)題意列出方程，即可求

解；

(2)求得展開式的通項(xiàng)T^=2。C%”?根據(jù)題意，得到方程2?t?C=10χ22?C,結(jié)合組

合數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】(1)解：當(dāng)〃=7時(shí)，可得+2x］展開式的通項(xiàng)幾=C；&7~?(2x)，=2r?q√r-14,

令r=2,可得(=22?c;X^8,令r=5,可得(=2"C"，

因?yàn)榈?項(xiàng)與第6項(xiàng)相等，可得22?C*-8=25?GX,解得X=返.

2

(2)解：由二項(xiàng)式(*+2XJ展開式的通項(xiàng)*=α(*)F(2xy=2'?C>f,

可展開式中第5項(xiàng)的系數(shù)為24-C：,第3項(xiàng)的系數(shù)為2?,

因?yàn)榈?項(xiàng)系數(shù)是第3項(xiàng)系數(shù)的10倍，可得24?G=10χ22?C)

即2C=5?C>即2χ"H)("3)=5χ次Tl,

可得〃2—5〃—24=0,解得〃=8或〃=—3(舍去),

所以〃的值為8?

18.已知函數(shù)"x)=(χ2-3x+l)e".

⑴求〃x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)；

(2)求〃x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)極大值點(diǎn)為廣-1,極小值點(diǎn)為χ=2

⑵最大值為/(3)=e3,最小值為〃2)=-e2

【分析】(1)求導(dǎo)，判斷單調(diào)區(qū)間，然后可得極值點(diǎn)；

(2)根據(jù)(1)可得單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得最值.

【詳解】(1)∕,(x)=(2x-3)eA+(x2-3x+l)e'=(x-2)(x+l)eA

令(x—2)(x+l)e"=0解得x=—1或x=2,列表如下：

-1

X(-∞,-l)(-1,2)2(2,+8)

fω+0-0+

/*)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以極大值點(diǎn)為戶-1,極小值點(diǎn)為χ=2.

(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在［-1,2)上單調(diào)遞減，在⑵3］上單調(diào)遞增，

又〃T)=5e-∣,/(3)=(32-3×3+l)e3=e3,

所以f(-l)<f(3)

所以在區(qū)間［T3］上的最大值為"3)=e3,

最小值為"2)=Q2-3χ2+l)e2=-e2.

19.—個(gè)口袋內(nèi)有5個(gè)不同的紅球，4個(gè)不同的白球.

(1)若將口袋內(nèi)的球全部取出后排成一排，求白球互不相鄰的排法種數(shù)；

(2)已知取出一個(gè)紅球記2分，取出一個(gè)白球記1分，若從口袋內(nèi)任取5個(gè)球，總分不少于8

分，求不同的取法種數(shù).

【正確答案】⑴43200

(2)81

【分析】(1)使用插空法可解；

(2)分3紅2白，4紅1白，5紅三種情況求解即可.

【詳解】(1)先將5個(gè)紅球排成一排共A；=5x4x3x2xl=120,再將4個(gè)白色小球插入到6

個(gè)空位中有A：=6x5x4x3=360,

所以白球互不相鄰的排法種數(shù)為120x360=43200種.

(2)當(dāng)取出的小球?yàn)?紅2白時(shí)得8分，共C；C；=10x6=60種；

當(dāng)取出小球?yàn)?紅1白時(shí)得9分，共C；C；=5x4=20種；

當(dāng)取出小球都是紅球時(shí)得10分，共1種.

所以口袋內(nèi)任取5個(gè)球，總分不少于8分的取法共有60+20+1=81種.

20.已知函數(shù)/(x)=InX-X-1,?(x)=∣4uc3-αr(a>0).

⑴判斷了(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；

(2)若對(duì)任意的芭e(l,e