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課題:第八章立體幾何初步8.1.1棱柱、棱錐、棱臺班級——————姓名——————一.學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過計(jì)算機(jī)模擬或者利用實(shí)物概括出棱柱、棱錐、棱臺的幾何結(jié)構(gòu)特征;2.能用數(shù)學(xué)語言概述棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征;3.能表示有關(guān)幾何體以及進(jìn)行棱柱、棱錐、棱臺的分類。4.通過對棱柱、棱錐、棱臺的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二.問題與例題總結(jié)1:在初中我們都學(xué)習(xí)過那些幾何圖形呢,空間幾何圖形都有哪些?【討論】下列物體(教材第97頁圖8.1-1)具有怎樣的形狀?在日常生活中,我們把這些物體的形狀叫做什么?如何描述它們的形狀?歸納出空間幾何體概念:在我們周圍存在著各種各樣的物體,它們都占據(jù)著空間的一部分.如果只考慮這些物體的形狀和大小,而不考慮其他因素,那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體(spacegeometry).問題2:我們怎么來進(jìn)一步規(guī)范的描述和定義這些空間幾何體?先討論一個問題:組成空間幾何體的元素有那些?從運(yùn)動的角度來思考:點(diǎn)動成線,線動成面,面動成體規(guī)范定義:類別定義圖示多面體一般地,由若干個圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個叫做多面體的面;兩個面的叫做多面體的棱;的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)所形成的叫做旋轉(zhuǎn)面,的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.叫做旋轉(zhuǎn)體的軸問題3:棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征多媒體演示,棱柱、棱錐、棱臺的形成過程;(概念生成)定義相關(guān)概念棱柱一般地,有兩個面互相,其余各面都是四邊形,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱四棱柱ABCD-A′B′C′D′棱錐一般地,有一個面是多邊形,其余各面都是有一個的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐四棱錐S-ABCD棱臺用一個棱錐底面的平面去截棱錐,底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺四棱臺ABCD-A′B′C′D′例1將下列各類幾何體之間的關(guān)系用Venn圖表示出來:多面體,長方體,棱柱,棱錐,棱臺,直棱柱,四面體,平行六面體.解:如圖8.1-9所示.三課堂新知運(yùn)用教材練習(xí)展示P101第1,2,3題四隨堂測試(40分鐘)批改日期:評價:一、單選題1.觀察下面的幾何體,哪些是棱柱?(
)A.(1)(3)(5) B.(1)(2)(3)(5)C.(1)(3)(5)(6) D.(3)(4)(6)(7)【答案】A【分析】根據(jù)棱柱的定義分析判斷即可.【詳解】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征:一對平行的平面且側(cè)棱相互平行的幾何體,所以棱柱有(1)(3)(5).故選:A.2.平行六面體的兩個對角面與都是矩形,則這個平行六面體是(
).A.正方體 B.長方體 C.直平行六面體 D.正四棱柱【答案】C【分析】利用多面體的結(jié)構(gòu)特征可得出答案.【詳解】,項(xiàng)為真項(xiàng)為真項(xiàng)為真項(xiàng)為真,A,B,D三項(xiàng)均假,所以C項(xiàng)為真.故選:C.3.已知正四棱錐的底面積為64,側(cè)棱長,則該四棱錐的高為(
)A. B. C.8 D.【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出圖象,結(jié)合圖象利用勾股定理求解.【詳解】如圖:正四棱錐的底面積為64,則,又頂點(diǎn)在在底面上的射影是四邊形的中心,過點(diǎn)作于,連接,則,又側(cè)棱長為,所以該四棱錐的高為.故選:A.4.下列命題中正確的是(
)A.有兩個面平行,其余各面都是平行四邊行的多面體叫做棱柱B.以圓的直徑為軸,將圓面旋轉(zhuǎn)180度形成的旋轉(zhuǎn)體叫球C.用一個面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫棱臺D.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的多面體叫棱錐【答案】B【分析】根據(jù)棱柱,棱臺,棱錐,球的定義或舉反例判斷即可.【詳解】對于A,如圖所示不表示棱柱,故不正確;對于B,以圓的直徑為軸,將圓面旋轉(zhuǎn)180度形成的旋轉(zhuǎn)體叫球,故正確;對于C,用一個平行于底面的平面去截棱錐,底面與截面之間的部分叫棱臺,故不正確;對于D,棱錐有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體,故不正確;故選:B.5.下列說法正確的是(
)A.底面是正方形的四棱柱是正方體B.底面是正多邊形,側(cè)棱與底面所成的角均相等的棱錐是正棱錐C.用一個平面截圓錐,得到一個圓錐和一個圓臺D.有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐【答案】B【分析】根據(jù)幾何體的定義判斷即可.【詳解】底面是正方形的四棱柱可能是斜棱柱,不一定是正方體,故A錯誤;當(dāng)棱錐的底面是正多邊形,側(cè)棱與底面所成的角均相等時,棱錐的頂點(diǎn)在底面的投影是底面的中心,所以該棱錐是正棱錐,故B正確;用一個平行于底面的平面截圓錐,可以得到一個圓錐和一個圓臺,故C錯誤;有一個面是多邊形,其余各面是有公共頂點(diǎn)的三角形的幾何體是棱錐,故D錯誤.故選:B.6.如果棱臺的兩底面積分別是,,中截面的面積是,那么(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】設(shè)棱臺的高為,棱臺上面截去的棱錐的高為,根據(jù)比例關(guān)系得到.【詳解】設(shè)棱臺的高為,棱臺上面截去的棱錐的高為,則,,所以,即.故選:A.7.如圖,把咱們教室看作是一個正六棱柱,過教室墻面上的三點(diǎn)作一個截面,得到一個幾何體,若已知的高度依次為,則的高度之和為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】設(shè)正六邊形中心為,設(shè)到截面的距離為,由題意利用中位線性質(zhì)可得,進(jìn)一步反復(fù)利用中位線性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)正六邊形中心為,則可得四邊形是菱形,記菱形對角線交點(diǎn)為,設(shè)到截面的距離為,其中為的中心,設(shè)與交于點(diǎn),連接,易得為與的中點(diǎn),由題意以及梯形的中位線性質(zhì)可得,解得,又的中點(diǎn)為,所以,所以,同理,解得,,解得,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:關(guān)鍵是利用中位線定理列方程求長度,由此即可順利得解.8.在正方體的8個頂點(diǎn)中任取4個點(diǎn),能構(gòu)成正三棱錐的個數(shù)為(
)A.16個 B.12個 C.10個 D.8個【答案】C【分析】根據(jù)正方體以及正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征分析判斷.【詳解】如圖,以為頂點(diǎn),可知三棱錐為正三棱錐,符合題意,此類三棱錐共有8個;可知三棱錐為正三棱錐,符合題意,此類三棱錐共有2個;其余情況均不合題意,所以符合條件的正三棱錐的個數(shù)為.故選:C.二、多選題9.下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是()A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.有兩個面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.正四棱柱都是長方體D.直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐【答案】CD【分析】由正棱錐的定義判斷A,由棱臺的定義判斷B,由正四棱柱的定義判斷C,由圓錐的定義判斷D.【詳解】對于A,底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為底面中心的棱錐是正棱錐,故A錯誤;對于B,將兩個相同的棱臺的底面重合得到的多面體滿足有兩個面互相平行,其余各面都是梯形,但是這樣的多面體不是棱臺,故B錯誤;對于C,因?yàn)檎睦庵堑酌鏋檎叫蔚闹崩庵哉睦庵际情L方體,故C正確;對于D,根據(jù)圓錐的定義可知D正確.故選:CD三、填空題10.如圖,已知正方體棱長為2,其內(nèi)壁是十分光滑的鏡面.一束光線從點(diǎn)射出,在正方體內(nèi)壁經(jīng)平面反射,又經(jīng)平面反射后,到達(dá)的中點(diǎn),則該光線所經(jīng)過的路徑長為.【答案】【分析】易得光線從點(diǎn)射出通過兩次反射到達(dá)點(diǎn),則其路徑在平面內(nèi),設(shè)光線在平面和平面內(nèi)的反射點(diǎn)分別是,在矩形中,過點(diǎn)作于點(diǎn),利用相似比及勾股定理求出即可.【詳解】如圖①,光線從點(diǎn)射出通過兩次反射到達(dá)點(diǎn),則其路徑在平面內(nèi),設(shè)光線在平面和平面內(nèi)的反射點(diǎn)分別是,如圖②,在矩形中,,過點(diǎn)作于點(diǎn),則,故,則,所以,則,所以,,所以該光線所經(jīng)過的路徑長為.故答案為:.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:明確入射光線和反射光線是共面的,都在平面內(nèi),是解決本題的關(guān)鍵.11.?dāng)?shù)學(xué)中有很多公式都是數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard
Euler)發(fā)現(xiàn)的,它們都叫歐拉公式,分散在各個數(shù)學(xué)分支之中,任意一個凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V.棱數(shù)E.面數(shù)F之間,都滿足關(guān)系式,這個等式就是立體幾何中的“歐拉公式”.若一個凸二十面體的每個面均為三角形,則由歐拉公式可得該多面體的頂點(diǎn)數(shù)為【答案】12【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合“歐拉公式”運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)槎骟w的每個面均為三角形,每條棱都是兩個面共用,所以棱數(shù)
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