滬科版八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三訓(xùn)練 專題1.1 二次根式章末重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.1二次根式章末重難點題型【滬科版】【考點1二次根式的概念】【方法點撥】掌握二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．【例1】（2020春?安慶期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．?x?2 B．x C．a(chǎn)2+1 【變式1-1】（2020春?文登區(qū)期中）在式子，x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），?2x（x＞0），33，x2+1，A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【變式1-2】（2020春?青云譜區(qū)校級期中）在式子π?3.14，a2+b2，a+5，?3yA．3個 B．4個 C．5個 D．6個【變式1-3】（2023春?平輿縣期末）下列各式中①38；②?(?b)；③a2；④1|x|+0.1；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點2二次根式有意義的條件（求取值范圍）】【方法點撥】對于二次根式有意義的條件求取值范圍類題型，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)以及分式分母不為零．【例2】（2020春?文登區(qū)期末）若式子m?1m?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則mA．m≥1 B．m≤1且m≠2 C．m≥1且m≠2 D．m≠2【變式2-1】（2020?合肥校級期中）要使2x?1+13?xA．12≤x≤3 B．12＜x≤3 C．【變式2-2】（2020?日照二模）若使式子2?x≥x?1成立，則A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5【變式2-3】（2020秋?北辰區(qū)校級月考）等式a?3a?1A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≥3且a≠﹣1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)≥3【考點3二次根式有意義的條件（被開方數(shù)互為相反數(shù)）】【方法點撥】對于解決此類型的題目關(guān)鍵從被開方數(shù)中找出一對相反數(shù)，利用二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)行求解即可.【例3】（2020春?蘄春縣期中）已知，x、y是有理數(shù)，且y=x?2+2?x?4，則2x+3【變式3-1】（2023春?咸寧期中）若a，b為實數(shù)，且b=a2?9+9?A．﹣1 B．1 C．1或7 D．7【變式3-2】（2023秋?新化縣期末）已知2x+y?3+（1）求a+b的值；（2）求7x+y2020的值．【變式3-3】（2023秋?南江縣期末）已知3x+y?z?8+x+y?z=x+y?2019+2019?x?y，求（【考點4二次根式的性質(zhì)與化簡（根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）】【方法點撥】對于解決此類型的題目關(guān)鍵根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)確定相關(guān)字母的符號，利用二次根式的性質(zhì)即可化簡.【例4】（2020春?沭陽縣期末）已知a≠0且a＜b，化簡二次根式?aA．a(chǎn)ab B．﹣aab C．a(chǎn)?ab D．﹣a?ab【變式4-1】（2020春?徐州期末）與根式﹣x?1A．?x B．﹣x2?x C．??x 【變式4-2】（2020春?東湖區(qū)校級月考）化簡﹣a1aA．a(chǎn) B．?a C．??a 【變式4-3】（2020春?柯橋區(qū)期中）把代數(shù)式（a﹣1）11?a中的a﹣A．?1?a B．a(chǎn)?1 C．1?a D．【考點5二次根式的性質(zhì)與化簡（根據(jù)字母取值范圍或數(shù)軸）】【例5】（2020春?河北期末）若1≤x≤4，則|1?x|?(x?4)A．2x﹣5 B．3 C．3﹣2x D．﹣3【變式5-1】（2020?攀枝花）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(a+1)2A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b【變式5-2】（2020春?潮南區(qū)期末）若a、b、c為三角形的三條邊，則(a+b?c)2+|b﹣a﹣A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c） D．2a﹣2c【變式5-3】（2020春?邗江區(qū)校級期末）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡a2+|a﹣c|+(b?c【考點6最簡二次根式的概念】【方法點撥】最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．【例6】（2020春?廣州期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A．8 B．2x2y C．a(chǎn)b【變式6-1】（2020春?包河區(qū)期末）在根式xy、12、ab2、x?y、xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式6-2】（2023秋?新化縣期末）若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為．【變式6-3】（2023春?望花區(qū)校級月考）若2m+3和32m?n+1都是最簡二次根式，則m+n＝【考點7同類二次根式的概念】【方法點撥】同類二次根式的概念：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式，同類二次根式可以合并．【例7】（2023春?濰城區(qū)期中）下列二次根式：32，18，43，?125，0.48A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式7-1】（2020春?西城區(qū)校級期中）若最簡二次根式x+3與最簡二次根式2x是同類二次根式，則x的值為（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【變式7-2】（2020春?賽罕區(qū)期末）若最簡二次根式3m+n，24m?2可以合并，則m﹣n的值為．【變式7-3】（2023春?隨州期中）若最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11（1）求x，y的值；（2）求x2【考點8二次根式的加減運(yùn)算】【方法點撥】二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變解答．【例8】（2023春?江夏區(qū)校級月考）計算：（1）33（2）7a7a?4a218a+【變式8-1】（2023春?硚口區(qū)期中）計算：（1）212?613（2）5x5+【變式8-2】（2023春?江寧區(qū)校級月考）計算：（1）23（2）324x?（15x【變式8-3】（2023春?海陵區(qū)校級月考）計算（1）27（2）2a【考點9二次根式的乘除運(yùn)算】【方法點撥】掌握二次根式的乘除法法則是解決此類題的關(guān)鍵，①兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變；②兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.【例9】（2023秋?閔行區(qū)校級月考）計算：31【變式9-1】（2023秋?黃浦區(qū)校級月考）計算：nm【變式9-2】（2023春?徐匯區(qū)校級期中）化簡：2x【變式9-3】（2023秋?嘉定區(qū)期中）計算：2bab?（?32a【考點10二次根式的混合運(yùn)算】【方法點撥】二次根式的混合運(yùn)算可以說是二次根式乘、除法、加、減法的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時應(yīng)注意以下幾點：①觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實數(shù)運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號先算括號內(nèi)的；②在運(yùn)算過程中，每個根式可以看作是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作是“多項式”；【例10】（2020春?宜春期末）（1）計算：3×12（2）化簡：18x+【變式10-1】（2020春?永城市期末）（1）計算：12×（2）計算：(5【變式10-2】（2020春?吳忠期末）計算：（1）（23?1）2+（3+2）（（2）48÷23?27【變式10-3】（2020春?涪城區(qū)期末）計算：（1）（3?2）（3+2）﹣（3?（2）（22x3?10x?15【考點11二次根式的化簡求值】【例11】（2020春?涪城區(qū)校級月考）若x，y是實數(shù)，且y=4x?1+1?4x+13，求（23【變式11-1】（2023春?洛南縣期末）已知x=1（1）x2﹣xy+y2；（2）yx【變式11-2】（2023春?臺安縣期中）已知x=12(5+3)，x=12(【變式11-3】（2023秋?寶山區(qū)校級月考）已知x=b2a+b?2a?b，y=b2a+b+2a?b，求【考點12分母有理化】【方法點撥】二次分母有理化就是通過分子和分母同時乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過分母有理化而進(jìn)行的．【例12】（2020?唐山二模）閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時，我們有時會碰上如53，23，22323以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．（1）化簡3（2）化簡25（3）化簡：13【變式12-1】（2020春?淮安區(qū)校級期末）閱讀下面計算過程：121315求：（1）17（2）1n+1+n（3）12【變式12-2】（2020春?孟村縣期末）觀察下列格式，5?12?25?1（1）化簡以上各式，并計算出結(jié)果；（2）以上格式的結(jié)果存在一定的規(guī)律，請按規(guī)律寫出第5個式子及結(jié)果（3）用含n（n≥1的整數(shù)）的式子寫出第n個式子及結(jié)果，并給出證明的過程．【變式12-3】（2023春?微山縣期中）【閱讀材料】材料一：把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號的目的例如：化簡1解：1材料二：化簡a±2b的方法：如果能找到兩個實數(shù)m，n，使m2+n2＝a，并且mn=b，那么a±2b例如：化簡3±2解：3±22=【理解應(yīng)用】（1）填空：化簡5+35（2）計算：①7?210②12【考點13復(fù)合二次根式的化簡】【例13】（2020春?安慶期末）閱讀理解題，下面我們觀察：（2?1）2＝（2）2﹣2×1×2+12＝2﹣22+1＝3反之3﹣22=2﹣22+1＝（2?1）2，所以3﹣22=（所以3?22完成下列各題：（1）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：3+22；（2）化簡：4+23（3）化簡：5?26【變式13-1】（2020春?思明區(qū)校級月考）觀察下式：（2?1）2＝（2）2﹣2?2?1+12＝2﹣22+1＝3﹣反之，3﹣22=2﹣22+1＝（2根據(jù)以上可求：3?22求：（1）5+26（2）你會算4?12【變式13-2】（2020秋?延慶縣期末）閱讀下面的解答過程，然后作答：有這樣一類題目：將a+2b化簡，若你能找到兩個數(shù)m和n，使m2+n2＝a且mn=b，則a+2b可變?yōu)閙2+n2+2mn，即變成（m+n）2，從而使得例如：∵5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+26=（3∴5+26請你仿照上例將下列各式化簡：（1）4+23（2）7?210【變式13-3】（2023秋?常德期末）先閱讀下列解答過程，然后再解答：形如m+2n的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(a)2+(b)2=m例如：化簡7+43解：首先把7+43化為7+212，這里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(4所以7+43問題：①填空：4+23=，9+4②化簡：19?415【考點14含二次根式的數(shù)式規(guī)律題】【例14】（2023秋?高邑縣期末）觀察下列各式：1+112+11+122+11+132+1請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，猜想：（1）1+142（2）請你按照上面每個等式反映的規(guī)律，寫出用n（n為正整數(shù)）表示的等式：1+1n2+（3）利用上述規(guī)律計算：5049【變式14-1】（2023春?當(dāng)涂縣期末）觀察下列各式：1+112+122=1+11×2請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，（1）計算1+1（2）根據(jù)規(guī)律，請寫出第n個等式（n≥1，且n為正整數(shù)）．【變式14-2】（2020春?長嶺縣期末）觀察下列各式：①1+13=213，②2+14=31（1）請觀察規(guī)律，并寫出第④個等式：；（2）請用含n（n≥1）的式子寫出你猜想的規(guī)律：；（3）請證明（2）中的結(jié)論．【變式14-3】（2020春?惠城區(qū)期末）觀察下列各式及其驗算過程：2+23=223，驗證：3+38=338，驗證：（1）按照上述兩個等式及其驗證過程的基本思路，猜想4+4（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗證．

專題1.1二次根式章末重難點題型【滬科版】【考點1二次根式的概念】【方法點撥】掌握二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．【例1】（2020春?安慶期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．?x?2 B．x C．a(chǎn)2+1 【分析】根據(jù)二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．【解答】解：根據(jù)二次根式的定義可得a2+1中得被開方數(shù)無論故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的定義，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)．【變式1-1】（2020春?文登區(qū)期中）在式子，x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），?2x（x＞0），33，x2+1，A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)二次根式的定義作答．【解答】解：x2（x＞0），2，xy+1（y＝﹣2），?2x（x＞0）無意義，不是二次根式．33x+y不是根式．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的定義．一般形如a（a≥0）的代數(shù)式叫做二次根式．當(dāng)a≥0時，a表示a的算術(shù)平方根；當(dāng)a小于0時，非二次根式（在一元二次方程中，若根號下為負(fù)數(shù)，則無實數(shù)根）．【變式1-2】（2020春?青云譜區(qū)校級期中）在式子π?3.14，a2+b2，a+5，?3yA．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)二次根式的定義形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，對被開方數(shù)的符號進(jìn)行判斷即可得．【解答】解：在所列式子中是二次根式的有π?3.14，a2+b2，故選：B．【點評】本題主要考查二次根式的定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．【變式1-3】（2023春?平輿縣期末）下列各式中①38；②?(?b)；③a2；④1|x|+0.1；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】二次根式的定義：一般地，我們把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，據(jù)此逐一判斷即可得．【解答】解：在①38；②?(?b)；③a2；④1|x|+0.1；⑤x故選：C．【點評】本題考查了二次根式的定義．理解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，給出一個式子能準(zhǔn)確的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍．【考點2二次根式有意義的條件（求取值范圍）】【方法點撥】對于二次根式有意義的條件求取值范圍類題型，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)以及分式分母不為零．【例2】（2020春?文登區(qū)期末）若式子m?1m?2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則mA．m≥1 B．m≤1且m≠2 C．m≥1且m≠2 D．m≠2【分析】分別根據(jù)二次根式及分式有意義的條件列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．【解答】解：∵m?1m?2∴m?1≥0m?2≠0解得m≥1且m≠2．故選：C．【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負(fù)性是解答此題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2020?合肥校級期中）要使2x?1+13?xA．12≤x≤3 B．12＜x≤3 C．【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．【解答】解：要使2x?1+則2x﹣1≥0，3﹣x＞0，解得：12≤故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握定義是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2020?日照二模）若使式子2?x≥x?1成立，則A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)而計算得出答案．【解答】解：由題意可得：2?x≥0x?1≥0解得：1≤x≤1.5．故選：D．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2020秋?北辰區(qū)校級月考）等式a?3a?1A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≥3且a≠﹣1 C．a(chǎn)＞1 D．a(chǎn)≥3【分析】觀察等式右邊，根據(jù)二次根式有意義和分式的分母不為0的條件列出不等式組，求出a的取值范圍即可．【解答】解：∵等式a?3a?1∴a?3≥0a?1＞0∴a≥3．故選：D．【點評】本題考查的知識點為：分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【考點3二次根式有意義的條件（被開方數(shù)互為相反數(shù)）】【方法點撥】對于解決此類型的題目關(guān)鍵從被開方數(shù)中找出一對相反數(shù)，利用二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)進(jìn)行求解即可.【例3】（2020春?蘄春縣期中）已知，x、y是有理數(shù)，且y=x?2+2?x?4，則2x+3【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得x＝2，進(jìn)而可得y的值，然后計算出2x+3y的值，進(jìn)而可得立方根．【解答】解：由題意得：x?2≥02?x≥0解得：x＝2，則y＝﹣4，2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以3?8故答案是：﹣2．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【變式3-1】（2023春?咸寧期中）若a，b為實數(shù)，且b=a2?9+9?A．﹣1 B．1 C．1或7 D．7【分析】先根據(jù)二次根式的基本性質(zhì)：a有意義，則a≥0求出a的值，進(jìn)一步求出b的值，從而求解．【解答】解：∵b=a∴a2﹣9＝0且a+3≠0，解得a＝3，b＝0+4＝4，則a+b＝3+4＝7．故選：D．【點評】考查了二次根式有意義的條件，解決此題的關(guān)鍵：掌握二次根式的基本性質(zhì)：a有意義，則a≥0．【變式3-2】（2023秋?新化縣期末）已知2x+y?3+（1）求a+b的值；（2）求7x+y2020的值．【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式有意義的條件列出方程組求出x與y的值即可求出答案．【解答】解：（1）由題意可知：a+b?2020≥02020?a?b≥0解得：a+b＝2020．（2）由于a+b?2020×∴2x+y?3=0∴解得：x=2∴7x+y2020＝14+1＝15．【點評】本題考查分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式3-3】（2023秋?南江縣期末）已知3x+y?z?8+x+y?z=x+y?2019+2019?x?y，求（【分析】首先根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)推知：原題中方程右邊為0．方程左邊也為0，據(jù)此求得x、y、z的值；然后代入求值．【解答】解：由題中方程等號右邊知：x+y?2019有意義，則x+y﹣2019≥0，即x+y≥2019，2019?x?y有意義，則2019﹣x﹣y≥0，即x+y≤2019，即x+y≤2019x+y≤2019∴x+y＝2019．∴x+y?2019=0，2019?x?y∴原題中方程右邊為0．∴原題中方程左邊也為0，即3x+y?z?8+∵3x+y?z?8≥0，∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0．又x+y＝2019，∴3x+y?z?8=0x+y?z=0∴x=4y=2015∴（z﹣y）2＝（2023﹣2015）2＝42＝16．【點評】考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，否則二次根式無意義．同時考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，幾個非負(fù)數(shù)的和為0，這幾個非負(fù)數(shù)都為0．【考點4二次根式的性質(zhì)與化簡（根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）】【方法點撥】對于解決此類型的題目關(guān)鍵根據(jù)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)確定相關(guān)字母的符號，利用二次根式的性質(zhì)即可化簡.【例4】（2020春?沭陽縣期末）已知a≠0且a＜b，化簡二次根式?aA．a(chǎn)ab B．﹣aab C．a(chǎn)?ab D．﹣a?ab【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件確定ab的符號，然后根據(jù)a＜b來確定a、b各自的符號，再去根式化簡．【解答】解：由題意：﹣a3b≥0，即ab≤0，∵a＜b，∴a＜0＜b，所以原式＝|a|?ab=?a?ab故選：D．【點評】本題主要考查了二次根式的化簡，解決此題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定出a、b的符號，以確保二次根式的雙重非負(fù)性．【變式4-1】（2020春?徐州期末）與根式﹣x?1A．?x B．﹣x2?x C．??x 【分析】將原式進(jìn)行化簡后即可確定正確的選項．【解答】解：∵?1∴x＜0，∴﹣x?1∴﹣x?1x=?x故選：D．【點評】考查了二次根式的性質(zhì)與化簡和二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是了解原式有意義是x的取值范圍，難度不大．【變式4-2】（2020春?東湖區(qū)校級月考）化簡﹣a1aA．a(chǎn) B．?a C．??a 【分析】首先根據(jù)二次根式有意義的條件判斷a的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【解答】解：∵1a∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a1a故選：B．【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，能夠正確化簡二次根式是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2020春?柯橋區(qū)期中）把代數(shù)式（a﹣1）11?a中的a﹣A．?1?a B．a(chǎn)?1 C．1?a D．【分析】根據(jù)二次根式的概念和性質(zhì)化簡即可．【解答】解：（a﹣1）1(1?a)=?（1﹣a）故選：A．【點評】正確理解二次根式的性質(zhì)與化簡及概念是解決問題的關(guān)鍵．【考點5二次根式的性質(zhì)與化簡（根據(jù)字母取值范圍或數(shù)軸）】【例5】（2020春?河北期末）若1≤x≤4，則|1?x|?(x?4)A．2x﹣5 B．3 C．3﹣2x D．﹣3【分析】根據(jù)絕對值及二次根式的非負(fù)性化簡即可求解．【解答】解：∵1≤x≤4，∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，故選：A．【點評】本題主要考查絕對值及二次根式的非負(fù)性，根據(jù)絕對值及二次根式的非負(fù)性化簡是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2020?攀枝花）實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(a+1)2A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b【分析】根據(jù)實數(shù)a和b在數(shù)軸上的位置，確定出其取值范圍，再利用二次根式和絕對值的性質(zhì)求出答案即可．【解答】解：由數(shù)軸可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴(a+1)＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣a﹣1+b﹣1+a﹣b＝﹣2故選：A．【點評】本題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸之間的對應(yīng)關(guān)系，以及二次根式的性質(zhì)，學(xué)會根據(jù)表示數(shù)的點在數(shù)軸上的位置判斷含數(shù)式子的符號，掌握絕對值的化簡及二次根式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2020春?潮南區(qū)期末）若a、b、c為三角形的三條邊，則(a+b?c)2+|b﹣a﹣A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c） D．2a﹣2c【分析】先利用二次根式的性質(zhì)得到原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|，然后根據(jù)三角形三邊的關(guān)系和絕對值的意義去絕對值后合并同類項．【解答】解：∵a、b、c為三角形的三條邊，∴a+b＞c，a+c＞b，∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．故選：B．【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡：靈活應(yīng)用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡計算．也考查了三角形三邊之間的關(guān)系．【變式5-3】（2020春?邗江區(qū)校級期末）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡a2+|a﹣c|+(b?c【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：由數(shù)軸可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點6最簡二次根式的概念】【方法點撥】最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．【例6】（2020春?廣州期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A．8 B．2x2y C．a(chǎn)b【分析】判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進(jìn)行，或直觀地觀察被開方數(shù)的每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多項式時要先因式分解后再觀察．【解答】解：A.8=22B.2x2y=|C.ab2D.3x故選：D．【點評】本題主要考查了最簡二次根式．在判斷最簡二次根式的過程中要注意：（1）在二次根式的被開方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡二次根式；（2）在二次根式的被開方數(shù)中的每一個因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡二次根式．【變式6-1】（2020春?包河區(qū)期末）在根式xy、12、ab2、x?y、xA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】被開方數(shù)不含分母，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【解答】解：根式xy、12、ab2、x?y、x2y中，最簡二次根式有xy、ab故選：C．【點評】本題主要考查了最簡二次根式，最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式．【變式6-2】（2023秋?新化縣期末）若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為2．【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【解答】解：若二次根式5a+3是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為2，故答案為：2．【點評】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式6-3】（2023春?望花區(qū)校級月考）若2m+3和32m?n+1都是最簡二次根式，則m+n＝﹣【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義，可知m+3＝1，2m﹣n+1＝1，解方程組求得m和n的值，則m+n的值可得．【解答】解：由題意可得：m+3=1解得：m=?2∴m+n＝﹣6故答案為：﹣6．【點評】本題考查了最簡二次根式的定義、解二元一次方程組和簡單的整式加法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)知識的考查，難度不大．【考點7同類二次根式的概念】【方法點撥】同類二次根式的概念：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式，同類二次根式可以合并．【例7】（2023春?濰城區(qū)期中）下列二次根式：32，18，43，?125，0.48A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡各二次根式，找到不是同類二次根式即可得．【解答】解：∵12=23，18=32，43=233∴不能與12合并的是18、?125故選：B．【點評】本題主要考查同類二次根式，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)和同類二次根式的概念．【變式7-1】（2020春?西城區(qū)校級期中）若最簡二次根式x+3與最簡二次根式2x是同類二次根式，則x的值為（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3【分析】根據(jù)同類二次根式的定義得出方程，求出方程的解即可．【解答】解：∵最簡二次根式x+3與最簡二次根式2x是同類二次根式，∴x+3＝2x，解得：x＝3，故選：D．【點評】本題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能根據(jù)同類二次根式的定義得出x+3＝2x是解此題的關(guān)鍵，注意：幾個二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個二次根式叫同類二次根式．【變式7-2】（2020春?賽罕區(qū)期末）若最簡二次根式3m+n，24m?2可以合并，則m﹣n的值為．【分析】由題意可知，3m+n與24m?2同類二次根式，即被開方數(shù)相同，由此可列方程求解．【解答】解：根據(jù)題意3m+n＝4m﹣2，即﹣m+n＝﹣2，所以m﹣n＝2．故答案為：2．【點評】本題考查同類二次根式的概念：化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的根式稱為同類二次根式；同類二次根式可以合并．【變式7-3】（2023春?隨州期中）若最簡二次根式3x?102x+y?5和x?3y+11（1）求x，y的值；（2）求x2【分析】（1）根據(jù)同類二次根式的定義：①被開方數(shù)相同；②均為二次根式；列方程解組求解；（2）根據(jù)x，y的值和算術(shù)平方根的定義即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)題意知3x?10=22x+y?5=x?3y+11解得：x=4y=3（2）當(dāng)x＝4、y＝3時，x2【點評】此題主要考查了同類二次根式和算術(shù)平方根的定義，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．【考點8二次根式的加減運(yùn)算】【方法點撥】二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變解答．【例8】（2023春?江夏區(qū)校級月考）計算：（1）33（2）7a7a?4a218a+【分析】（1）根據(jù)二次根式的加減計算即可；（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)和加減計算解答即可．【解答】解：（1）原式=33（2）原式=7a7a【點評】此題考查二次根式的加減，關(guān)鍵是根據(jù)二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變解答．【變式8-1】（2023春?硚口區(qū)期中）計算：（1）212?613（2）5x5+【分析】（1）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝43?23+＝143．（2）原式=5x+＝0【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式8-2】（2023春?江寧區(qū)校級月考）計算：（1）23（2）324x?（15x【分析】（1）先將二次根式化簡，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并即可；（2）先將二次根式化簡，再利用去括號法則去括號，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并即可．【解答】解：（1）原式＝23+63?＝43；（2）原式=32×2x?＝3x?3x+＝2x．【點評】本題主要考查二次根式的加減，解決此類問題的關(guān)鍵是要先將二次根式化簡，此外還要注意，只有被開方數(shù)相同的二次根式才能合并，當(dāng)被開方數(shù)不相同時是不能合并的．【變式8-3】（2023春?海陵區(qū)校級月考）計算（1）27（2）2a【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡計算得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡計算得出答案．【解答】解：（1）原式＝33?35?25＝83?55（2）原式＝2a?3ab+10a?＝12a?5ab【點評】此題主要考查了二次根式的加減運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【考點9二次根式的乘除運(yùn)算】【方法點撥】掌握二次根式的乘除法法則是解決此類題的關(guān)鍵，①兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變；②兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.【例9】（2023秋?閔行區(qū)校級月考）計算：31【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則進(jìn)行計算即可．【解答】解：3＝（1÷25×＝（1×52＝102．【點評】本題主要考查了二次根式的乘法法則，掌握二次根式的乘法法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023秋?黃浦區(qū)校級月考）計算：nm【分析】依據(jù)二次根式的乘除法法則進(jìn)行計算即可．【解答】解：n=nm×（?1m=?n=?n＝±n2【點評】本題主要考查了二次根式的乘除法法則，掌握二次根式的乘除法法則是解決問題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春?徐匯區(qū)校級期中）化簡：2x【分析】根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式=2x3y?2xy3y?4x?3xy÷=82x=2【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算，本題屬于基礎(chǔ)題型．【變式9-3】（2023秋?嘉定區(qū)期中）計算：2bab?（?32a【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡進(jìn)而得出答案．【解答】解：2bab?（?32a=?3b?a2＝﹣9a2a=?9【點評】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．【考點10二次根式的混合運(yùn)算】【方法點撥】二次根式的混合運(yùn)算可以說是二次根式乘、除法、加、減法的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時應(yīng)注意以下幾點：①觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實數(shù)運(yùn)算順序一樣，先乘方，后乘除，最后加減，有括號先算括號內(nèi)的；②在運(yùn)算過程中，每個根式可以看作是一個“單項式”，多個不同類的二次根式的和可以看作是“多項式”；【例10】（2020春?宜春期末）（1）計算：3×（2）化簡：18x+【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算；（2）先進(jìn)行二次根式的除法法則運(yùn)算，然后把二次根式化為最簡二次根式后合并即可．【解答】解：（1）原式=3×12+＝6+3?＝6﹣23；（2）原式＝32x+2x+＝32x＝52x．【點評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式10-1】（2020春?永城市期末）（1）計算：12×（2）計算：(5【分析】（1）利用二次根式的乘除法則運(yùn)算；（2）利用完全平方公式和平方差公式計算．【解答】（1）解：原式==3=7（2）解：原式=5+2=8+215=5+215【點評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式10-2】（2020春?吳忠期末）計算：（1）（23?1）2+（3+2）（（2）48÷23?27【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式計算；（2）先利用二次根式的乘除法則運(yùn)算，然后化簡后合并即可．【解答】解：（1）原式＝12﹣43+1+3﹣＝12﹣43；（2）原式=12＝2﹣32+2＝2?2【點評】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．【變式10-3】（2020春?涪城區(qū)期末）計算：（1）（3?2）（3+2）﹣（3?（2）（22x3?10x?15【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式計算，再去括號，最后計算加減可得；（2）先化簡二次根式，再計算括號內(nèi)二次根式的減法，最后將除法轉(zhuǎn)化為乘法、約分即可得．【解答】解：（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣23+＝﹣1﹣3+23?＝23；（2）原式＝（236x?5=?136x3＝﹣13．【點評】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【考點11二次根式的化簡求值】【例11】（2020春?涪城區(qū)校級月考）若x，y是實數(shù)，且y=4x?1+1?4x+13，求（23【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，求出y的值，再把根式化成最簡二次根式，合并后代入求出即可．【解答】解：∵x，y是實數(shù)，且y=4x?1∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x=1∴y=1∴（23x9x+4xy）﹣＝2xx+2xy?xx＝xx?3=141=1【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的化簡求值的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出xy的值，題目比較好，難度適中．【變式11-1】（2023春?洛南縣期末）已知x=1（1）x2﹣xy+y2；（2）yx【分析】（1）先將x、y的值分母有理化，再計算出x+y、xy的值，繼而代入x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy計算可得；（2）將x+y、xy的值代入yx【解答】解：（1）∵x=15?3∴x+y=5，xy=則x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝5?=7（2）y=x=(x+y=5?1＝8．【點評】本題主要考查二次根式和分式的計算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式與分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．【變式11-2】（2023春?臺安縣期中）已知x=12(5+3)，x=12(【分析】先由x、y的值計算出x﹣y、xy的值，再代入原式＝（x﹣y）2﹣xy計算可得．【解答】解：∵x=12(5∴x﹣y=1xy=12(5+3)×則原式＝（x﹣y）2﹣xy＝（3）2?＝3?=5【點評】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的運(yùn)算法則與完全平方公式、平方差公式．【變式11-3】（2023秋?寶山區(qū)校級月考）已知x=b2a+b?2a?b，y=b2a+b+2a?b，求【分析】根據(jù)分母有理化化簡x與y，然后求出x+y與xy的表達(dá)式即可求出答案．【解答】解：∵x=b2a+b?2a?b∴x=2a+b+2a?b2∴x+y=2a+b，xy=∴原式＝x2+2xy+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣3xy＝2a+b?＝2a?【點評】本題考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．【考點12分母有理化】【方法點撥】二次分母有理化就是通過分子和分母同時乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過分母有理化而進(jìn)行的．【例12】（2020?唐山二模）閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式的化簡與運(yùn)算時，我們有時會碰上如53，23，22323以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．（1）化簡3（2）化簡25（3）化簡：13【分析】（1）分子分母分別乘3即可；（2）分子分母分別乘5?（3）分母有理化后，合并同類二次根式即可；【解答】解：（1）3（2）化簡2（3）化簡：1=12（3?=12（【點評】本題考查二次根式的化簡、分母有理化等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分母有理化的方法，屬于中考?？碱}型．【變式12-1】（2020春?淮安區(qū)校級期末）閱讀下面計算過程：121315求：（1）17（2）1n+1+n（3）12【分析】（1）根據(jù)給定算式，在分式17+6（2）根據(jù)給定算式，在分式1n+1+n（3）根據(jù)（2）的結(jié)論即可得出12+1+13+2+14+【解答】解：（1）17（2）1n+1（3）12+1+13+2+14+3+?+【點評】本題考查了分母有理化，根據(jù)給定算式找出利用平方差公式尋找有理化因式是解題的關(guān)鍵．【變式12-2】（2020春?孟村縣期末）觀察下列格式，5?12?25?1（1）化簡以上各式，并計算出結(jié)果；（2）以上格式的結(jié)果存在一定的規(guī)律，請按規(guī)律寫出第5個式子及結(jié)果（3）用含n（n≥1的整數(shù)）的式子寫出第n個式子及結(jié)果，并給出證明的過程．【分析】（1）分別把每個式子的第二項進(jìn)行分母有理化，觀察結(jié)果；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果寫出第5個式子及結(jié)果；（3）根據(jù)（1）的規(guī)律可得n2【解答】解：（1）5?18?213?320?4（2）29?5（3）n2+4【點評】本題主要考查分母有理化的知識點，解答本題的關(guān)鍵是找出上述各式的變化規(guī)律，此題難度一般．【變式12-3】（2023春?微山縣期中）【閱讀材料】材料一：把分母中的根號化去，使分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程，叫做分母有理化通常把分子、分母乘以同一個不等于0的式子，以達(dá)到化去分母中根號的目的例如：化簡1解：1材料二：化簡a±2b的方法：如果能找到兩個實數(shù)m，n，使m2+n2＝a，并且mn=b，那么a±2b例如：化簡3±2解：3±22=【理解應(yīng)用】（1）填空：化簡5+35（2）計算：①7?210②12【分析】（1）根據(jù)分母有理化法則計算；（2）①根據(jù)完全平方公式、二次根式的性質(zhì)化簡；②先把原式分母有理化，再合并同類二次根式即可．【解答】解：（1）原式=(5+故答案為：4+15（2）①7?210②原式=2?1+3【點評】本題考查的是分母有理化、二次根式的化簡，掌握分母有理化法則、二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點13復(fù)合二次根式的化簡】【例13】（2020春?安慶期末）閱讀理解題，下面我們觀察：（2?1）2＝（2）2﹣2×1×2+12＝2﹣22+1＝3反之3﹣22=2﹣22+1＝（2?1）2，所以3﹣22=（所以3?22完成下列各題：（1）在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：3+22；（2）化簡：4+23（3）化簡：5?26【分析】（1）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可；（2）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可；（3）利用二次根式的性質(zhì)結(jié)合完全平方公示直接化簡得出即可．【解答】解：（1）3+22=（2）4+23（3）5?26【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確理解二次根式化簡的意義是解題關(guān)鍵．【變式13-1】（2020春?思明區(qū)校級月考）觀察下式：（2?1）2＝（2）2﹣2?2?1+12＝2﹣22