全國百強(qiáng)名校“領(lǐng)軍考試”高三上學(xué)期12月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題

2020—2021學(xué)年上學(xué)期全國百強(qiáng)名?！邦I(lǐng)軍考試”高三數(shù)學(xué)（理數(shù)）2020．12注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置．2．全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效．3．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案用0．5mm黑色筆跡簽字筆寫在答題卡上．4．考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．2．已知集合，，則（）A． B． C． D．3．下列命題的否定為假命題的是A．，B．正切函數(shù)的定義域為C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D．矩形的對角線相等且互相平分4．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．5．某工廠生產(chǎn)了根鋼管，其鋼管內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布，工作人員通過抽樣的方式統(tǒng)計出，鋼管內(nèi)徑高于的占鋼管總數(shù)的，則這批鋼管內(nèi)徑在到之間的鋼管根數(shù)約為（）A． B． C． D．6．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)P在雙曲線的右半支上，點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底钚≈禃r，點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．7．中國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中對兩類空間幾何體有這樣的記載：①“塹堵”，即底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；②“陽馬”，即底面為矩形，且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一“塹堵”，如圖所示，，，，則其中“陽馬”與三棱錐的體積之比為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．某中學(xué)高二年級在期中考試之后為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)物理的情況，抽取了名成績在分（滿分為分）之間的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將這名學(xué)生的成績分成了六段：，，，，，，繪成頻率分布直方圖，如圖所示．從成績在的學(xué)生中任抽取人，則成績在間的學(xué)生恰好有一人的概率為（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列的前項和為，，（，且），則的值為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)為定義在上且圖像連續(xù)的偶函數(shù)，滿足（或在恒成立．若把函數(shù)向右平移個單位可得函數(shù)，則方程的所有根之和為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知命題，命題，若為真命題，則實數(shù)的取值范圍是___________．14．已知直線，圓，則直線與圓的位置關(guān)系是___________．15．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則的最小值為___________．16．已知點(diǎn)為拋物線焦點(diǎn)，橢圓與拋物線的準(zhǔn)線交于，兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則拋物線的方程為___________．三、解答題：本題共6個小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知等比數(shù)列的前項和為，公比，，．若數(shù)列的前項和為，，求數(shù)列的前項和．18．已知函數(shù)，且函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍．19．從年月起，我國各地爆發(fā)了以武漢為中心的新型冠狀病毒肺炎疫情，湖北某市疫情監(jiān)控機(jī)構(gòu)統(tǒng)計了月日到日每天新增病例的情況，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月日新增病例人其中月日這一天的人中有男性人，女性人．（1）工作人員為了檢測疫情的需要，對月日這一天的人按性別分層抽取人，再從這人中抽取人了解病毒傳染情況，求抽取的這人中至少有名女生的概率；（2）月、日這兩天的人中，最多經(jīng)過三個階段的治療都痊愈出院了，其中病癥輕微的無需治療僅憑自身免疫能力就能痊愈．醫(yī)院從這人中隨機(jī)抽取了人做調(diào)研，并整理了這人各自經(jīng)歷的治療次數(shù)，數(shù)據(jù)如下表：治療次數(shù)人數(shù)以這人治療次數(shù)對應(yīng)的人數(shù)出現(xiàn)的頻率值代替人治療次數(shù)所發(fā)生的概率．記表示抽取的兩人共需治療的次數(shù)，求治療次數(shù)的數(shù)學(xué)期望．20．如圖所示，在多面體中，平面平面，四邊形為直角梯形，，，（為大于零的常數(shù)），為等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)，，（1）求的長，使得；（2）在（1）的條件下，求二面角的大?。?1．已知、分別為橢圓左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足軸，，且橢圓上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離的最大值為．（1）求橢圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），與直線平行且與橢圓相切的兩條直線分別為、，若與兩直線間的距離，求直線的方程．22．已知函數(shù)（1）若，函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，此時函數(shù)區(qū)間上的最小值為，求實數(shù)的值．2020—2021學(xué)年上學(xué)期全國百強(qiáng)名?！邦I(lǐng)軍考試”高三數(shù)學(xué)（理數(shù)）答案與解析1．【答案】【命題意圖】本題考查分段函數(shù)的求值問題．【解析】，．2．【答案】B【命題意圖】本題考查集合運(yùn)算、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)不等式的解法結(jié)合不等式考查集合運(yùn)算歷來就是高考查收集合的熱點(diǎn)，故在此我們設(shè)置了通過對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解對數(shù)不等式與集合的交集運(yùn)算．【解析】，3．【答案】D【命題意圖】本題考查命題真假的判斷．從歷年高考考查簡易邏輯題型來看，命題真假的判斷居多，多以全稱命題、特稱命題、及其通過邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)而成的新命題呈現(xiàn)，真假命題判斷的備考應(yīng)主要從這幾個角度出發(fā)進(jìn)行準(zhǔn)備．【解析】對于A，因為．所以恒成立故A假；對于B，正切函數(shù)的定義域為，所以B假；對于C，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為、，所以C假；D顯然正確，綜上應(yīng)選D．4．【答案】B【命題意圖】本題考查了函數(shù)圖象的識別，函數(shù)的奇偶性根據(jù)奇偶性的定義，利用排除法進(jìn)行求解，即可得到答案．本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)值的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義，得出函數(shù)的奇偶性的圖像特征，再利用函數(shù)值排除是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．【解析】函數(shù)的定義域為，故排除A；函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故排除D；當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，恒成立，故排除C．5．【答案】C【命題意圖】本小題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．【解析】，，故這批鋼管內(nèi)徑在到之間的鋼管數(shù)約為根．6．【答案】D【命題意圖】本題考查雙曲線定義、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用解答這一類型問題應(yīng)把握好以下兩點(diǎn)：（1）對于圓錐曲線的定義不僅要熟記，還要深入理解細(xì)節(jié)部分：比如橢圓的定義中要求，雙曲線的定義中要求，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的離與準(zhǔn)線的距離相等的轉(zhuǎn)化；（2）注意數(shù)形結(jié)合，畫出合理草圖．【解析】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時等號成立．而直線的方程為，由可得，所以，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．7．【答案】A【命題意圖】本題屬于數(shù)學(xué)文化題，主要考查閱讀能力，考查棱錐與棱臺的性質(zhì)以及棱臺的體積公式，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．【解析】設(shè)，由“陽馬”定義知：“陽馬”的體積．而“塹堵”的體積，故三棱錐的體積，于是“陽馬”與三棱錐的體積之比，即．8．【答案】B【命題意圖】本題考查數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)零點(diǎn)問題。涉及到函數(shù)與方程相關(guān)知識點(diǎn)，二次數(shù)函、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)．?dāng)?shù)形結(jié)合思想是高考要重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想，而函數(shù)與方程問題是最容易融入數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行考查的知識內(nèi)容之一，特別是探究零點(diǎn)問題，解答這類問題往往是把函數(shù)與方程相結(jié)合，由方程分解出函數(shù)，然后利用函數(shù)圖像解決問題．【解析】當(dāng)時．，于是函數(shù)的圖像如圖所示，從圖像中可以看出，要使函數(shù)與的圖像有三個交點(diǎn)，則須．9．【答案】B【命題意圖】本題考查分層抽樣，頻率分布直方圖及其古典概型．統(tǒng)計是一門在實際生活中應(yīng)用最為廣泛的學(xué)科之一，在高考中非常容易與實際問題相結(jié)合闡述應(yīng)用類問題特別是把統(tǒng)計的其它知識、古典概型與頻率分布直方圖相交匯的題型更應(yīng)值得我們重視．【解析】從頻率分布直方圖中可知，成績在的人數(shù)為人，成績在的人數(shù)為人．記成績在的人為，，成績在的人為，，，則所有基本事件有：，，，，，，，，，共個．其中成績在間的學(xué)生恰好有一人的事件有：，，，，，，共個．所以成績在間的學(xué)生恰好有一人的的概率為．10．【答案】A【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)及其運(yùn)用，這是高考客觀題考查數(shù)列問題的熱點(diǎn)．等差、等比數(shù)列的性質(zhì)眾多，熟記這些性質(zhì)是做好這類題型的前提．【解析】，而，可得，即，解得．11．【答案】C【命題意圖】本小題主要考查對函數(shù)解析式的分析推理，考查利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于高檔題．【解析】函數(shù)，，，．而，即，．又通過函數(shù)的圖像可知其在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，，即．12．【答案】B【命題意圖】本題考查利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性、利用數(shù)形結(jié)合思想探究函數(shù)零點(diǎn)問題導(dǎo)數(shù)客觀題的考查主要是以導(dǎo)數(shù)的幾何意義、單調(diào)性、極值、最值為知識背景，應(yīng)當(dāng)注意的是用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問題一定要先確定函數(shù)的定義域，否則結(jié)論很可能是錯誤的這是在導(dǎo)數(shù)問題時上最容易出錯的地方．【解析】函數(shù)為定義在上且圖像是連續(xù)的偶函數(shù)，函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，又滿足（或）在恒成立，函數(shù)在，上都單調(diào)．由題意知的圖像關(guān)于軸對稱，在，上都單調(diào)．若，則有或，當(dāng)時，變形可得，有個根，且兩根之和為；當(dāng)時，變形可得，有個根，且兩根之積為，則滿足方程的所有根之和．13．【答案】【命題意圖】本題考查運(yùn)用命題的真假，構(gòu)建不等式求解參數(shù)的取值范圍．【解析】由已知和都是真命題，14．【答案】相離【命題意圖】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．直線與圓的位置關(guān)系問題常用到的知識點(diǎn)是點(diǎn)到直線的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用又可以幫助我們建立方程求值，該題就是這樣一個解答思路．【解析】將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，圓心坐標(biāo)為，半徑．又圓心到直線的距離，故圓與直線的位置關(guān)系是相離．15．【答案】【命題意圖】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、求和公式以及等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用．熟記等差數(shù)列性質(zhì)，熟練運(yùn)算是關(guān)鍵，是中檔題．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，．令，即，解得，，，即數(shù)列的前項均為負(fù)值，最?。?dāng)?shù)列的首項是，公差為，，數(shù)列的前項和的最小值為．16．【答案】【命題意圖】本題考查對拋物線方程的認(rèn)識、理解及運(yùn)算由于解題過程中要涉及到大量的運(yùn)算，所以在解題中要注意合理運(yùn)用代換的方法以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的，考查轉(zhuǎn)化和計算能力．【解析】拋物線的準(zhǔn)線代入橢圓得，所以，即，所以．由于為等邊三角形，所以，且，即，，由于，所以，故拋物線的方程為．17．【命題意圖】本題考查等差數(shù)列求通項公式，裂項求和．高考主觀題考查數(shù)列問題一般規(guī)律是：第二問考查數(shù)列求和．而數(shù)列求和往往考查兩種形式：裂項求和與錯位相減求和．該題的求和就是裂項求和．【解析】解：，，，或，，，．又，又，即，．18．【命題意圖】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)問題，利用函數(shù)與零點(diǎn)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵屬于中檔題．【解析】解：而為上的增函數(shù)，于是為上的減函數(shù)，故，為上的增函數(shù)．（也可以用函數(shù)單調(diào)性的定義證明為上的增函數(shù)）令函數(shù)，得，由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，又為上的增函數(shù)，，設(shè)，則方程可轉(zhuǎn)換為在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出與的圖象，如圖所示．則當(dāng)時，兩函數(shù)圖象有兩個交點(diǎn)，即，于是時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，實數(shù)的取值范圍是．19．【命題意圖】本題考查分層抽樣，古典概型，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．高考對理科概率主觀題的考查，知識點(diǎn)一般集中于相互獨(dú)立事件概率，二項分布，正態(tài)分布，離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，有時也會交匯統(tǒng)計知識，特別要注意線性回歸知識的融入交匯．【解析】解：（1）由題意知月日這一天新增的人中有男性人，女性人，按性別分層抽取名，則男性被抽取的人數(shù)為人，女性被抽取的人數(shù)為人，記名男性分別為，，，名女性為，，則從這人中抽取人的情況有，，，，，，，，，，一共種情況，人中至少有名女性的情況共有種，故所求概率為．（2）所有可能的取值為，，，，，，，，同理：，，20．【命題意圖】本題主要考查面面垂直證明線面垂直、線面垂直證明線線垂直以及空間幾何體中求解二面角解答空間幾何體中垂直關(guān)系時，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理；證明直線和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推論；（3）利用面面平行的性質(zhì)；（4）利用面面垂直的性質(zhì)，當(dāng)兩個平面垂直時，在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面．考查二面角的余弦值的求法以及運(yùn)算求解能力，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是中檔題．【解析】解：平面平面，為等腰直角三角形，，為的中點(diǎn)，，又，，，令、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則、、、、、（1），，，，即，，于是，四邊形為矩形，故．（2）設(shè)點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，平面，，而為等腰直角三角形，，平面，為平面的一個法向量，而．設(shè)為平面的一個法向量，而，，又，，即，令，則，，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的平面角為21．【命題意圖】本題考查橢圓方程的求解、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用—求解直線方程。主觀題中考查圓錐曲線題型主要是直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題，這是一般規(guī)律．其特點(diǎn)是運(yùn)算量大，且邏輯思