2023-2024學(xué)年浙江省紹興市上虞區(qū)高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年浙江省紹興市上虞區(qū)高二上冊期末數(shù)學(xué)試題

一、單選題

1.直線Lχ+y=o的傾斜角為（）

A.-45oB.45oC.I35oD.120°

【正確答案】C

【分析】根據(jù)直線傾斜角和斜率的關(guān)系即可.

【詳解】直線Lχ+y=o

.?.Λ=tana=-l；

.,.α=135；

故選：C

2.設(shè)α,力是兩個不同的平面，加是直線且，"u1."機貨是“a的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【詳解】試題分析：，"ua,，，：尸得不到aZ',因為a.尸可能相交，只要，”和a,1的

交線平行即可得到”：尸;a尸，也二，.?.”:和尸沒有公共點，，，，：6,即勾廠能

得到”S；.?.“〃：!”是“a3”的必要不充分條件.故選B.

必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

【方法點晴】考查線面平行的定義，線面平行的判定定理，面面平行的定義，面面平行的判

定定理，以及充分條件、必要條件，及必要不充分條件的概念，屬于基礎(chǔ)題；，，：P并得不

到a尸，根據(jù)面面平行的判定定理，只有a內(nèi)的兩相交直線都平行于￡,而。β,并且

”：ua,顯然能得到，，：,6,這樣即可找出正確選項.

3.若直線y=2x-ι與雙曲線C：犬2一⑵2=］的一條漸近線平行，則實數(shù)加的值為（）

A.-B.4C.?D.2

42

【正確答案】A

【分析】由雙曲線方程寫出漸近線方程，注意m>0,結(jié)合直線平行列方程求參數(shù)值即可.

【詳解】由題設(shè)UxJT=I且加＞0,故α=l,6=J=,

√∕M

m

所以，雙曲線漸近線為y=±3*,其中一條與y=2χ-ι平行，

?∣m

所以1=2,則/M=1.

?Jιn4

故選：A

4.在正三棱柱ABC-ABC中，所有棱長均為2,點M,N分別為AB,BC的中點，則異面直

線AlM與B、N所成角的余弦值為（）

【正確答案】D

【分析】平移一條線，找到異面直線所成角，然后用余弦定理可得余弦值.

【詳解】如圖，延長到P,使得BP=M8,因為M是AB中點，則MP=A8,,又MPllA風(fēng)

所以ABPM是平行四邊形，AiM//BtP,

所以異面直線AM與5N所成的角是NPB?N（或其補角）

W

P

又N是BC中點，所以BP=BN=1,

NP^y∣BP2+BN2-IBP-BNcosZPBN=>∕12+I2-2×l×l×cosl20=6

三棱柱是正三棱柱，

所以BlP=BlN=舊/=布,

……BP2+BN2-PN25+5-37

cos/PBN=I1CJ1…—=CU

2B?P?B?N2x5=而‘

故選：D

“2+y2=∕(r>0)只有一個公共點，則，=()

5.圓O：r+y~—6x—8y+24=0與圓Q

A.4B.5C.6D.4或6

【正確答案】D

【分析】化圓的標(biāo)準(zhǔn)式寫出圓心和半徑，根據(jù)已知有兩圓外切或內(nèi)切，進而求出兩種情況下

對應(yīng)的半徑r即可.

【詳解】由題設(shè)O：(x-3)2+(y-4)2=l,則Q(3,4)且半徑z1=l;

222

O2-.x+y=r(r>0),則O2(0,0)且半徑r2=r.

所以IqO2∣=5,又兩圓只有一個公共點，故兩圓外切或內(nèi)切，

當(dāng)兩圓外切時，｛+4=l+r=5,則廠=4；

當(dāng)兩圓內(nèi)切時，ILq=Il—r∣=5,則r=6或r=Y(舍)；

所以r=4或丁=6.

故選：D

6.已知點A8分別是橢圓C：=+'=1(。>力>0)的上、下頂點，點。為橢圓的右頂點，若

Crb~

JmC為正三角形，則該橢圓的離心率為()

A.&B.BC.—D.；

3222

【正確答案】A

【分析】利用幾何關(guān)系找到。力,C之間等量關(guān)系即可.

【詳解】由題意知：AB=2b,OC=a,

~ABC為正三角形，則：OC=-AB;

2

a=?∣3b，c=>Ja2-b2=五b，

c?∕2?∣6

.?.e=—=—?=—.

ay/33

故選:A

7.在邊長為1的菱形ABCD中，ZABC=60。，將C沿對角線AC折起得三棱錐D-ABC,

當(dāng)三棱錐體積最大時，此三棱錐。-ABC的外接球的表面積為()

A.5πB.4πC.—D.—

36

【正確答案】C

【分析】體積最大時，即兩個面垂直時，然后利用幾何關(guān)系找到外接球圓心即可.

【詳解】如圖所示，

當(dāng)平面ABC上平面ZMC時,三棱錐體積最大，

取4C中點E,連接BE,DE,由條件知BEmE

設(shè)QG分別為一A8C,“OC的外心，過01作平面ABC的垂線機，過5作平面ADC的垂線

n

則m,〃的交點即為三棱錐O-ΛBC外接球的球心0；

1/?2J∕?

OO=OE=-BE=-,DO=-DE=-

2i36~2339

8.如圖，加斯帕爾?蒙日是18?19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：

橢圓（或雙曲線）上兩條相互垂直的切線的交點戶的軌跡方程為圓，該圓稱為外準(zhǔn)圓，也叫

【正確答案】B

【分析】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點為P（X。，%）,設(shè)過點尸且與曲線C相切的一條切線方

程是y-%=A(χ-χ0),k≠0,由直線與雙曲線相切聯(lián)立方程，且A=O,得出關(guān)于火的一元

二次方程組?=(),由根與系數(shù)的關(guān)系即可得出該雙曲線蒙日圓的方程，即可求解.

【詳解】設(shè)兩條互相垂直的切線的交點為P(%,%),

由題可知，雙曲線上兩條互相垂直的切線的斜率均存在且均不為0,

設(shè)過點P且與曲線C相切的一條切線方程是y-%=Hχ-%),k≠0,

----------=1

由94得，

y-y0=k(x-x0)

2222

(4-9fc)x+(l8X0?-1860)X-9(fcco-jo)-36=O,

則△=0,即(18x°F-18蛆)2-4?(4-9公)?[-9(5-y0)2-36]=0,

整理得，(x；-9)r-2x0為k+y：+4=0,

因為過點戶有兩條直線與曲線C相切，

所以xj-9≠0,且A>0,BP9jθ-4xθ+36>0,則-3<x0<3,

得K"=咚?,

?-9

又因為過點P的這兩條切線互相垂直，

-V2-1-4

所以仁?&=當(dāng)F=-1,

即片+￥=5,

故該雙曲線的蒙日圓方程為：X2+∕=5,半徑為后,

所以該雙曲線蒙日圓的面積為5π,

故選：B.

二、多選題

9.己知直線∕∣,4的方向向量分別是A8=(1,2,x),CD=(2,?,l),^∣AB∣=3?∕11Z2,則x+y

的值可以是()

A.-3B.-2C.ID.0

【正確答案】BD

24

【分析】根據(jù)題意，列出方程組：+T+2=。'求得的值,即可求解.

【詳解】因為已知直線4,4的方向向量分別是AB=(1,2,X),Cn=(2,y,l),其中IABI=3且

/,1Z2,

22

所以JWl++44+xΛ=3,即fχ—4解得(x—2或{x——.

lχ2+2y+x=0[x+2y+2=0[y=-2Iy=O

所以x+y=0或x+y=-2.

故選：BD.

10.已知直線/:Ax—y+A=O和圓。:爐+9=4,則()

A.直線/恒過定點(-1,0)B.直線/與圓。相交

C.存在k使得直線/與直線/。：依-y+3=0垂直D.若％=-1,直線/被圓。截得的弦長

為TiT

【正確答案】ABD

【分析】對于A,利用直線系方程求得直線/過定點即可判斷；對于B,由直線所過的頂點

在圓內(nèi)部即可判斷；對于C,由兩條直線的位置關(guān)系中垂直關(guān)系即可判斷；對于D,由垂徑

定理求弦長可以判斷.

【詳解】對于A,直線/:依-y+A=O,即MX+1)—y=0,則直線/恒過定點(-1,0),故選

項A正確；

對于B,直線/恒過的定點(7,0)在圓O：Y+y2=4的內(nèi)部，.?.直線/與圓。相交，故選項

B正確；

對于C,若直線/：履-y+A=O與直線4：依-y+3=0垂直，則∕=τ,顯然不成立，故選

項C錯誤；

對于D,當(dāng)Z=T,直線/化成χ+y+i=0,圓心。到直線/的距離d=g=[,直線/被圓

O截得的弦長為2卜；=舊,故選項D正確；

故選：ABD.

IL如圖，在平行六面體ABS-AAGA中，以頂點A為端點的三條棱長均為6,且它們

彼此的夾角都是60,下列說法中正確的是（)

A.BD工平面ACG

B.BD1=6√3

C.直線AG與平面ABS所成的角的正弦值為:

D.直線BA與4C所成角的余弦值為亞

6

【正確答案】ACD

【分析】由底面ABe。為菱形，所以ACl8。，再由AC「80=0,得到AG^BO,結(jié)合

線面垂直的判定定理,證得8。工平面ACG，可判定A正確;根據(jù)囪I=J（Λ4l+AD_，

可判定B不正確；證得平面ABeZ）上平面ACC1,得到ZCAC1為直線AG與平面ABCD所成

的角，結(jié)合向量的夾角公式，可判定C正確；結(jié)合CoS（AC?8R）=I,可判定D正

HqlBq

確.

【詳解】對于A中，由底面ABC。為菱形，所以AC/5。,

由題可知A4,?Ar>=A41?A8=AZ)?AB=6x6xcos60=18,

因為ACI?3D=(A3+AO+A41)?(AD-A3)=0,所以AC∣

又因為47門4^=人且4。,4；€：平面4<7￡,所以BD工平面ACc一所以A正確;

對于B中，因為BR=A4,+AD-AB,

2

可得幽卜J(A41+AO-ABy=↑∣AA1"+AD+Aβ"+2A4l?AD-2AAt-AB-2AD-AB

=√62+62+62+2×6×6cos6()-2×6×6cos6()-2×6×6cos6()

=√62+62+62+2×6×6COS6()-2×6×6COS6()-2×6×6COS6()=66，所以B不正確：

對于C中，因為Bol平面ACC,且3￡>u平面A8C。，所以平面ABCD工平面ACg,

所以AC1在平面ABCD內(nèi)的射影為AC,所以ZCAC1為直線AC1與平面ABC。所成的角，

222

又因為M=y∣(AB+AD)=√AB+AD+2AB-AZ)=6√3.

2

IAC11=y∣(AB+AD+AAi)=JAB'+AD'+AAi"+2ABAD+2AB-A41+2ADAAl=6√6，

22

ACACl=(AB+AD)?AB+AD+AAi)=AB÷2AB?AP+AB?AA1÷AP+AD√L41=144，

ACAC2√21

所以CoSNCAG=閑時t=丁，所以SinNCAG=；,所以C正確；

對于D中,由B中知網(wǎng)|=6&且IAq=66,

ACBDl=(AB+ADy(AAi+AD-AB^ABAA,+ABAD-ABAB+ADAAi

+AD?AD-AD?AB=18+18-18+18+18-18=36.

/“R八\ACBD36√f6

所以CoS(AC?*)=∣^ii=^^ΓT,所以D正確.

故選：ACD.

2222

12.已知雙曲線E:=-A=l(a>0,6>0)與橢圓工+匕=1的焦點相同，雙曲線E的左右焦

Crb-95

點分別為不心，過點F2的直線與雙曲線E的右支交于AQ兩點，P耳與y軸相交于點A,

△PA心的內(nèi)切圓與邊A鳥相切于點5.若IABI=1,則下列說法正確的有()

A.雙曲線E的漸近線方程為y=±√5x

B.過點(1,1)存在兩條直線與雙曲線E有且僅有一個交點

C.點P在變化過程中，△什Λ面積的取值范圍是(譬,4百)

D.若PFJPF2,則△月4鳥的內(nèi)切圓面積為

【正確答案】AC

【分析】結(jié)合雙曲線的定義、圓的切線長定理求得“力，從而求得雙曲線E的方程，結(jié)合雙

曲線的漸近線、直線和雙曲線的交點、焦點三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)切圓面積等知識對選項

進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】由題可得耳(一2,0),6(2,0),

因為aPAE的內(nèi)切圓與邊AK相切于點B，設(shè)居的內(nèi)切圓與P1,P工分別切于M,N,

如圖，

由切線長定理可知IPM=IPM,?F2B?=?F2N?,?AM?=?AB?,?AFi?=?AF2?,

所以

IP用一IPEI=IPMl+1AMl+∣A用一(IPNI+1END=IAM+1A制一優(yōu)Nl

=IASl+1A^I-內(nèi)臼=2∣ABl=2,

對A,由題可得雙曲線E的漸近線方程為y=±2χ=±√Ir,故A正確；

a

對B,由雙曲線的性質(zhì)可知過點(1,1)的直線與漸近線平行時與雙曲線有且僅有一個公共點，

又過點(1,1)的直線斜率不存在時，即X=I與雙曲線/一號=1有且僅有一個公共點，

故過點(Ll)的直線存在三條直線與雙曲線E有且僅有一個交點，故B錯誤.

對C,因為5面積為S*內(nèi)=；忻周上∣=2E因此只需求回|的范圍即可，可取臨界

位置，

當(dāng)做與漸近線平行時，不妨設(shè)A耳：y=√5(x+2),令X=O可得y=2√L

當(dāng)P乙與另一條漸近線平行時，不妨設(shè)尸用：丫=-G(X-2),聯(lián)立雙曲線方程/-q=1,

3√3

解得x=j）,=qi,即P;苧，所以「斗：y=盧（x+2）,令X=O可得y=嚕

4+2

所以|），/《誓,2√f∣,S*內(nèi)e［譬,4√f∣,故C正確；

對D,當(dāng)尸尸口尸苞時，則IMlTP用=2,|3|2+歸閭2=42,解得|「制=77+1,|尸用=將_1,

故APAg的內(nèi)切圓的周長為∣B4∣+∣A周+1KH=IP用+1尸周=2小，

△3鳥的面積為SWiLTP用P用WW+I)(√7-I)=3,

由題可知RtMF2RIOF1A,??=!?.西［=半匚，即儂=生&I,

11

?OFl??PFl?2√7+l3

而"CIgmIc4∣16-4√7CCC216-4√74√7-7沿

所以SMB=耳段IoAl=----?-，SpAF3=Spg-SAg=3-------?-=-?-，設(shè)

△融工的內(nèi)切圓的半徑為『，

貝IJSftIa=吟二］=3x2√7?r,即'=號彳，△出鳥的內(nèi)切圓的面積為兀產(chǎn)=［31）兀，

故D錯誤.

故選：AC.

圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法有：

（1）幾何法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解

決；

（2）代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，

再求這個函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時常從以下幾個方面考慮：①利用

判別式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；②利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等

式，從而求出參數(shù)的取值范圍；③利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍；④利用函數(shù)的值域

的求法，確定參數(shù)的取值范圍.

三、填空題

13.己知工是雙曲線+-斗=1（〃力＞0）的左右焦點，點P是雙曲線上在第一象限內(nèi)的一

點且2sinNP68=SinN尸入K,則該雙曲線的離心率的取值范圍是.

【正確答案】l<e<3

【分析】在心中，由正弦定理可得∣M∣=2∣P閭，再結(jié)合雙曲線的定義和“三角形的兩

邊之和大于第三邊”，即可得解.

【詳解】在4PX%中，2sinNPEK=SinNPKE,由正弦定理.1]c,=?,g[=得，

sin/-PF1FλSmZPFlF2

?PFt?=2?PF2?,又點尸是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點,所以IPKHP聞=2。，

所以IP周=仞|尸局=2α,在△/)/記中，由歸制+1尸閭>|耳國，

得4α+24>2c,即3a>c,所以e=*<3,又e>l,所以l<e<3,

a

故l<e<3

14.等腰直角三角形ASC沿斜邊上的中線A"翻折成直二面角，此時中線A〃與面ABC所

成的角的正弦值________.

【正確答案】走##工6

33

【分析】先證翻折后AABC'為等邊三角形，作MoJ.面A8C',則NM40為AM與面ABC'所

成的角，求解SinNM40即可.

如圖1：在等腰直角三角形一ΛBC中設(shè)A8=AC=2,則MA=M8=MC=√∑,

沿斜邊上的中線AM翻折成直二面角如圖2,

因為面七面4VQ?,CMVAMABMr?面AMC'=ΛM,

???CM±面ABM,又B"u面ABM,;.C'M1MB,:.BC=2,

△ABC'為等邊三角形，

作Mo_1_面ABC'于。并連接A。，.??NAM。為AV與面ABC所成的角，

MA=MB=MC=√2,.?.O為AABC'的中心，

,A。=X包AB=力

32√3

.?.MO=yjAM2-AO2=,2——=

[2χ1,√3

.?.sinZMAO3x√T-T

15.已知A(0,7),8(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A,8的橢圓，則橢圓的另一個

焦點F的軌跡方程是.

【正確答案】/-^-=l(y<0)

根據(jù)橢圓定義得到IAbI-忸/I=2,故焦點尸的軌跡方程為雙曲線的下支，計算得到答案.

【詳解】根據(jù)橢圓定義知：IAFI+1Aq=IMl+|四，即IMl+13=忸尸1+15,故IAFI-忸耳=2,

故焦點廠的軌跡方程為雙曲線的下支，α=l,c=l,故6=46，

故軌跡方程為.y2-f=l(y<0)

2

故答案為a=κy<°)

本題考查了雙曲線的軌跡方程，意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力，確定∣∕F∏/I=2是

解題的關(guān)鍵.

16.已知正四面體458的棱長為2,點E是BE)的中點，空間中動點P滿足PC_LAB,

PAVPE,則動點P的軌跡長度是.

【正確答案】

【分析】取A8的中點尸，連接C尸，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到點P在

平面α內(nèi)，確定點P在以AE為直徑的球面上且被平面ɑ所截的圓，利用球和截面圓的幾何

性質(zhì)求解軌跡半徑，即可得到答案.

【詳解】如圖所示，取AB的中點F,連接CROP,則

又由bDF=F,且CD,DFu平面CO尸，所以AB/平面8尸，

因為平面CO尸即為平面α,即AS_Le,

又因為PCj可得點尸在平面ɑ內(nèi)，

又由∕?LPE,可得點P在以AE為直徑的球面上，

綜合可得，點產(chǎn)的軌跡是以4E為直徑的球面且被平面&所截的圓，

記球心Λf,截面圓的圓心為。，則球的半徑r=MP=LAE=3，

22

因為AB/平面CDF,且F為A8的中點，

則點A和點8到平面CDF的距離4=gAB=l,

又因為E為BD的中點，可得點E平面CDF的距離4=g,

又由點〃為AE的中點，可得點M平面CE)F的距離d=0M="4=L,

所以軌跡所在圓的半徑為OP=y∣r2-d2=J---=—，

V4164

所以該圓的周長為2πχOP=姮π.

2

故答案為.姮π

2

B

四、解答題

17.直線4經(jīng)過點A(L-2)與點與2,1),經(jīng)過點P(0,-l)的直線也

(1)求直線人的方程；

(2)若點AB到直線I2的距離相等，求直線4的方程.

【正確答案】(l)3x-y-5=0.

⑵3x—y—1=0或x—3y—3=0

【分析】(I)兩點式求斜率，再由點斜式寫出直線方程;

(2)討論4∕∕∕>4過AB中點兩種情況，兩點式求斜率，再由點斜式寫出直線方程；

【詳解】(1)由題設(shè)4=與牛?=3,所以4：y-l=3(x-2),即3x-y-5=0?

(2)①若貝M：y+l=3x,整理得33χ-y-ι=0;

3111

②若I2過AB中點(j,-?),于是kl2=-?——=],則4:y+1=?，整理得./2:x-3y-3=0

—0-

2

所以直線4的方程為3x-y-l=O或x-3y-3=O.

18.已知M(4,0),N(O,()),P(O,3),圓C經(jīng)過M,N,P三點.

(1)求圓C的方程，并寫出圓心坐標(biāo)和半徑的值；

(2)若經(jīng)過點Q(Ll)的直線/與圓C交于AB兩點，求弦AB長的取值范圍.

T05R5

【正確答案】(I)(X-2)2+(y-]1)2=亍，圓心是(2,；),半徑∣?

(2)[2√5,5]

【分析】(1)根據(jù)題意得到圓C是以MP為直徑的圓，求得圓心坐標(biāo)和半徑，即可求得圓的

方程；

(2)根據(jù)圓的性質(zhì)，當(dāng)直線/過圓心弦長最長，當(dāng)Q(U)為中點的弦最短，結(jié)合弦長公式，

即可求解.

【詳解】(D解:由題意,點M(4,0),M0,0),P(0,3),且圓C經(jīng)過M,N,P三點,

可得圓C是以MP為直徑的圓，

設(shè)圓C的圓心坐標(biāo)為C(42),半徑為『，

可得”=孚=2,6=竽=：,即圓心坐標(biāo)為C(2,]),半徑r=」="

22222,12

所以圓C的方程為(x-2)2+(y-∣)2=等.

(2)解：由圓的性質(zhì)得，當(dāng)直線/過圓心C,此時弦長取得最大值，最大值為2r=5,

當(dāng)Q(U)為中點的弦最短，其中∣C0=岑，所以最短弦長為聞產(chǎn)一仁如=2君,

所以弦AB長的取值范圍[2石,51

19.如圖，四邊形ABC。為正方形，EDl5FffiABCD,FB//ED,AB=ED=2FB=2.

E

Dl

AB

⑴求證：AC，平面

（2）求BC與平面AEF所成角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

(2)∣.

【分析】（1）連接8。交AC于0,利用正方形性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)定理得AClBD,

EDlAC,再利用線面垂直的判定即可證明：

（2）通過等體積法即可求出點。到平面AEF的距離，即可求出線面角正弦值.

【詳解】（1）連接BD交AC于0,四邊形ABC。為正方形，.?.AC，BD,

又EDX5FffiABCD,ACU平面ABC3,則￡?_LAC.

又用〃ED,???8,2E,尸四點共面，

EDBD=D,且ED,BDu平面BDEF,

于是ACJ_平面Br）EH

（2）3CV/A。，BC與平面AEF所成角就是AZ）與平面AEF所成角.

在AAE尸中，可以求得AE=,2?+2?=2√Σ，

AF=?∣2z+↑2=>/5，EF=J(2五)+「=3,

AF2-i-FF2—AF28+9-5√2

根據(jù)余弦定理得cosZAEF=些上竺_竺_

2AE?EF2×2√2×3^2

加尸∈（0,兀），.?.sin∕AEF=吟，

,SAM=^AE?EF?sinNAEF=gχ2√∑χ3χ*=3,

設(shè)點。到平面AE尸的距離為d,由OEJ_平面48。。知DE_LA8,而

ADA.AB,ADryDE=D,

因此AB，平面AOE,顯然FB//平面AOE,則點尸到平面Az）E的距離為AB長2,

而SAA"=gx2x2=2,

=

由%-Λ"匕Ti>￡，得§.SA".?"=耳?S,adk×2,

114

apj×3√=∣×2×2,解得d=；.

4

故BC與平面AEF所成角的正弦值為工_=3=2.

AD23

20.已知拋物線<7:丁=2內(nèi)(0>0)的焦點/，點(4,4)在該拋物線上.

(1)求。的值；

(2)設(shè)過焦點F的直線/交拋物線于A8兩點.若以拋物線的對稱軸為棱，將拋物線上下兩部

分折成直二面角，此時AB兩點之間的距離為2舊，求直線/的方程.

【正確答案】(I)P=2

⑵y=χ-］或y=τ+l.

【分析】(1)根據(jù)點的坐標(biāo)即可求得P的值；

(2)根據(jù)直二面角的定義利用A,8兩點之間的距離為2jiZ可得關(guān)于直線的參數(shù)的方程，即

可求得答案.

【詳解】(1)將點(4,4)代入拋物線方程V=2pχ得：16=8p,則。=2,

(2)由⑴知Uy2=4x,焦點F(L0),設(shè)直線/：x=〃?y+l,點A(A~到)，8嚀必)，

22

聯(lián)立4元得：y_^fny_4=0,Δ=?6(nι÷1)>O,

?x=my+l

由韋達定理得X+y2=4m,y,y2=-4,

由于以拋物線的對稱軸為棱，將拋物線上下兩部分折成直二面角,

22I

2222256

++(y-y)=(2√14),BP(yl+y2)-2γlγ2+—(yl-y2)(y∣+?)=，

即(M+必)？-2y∣%+?[(??+當(dāng))？-4y∣y∕(y∣+%)2=56,

16

222

將y∣+J2=4肛yλy2=-4代入即16m+8+(16m+16]m=56

解得機=±1,所以直線/的方程是：y=χ-i或y=-χ+l.

21.如圖，在空間幾何體ABCDE中，SABC,ABCEmAS均為正三角形，且平面ASi.平

面ABC,平面EBC，平面ABu

⑴求證：Ef）〃平面ABC；

（2）尸是棱AB上的一點，當(dāng)Z）P與平面ABC所成角為60時，求二面角「-Af）-C的余弦值.

【正確答案】（1）證明見解析

⑵3

【分析】（1）分別取AeBC之中點M,N,連DM,EN,MN,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明四邊

形QMNE為平行四邊形，從而有DE〃MN,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；

（2）根據(jù)DP與平面ABC所成角為60,求得尸”的長，說明P為AB的中點，作出二面角

P-AO-C的平面角，解三角形可得答案.

【詳解】（1）證明：分別取AC,8C之中點M,N,連DM,EN,MN,

一47￡>為正三角形，.?.Z)MLAC;

又平面ACDJ■平面ABC,平面ACf)】平面ASC=AC,Z)Λ∕u平面AC￡),

.?.DM1平面ABC,

同理BCE為正三角形，.?.ENLAC；

平面BCE_L平面43C,平面BCE平面ΛBC=BC,ENU平面Aa),

故ENJ_平面ABC,千是DM〃EN.

由.ABC,BCE,..AC。均為正三角形可知DM=EN,

四邊形QMNE為平行四邊形，從而有DE〃MN,

N)EZ平面ABC,MNU平面A8C,

于是EZ)〃平面ABC.

(2)不妨設(shè)AB=2,連MP,則由(1)￡>M工平面ABC知，OP與平面ABC所成角就是

ZDPM,

貝IJNoPM=60,又OM=-×2=√3,.??∕,W=-^-=1,

2tan60

即尸又M為的中點，P在A8上，故P為AB的中點，

2

過點P作PHLAC,垂足為H,過H作"O_LA￡>,垂足為。，連尸0,

又平面AC?)_L平面ABC,平面ACf)I平面ABC=AC,P"u平面ABC,

.?PHl.nACD,ADU平面AC。，故PHj

又PHnOH=H,PH,OHu平面PoH,故平面PO4,

則NPoH為二面角「一AD—C的平面角，

連接BM,貝∣J8M=百，則P”=，BM=且，AH=^-AP=^?,

2222

則?！?且A”=3,于是OP=4PH?+OH=叵,

244

故COSNPO”=變■=亞

OP5

22.在平面直角坐標(biāo)系中，己知橢圓E:二+￡=1(“>匕>0)的離心率為也，右焦點為8，

Wb^2

上頂點為&,點P(“力)到直線&6的距離為0.

⑴求橢圓E的方程；

(2)設(shè)直線y=h+2與橢圓E有兩個不同的交點A3,T為X軸上一點