廣西桂林市2020-2021學年高二下學期期末考試數(shù)學（理）試題

廣西桂林市20202021學年高二下學期期末數(shù)學（理）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.函數(shù)f(x)=ex，則f'(0)=A.

0

B.

1

C.

e

D.

1e2.設復數(shù)z=2-i，則z的實部為（

A.

1

B.

2

C.

2

D.

i3.用反證法證明“2是無理數(shù)”時，正確的假設是（

）A.

2不是無理數(shù)

B.

2是整數(shù)

C.

2不是有理數(shù)

D.

2是無理數(shù)4.5個人排成一排照相，其中的甲乙兩人要相鄰，則有不同的排法種數(shù)為（

）A.

24種

B.

36種

C.

48種

D.

72種5.1+3x+3x2+x3A.

(x+1)3

B.

(x-1)36.在樣本頻率分布直方圖中，各小長方形的高的比從左到右依次為2:4:3，則第2組的頻率是（

）A.

0.4

B.

0.3

C.

0.2

D.

0.17.向量a=(2,4,5)，向量b=(1,2,t)，若a⊥b，則實數(shù)t=A.

52

B.

1

C.

2

D.

8.從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，記事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，記事件B為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=（

）A.

18

B.

14

C.

29.若隨機變量X的分布列如下表所示，則a的值為（

）X123P0.2a3aA.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.410.正方體ABCD-A1B1C1D1中，BA.

23

B.

33

C.

23

D.

611.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.682，則P(X>4)=A.

0.0799

B.

0.1587

C.

0.3

D.

0.341312.若函數(shù)f(x)=ex-2ax2+1有兩個不同的極值點，則實數(shù)A.

a>e4

B.

0<a<e4

C.

a<-e二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校有學生4500人，其中高三學生1500人，為了解學生的身體素質(zhì)情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學生中抽取一個300人的樣本．則樣本中高三學生的人數(shù)為________．14.已知i為虛數(shù)單位，則(2-3i)(i+1)=________15.1e16.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是斜邊上一點，以AD為棱折成二面角C-AD-B，其大小為60°，則折后線段三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應給出文字說明、證明過程及演算步驟．17.在(x2+（1）含x3的項；（2）展開式中的常數(shù)項．18.已知函數(shù)f(x)=x3+a（1）當a=0時，求f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線方程；（2）設x=-1是f(x)的極值點，求f(x)19.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱（1）證明：BE⊥平面EB1（2）若AE=A1E，AD=1，求二面角B20.已知數(shù)列{an}的前n項和S（1）計算a1，a2，a3，a4，并猜想（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想．21.在某校組織的一次籃球定點投籃比賽中，兩人一對一比賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，否則由對方接替投籃．現(xiàn)由甲、乙兩人進行一對一投籃比賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是13，12．兩人共投籃3（1）求3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投籃命中一次得1分，否則得0分，用X表示甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學期望．22.已知函數(shù)f(x)=lnx-（1）若f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增，求實數(shù)a（2）若h(x)=xf(x)，且h(x)僅有一個極值點x0，求實數(shù)a的取值范圍，并證明：h答案解析部分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.函數(shù)f(x)=ex，則f'(0)=A.

0

B.

1

C.

e

D.

1e【答案】B【考點】導數(shù)的運算【解析】【解答】解：由題意得f'(x)=ex，則f'(0)=e0=1.

故答案為：B

【分析】根據(jù)導數(shù)的運算求解即可.2.設復數(shù)z=2-i，則z的實部為（

A.

1

B.

2

C.

2

D.

i【答案】B【考點】復數(shù)的基本概念【解析】【解答】解：根據(jù)復數(shù)的概念得z的實部為2.

故答案為：B

【分析】根據(jù)復數(shù)的概念直接求解即可.3.用反證法證明“2是無理數(shù)”時，正確的假設是（

）A.

2不是無理數(shù)

B.

2是整數(shù)

C.

2不是有理數(shù)

D.

2是無理數(shù)【答案】A【考點】反證法【解析】【解答】解：根據(jù)反證法，正確的假設是：2不是無理數(shù).

故答案為：A

【分析】根據(jù)反證法直接求解即可.4.5個人排成一排照相，其中的甲乙兩人要相鄰，則有不同的排法種數(shù)為（

）A.

24種

B.

36種

C.

48種

D.

72種【答案】C【考點】排列、組合的實際應用，排列、組合及簡單計數(shù)問題【解析】【解答】解：根據(jù)捆綁法,先把甲乙開成一個元素，再與另外3人排列，則共有A44A22=48種.

5.1+3x+3x2+x3A.

(x+1)3

B.

(x-1)3

C.

【答案】A【考點】二項式定理的應用【解析】【解答】解：根據(jù)二項式定理得1+3x+3x2+x3=x3+3x2+3x+1=C30·x3·106.在樣本頻率分布直方圖中，各小長方形的高的比從左到右依次為2:4:3，則第2組的頻率是（

）A.

0.4

B.

0.3

C.

0.2

D.

0.1【答案】A【考點】頻率分布直方圖【解析】【解答】解：由題意易知各小長方形的面積的比從左往右依次為2:4:3

則可設s1:s2:s3s4=2s:4s:3s:s

則2s+4s+3s+s=1

解得s=0.1

則第2組的頻率是4s=0.4

故答案為：A

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)求解即可.7.向量a=(2,4,5)，向量b=(1,2,t)，若a⊥b，則實數(shù)t=A.

52

B.

1

C.

2

D.

【答案】C【考點】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直【解析】【解答】解：∵a⊥b

∴2×1+4×2+5t=0

解得t=2

故答案為：C

8.從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，記事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，記事件B為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)=（

）A.

18

B.

14

C.

2【答案】B【考點】古典概型及其概率計算公式，條件概率與獨立事件【解析】【解答】解：PA=C32+C22C52=25，PB=9.若隨機變量X的分布列如下表所示，則a的值為（

）X123P0.2a3aA.

0.1

B.

0.2

C.

0.3

D.

0.4【答案】B【考點】離散型隨機變量及其分布列【解析】【解答】解：由題意得0.2+a+3a=1，解得a=0.2

故答案為：B

【分析】根據(jù)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)求解即可.10.正方體ABCD-A1B1C1D1中，BA.

23

B.

33

C.

23

D.

6【答案】D【考點】直線與平面所成的角【解析】【解答】解：因為BB1//DD1，所以BB1與平面ACD1所成的角等于DD1與平面ACD1所成的角，

在三棱錐DACD1中，由三條側(cè)棱兩兩垂直得點D在平面ACD1的射影為等邊三角形ACD1的垂心(即中心0)，連結DO，D1O，則∠DD1O為DD1與平面ACD1所成的角，

設正方體的棱長為a,則cos∠DD1O=63a11.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)=0.682，則P(X>4)=A.

0.0799

B.

0.1587

C.

0.3

D.

0.3413【答案】B【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義【解析】【解答】解：∵X服從正態(tài)分布

N(3,1)

，且

P(2≤X≤4)=0.682

∴PX>4=1-12.若函數(shù)f(x)=ex-2ax2+1有兩個不同的極值點，則實數(shù)A.

a>e4

B.

0<a<e4

C.

a<-e【答案】A【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【解析】【解答】解：由題意可得，f'(x)=ex4ax=0有2個不同的實數(shù)根，

即a=ex4x有2個不同的實數(shù)根,

令gx=ex4x，則g'(x)=exx-14x2

令g'(x)>0,可得x>1；令g'(x)<0,可得x<1,

所以g(x)在(∞,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增,二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校有學生4500人，其中高三學生1500人，為了解學生的身體素質(zhì)情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學生中抽取一個300人的樣本．則樣本中高三學生的人數(shù)為________．【答案】100【考點】分層抽樣方法【解析】【解答】解：根據(jù)分層抽樣，易得樣本中高三學生的人數(shù)為3004500×1500=100

故答案為：100

14.已知i為虛數(shù)單位，則(2-3i)(i+1)=________【答案】5【考點】復數(shù)代數(shù)形式的混合運算【解析】【解答】解：(23i)(i+1)=2i+23i23i=5i

故答案為：5i

【分析】根據(jù)復數(shù)的運算直接求解即可.15.1e【答案】1【考點】定積分【解析】【解答】易知(lnx)'=1【分析】由于(lnx)'16.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是斜邊上一點，以AD為棱折成二面角C-AD-B，其大小為60°，則折后線段【答案】2【考點】向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義，與二面角有關的立體幾何綜合題，二面角的平面角及求法，同角三角函數(shù)基本關系的運用，運用誘導公式化簡求值【解析】【解答】解：如圖，過C，B作AD的垂線，垂足分別為E,F，故BF⊥EF,EC⊥EF，

所以BF→·FE→=0,FE→·EC→=0

以AD為棱折疊后，則有BC→=BF→+FE→+EC→

故BC→2=BF→+FE→+EC→2=BF→2+FE→2+EC→2+2BF→·EC→+2BF→·FE→+2FE→·EC→

=BF→2+FE→2+EC→2+2BF→·EC→三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應給出文字說明、證明過程及演算步驟．17.在(x2+（1）含x3的項；（2）展開式中的常數(shù)項．【答案】（1）由題意知Tr+1=C6r(x2)6-r(1x)r=C令12-3r=3，得r=3所以含x3的項為T4

（2）由（1）知12-3r=0，得r=4所以常數(shù)項為T5=【考點】二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式定理的應用【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)二項展開式通項公式求解即可；18.已知函數(shù)f(x)=x3+a（1）當a=0時，求f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線方程；（2）設x=-1是f(x)的極值點，求f(x)【答案】（1）即f(x)=x3-9x+1，則k=f'(2)=3，故所求切線方程為y=3(x-2)，即y=3x

（2）f'(x)=3x2+2ax-9解得a=-3則f(x)=x3-3x2當-1<x<3時f'(x)<0，當x>3所以當x=3時f(x)取極小值f(3)=-17【考點】導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求解即可；（2）根據(jù)函數(shù)極值的性質(zhì)，結合利用導數(shù)研究函數(shù)的極值直接求解即可.19.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱（1）證明：BE⊥平面EB1（2）若AE=A1E，AD=1，求二面角B【答案】（1）由已知得，B1C1⊥平面BE?平面ABB1A又BE⊥EC1，所以BE

（2）由（1）知∠BEB1=90°．由題設知Rt△ABE故AE=AB，A以D為坐標原點，DA的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyzC(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)CB=(1,0,0)，CE=(1,-1,1)設平面EBC的法向量為n=(x則{CB?n=0CE?n=0設平面ECC1的法向量為m則{CC1?m=0CE?于是cos所以，二面角B-EC-C1【考點】直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)，用空間向量求平面間的夾角【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理求證即可；（2）利用向量法直接求解即可.20.已知數(shù)列{an}的前n項和S（1）計算a1，a2，a3，a4，并猜想（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想．【答案】（1）當n=1時，a1=s1=2-a當n=2時，a1+a2=s當n=3時，a1+a2+a當n=4時，a1+a2+a由此猜想an=

（2）證明：①當n=1時，a1=1②假設n=k（k≥1且k∈N*那么n=k+1時，ak+1=∴ak+1=∴當n=k+1時，猜想成立．由①②知猜想an=【考點】數(shù)列遞推式，數(shù)學歸納法【解析】【分析】（1）根據(jù)an與sn的關系直接求解，（2）根據(jù)數(shù)學歸納法直接證明即可.21.在某校組織的一次籃球定點投籃比賽中，兩人一對一比賽規(guī)則如下：若某人某次投籃命中，則由他繼續(xù)投籃，否則由對方接替投籃．現(xiàn)由甲、乙兩人進行一對一投籃比賽，甲和乙每次投籃命中的概率分別是13，12．兩人共投籃3（1）求3次投籃的人依次是甲、甲、乙的概率；（2）若投籃命中一次得1分，否則得0分，用X表示甲的總得分，求X的分布列和數(shù)學期望．【答案】（1）記“3次投籃的人依次是甲，甲，乙”為事件A，依題意，得