新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理微專題1分組與分配問題的破解之術(shù)學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

微專題1分組與分配問題的破解之術(shù)解決分組與分配問題的關(guān)鍵是區(qū)分是否與順序有關(guān)，一般按先分組后分配的原則計算．1．分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種：(1)完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等；(2)部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻分組，最后必須除以n?。?3)完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．2．分配問題屬于“排列”問題，分配問題可以按要求逐個分配，也可以分組后再分配．類型1定向分配問題【例1】6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)甲2本，乙2本，丙2本；(2)甲1本，乙2本，丙3本；(3)甲4本，乙、丙每人1本．[嘗試解答]解決定向分配問題的方法有“邊分組邊分配”或“先分組后分配”．類型2不定向分配問題【例2】6本不同的書，分給甲、乙、丙3人，在下列條件下各有多少種不同的分組方法？(1)每人2本；(2)一人1本，一人2本，一人3本；(3)一人4本，其余2人每人1本．[嘗試解答]不定向分配問題，解題原則是“先分組后分配”．屬于“排列”問題，要按排列問題求解．類型3不同元素的分組問題【例3】6本不同的書，分為3組，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每組2本(平均分組)；(2)一組1本，一組2本，一組3本(不平均分組)；(3)一組4本，另外兩組各1本(局部平均分組)．[嘗試解答](1)分清是分組問題還是分配問題很必要，而判斷是分組問題還是分配問題的關(guān)鍵是看是否有分配對象．若沒有分配對象，則為分組問題；若有分配對象，則為分配問題；若有確定的分配對象，即為定向分配問題．反之，則為不定向分配問題．(2)分組問題屬于“組合”問題，常見的三種分組問題如下：①完全均勻分組，每組的元素個數(shù)均相等．②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n！．③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．類型4相同元素的分配問題【例4】將6個相同的小球放入4個編號為1，2，3，4的盒子，求下列方法的種數(shù)．(1)每個盒子都不空；(2)恰有一個空盒子；(3)恰有兩個空盒子．[嘗試解答](1)“隔板法”能快速解決相同元素的分配問題，由于元素和“隔板”都是相同的，需按組合問題求解；使用“隔板法”的關(guān)鍵是要根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為“每組至少1個”或“每組至少0個”的問題，才能合理使用“隔板法”解決問題．(2)“將n個相同元素分成m組(每組的任務(wù)不同)”的具體情況如下：①當(dāng)每組至少含有一個元素時，其不同的分組方法有Cn-1m-1種，即在n個元素中間形成的(n－1)個空中插入(m－②任意分組，可出現(xiàn)某些組所含元素個數(shù)為0的情況，不符合隔板法的適用條件，但可人為增加m個元素，使每組至少含有一個元素，此時問題就轉(zhuǎn)化為將(n＋m)個相同元素分成m組，且每組至少含有一個元素，則不同的分組方法有Cn+m微專題1分組與分配問題的破解之術(shù)例1解：(1)第一步，從6本不同的書中選2本書分配給甲，有C6第二步，從剩下的4本不同的書中選2本分配給乙，有C4第三步，剩下的2本不同的書全給丙，有C22根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有C62×C42×C22＝(2)第一步，從6本不同的書中選1本書分配給甲，有C6第二步，從剩下的5本不同的書中選2本書分配給乙，有C5第三步，剩下的3本不同的書全給丙，有C33根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有C61×C52×C33＝(3)第一步，從6本不同的書中選4本書分配給甲，有C6第二步，從剩下的2本不同的書中選1本書分配給乙，有C2第三步，剩下的1本書給丙，有C11根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有C64×C21×C11＝例2解：(1)法一：本題為平均分組，并且有分配對象，先分組(與順序無關(guān))，有C6再分配給3個人(與順序有關(guān))，有A33共有C62C42C法二：先從6本書中選2本給甲，有C6再從其余的4本書中選2本給乙，有C4最后從余下的2本書中選2本給丙，有C22所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理得，每人2本，共有C62C42C(2)先分組，再分配，與順序有關(guān)，需排序．6本書分成三組共有C6故一人1本，一人2本，一人3本的分法有C61C52C(3)法一：從6本不同的書中選出4本，有C64將選出的4本書看成一個元素集團，與其余2本書(兩個元素)分配給甲、乙、丙三人有A33由分步乘法計數(shù)原理，共有C64A33＝15×6＝90法二：先分組，再分配，與順序有關(guān)．先分成三份，為部分平均分組問題，共有C64C21C11A22種分法，然后分給3例3解：(1)每組2本，均分為3組的分組種數(shù)為C62C(2)一組1本，一組2本，一組3本的分組種數(shù)為C63C32(3)一組4本，另外兩組各1本的分組種數(shù)為C64C例4解：(1)先把6個相同的小球排成一行，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，故共有C53＝10(種)(2)法一：恰有一個空盒子，第一步先選出一個盒子，有C4第二步在小球之間5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板．由分步乘法計數(shù)原理得，共有C41·C52＝40(法二：恰有一個空盒子，插板分兩步進行．先在首尾兩球外側(cè)各放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|0|000|00|，有C5然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|0|000||00|，有C4故共有C52·C41＝40((3)法一：分兩步完成，第一步任取2個盒子不放小球(取兩個空盒子)有C4第二步在6個小球之間5個空隙中任選一個空檔插一塊隔板，有C51由分步乘法計數(shù)原理，共有C42·C51＝30(