河北省唐山市2024屆數(shù)學(xué)高二年級上冊期末檢測模擬試題含解析

河北省唐山市2024屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若曲線/(*)=好的一條切線/與直線4x+y-3=0平行，貝!]/的方程為。

A.4x—j—4=0B.x+4j—5=0

C.x—4y+3=0D.4x+j+4=0

3

2.已知拋物線y=—V,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

4

D.。,；

c-?°

3.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直

線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知一ABC的頂點(diǎn)4(—3,0),3(1,3),其歐拉線方程為13x—33y+22=0,則頂點(diǎn)

C的坐標(biāo)可以是()

A.（2,0）

C.（2,-l）D/-竺,當(dāng)

11919J

4.T01是數(shù)列-5,-9,-13,-17,…中的第幾項(xiàng)()

A第98項(xiàng)B.第99項(xiàng)

C.第100項(xiàng)D.第101項(xiàng)

5.已知空間向量。=(一1,0,3),b=(3-2,x),若心"則實(shí)數(shù)x的值是()

A.-1B.0

C.1D.2

（x1+〃

6.數(shù)列｛〃〃｝滿足q=2,an+i=—,則%oi9=（）

I一4

A.-3B.-

3

1

C.----D.2

2

v2y2

7.設(shè)AB是橢圓二+=1（a>Z?>0）的長軸，若把AB一百等分，過每個分點(diǎn)作AB的垂線，交橢圓的上半部分

a~b2

于B、P2.....P99,F1為橢圓的左焦點(diǎn)，貝！JWAI+IG6I+IG2I++16/1+145|的值是（）

A.98iB.99a

C.100（2D.101（2

2222

8.已知橢圓二+匕=1與橢圓，+3~=1（左<4）,則下列結(jié)論正確的是（）

A.長軸長相等B.短軸長相等

C.焦距相等D.離心率相等

11

9.已知正實(shí)數(shù)x,，滿足4y=4,則三寸+五瓦的最小值為（）

A.…

RJ立

15.-----1---

8423

c.L也D」+也

2422

10.直線/的一個方向向量為（2,3）,則它的斜率左為（）

31

A.-B.—

22

13

C.——D.一一

22

11.直線y=氐與橢圓二+當(dāng)=1（?！?〉0）交于A,3兩點(diǎn)，以線段A3為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，則此

ab

橢圓的離心率為（)

A—B.4-28

2

Q6-ID.V3-1

,2

12.已知等差數(shù)列｛4｝滿足％+&=28,則其前10項(xiàng)之和為（）

A.140B.280

C.68D.56

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

x+y>2

13.設(shè)實(shí)數(shù)X、y滿足約束條件X-y<2,則Z=x+2y的最小值為,

1

y<—x

I2

2211］、

14.若斜率為左的直線/與橢圓C:上+匕=1交于A,B兩點(diǎn),且的中點(diǎn)坐標(biāo)為彳,刀，貝！U=________1

32123)

15.直線Ar+8y+C=O與圓。：/+>2=4相交于兩點(diǎn)M,N,若滿足02=42+52,則S=

16.如圖，在四棱錐尸-A5CD中，平面ABC￡>,底面ABC。為矩形，R4=A3=1,A￡>=2,E,尸分別為

AB,的中點(diǎn)，連接PE,CE,AP,則點(diǎn)尸到平面PCE的距離為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，正三棱柱ABC-AgG的側(cè)棱長為3,底面邊長為2,點(diǎn)〃為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線CG上,

且MN,

(1)證明：MN±^ABXM.

(2)求平面和平面40N夾角的余弦值

+

18.(12分)數(shù)列數(shù)“｝滿足%=1,nan+1=(n+l)an+n(n+1),n^N.

(1)證明：數(shù)列｛&｝是等差數(shù)列；

n

(2)設(shè)4=3"?禽，求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和S”.

19.(12分)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD,AB//CD,AD±DC,AB=AD=2DC=2,E為

P3的中點(diǎn)

(1)求證：CE//平面B4。；

(2)若巴4=4,求平面C0E與平面ABC。的夾角大小

20.(12分)已知圓M：x2+y2-4x-6y+12-0,過圓〃外一點(diǎn)P(3,—l)作圓”的兩條切線Q4,PB,A,B

為切點(diǎn)，設(shè)。為圓”上的一個動點(diǎn).

(1)求|PQ|的取值范圍；

(2)求直線AB的方程.

21.(12分)已知拋物線C：>2=4%,直線/經(jīng)過點(diǎn)A(m,O),且與拋物線。交于M,N兩點(diǎn),其中相>0.

(1)若加=1,且|AM|=4,求點(diǎn)拉的坐標(biāo)；

(2)是否存在正數(shù)”，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)。，若存在，請求出正數(shù)小，若不存在，請說明理由.

22.(10分)已知拋物線y=2內(nèi)("〉0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(g,l)在拋物線上.

(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)加(2,0)的直線交拋物錢C于A,5兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線。4,。5的斜率分別匕，k2,求證：匕&

為定值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】設(shè)切點(diǎn)為(5,%),則切線的斜率為2%,然后根據(jù)條件可得的值，然后可得答案.

【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)為(5,尤；)，因?yàn)?'(x)=2x,所以切線的斜率為2%

因?yàn)榍€/(x)=*2的一條切線/與直線4x+y—3=0平行，所以2%=—4,即5=-2

所以/的方程為y—4=-4(x+2),即4x+y+4=0

故選：D

2、D

【解題分析】將拋物線方程化標(biāo)準(zhǔn)形式后得到焦準(zhǔn)距p=g,可得結(jié)果.

【題目詳解】由丁=\好得所以2P=§,所以p=],

所以拋物線x2=1y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1).

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題關(guān)鍵.

3、C

【解題分析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出一A5C的重心并代入歐拉線方程，驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng)，余下選項(xiàng)再由外心、垂

心驗(yàn)證判斷作答.

【題目詳解】設(shè)頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(a，刀，則ABC的重心坐標(biāo)為(當(dāng)一,丁)，

依題意，13x佇--33x——+22=0,整理得：13a—33b—59=0,

33

對于A,當(dāng)a=2/=0時，13a—333—59=—33,不滿足題意，排除A；

49404940

對于D,當(dāng)。=—?dú)v力=歷時，13a—33人-59=13x(—石)一33義歷一59<0,不滿足題意，排除D；

2424

對于B,當(dāng)a=-1,>=-五時，13a-33/7-59=13x(-l)-33x(--)-59=0,

對于C,當(dāng)a=2,Z?=—1時，13?—33Z?-59=13x2—33x(—1)—59=0,

33341

直線A3的斜率左=—,線段中點(diǎn)(―1,—),線段中垂線方程：y——=——(x+1),即4x+3y——=0,

42232

11

x=-----

4x+3y--=0QQ11QI

由《2解得：＜；，于是得的外心"(-右,六)，

213838

13x—33y+22=0y——

38

2_0

2457900aQ60

若點(diǎn)C(-l,-五)，則直線的斜率左'=9，線段BC中點(diǎn)(0,五)，該點(diǎn)與點(diǎn)”確定直線斜率為個產(chǎn)=-①,

38

顯然|1x(-瑞)w-1,即點(diǎn)M不在線段3C的中垂線上，不滿足題意，排除B；

313

若點(diǎn)C(2,—l),則直線3C的斜率《=-4,線段中點(diǎn)線段3c中垂線方程為：y-l=-(x-1),即

“5八JQ----1-1-

x-4y+—=0QQ|191

由＜2］解得＜；,即點(diǎn)(-一,一)為ABC的外心，并且在直線13x-33y+22=0上,

213838

4x+3y--=0y=—

-38

4

ABC邊A8上的高所在直線：y+l=--(x-2),即4x+3y—5=0,

邊3c上的高所在直線：y=；(x+3),即x—4y+3=0,

11

x=-

4%+3y=51911171117

由＜4-解得：貝！IABC的垂心H(歷,歷)，此時有13x歷—33x歷+22=0,

x-4y=-3

y——

-19

即一ABC的垂心在直線13x—33y+22=0上，選項(xiàng)C滿足題意.

故選：C

【題目點(diǎn)撥】結(jié)論點(diǎn)睛：一ABC的三頂點(diǎn)A&,%),3(%,%)，以七，為)，貝！LABC的重心為田占+；+三，X+,+%).

4、C

【解題分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解

【題目詳解】設(shè)數(shù)列-5,-9,-13,…，是首項(xiàng)為％=—5,公差d=-4的等差數(shù)列{%},

tz?=—5+(n—1)x(—4)=-4n—1,

令一l=T01,得〃=100

故選：C

5、C

【解題分析】根據(jù)空間向量垂直的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【題目詳解】因?yàn)樗?。?0,因此有一lx3+0x（—2）+3x=0=x=l.

故選：C

6、C

【解題分析】根據(jù)已知分析數(shù)列周期性，可得答案

【題目詳解】解：???數(shù)列｛4｝滿足q=2,??+1=—

工—41?.

故數(shù)列｛??｝以4為周期呈現(xiàn)周期性變化，

由2019+4=504LL3,

?1

故。2019—a3—~~，

故選C

【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的周期性，難度中檔

7、D

【解題分析】根據(jù)橢圓的定義，寫出|與耳+|&41=24,可求出|耳片|、|公乙|、、|耳與91的和，又根據(jù)關(guān)于縱軸成

對稱分布，得到結(jié)果

詳解】設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為歹2,由橢圓的定義知I片引+1月n=2a（i=l,2,???,99）,

99

+|）=2ax99=198a

i=l

由題意知4，鳥，…，之關(guān)于y軸成對稱分布，

99199

￡（1砧|）=弓￡（|碑|+|月引）=99。

z=l'i=l

又|￡A|+|￡8|=2a,

故所求的值為101。

故選：D

8、C

【解題分析】利用左＜4,可得9一左＞4—左＞0且9一左-（4一人）=9-4,即可得出結(jié)論

【題目詳解】???左＜4,

:.9-k>4—左>0且9一左一(4-左)=9一4,

22

二橢圓上+2L=1與橢圓二+上=Kk<4)的關(guān)系是有相等的焦距

949-k4-k

故選：C

9、A

【解題分析】將4x+3y=4變形為含2x+l和3y+2的等式，即2(2x+l)+(3y+2)=8,再由換元法、基本不等式換“1”的代

換求解即可

【題目詳解】由正實(shí)數(shù)x,y滿足4x+3y=4,可得2(2x+l)+(3y+2)=8,

令a=2x+l,b—3y+2,可得2a+Z>=8,

32a+b12ab12a石、'即卜瀉+字當(dāng)且

x=-x|3+—+-|>-x3+2.——x—

2x+l3y+2abab88ba8ba?

lab

僅當(dāng)=—時取等號,

ba

的最小值為3+Y2.

2x+l3y+284

故選：A

10、A

【解題分析】根據(jù)/的方向向量求得斜率上

【題目詳解】(2,3)=2?(1,3-)且(1,k)是直線的方向向量，=93.

故選：A

11、D

【解題分析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出4耳,A8的長度，再根據(jù)橢圓的定義求解

出區(qū)c的關(guān)系，則橢圓離心率可求.

【題目詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為4,B，如下圖：

因?yàn)橐跃€段A3為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)，

所以。4=。3=。耳=。且人耳耳，所以AB=2c,

又因?yàn)閥=班式的傾斜角為60°,所以NA。月=NBOR=60°,

所以8。耳為等邊三角形，所以54=c,所以4耳=歷匚而=gc,

因?yàn)镺A=OB,OFX—OF2,AAOF2=/BOF、,

所以所以

BOFX=.AOF2,AE=5K=C,

所以AFJ+AF2=(g+l)c=2a,所以e=9=曰「石-1,

【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得%+40=%+4=28,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.

【題目詳解】由題意，等差數(shù)列｛凡｝滿足%+&=28,

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得q+a1。=%+4=28,

10x28

所以數(shù)列的前10項(xiàng)和為==?（"；+』）=140.

2

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解題分析】畫出不等式組對應(yīng)的可行域,平移動直線z=x+2y后可得目標(biāo)函數(shù)的最小值.

【題目詳解】不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示:

x+y=2/、

由＜“c可得A（2,0）,故外=2+2、0=2,

x-y=2

故答案為：2.

14、-1

【解題分析】根據(jù)給定條件設(shè)出點(diǎn)A,8的坐標(biāo)，再借助“點(diǎn)差法”即可計(jì)算得解.

【題目詳解】依題意，線段A3的中點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，設(shè)A（%，X）,B（x2,y2）,

"i+2L=i

由1彳兩式相減得：（玉—曲（石+々）+（%—%心+%）=0,

反+其=132

[32

而為+%2=L%+%=］，于是得」/2+）二為=0,即％=2——=-1,

333\-x2

所以左=-1.

故答案為：—1

15、6

【解題分析】由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知可得圓心到直線的距離，再由圓的弦長公式可得|肱V卜然后可解.

|c|/、|c|

【題目詳解】因?yàn)椤?=人2+32,所以/I=1,所以，圓心（0,0）到直線的距離d=/「=1

VA2+B2y/^+B2

因?yàn)閞=2,所以|腦V|=2/2—/=2百,

所以S/°N=g|MMd=6

故答案為：V3

2721

21

【解題分析】利用轉(zhuǎn)化法，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積等積性進(jìn)行求解即可.

【題目詳解】設(shè)G是CD的中點(diǎn)，連接bG,因?yàn)榇跏荗P的中點(diǎn)，所以FG//PC,

因?yàn)镕G<Z平面PCE,PCu平面PCE,所以EG//平面PCE,

因此點(diǎn)F到平面PCE的距離等于點(diǎn)G到平面PCE的距離，設(shè)為d,

因?yàn)槠矫鍭BC。，所以PA=AB=1,

于是有PE=A/PA2+AE2=<八］=—,

V42

底面ABC。為矩形，所以有CE={BC2+BE2

CA={BC2+B4=(4+1=5因?yàn)?A_L平面ABC。，所以Q4_LAC,

于是有：CP=VAC2+B42=75+1=76-

517

由余弦定理可知：4十丁一61,

cosZ-PEC=

2X瓢歲產(chǎn)

所以sinZPEC=V1-cos2ZPEC=.I1--=,

V85785

因此Sex旦姮x噌=叵,

?2227854

111

c=-XX2=J

S.ECG222

因?yàn)閂G.PCE=Vp_cEG9

訴”iVH,_ii.,_2VH

/zT以一x?d——x-x1d—,

343221

故答案為：2叵

21

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析

⑵痘

20

【解題分析】(1)證明AM，平面331GC,可得出A4,MN,再由MN,A與結(jié)合線面垂直的判定定理可證得

結(jié)論成立；

(2)以點(diǎn)加為坐標(biāo)原點(diǎn)，AM>MC、A&的方向分別為x、V、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向

量法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：正.ABC中，點(diǎn)”為的中點(diǎn)，.?.40L5C,

因?yàn)?用，平面ABC,AMu平面ABC,則

Q5CIBBi=B,則AM,平面

跖Vu平面34GC，則

又MNLABj,且AMAB}=A,.?.MN,平面4用0.

【小問2詳解】

解：因?yàn)锳M_LBC,以點(diǎn)河為坐標(biāo)原點(diǎn)，AM-MC-A4的方向分別為％、丁、z軸的正方向建立如下圖所示的

空間直角坐標(biāo)系,

則9—6,0,0)、6(0,—1,0)、4(0,—1,3)、M(0,0,0),

設(shè)平面A班同的法向量為"=（尤,y,z）,BA=（-A/3,1,0）,BBt=（0,0,3）.

n-BA=-布＞x+y=0

則取x=l,可得〃=(1,6,0,

n?BB、=3z=0

AM，平面BBgC,B】Mu平面BB,CXC,則B}M1AM,

又因?yàn)榕cAMcMN=M,故與ML平面4W,

所以，平面AMN的一個法向量為蜘=（0,-1,3）,

n?MB\

貝(]cos＜〃,MB、＞=

剛“閔2x710-20,

因此，平面A34a和平面夾角的余弦值為Y絲.

20

18、（1）證明見解析；（2）邑=也工3鵬+3

44

【解題分析】（1）將“4+1=5+1）4+咒5+1）的兩邊同除以“5+1）,得到也=%+1,由等差數(shù)列的定義，即

zz+ln

可作出證明；

（2）有⑴求出d=3"?阮=〃-3",利用錯位相減法即可求解數(shù)列出｝的前"項(xiàng)和S〃.

試題解析：

（1）證明：由已知可得*7=』+1,即--=1.

rtIInn*1n

所以是以；=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

⑵由⑴得=1+（n—1）?l=n,所以an=n2.

n

從而bn=n?3n.

S?=l?3'+2?32+3?33H----Fn?3",①

23

3sli=1?3+2?3+-+(n-l)?3"+n?3"+)②

①一②得一2Sn=3i+32d---F3n-n?3n+1

n?3"+1

1-R

=(I2/Q<33

2

所以Sn=F"LI'二P

4

點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的定義、等差數(shù)列的判定與證明和數(shù)列的求和，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題

的能力，本的解答中利用等差數(shù)列的定義得到數(shù)列為等差數(shù)列，求解明的表達(dá)式，從而化簡得到包="-3”,

利用乘公比錯位相減法求和中，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的一個難點(diǎn).

19、(1)證明見解析

,、71

(2)-

4

【解題分析】(1)取中點(diǎn)加，連結(jié)證得CE//DM,利用線面平行的判定定理，即可求解；

(2)以A為原點(diǎn)，以A。方面為了軸，以A3方向?yàn)閂軸，以"方向?yàn)閦軸，建立坐標(biāo)系，利用平面C0E和平面

ABC。的法向量的夾角公式，即可求解

【小問1詳解】

取24中點(diǎn)連結(jié)EMQM,由EMIICD,EM=CD,

則CE/ADM,

又由。Afu平面PAD,CEZ平面PAD,所以CE//平面PAD.

【小問2詳解】

以A為原點(diǎn)，以AD方面為左軸，以A3方向?yàn)閂軸，以AP方向?yàn)閦軸，建立坐標(biāo)系，可得。(2,0,0),C(2,l,0),

P(0,0,4),3(0,2,0),E(0,l,2),

則C￡>=(0,—1,0),CE=(—2,0,2),

設(shè)平面CDE的一個法向量為%=(x,y,z),

々。=0—y=0

則<即-2x+2z=。'令d則…°」)

nACE=O

又平面ABCD的法向量為巧=(0,0,1)；

々?％Ilx0+0x0+lxl|^2

貝!!cos0=----L=1

V2xl—2

JI

所以平面8E與平面所成的銳二面角為“

(2)x—4y+9=0

【解題分析】（1）求出PM,就可以求P0的范圍；

⑵使用待定系數(shù)法求出切線的方程，再求求切點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求切點(diǎn)的連線的方程.

【小問1詳解】

如下圖所示，因?yàn)閳AM的方程可化為（X—2）2+（y—3）2=1,

所以圓心“（2,3）,半徑廠=1,

且怛閭=J（2—3）2+（3+吁二歷，

所以|PQL=J^T，|PQL=J^+1

故|PQ|取值范圍為［而-1,g+斗

【小問2詳解】

可知切線Q4,依中至少一條的斜率存在，設(shè)為左，則此切線為丁+1=左（%-3）

即kx—y—3k—1—0,

\2k-3-3k-1\15

由圓心”到此切線的距離等于半徑r,即］——7=~［=1,得上=—-

7^718

所以兩條切線的方程為y+1=-￡（x-3）和1=3,

8

（1943、

于是由聯(lián)立方程組得兩切點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,3）和石，石J

空-3

171

所以右8=而—=-

17-

故直線的方程為y—3=L(x—3)即x—4y+9=0

21、(1)卜