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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：楊**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：廣西 上傳時(shí)間：2024-03-23 格式：DOC 頁(yè)數(shù)：77 大?。?.99MB 積分：30 舉報(bào) 版權(quán)申訴

專題06五大?？枷嗨颇Ｐ鸵弧ⅰ局R(shí)回顧】模型一：A字模型模型二：8字模型模型三：子母模型（射影定理）模型四：一線三等角模型模型五：手拉手模型（旋轉(zhuǎn)模型）二、【考點(diǎn)類型】考點(diǎn)1：A字模型典例1：（2021秋·安徽安慶·九年級(jí)安慶市石化第一中學(xué)校考期中）圖，SKIPIF1<0，點(diǎn)H在BC上，AC與BD交于點(diǎn)G，AB＝2，CD＝3，求GH的長(zhǎng)．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理，由SKIPIF1<0，可證△CGH∽△CAB，由性質(zhì)得出SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可證△BGH∽△BDC，由性質(zhì)得出SKIPIF1<0，將兩個(gè)式子相加，即可求出GH的長(zhǎng)．【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，∴△CGH∽△CAB，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，△BGH∽△BDC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵AB=2，CD=3，∴SKIPIF1<0，解得：GH=SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·廣東深圳·深圳市華勝實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在⊙O中，SKIPIF1<0，CD⊥AB于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D，AO的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)E．(1)求證：AE⊥BC；(2)求證：DF＝EF；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)弦與圓周角的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）根據(jù)圓周角定理和平行線的判定與性質(zhì)證得SKIPIF1<0，再根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)可證得結(jié)論；（3）證明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）證明：連接SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交圓O點(diǎn)M，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)圓心O，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）證明：連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是圓的直徑，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，圓周角、弧、弦的關(guān)系等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，正確作出輔助線是解答的關(guān)鍵．【變式2】（2023春·安徽六安·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為圓心，以SKIPIF1<0長(zhǎng)為半徑作⊙SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0是⊙SKIPIF1<0的切線；(2)已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求⊙SKIPIF1<0的半徑．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】（1）連接SKIPIF1<0，由垂直平分線的性質(zhì)可知，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，得證SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；（2）由（1）易證SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解出方程即可得SKIPIF1<0的半徑．【詳解】（1）證明：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂直平分線交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線；（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，SKIPIF1<0是原分式方程的解，故SKIPIF1<0的半徑為3．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，通過(guò)作輔助線，與圓心相連是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0上一點(diǎn)，點(diǎn)E在SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0交于點(diǎn)F，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝__________．【答案】2【分析】過(guò)D作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于H點(diǎn)，過(guò)D作SKIPIF1<0交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)，其次利用SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)，得出SKIPIF1<0的長(zhǎng)，最后利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過(guò)D作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于H點(diǎn)，過(guò)D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于G點(diǎn)，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊成比例求出答案．考點(diǎn)2：8字模型典例2：（2021秋·重慶·九年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定解答即可；（2）因?yàn)镾KIPIF1<0∽SKIPIF1<0，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知SKIPIF1<0，代入數(shù)據(jù)解答即可．【詳解】證明：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】39．（2021春·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AB上，BC2=BF?BA，CF與DE相交于點(diǎn)G．（1）求證：DF?AB=BC?DG；（2）當(dāng)點(diǎn)E為AC中點(diǎn)時(shí)，求證：2DF?EG=AF?DG．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）由BC2=BF?BA，∠ABC=∠CBF可判斷△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判斷SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）作AH∥BC交CF的延長(zhǎng)線于H，如圖，易得AH∥DE，由點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定SKIPIF1<0，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，然后利用等線段代換即可．【詳解】證明：（1）∵BC2=BF?BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴SKIPIF1<0，∵DE∥BC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴DF：BC=DG：BA，∴DF?AB=BC?DG；（2）作AH∥BC交CF的延長(zhǎng)線于H，如圖，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即2DF?EG=AF?DG．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；在運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要通過(guò)相似比得到線段之間的關(guān)系．【變式2】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖所示，在SKIPIF1<0中，兩條弦SKIPIF1<0相交于點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)圓周角定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，即可得到答案；【詳解】解：由題意可得，∵弧SKIPIF1<0弧SKIPIF1<0，弧SKIPIF1<0弧SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理及三角形相似的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A中同弧或等弧所對(duì)的圓周角圓心角相等．考點(diǎn)3：子母模型（射影定理）典例3：（2022·遼寧營(yíng)口·一模）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線，SKIPIF1<0為切點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0；（2）根據(jù)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，得SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理得SKIPIF1<0，根據(jù)垂徑定理得SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的切線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理及相似三角形的判定和性質(zhì)等，掌握?qǐng)A的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·陜西西安·西北大學(xué)附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的內(nèi)接三角形，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）連接SKIPIF1<0，根據(jù)切線的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再根據(jù)垂徑定理可得結(jié)論；（2）由勾股定理求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)，證明SKIPIF1<0，由相似三角形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，則可得出答案．【詳解】（1）證明：連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的切線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，垂徑定理，解直角三角形．證明SKIPIF1<0是解此題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，即可得出SKIPIF1<0（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，由相似三角形的性質(zhì)得SKIPIF1<0，即可求出CD的長(zhǎng)．【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3】（2021·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0對(duì)角線的交點(diǎn)，以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面積的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線平行于SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0相切時(shí)，SKIPIF1<0面積的最大，由于SKIPIF1<0為切點(diǎn)，得出SKIPIF1<0垂直于切線，進(jìn)而得出SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理先求得SKIPIF1<0的長(zhǎng)，進(jìn)而求得SKIPIF1<0的長(zhǎng)，根據(jù)SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的長(zhǎng)，從而求得SKIPIF1<0的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得．【詳解】解：當(dāng)SKIPIF1<0點(diǎn)移動(dòng)到過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線平行于SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0相切時(shí)，SKIPIF1<0面積的最大，如圖，SKIPIF1<0過(guò)SKIPIF1<0的直線是SKIPIF1<0的切線，SKIPIF1<0垂直于切線，延長(zhǎng)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大面積SKIPIF1<0，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是判斷出SKIPIF1<0處于什么位置時(shí)面積最大．考點(diǎn)4：一線三等角模型（重點(diǎn)）典例4：（2020秋·寧夏銀川·九年級(jí)校考階段練習(xí)）將一副三角尺如圖①擺放，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的度數(shù)；（2）如圖②，將SKIPIF1<0繞點(diǎn)SKIPIF1<0順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），此時(shí)的等腰直角三角尺記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，試判斷SKIPIF1<0的值是否隨著SKIPIF1<0的變化而變化？如果不變，請(qǐng)求出SKIPIF1<0的值；反之，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）30°；（2）不變，SKIPIF1<0．【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得SKIPIF1<0，根據(jù)等邊對(duì)等角求出SKIPIF1<0，再求出SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0計(jì)算即可得解；（2）先證明SKIPIF1<0，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得SKIPIF1<0為定值，再根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求解即可．【詳解】解：（1）如圖①，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）如圖②，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的值不隨著SKIPIF1<0的變化而變化，是定值SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并判斷出相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【變式1】（2023春·廣東佛山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD＝60°，2BP＝3CD，BP＝1．（1）求證△ABP∽△PCD；（2）求△ABC的邊長(zhǎng)．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）3．【分析】（1）由△ABC是等邊三角形，證明∠B＝∠C＝60°，再利用平角的定義與三角形的內(nèi)角和定理證明：∠BPA＝∠PDC，從而可得結(jié)論；（2）由SKIPIF1<0，先求解SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，再利用相似三角形的性質(zhì)可得：SKIPIF1<0，列方程，解方程即可得到答案．【詳解】證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∵∠BPA＋∠APD＋∠DPC＝180°且∠APD＝60°，∴∠BPA＋∠DPC＝120°∵∠DPC＋∠C＋∠PDC＝180°，∴∠DPC＋∠PDC＝120°，∴∠BPA＝∠PDC，∴△ABP∽△PCD；（2）∵2BP＝3CD，且BP＝1，∴SKIPIF1<0，∵△ABP∽△PCDSKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0經(jīng)檢驗(yàn)：SKIPIF1<0是原方程的解，所以三角形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為：3．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，分式方程的解法，掌握三角形的判定及利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形SKIPIF1<0是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)P作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)E，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0的長(zhǎng)為x．(1)SKIPIF1<0___________；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的值；(2)試探究：SKIPIF1<0是否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)SKIPIF1<0是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)4，SKIPIF1<0(2)是，SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0或4【分析】（1）作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，只要求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：SKIPIF1<0的值為定值．證明方法類似（1）；（3）連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，代入數(shù)據(jù)求得SKIPIF1<0，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案為4，SKIPIF1<0．（2）結(jié)論：SKIPIF1<0的值為定值．理由：由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（3）連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以只能SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分線段SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．【變式3】（2020春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶八中?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)SKIPIF1<0是正SKIPIF1<0兩邊上的點(diǎn)，將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0翻折，點(diǎn)SKIPIF1<0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊SKIPIF1<0上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先證明SKIPIF1<0，再根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比和折疊的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可求解．【詳解】解：設(shè)AF=x，∵SKIPIF1<0為等邊三角形，∴AC=AB=BC=4x,∠A=∠B=∠C=60°,CF=3x∵SKIPIF1<0翻折得到SKIPIF1<0，∴BD=FD,BE=FE,∠B=∠DFE=60°，∴∠AFD+∠DFE=∠C+∠FEC，∴∠AFD=∠CEF，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故選：D【點(diǎn)睛】本題難度較大，根據(jù)題意找到“一線三等角”相似模型，理解相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)5：手拉手模型（重點(diǎn)）典例5：（2023春·湖北襄陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）問(wèn)題探究：如圖1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等邊三角形，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．（2）類比延伸：如圖2，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．（3）拓展遷移：如圖3，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若將線段SKIPIF1<0繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，求線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)“邊角邊”證明SKIPIF1<0，問(wèn)題得證；（2）根據(jù)含SKIPIF1<0角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)得到SKIPIF1<0，進(jìn)而證明SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0；（3）連接SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0為等腰直角三角形得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，進(jìn)而證明SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0．【詳解】解：（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（3）如圖③，連接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形．∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0繞點(diǎn)D按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，含SKIPIF1<0角的直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，理解特殊三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意證明三角形全等或相似是解題關(guān)鍵．【變式1】（2021秋·重慶渝北·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的點(diǎn)．將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折，點(diǎn)SKIPIF1<0正好落在線段SKIPIF1<0上的點(diǎn)SKIPIF1<0處，使得SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝60°，由沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)AD＝x，CD=DF＝SKIPIF1<0，由BE=2，BC＝SKIPIF1<0，可得CE＝SKIPIF1<0，可證SKIPIF1<0，利用性質(zhì)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解方程即可【詳解】解：∵SKIPIF1<0是等邊三角形，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝60°，∵沿DE折疊C落在AB邊上的點(diǎn)F上，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝60°，CD=DF，CE＝EF，∵AF：BF=1:2，設(shè)AF=m，BF=2m，AB=3m，設(shè)SKIPIF1<0＝x，SKIPIF1<0＝DF＝SKIPIF1<0，∵BE=2，BC＝SKIPIF1<0，∴CE＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0＝60°，∴SKIPIF1<0＝120°，SKIPIF1<0＝120°，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，使等式有意義，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，故選擇：A．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形性質(zhì)和折疊性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．【變式2】（2020·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，頂點(diǎn)A在反比例函y＝SKIPIF1<0（x＞0）上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)頂點(diǎn)B也在反比例函數(shù)y＝SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則m的值為(

)A．-9 B．-12 C．-15 D．-18【答案】A【分析】根據(jù)∠AOB=90°，∠ABO=30°，可求出OA與OB的比，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，可得ab的值，進(jìn)而求出m的值．【詳解】解：過(guò)A、B分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足為M、N，∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，∴tan30°=SKIPIF1<0，∵∠BON+∠AOM=90°，∠BON+∠OBN=90°，∴∠OBN=∠AOM，∵∠BNO=∠AMO=90°，∴△BNO∽△OMA，∴SKIPIF1<0，∴設(shè)ON=a，BN=b，則AM=SKIPIF1<0，OM=SKIPIF1<0，∴B（-a，b），A（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0×SKIPIF1<0=3，∴ab=9，∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝SKIPIF1<0上，∴-a×b=m=-9，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，求出反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)是解答前提的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練一、單選題1．（2021·山東臨沂·三模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，則△ADE與△ABC的面積之比為（

）A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵AE=2，EC=3，∴AC=AE+EC=5，∵DESKIPIF1<0BC，∴△ADE∽△ABC，∴SKIPIF1<0，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例和相似三角形的性質(zhì)與判定，進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴SKIPIF1<0，∴A選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴∠CGE=∠CHD，∠CEG=∠D，∴△CEG∽△CDH，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵AB∥CD，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴B選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AB∥CD，AE∥DF，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴AF=DE，∵AE∥DF，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；∴C選項(xiàng)正確，不符合題目要求；∵AE∥DF，∴△BFH∽△BAG，∴SKIPIF1<0，∵AB＞FA，∴SKIPIF1<0∴D選項(xiàng)不正確，符合題目要求．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能根據(jù)定理得出比例式是解此題的關(guān)鍵．3．（2013·海南·中考真題）直線l1∥l2∥l3，且l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，把一塊含有45°角的直角三角形如圖放置，頂點(diǎn)A，B，C恰好分別落在三條直線上，AC與直線l2交于點(diǎn)D，則線段BD的長(zhǎng)度為A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．【答案】C【分析】分別過(guò)點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，先證明△BCE≌△ACF，再證明△CDG∽△CAF，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、B、D作AF⊥l3，BE⊥l3，DG⊥l3，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC．∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACF=90°，∠ACF+∠CAF=90°，∴∠EBC=∠ACF，∠BCE=∠CAF．在△BCE與△ACF中，∵∠EBC=∠ACF，BC=AC，∠BCE=∠CAF，∴△BCE≌△CAF（ASA）．∴CF=BE=3，CE=AF=4．在Rt△ACF中，∵AF=4，CF=3，∴SKIPIF1<0，∵AF⊥l3，DG⊥l3，∴△CDG∽△CAF．∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．在Rt△BCD中，∵SKIPIF1<0，BC=5，∴SKIPIF1<0．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，列出比例式是關(guān)鍵．4.（2023·河北秦皇島·統(tǒng)考一模）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)D為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交線段SKIPIF1<0于點(diǎn)E．下面是某學(xué)習(xí)小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：甲同學(xué)：SKIPIF1<0；乙同學(xué)：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；丙同學(xué)：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，D為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有甲同學(xué)正確 B．乙和丙同學(xué)都正確C．甲和丙同學(xué)正確 D．三個(gè)同學(xué)都正確【答案】D【分析】在SKIPIF1<0中，依據(jù)三角形外角及已知可得SKIPIF1<0，結(jié)合等腰三角形易證SKIPIF1<0；結(jié)合SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，結(jié)合已知求得SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，依據(jù)等腰三角形“三線合一”得SKIPIF1<0【詳解】解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，甲同學(xué)正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，乙同學(xué)正確；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為