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江蘇省無(wú)錫市宜興茗嶺中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.的展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為(
)A.70 B.-70 C.14 D.-14參考答案:A【分析】先求得的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,再令求解.【詳解】因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令,,所以展開(kāi)式中含的系數(shù)為.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)定理的通項(xiàng)公式,屬于基礎(chǔ)題.2.給出下列四個(gè)命題:①若,則;②已知,則是且的必要不充分條件③若,則;④若,則的最小值為8;真命題的個(gè)數(shù)為(
)A.
1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)參考答案:B3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是AA1和B1B的中點(diǎn),則D1F與CE所成角的余弦值為(
)
A.
B.
C.
D.
參考答案:A4.若方程表示圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D.參考答案:B略5.五位同學(xué)站成一排照相,甲、乙兩同學(xué)不相鄰有(
)種排法
A.12
B.120
C.90
D.72參考答案:D略6.函數(shù)函數(shù)f(x)=(x﹣3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(﹣∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞)參考答案:D【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】首先對(duì)f(x)=(x﹣3)ex求導(dǎo),可得f′(x)=(x﹣2)ex,令f′(x)>0,解可得答案.【解答】解:f′(x)=(x﹣3)′ex+(x﹣3)(ex)′=(x﹣2)ex,令f′(x)>0,解得x>2.故選:D.7.如圖,正方體繞其體對(duì)角線旋轉(zhuǎn)之后與其自身重合,則的值可以是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足,則目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣y的最大值為()A.﹣3 B. C.5 D.6參考答案:C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【分析】作出題中不等式組表示的平面區(qū)域,得如圖的△ABC及其內(nèi)部,再將目標(biāo)函數(shù)z=2x﹣y對(duì)應(yīng)的直線進(jìn)行平移,可得當(dāng)x=2,y=﹣1時(shí),z取得最大值5.【解答】解:作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(﹣1,﹣1),B(2,﹣1),C(0.5,0.5)設(shè)z=F(x,y)=2x﹣y,將直線l:z=2x﹣y進(jìn)行平移,當(dāng)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值∴z最大值=F(2,﹣1)=5故選:C9.已知集合A={x︱},B={x︱},若,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(
)A.
(-,0]
B.[0,+)
C.(-,0)
D.(0,+)參考答案:10.已知,則等于
A.0
B.-4
C.-2
D.2參考答案:B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列命題:①;②;③;④;⑤
⑥.其中所有真命題的序號(hào)是
。參考答案:①③12.已知曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,則a=
.參考答案:813.如圖,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的邊長(zhǎng)為7,BD1與底面所成角的大小為,則該正四棱柱的高等于.參考答案:【考點(diǎn)】直線與平面所成的角.【分析】根據(jù)正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的側(cè)棱D1D⊥底面ABCD,判斷∠D1BD為直線BD1與底面ABCD所成的角,即可求出正四棱柱的高.【解答】解:∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的側(cè)棱D1D⊥底面ABCD,∴∠D1BD為直線BD1與底面ABCD所成的角,∴tan∠D1BD=,∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD的邊長(zhǎng)為3,∴BD=7,∴正四棱柱的高=7=,故答案為:14.設(shè)函數(shù)f(x)=lnx+,則函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.參考答案:(1,+∞)【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【解答】解:∵,(x>0),∴f′(x)=﹣=,令f′(x)>0,解得:x>1,故函數(shù)的遞增區(qū)間是(1,+∞),故答案為:(1,+∞).【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題.15.以下五個(gè)命題中:①若兩直線平行,則兩直線斜率相等;
②設(shè)、為兩個(gè)定點(diǎn),為正常數(shù),且,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線;③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;④對(duì)任意實(shí)數(shù),直線:與圓的位置關(guān)系是相交;⑤為橢圓上一點(diǎn),為它的一個(gè)焦點(diǎn),則以為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相切.其中真命題的序號(hào)為_(kāi)____________.寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))參考答案:③④⑤略16.焦點(diǎn)在(﹣2,0)和(2,0),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3)的橢圓方程為.參考答案:【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】根據(jù)題意,由焦點(diǎn)的坐標(biāo)分析可得其焦點(diǎn)在x軸上,且c=2,可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為:+=1,將點(diǎn)(2,3)坐標(biāo)代入橢圓方程計(jì)算可得a2的值,即可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0)和(2,0),則其焦點(diǎn)在x軸上,且c=2,設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為:+=1,又由其經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,3),則有﹣=1,解可得a2=16,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為:;故答案為:.17.點(diǎn)O在內(nèi)部且滿足,則的面積與凹四邊形.的面積之比為_(kāi)_______.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本小題滿分12分)設(shè)復(fù)數(shù),若,求實(shí)數(shù)的值。參考答案:略19.已知函數(shù),其中a>0.(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若f(x)的最小值為1,求a的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】6E:利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;6B:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得,由于分母恒正,故由分子的正負(fù),確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的討論,分別可求得f(x)的最小值,根據(jù)f(x)的最小值為1,可確定a的取值范圍.【解答】解:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),可得,∵x≥0,a>0,∴ax+1>0.①當(dāng)a≥2時(shí),在區(qū)間(0,+∞)上,f'(x)>0,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞).②當(dāng)0<a<2時(shí),由f'(x)>0解得,由f'(x)<0解得x<,∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為,單調(diào)增區(qū)間為.(Ⅱ)當(dāng)a≥2,由(Ⅰ)①知,f(x)的最小值為f(0)=1;當(dāng)0<a<2時(shí),由(Ⅰ)②知,f(x)在處取得最小值<f(0)=1,綜上可知,若f(x)的最小值為1,則a的取值范圍是[2,+∞).20.橢圓C:過(guò)點(diǎn),離心率為,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過(guò)F2的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn).(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0),設(shè)直線AM與BM斜率分別為,求證:.參考答案:(Ⅰ)因?yàn)闄E圓:過(guò)點(diǎn),所以.①又因?yàn)殡x心率為,所以,所以.②解①②得,.所以橢圓的方程為.
………………5分法一:(Ⅱ)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),因?yàn)?,所以?dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線,設(shè)與橢圓交點(diǎn),聯(lián)立得即,,
………………8分=因?yàn)榫C上:命題得證.
…………12分法二:(Ⅱ)當(dāng)直線斜率為0時(shí),因?yàn)?,所以?dāng)直線斜率不為0時(shí),設(shè)直線,設(shè)與橢圓交點(diǎn),聯(lián)立得即,,
………………8分綜上:命題得證.
…………12分21.如圖,已知圓O的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)是圓O上的一點(diǎn).(Ⅰ)求圓O的方程;(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓O相交于A,B兩點(diǎn).在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)Q的
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