新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第7章隨機變量及其分布章末綜合提升學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

第7章隨機變量及其分布章末綜合提升類型1條件概率與全概率公式(1)條件概率是概率的重要內(nèi)容之一，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)．在高考中經(jīng)常涉及，一般以選擇和填空的形式考查，試題難度不大，屬基礎(chǔ)題．求條件概率的常用方法為：①定義法，分別求出P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PAB②借助古典概型公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝nAB(2)(3)掌握條件概率與全概率運算，重點提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．【例1】某投籃小組共有20名投手，其中一級投手4人，二級投手8人，三級投手8人，一、二、三級投手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9，0.7，0.4．求任選一名投手能通過選拔進入比賽的概率．[嘗試解答]類型2分布列、期望與方差的綜合應(yīng)用(1)均值和方差都是隨機變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者的聯(lián)系密切，在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中的應(yīng)用比較廣泛．(2)掌握離散型隨機變量的分布列、均值和方差，重點提升邏輯推理與運算的核心素養(yǎng)．【例2】甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃；第一次由甲投籃，已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為13(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為X，求X的分布列、均值及標(biāo)準(zhǔn)差．[嘗試解答]類型3兩種特殊概率分布的均值與方差(1)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．特別地，若X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X服從參數(shù)M，n，N的超幾何分布，則E(X)＝nMN(3)掌握二項分布與超幾何分布的均值與方差，提高數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)．二項分布的均值、方差【例3】某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，每臺機器出現(xiàn)故障需要維修的概率為13(1)求機器出現(xiàn)故障臺數(shù)的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差；(2)已知1名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每名工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時維修，能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤，否則將不產(chǎn)生利潤．若該廠現(xiàn)有2名工人，求該廠每月獲利的均值．[嘗試解答]超幾何分布的均值、方差【例4】某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2023年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每天上網(wǎng)不超過兩個小時)的天數(shù)情況，隨機抽取了40名本校學(xué)生，統(tǒng)計他們在該月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0，5]，(5，10]，(10，15]，…，(25，30]，由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)Y為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)，求Y的分布列及均值E(Y)．[嘗試解答]類型4正態(tài)分布與二項分布、超幾何分布的綜合應(yīng)用(1)解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時注意以下兩點：①注意“3σ”原則，記住正態(tài)總體在三個區(qū)間內(nèi)取值的概率．②注意數(shù)形結(jié)合．由于正態(tài)密度曲線具有完美的對稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運用對稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點問題．(2)掌握正態(tài)分布的實際應(yīng)用問題，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)．【例5】(2023·廣東茂名聯(lián)考)當(dāng)前，以“立德樹人”為目標(biāo)的課程改革正在有序推進．高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學(xué)生進行體育測試，是激發(fā)學(xué)生、家長和學(xué)校積極開展體育活動，保證學(xué)生健康成長的有效措施．某地區(qū)2022年初中畢業(yè)生升學(xué)體育考試規(guī)定，考生必須參加立定跳遠(yuǎn)、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠(yuǎn)15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20分．某學(xué)校在初三上學(xué)期開始時想要掌握全年級學(xué)生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行測試，得到如下頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如表．每分鐘跳繩個數(shù)得分[165，175)16[175，185)17[185，195)18[195，205)19[205，215]20(1)現(xiàn)從抽取的100名學(xué)生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；(2)若該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，用樣本數(shù)據(jù)的平均值和方差估計總體的平均值和方差(結(jié)果四舍五入到整數(shù))，已知樣本方差s2≈77.8(各組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替)．根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學(xué)生經(jīng)過一年的訓(xùn)練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設(shè)明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學(xué)期開始時的個數(shù)增加10，利用新得的正態(tài)分布模型解決下列問題．(ⅰ)若全年級恰好有1000名學(xué)生，試估計正式測試時每分鐘跳193個及以上的人數(shù)；(結(jié)果四舍五入到整數(shù))(ⅱ)若在該地區(qū)所有初三畢業(yè)生中任意選取3人，記正式測試時每分鐘跳202個及以上的人數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列和期望．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，σ＝77.8≈9，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973．[嘗試解答]章末綜合提升例1解：設(shè)Ai＝“選出的i級投手”，i＝1，2，3，B＝“選出的投手能通過選拔進入比賽”，則A1∪A2∪A3＝Ω，且A1，A2，A3兩兩互斥．由題意知P(A1)＝420＝15，P(A2)＝820＝25，P(A3)＝820＝25，且P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝則P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝15×0.9＋25×0.7＋25×0.4即任選一名投手能通過選拔進入比賽的概率為0.62．例2解：(1)由題意知第三次由乙投籃的概率P＝13×23＋(2)由題意，得X的所有可能取值為0，1，2，P(X＝0)＝13×1P(X＝1)＝13×23＋P(X＝2)＝23×3故X的分布列為X012P171E(X)＝0×19＋1×718＋2×D(X)＝0-2518∴σ(X)＝D(例3解：(1)設(shè)“機器出現(xiàn)故障”為事件A，則P(A)＝13設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，則X～B4，P(X＝0)＝C40×P(X＝1)＝C41×P(X＝2)＝C42×13P(X＝3)＝C43×P(X＝4)＝C44×故X的分布列為X01234P1632881∴E(X)＝0×1681＋1×3281＋2×827＋3×881＋4×D(X)＝np(1－p)＝4×13×2(2)設(shè)該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為18，13，8，P(Y＝18)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝89P(Y＝13)＝P(X＝3)＝881P(Y＝8)＝P(X＝4)＝181故Y的分布列為Y18138P881所以E(Y)＝18×89＋13×881＋8×181＝故該廠獲利的均值為140881萬元例4解：(1)由題圖可知，健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10．(2)隨機變量Y的所有可能取值為0，1，2，且Y服從超幾何分布，所以P(Y＝0)＝C30P(Y＝1)＝C10P(Y＝2)＝C10所以Y的分布列為Y012P2953所以Y的均值E(Y)＝1×513＋2×3例5解：(1)兩人得分之和不大于33分，即兩人得分均為16分，或兩人中1人得分為16分，1人得分為17分，由題圖知，得分為16分的有0.005×10×100＝5(人)，得分為17分的有0.009×10×100＝9(人)，∴兩人得分之和不大于33分的概率P＝C5(2)(ⅰ)由題意可知，該校初三年級所有學(xué)生的跳繩個數(shù)的平均值為170×0.05＋180×0.09＋190×0.5＋200×0.3＋210×0.06＝192.3≈192(個)，∵樣本方差s2≈77.8，∴s≈9，∴正式測試時，μ＝